初二数学《证明举例》

第一篇：初二数学《证明举例》

初二数学《证明举例》

课题：22.4证明举例（4）

一、教案设计思考与亮点

教案设计思考：本节内容为证明举例的第四课时，用二次三角形全等来证明有关问题，教案的设计力求通过师生生动活泼的问题研究，不生搬硬套固定的解题模式，让学生亲身经历问题的解决与创设过程。教学中，随着问题的提出、分析和解决，构建积极进取的学习氛围，整个一堂课，始终是在师生的默契配合下进行，师生思维协调同步，处于“共鸣”状态，从而大大提高了课堂教学质效。

教案设计亮点：

1、教学过程中，设计了开放性问题，既可以消除学生“模仿例题”的习惯，又可以克服学生被动学习的弊端，有利于培养学生个性，发挥每个学生的聪明才智，更好地培养他们的思维品质。

2、教学过程中，设计了对例题的简单变式训练，引导学生进行猜想与验证，同时引导学生修正猜想。

二、教学目标：

1、知识目标：（1）尝试命题教学，学生掌握文字命题的证明步骤。

（2）会用二次三角形全等证明几何问题。

2、能力目标：（1）了解猜想证明与反驳、优化的数学思想方法。

（2）经历了命题的证明过程，学生逐步学会分别从题设和结论

出发，寻求论证思路的综合分析方法。

3、情感目标：注重对学生思维品质的培养，鼓励学生进行有效的合作学习。

三、教学重、难点：重点：用二次三角形全等进行几何证明。

难点：举出反例说明一个命题是假命题。

四、教学过程：

今天这一节课，我们继续来学习几何证明。（写课题）

一、文字命题证明

请同学们看这样一道例题：

例7：求证：有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等。

（一）提问：

1、文字命题的证明有哪些步骤？

2、这个命题的题设与结论分别是什么？

（二）学生动手操作：

完成画图，写已知和求证。

（学生完成，教师巡视，并抽一份点评，尽量让学生自己发现问题并

解决和完善）AA’

’

DD’

已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，AB= A’B’,BC= B’C’,AD、A’D’分别是

BC和B’C’边上的中线，AD＝A’D’。

求证：△ABC≌△A’B’C’

[归纳小结]

对于文字命题，我们先要读懂题意，正确理解其中的内涵，再着手

解题。

（三）讨论与分析：

我们如何来证明△ABC≌△A’B’C’，用什么方法？同学投入讨论。

（学生思考并讨论，互相启发，自我教育，然后小组选代表汇报解题思路。）追问学生：

1、你怎么想到证∠B＝∠B’？

2、如何证得BD’=B’D’？

你们能自己完成这道题的证明了吗？

（四）独立书写证明过程：

证明：∵AD、A’D’分别是BC和B’C’边上的中线（已知）

∴BD=

1212BC，B’C’＝B’C’（三角形中线定义）

又∵BC= B’C’（已知）

∴BD= B’D’（等式性质）

在△ABC和△A’B’C’中

’D’（已知）

’B’（已知）

AD＝A’D’（已知）

∴△ABC≌△A’B’C’（S • S • S）

∴∠B＝∠B’（全等三角形对应角相等）

在△ABC和△A’B’C’中

’B’（已知）

∠B＝∠B’（已证）

BC= B’C’（已知）

∴△ABC≌△A’B’C’（S • A • S）

（可能还有学生通过证AC= A’C’，从而得到△ABC≌△A’B’C’。此时教

师均给予肯定，然后指出在具体解决问题的过程中，要善于选择简捷的方法，培养学生优选的数学思想。）

（五）[归纳小结]

在这个命题的证明过程中，有两次证明三角形全等，其中第一次证

明所得的两角相等，成为第二次证明三角形全等的条件，这种将上一步推理所得的结论作为下一步推理条件的情况，在证明过程中常常会遇到。

二、变式训练

（一）完成了上述命题的证明：若将其中“一边上的中线”改成“一边上的高”，命题是否成立？

（学生独立思考，并请一位同学上黑板画图）

估计学生回答此命题仍成立，请学生说明理由。

老师问还有没有其它意见？

若学生没有意见，教师进行反驳，将学生所画的图作如下改变：

’（通过老师画图操作，学生观察分析，从而获得直观的认识）然后提问：

1、观察△ABC≌△A’B’C’中条件是否符合题意？

2、此时，△ABC≌△A’B’C’吗？为什么？

3、老师是用什么方法说明这是个假命题的？

（二）思考题：（让学有余力的同学进行再思考）

1、修正上述命题，使之成为真命题。

2、若改变“一边上中线”为“一角平分线”，其它条件作怎样变化，命题仍

成立，留作同学课外思考。

[归纳小结]

