几何证明知识点（范文模版）

第一篇：几何证明知识点（范文模版）

几何证明知识点

命题和证明

1、判断一件事情的句子，叫做命题。判断为正确的命题叫做真命题；判断为错误的命题叫做假命题。

2、数学命题通常由题设、结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。因此命题可以写成“如果······，那么······”的形式。

3、人们从长期实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始数据。

4、有些命题是从公理或其他真命题出发，用推理的方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。

证明举例

1、由题设、定义以及已被确定的公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。

2、真命题的证明一般包括“画图、写已知求证、证明”三个基本步骤。“画图和已知求证”通常是告诉大家的，因此不必书写。

3、几何证明没有固定的方法可循，因此只能在训练的过程中，积累一般分析方法和思维方法。例如：证明线段、角相等的一般途径有哪些？证明两直线平行、垂直的一般途径有哪些？常用的添加辅助线的方法有哪几种？等等。

逆命题和逆定理

1、在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

2、如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。

3、每个命题都有逆命题，但每个定理不一定都有逆定理。

线段的垂直平分线

1、定理：线段垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

2、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3、线段垂直平分线可以看作和一条线段两个端点距离相等的点的集合。

角的平分线

1、角的平分线的概念：从角的顶点出发，等分这个角的射线，叫做这个角的平分线。

2、角是轴对称图形，它的对称轴是这个角的平分线所在的直线。

3、角的平分线性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

4、角的平分线性质的逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

5、角的平分线可以看作这个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的集合。

轨迹

1、点的轨迹：符合某些条件的所有的点的集合叫做点的轨迹。

2、基本轨迹

（1）和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。

（2）在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。

（3）到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆。

3、交轨法：先找出符合一部分作图要求的点的轨迹，再找出符合另一部分作图要求的点的轨迹，然后得出这两个轨迹的交点。这种利用轨迹相交进行作图的方法叫做交轨法。

直角三角形全等的判定

1、直角三角形是特殊的三角形，对于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都适用。

2、直角三角形全等的判定定理

定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为H.L.）。

直角三角形的性质

直角三角形的性质，可以从它的角、边以及特殊线段之间构成的各种关系的特征去理解。

1、定理1：直角三角形的两个锐角互余。

2、定理2：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30。

勾股定理

1、在直角三角形中，斜边大于直角边。

2、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。

4、勾股定理及其逆定理在实际生活中有着广泛的应用。

两点的距离公式

在直角坐标平面内：

1、x轴或平行于x轴的直线上的两点P1(x1,y)，P2(x2,y)间的距离P1P2x1x2。

2、y轴或平行于y轴的直线上的两点Q1(x,y1)，Q2(x,y2)间的距离

Q1Q2y1y2。

22PQxyy3、在x轴上一点P与在轴上一点之间的距离(x,0)Q(0,y)111111114、任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)之间的距离公式是AB(x1x2)2(y1y2)2

第二篇：几何证明选讲--知识点1

几 何 证 明 选 讲

1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段___.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________。

推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________。

2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段____________。

3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于_______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；

两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项。

5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半。

圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______。

o推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是_______；90的圆周角所对的弦是________。

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________。

6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：

圆的内接四边形的对角_______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_________。

如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点__________；

如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________。

7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________。

推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过________；经过切点且垂直于切线的直线必经过______。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的__________。

8.相交弦定理：圆内两条相交弦，________________________________的积相等。

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，________________________________的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是________________________________的比例中项。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_____;圆心和这点的连线平分_______的夹角。

补充：垂径定理：垂直弦等价于平分弦

补充1 同一个线段对的两个角相等，则四点共圆

补充2 角的平分线分对边的比等于该角临边的比值

ABBD4．在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，求证：.ACDC

第三篇：几何证明

1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________.推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________.2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段___________.3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于

_________________；

相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项.5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半.圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数.推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______.o推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是____；90的圆周角所对的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________.6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：

圆的内接四边形的对角______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_____.如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点______；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________.7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________.推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______；经过切点且垂直于切线的直线必经过______.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________.8.相交弦定理:圆内两条相交弦，_____________________的积相等.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，_____________的两条线段长的积相等.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是__________的比例中项.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____；

圆心和这点的连线平分_____的夹角.

第四篇：几何证明

龙文教育浦东分校学生个性化教案

学生：钱寒松教师：周亚新时间：2010-11-27

学生评价◇特别满意◇满意◇一般◇不满意

【教材研学】

一、命题

1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．

2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果„„，那么„„”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．

3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．

二、互逆命题

1．概念：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个

命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题．

2．说明：

（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；

（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；

（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．

三、互逆定理

1．概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．

2．说明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理．

所以∠C=∠C’=90°，即△ABC是直角三角形．

【点石成金】

例1． 指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．

（1）两直线平行，同旁内角互补；

（2）直角三角形的两个锐角互余；

（3）对顶角相等．

分析：解题的关键是找出原命题的题设和结论，然后再利用互逆命题的特征写出它们的逆命题．

（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．

（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．

（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是课题：几何证明

对顶角”．

名师点金：当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果„„，那么„„”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可．

例2．某同学写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是“如果一个三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，你认为他写得对吗?

