第一篇:初二几何证明经典难题
初二几何证明经典难题
1、已知:如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=150.
A求证:△PBC是正三角形.
B
如下图做△DGC使与△ADP全等,可得△PDG为等边△,从而可得
△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=150
所以∠DCP=300,从而得出△PBC是正三角形
D C2、已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F. 求证:∠DEN=∠F.
B
如下图连接AC并取其中点Q,连接QN和QM,所以可得∠QMF=∠F,∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM,从而得出∠DEN=∠F。
1、如图,分别以△ABC的AC和BC为一边,在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点.
求证:点P到边AB的距离等于AB的一半.
F
3.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG,CI,FH。可得PQ=
AI+BIAB
=,从而得证。
2EG+FH
。2
由△EGA≌△AIC,可得EG=AI,由△BFH≌△CBI,可得FH=BI。从而可得PQ=、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F. 求证:CE=CF.
顺时针旋转△ADE,到△ABG,连接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B,G,D在一条直线上,可得△AGB≌△CGB。推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC为等边三角形。∠AGB=300,既得∠EAC=300,从而可得∠A EC=750。又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可证:CE=CF。
5、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.
求证:AE=AF.
连接BD作CH⊥DE
由AC=CE=2GC=2CH,可得∠CEH=300,所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150,又∠FAE=900+450+150=1500,E
从而可知道∠F=150,从而得出AE=AF。
6、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF平分∠DCE.
求证:PA=PF.
作FG⊥CD,FE⊥BE,可以得出GFEC为正方形。令AB=Y,BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X。tan∠BAP=tan∠EPF=
XZ
=,可得YZ=XY-X2+XZ,YY-X+Z
即Z(Y-X)=X(Y-X),既得X=Z,得出△ABP≌△PEF,得到PA=PF,得证。
第二篇:初二几何证明
24.(1)如图(1),△ABC是等边三角形,D、E分别是AB、BC上的点,且BDCE,连接AE、CD相交于点P.请你补全图形,并直接写出∠APD的度数;=
(2)如图(2),Rt△ABC中,∠B=90°,M、N分别是AB、BC上的点,且AMBC,BMCN,连接AN、CM相交于点P.请你猜想∠APM=°,并写出你的推理过程.24.如图1,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合.三角板的一边交CD于点F,另一边交CB的延长线于点G.(1)求证:EFEG;
(2)如图2,移动三角板,使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,将(2)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,且使三角板的一边经过点B,其他条件不变,若ABa,BCb,求
EF的值. EG
24.问题1:如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=CD,点M,N分别在AD,CD上,若∠MBN=1∠ABC,试探究线段MN,AM,CN有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,不用证明;
21∠ABC仍然成立,请你进一步探究线段MN,AM,CN又有怎样的数量关系?写出2问题2:如图2,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,点M,N分别在DA,CD的延长线上,若∠MBN=
你的猜想,并给予证明.5.(丰台区)在Rt△ABC中,AB=BC,∠B=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上,将三角板绕点O旋转.
(1)当点O为AC中点时,①如图1,三角板的两直角边分别交AB,BC于E、F两点,连接EF,猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系(无需证明);
②如图2,三角板的两直角边分别交AB,BC延长线于E、F两点,连接EF,判断①中的猜想是否成立.若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(2)当点O不是AC中点时,如图3,,三角板的两直角边分别交AB,BC于E、F两点,若AO1,AC
4求OE的值.
OF
E
B F C 图1 图2 图3 F B F CA A
24. 已知:四边形ABCD是正方形,点E在CD边上,点F在AD边上,且AF=DE.
(1)如图1,判断AE与BF有怎样的位置关系?写出你的结果,并加以证明;
(2)如图2,对角线AC与BD交于点O. BD,AC分别与AE,BF交于点G,点H.
①求证:OG=OH;
②连接OP,若AP=4,OP
AB的长.
图
1(1)答:
证明:
9.(房山区)(1)如图1,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点,且满足BE=CF,联结AE、BF交于点H..请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系;
(2)如图2,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点,联结BF,过点E作EG⊥BF于点H,交AD于点G,试判断线段BF与GE的数量关系,并证明你的结论;
(3)如图3,在(2)的条件下,联结GF、HD.求证:①FG+BE
②∠HGF=∠HDF.图2 B AGDG
B
第24题图1 FB
E第24题图2 F
B
E第21题图3 F
第三篇:中考数学几何证明经典难题
经典难题
(一)1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO. 求证:CD=GF.(初二)
E
A BD O F2、已知:如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=150.