由上可见，我们在思考问题时既要积极大胆，又要注意思维的严密

性，不断优化我们的思维方式。

三、巩固练习：

如图：已知：点D、E分别在AB、AC上，BE和

相交于O点，且DB=EC，要证明OB=OC，还需要增加什么条件？

BC

（一）放手发动学生积极参与讨论，大胆思维，勇于探索。

（二）鼓励学生敢于发表见解，善于发表见解。

（三）学生提出的问题，还是由学生自己来评判是否正确。

（通过开放性练习，让学生探究尝试，调动学生学习的积极性，培养

学生发散性思维和逆向性思维的能力。）

四、课堂小结：

（先由学生小结，然后老师作点评和补充。）

这节课我们学到了些什么？

1、文字命题证明步骤。

2、二次三角形全等证明有关问题。

3、证明假命题的方法——举反例。

4、良好思维品质的培养。

五、作业布置：

1、课本练习及练习册练习

2、有兴趣的同学继续考虑：

（1）有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等吗？

（2）类似的角平分线、高有没有这样的性质呢？

五、教案说明

课堂教学是有效地开展师生双边活动的主阵地，在教师的主导作用下，广泛地让学生参与，积极思考，亲自实践，培养学生的自我意识、竞争意识和创新意识，发展学生的创造性思维，这是素质教育的要求之一。所以，我在教学过程中，让学生充分的动手、动脑，自由的讨论，在此基础上进行分析与研究，以激发学生学习的主动性，同时通过变式训练及开放性练习，不断开发学生的潜能，注重对学生思维品质的培养，从而提高分析问题，解决问题的能力。

本节内容为22.4证明举例的第四课时，用二次三角形全等来证明有关问题，为了分散难点，先复习了命题的证明步骤，再安排学生根据题意画图并写已知与求证，然后让学生在思考讨论的基础上分析解题思路，突出分析与综合的思想方法，最后独立写证明过程。整个例题基本上是由学生解决的，老师在其中作适当的分析、点评，从而培养学生对问题的观察、比较分析及综合演绎的能力。

由对例题的简单变换，引导学生进行猜想与验证，同时引导学生修正猜想。其中渗透猜想与反驳的数学思想，注重对学生思维品质的培养。之后又进一步提出问题，让学有余力的学生课外有深入的思考余地。这样的处理，使例7与练习第一题成为一个整体，而练习2的思维方式与例7相同，作为课后作业是对知识

进行巩固。

最后一道题则是提高要求，少给一个条件，进行开放性思维训练、要学生通过讨论，大胆探索，提出所增加的条件，再由学生来判断其正确性。这样学生的积极性得到充分的调动，更增添学生学习数学的兴趣，从而培养学生发散思维与逆向思维的能力。本堂课小结基本上由学生完成，使学生明白通过努力，收获还是很多的，同时也培养了学生对知识的概括归纳能力。

六、教学反思

综观本节课的课堂教学，我认为教学其实施过程比较顺利，并能有效地开展教学双边活动。其中学生始终是课堂教学的主人，在教师的调动下，学生积极参与课堂教学活动，学习的主动性与积极性得到充分的发挥。

在教学中，凡是能让学生自己去获取知识的内容，我都给学生提供机会，大胆地放，如例题教学中，命题证明要先根据题意画图，写已知、求证、再进行证明，我就放手让学生操作，然后分析解题思路让学生讲，疑点让学生议，错如让学生剖析，最后加以修正。这样，使新知识易掌握，错误易暴露，也利于及时纠正反馈，同时，对发展学生的逻辑思维能力是十分有利的，从而使例题教学显得充实、有效。

把例题简单变式后，提出问题“此时命题还是否成立？”其实这是老师有意设计的一个问题，我先让学生猜想认可，学生均自以为判断是正确的。然后教师平等地参与学生一起也发表见解，通过老师实际画图，学生观察分析，直观地认识到结论不成立，再来分析原因，从而引起学生的重视与反思。这样的反例反驳，学生不仅错明确误之处，而且更明确用举反例证明假命题的方法，从而得出与原来不同的结论。这样使学生在今后解题过程中，不仅要敢于探索，大胆思维，同时也要注意思维的严密性与批判性，从而培养良好的思维品质，不断优化思维方式。