分析：写出一个命题的逆命题，是把原命题的题设和结论互换，但有时需要适当的变通，例如“等腰三角形的两底角相等”的逆命题不能写成“两底角相等的三角形是等腰三角形”，因为我们还没有判断出是等腰三角形，所以不能有“底角”这个概念．

解：上面的写法不对．原命题条件是直角三角形，斜边是直角三角形的边的特有称呼，该同学写的逆命题的条件中提到了斜边，就已经承认了直角三角形，就不需要再得这个结论了．因此，逆命题应写成“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”．

名师点金：在写一个命题的逆命题时，千万要注意一些专用词的用法．

例3．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：① AB=AC；②AD=AE；③ ∠1=∠2；④BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题(要求写出已知，求证及证明过程)

解：选①②③作为题设，④作为结论．

已知：如图19—4—103，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

求证：BD=CE,证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD．

即∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，AB=AC．∠BAD＝∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（S．A．S．）∴BD=CE．

名师点金：本题考查的是证明三角形的全等，但条件较为开放．当然，此题的条件还可以任选其他三个．

【练习】

1．“两直线平行，内错角相等”的题设是____________________，结论是_________________________

2．判断：（1）任何一个命题都有逆命题．()

（2）任何一个定理都有逆定理．()

【升级演练】

一、基础巩固

1．下列语言是命题的是()

A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗

C．延长线段AD到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等

2．下列命题的逆命题是真命题的是()

A．直角都相等B．钝角都小于180。

龙文教育浦东分校个性化教案ABDEC.cn

C．如果x+y=0，那么x=y=0D．对顶角相等

3．下列说法中，正确的是()

A．一个定理的逆命题是正确的B．命题“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命题是正确的C．任何命题都有逆命题

D．定理、公理都应经过证明后才能用

4．下列这些真命题中，其逆命题也真的是()

A．全等三角形的对应角相等

B．两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形

C．等边三角形是锐角三角形

D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

5．证明一个命题是假命题的方法有__________．

6．将命题“所有直角都相等”改写成“如果„„那么„”的形式为___________。

7．举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题。

二、探究提高

8．下列说法中，正确的是()

A．每个命题不一定都有逆命题B．每个定理都有逆定理

c．真命题的逆命题仍是真命题D．假命题的逆命题未必是假命题

9．下列定理中，没有逆定理的是()

A．内错角相等，两直线平行B．直角三角形中两锐角互余

c．相反数的绝对值相等D．同位角相等，两直线平行

三、拓展延伸

10．下列命题中的真命题是()

A．锐角大于它的余角B．锐角大于它的补角

c．钝角大于它的补角D．锐角与钝角之和等于平角

11．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中，正确命题的个数为()

A．0个B．1个C．2个D．3个

龙文教育浦东分校个性化教案

第五篇：几何证明

几何证明

1.如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30 o，求∠EAD、∠DAC、∠C的度数

2.已知∠BED=∠B+∠D，试说明AB与CD的位置关系

3.如图，EB∥DC，∠C=∠E，请你说出∠A=∠ADE的理由。

4.如图，已知AB//CD，AE//CF，求证：BAEDCF

AEFCD B

5.如图，AB//CD，AE平分BAD，CD与AE相交于F,CFEE。求证：

AD//BC。

6.如图，已知AB//CD，B40，CN是BCE的平分线，

A

D

F

B

C

E

CMCN，求BCM的度数。

7.如图若FD//BE，求123的度数

A

N

M

C

D

E

第三题

o

8.如图已知CAOC，OC平分AOD，OCOEC63求D，BOF的度

数

第四题

9.已知如图DB//FG//EC，若ABD60，ACE36AP平分BAC求PAG的度数

第五题

10.，已知如图AC//DE，DC//FE，CD平分BCA，那么EF平分BED？为什么？

B

11.1）已知三角形三边长分别是4,5,6-x,求x的取值范围

（2）已知三角形三边长分别是m，m-1，m+1，求m的取值范围

oo

12.在ABC中，B70BAC:BCA3:2，CDAD垂足为D且ACD35

oo

求BAE的度数

A50oD44 13.已知AC，BD交与O，BE，CE分别平分ABD,ACD且交与E，o

求E的度数。

E

o

14.ACE90AC=CE，B为AE上的一点，EDCB于D，AFCB交CB的延长

线于F，求证：AF=CD

第22题

15，已知AB=CD，BC=DA，E，F为AC上的两个点，且AE=CF，求证BF//DE

第23题

16.AD，BC交于D，BEAD于E,DFBC于F且AO=CO,BE=DF,求证 ＡＢ＝ＣＤ

o

17.中AB=AC，BAC90分别过BC做过A点的直线的垂线，垂足为D,E,求证DE=BD+CE

第25题