A D求证:△PBC是正三角形.(初二)
C B3、如图,已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点. D
求证:四边形A2B2C2D2是正方形.(初二)DAA
11C B2
2C4、已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F. 求证:∠DEN=∠F.
B第 1 页
1、已知:△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O
(1)求证:AH=2OM;
(2)若∠BAC=600,求证:AH=AO.(初二)
2、设MN是圆O外一直线,过O作OA⊥MN于A,自A及D、E,直线EB
及CD分别交MN于P、Q. 求证:AP=AQ.(初二)
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:
设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN
于P、Q.
求证:AP=AQ.(初二)
4、如图,分别以△ABC的AC和BC为一边,在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形
CBFG,点P是EF的中点.
求证:点P到边AB的距离等于AB的一半.
第 2 页
F1、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F.
求证:CE=CF.(初二)
2、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.
求证:AE=AF.(初二)
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF平分∠DCE.
求证:PA=PF.(初二)
4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于
B、D.求证:AB=DC,BC=AD.(初三)
第 3 页
1、已知:△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5.
求:∠APB的度数.(初二)
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA. 求证:∠PAB=∠PCB.(初二)
3、Ptolemy(托勒密)定理:设ABCD为圆内接凸四边形,求证:AB·CD+AD·BC=AC·BD.(初三)
4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且 AE=CF.求证:∠DPA=∠DPC.(初二)
第 4 页
经典难题
(五)1、设P是边长为1的正△ABC内任一点,l=PA+PB+PC,求证:
≤l<2.
2、已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC3、P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.
4、如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB=800,D、E分别是AB、AC上的点,∠DCA=300,∠EBA=200,求∠BED的度数.
第 5 页
第四篇:初二几何证明单元测试
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初二几何证明单元测试
班级_______姓名__________
一、填空
1.定理“和一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上”的逆命题
是:_____________________________________________________________________,它是_____命题(填“真”、“假”)。
2.在Rt△ABC中,∠C= 90度,AB=2BC,则∠A =______度。
3.直角三角形的两个锐角的度数之比是2:3,那么这个三角形中最小的内角是______度。
4.在Rt△ABC中,∠C=90度,D为AB的中点,且CD=3cm,则AB=_____cm。
5.如图(1),∠BAC=90度,AD⊥
BC,则图中和∠C
互余的角有_________________, 若∠C=30度,则
(1)CD=____BD。
6.直角三角形的一个锐角为
20度,那么这个三 角形斜边上的 高与中线 所夹 的角 等于
_______度。
7.如图(2),在Rt△ABC中,∠C=90度,BC=24cm,∠BAC的平分线AD交BC于点D,BD:DC=5:3,则点D到AB的距离为
(2)_______cm。
8.等腰三角形底边上的高为10cm,腰长为20cm,则顶角为______度。
9.如图(3),在等腰三角形ABC中,腰AB的垂直平
(3)分线MN 交另一腰AC于点D,若∠ABD= 40度,则 ∠ABC=______度; 若AB=8cm,△BDC的 周长是20cm,则BC=_____cm。
10.如图(4),在等边△ABC的三边上各取一点M、N、P,且有MN⊥AC,NP⊥AB,PM⊥BC,AB=9cm,则CM的长为_______cm。
11.如图(5),在矩形ABCD中,AB:AD=1:2,将点A沿折痕DE对折,使点A落在BC
上的F点,则∠ADE=_____度。
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二、不定项选择题
1.下列说法正确的是()
A.任何定理都有逆定理B命题的逆命题不一定是真命题;
C.定理“同圆的半径相等”有逆定理;
D.“角平分线上的点到该角两边的距离相等”的逆命题是真命题。
2.到三角形三个顶点的距离相等的点是()
A.三角形三内角平分线的交点;B.三角形三边中线的交点;
C.三角形三边高的交点;D.三角形三边中垂线的交点。
3.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,CE是斜边AB上的中线,那么下列结论中,正确的是:()
∠ACD=∠BB.∠ECB=∠DCE
C.∠ACD=∠ECBD.∠ECB=∠A-
∠ECD
4.如图,⊙o外一点P,直线PAB、PCD分别交⊙o于A、B和C、D,添加下列哪个条件,就能证得AB=CD:()
A.点O既在AB的垂直平分线上,又在CD的垂直平分线上
B.OP平分∠BPDPC.PA=PB
D.不用添也能证出
三、作图(写出简略作法)
要在A、B、C三地之间建一个邮局P,要求邮局P到A、C两地的距离相等,且到公路AB、BC的距离相等。
四、几何计算和证明
1.已知:△ABC中,∠A=60度,CD⊥AB于D,BC=2CD,AD=3,求AB的长
2.如图,∠ABC=∠ADC=90度,E、F分别是AC、BD的中点。求证:EF⊥BD.3.如图,在△ABC中,∠C=90度,AC=BC,AD平分∠CAB,AB=20cm.求AC+CD的长
五、几何证明
已知:如图,△ABC中,AD平分∠BAC,AD的中垂线交BC的延长线于点E。求证:∠B=∠EAC
第五篇:初二几何证明2
18.2(5)证明举例(5)
教学目标
1、通过证明举例的学习和实践,懂得演绎推理的一般规则,初步掌握规范的表达格式;了解证明之前进行分析的基本思路;
2、能利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质来证明有关线段相等、角相等的简单问题;
3、了解添置辅助线的基本方法,会添置常见的辅助线;
4、了解文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言形态.教学重点及难点
重点:分析基本思路,掌握规范的表达格式.难点:辅助线的添加.教学用具准备
黑板、粉笔、学生准备课堂练习本.教学流程设计
教学过程设计
1. 例题讲解
例题9 已知:如图,在△ABC与△A’B’C’中, AB=A’B’,BC= B’C’,CA=C’A’.求证: △ABC≌△A’B’C’.证明:设边BC最长.如图,把△ABC与△A’B’C’拼在一起,使边BC与B’C’重合,并使点A、A’在B’C’的两侧;再联结A’A.∵AB=A’B’,AC=A’C’(已知),∴∠1=∠2, ∠3=∠4(等边对等角).∴∠1+∠3=∠2+∠4(等式性质).即∠B’A’C’=∠BAC.在△ABC与△A’B’ C’中,AB=A’B’(已知)
∠B’A’C’=∠BAC(已证)
AC=A’C’(已知),∴△ABC≌△A’B’C’(S.A.S).【说明】本例是补证“边边边”定理,证明的思路是通过图形的运动把一些分散的元素集中在一个图形中,然后利用已有的“边角边”定理,证明两个三角形全等.这种利用图形的运动的方法,学生以前从未遇到,在后面的例题11中还会用到,要注意分析和引导.例题10 已知:如图17-14,四边形ABCD中,AB=DC, ∠B=∠C.求证: ∠A=∠D.证明:分别联结AC、DB(如图17-15).在△ABC与△DCB中,AB=DC(已知)
∠ABC=∠DCB(已证)
BC=CB(已知),∴△ABC≌△DCB(S.A.S)
得AC=DB(全等三角形的对应边相等).在△ABD与△DCA中,DB=AC(已知)
AB=DC(已知)
AD=DA(公共边),∴△ABD≌△DCA(S.S.S)
∴∠BAD=∠CDA(全等三角形的对应角相等).【说明】 本例是证明两个角相等,比较自然
地会想到利用三角形全等.但通过分析,发现需要
证两次三角形全等,有一定难度.对本例还介绍了
通过构造等腰三角形来进行证明的第二种方法.两种方法都需要添加辅助线构造三角形,第一种
方法的证明过程相对复杂些,但较第二种方法容
易想到.
怎样添置辅助线要在以后的学习中不断实践、探索、领悟,要重视图形的运动对添线的启示,而构造基本图形以及补全图形是常用的添线方法.2.反馈练习,巩固知识
(1)已知:如图,AC与BD相交于点O,且AC=BD,AD=BC.求证:OA=OB.(第1题)B D E C(第2题)
(2)已知:如图,点D、E在BC上,AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE.3、课堂小结
你能讲一讲,证明角相等,一般可以采用什么方法吗?
4、布置作业
练习册.