巩固练习是属于“从不变的结论来探索使结论成立的已知条件”的编题，其题型结构是：

条件条件条件结论

条件（不变）

条件条件（学生探索）

缺条件，当然要设定，而且有多种可能性，这样的开放性问题要求学生从条

件方面进行思维和纵向发散，而这种思维的发散需要先进行广泛的逆向联想，再进行正向的验证，颇具挑战性，很容易激起学生“跃跃欲试”的情感和对数学知识的浓厚兴趣，从而打破学生的思维定势，开阔思维。在整个教学过程中，由于教师的鼓励，适时的引导，使学生敢于创新，大胆创造，特别是增加了“BE=DC”这个条件，它的证明需添设辅助线，此时由于学生的思维始终处于兴奋状态，就很自然地想到了解决的办法，进而提高了学生分析问题、解决问题地能力，从中得到了“以思维的逆向性和变通性”为主的思维转换能力的培养。

从当堂学生的各种反馈及课后的作业来看，本节课完成了教学任务，达到了教学目的与要求，特别注重了思维力度与品质的培养，但在教学过程中，对某些问题的问法设计上还有待改进。

第二篇：沪教版_初二数学几何证明举例

1.已知：如图1，AD是BC上的中线，且BE∥CF.求证：DF=DE.2.已知：如图2，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点E、F

在AD上，∠ABE=∠DCF.求证：BE∥CF.3.已知：如图3，在△ABC中，EF∥BC，∠1=∠2，D是EF中点。

求证：AE=AF.4.已知：如图1，AB∥CD，BE、DE分别是∠ABD、∠BDC的平分线.求证：BE⊥

DE.5.已知：如图2，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：AO⊥BC.6.如图3，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E.1)若BC在DE的同侧(如图①)且AD=CE，求证：BA⊥AC.2)若BC在DE的两侧(如图②)其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是，请予证明，若不是请说明理由.7.已知：如图1，AB=CD，AD=BC，AE=CF.B、A、E三点

共线，D、C、F三点共线.求证：∠E=∠F.8.已知：如图2，AB=AC，∠A=90°，AE=BF，BD=DC.求证：FD⊥ED.9.已知：如图3，AC=BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B.求证：AD=BC.10.已知：如图1，在△ABC中，∠C=2∠B，AD⊥BC.求证：AC=BD-DC

11.已知：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证：AC=BF.12.已知：如图3，正方形ABCD中，点F在DC上，E在BC上，∠EAF=45°.求证：EF=BE+DF.

第三篇：初二数学份证明

八年级证明

（一）单元测试

一、填空题

1.命题“任意两个直角都相等”的条件是________，结论是___________，它是________（真或假）命题

.图6－77

2.如图6－77，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，则：∠1+∠2+∠3=________.3.在△ABC中，∠C=2（∠A+∠B），则∠C

=________.图6－78

4.已知，如图6－78，AB∥CD，BC∥DE，那么∠B+∠D=__________.5.已知，如图6－79，AB∥CD，若∠ABE=130°,∠CDE=152°,则∠BED

=__________.图6－79图6－80

二、选择题

1.下列语言是命题的是

A.画两条相等的线段

B.等于同一个角的两个角相等吗？

C.延长线段AO到C，使OC=OA

D.两直线平行，内错角相等.2.如图6－80，△ABC中，∠B=55°,∠C=63°,DE∥AB,则∠DEC等于

A.63°B.62°

C.55°D.118°

3.下列语句错误的是

A.同角的补角相等

B.同位角相等

C.同垂直于一条直线的两直线平行

D.两条直线相交只有一个交点

三、解答题

1.举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题.图6－8

12.已知，如图6－81，AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=26°,求 1∠C.2四、证明题

1.已知，如图6－82，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C.求证：∠1=∠2.图6－8

22.已知，如图6－83，△ABC中，∠C>∠B,AD⊥BC于D，AE平分∠BAC.求证：∠DAE=（∠C－∠B）.12

图6－8

3参考答案：

一、1.两个角都是直角这两个角相等真

2.90°3.120°4.180°5.78°

二、1.D2.B3.B

三、1.如：60°和50°都是锐角，但它们的和是钝角.2.解：∵AE∥BD.∴∠1=∠

3∵∠3=∠2+∠C

∴∠C=∠3－∠

2∵∠3=∠1=3∠2

∴∠C=3∠2－∠2=2∠2 1∠C=∠2=26° 2

四、1.证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）

∴AD∥EF（垂直于同一条直线的两直线平行）∴∠2=∠CAD（两直线平行，同位角相等）∵∠4=∠C（已知）

∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）

∴∠1=∠CAD（两直线平行，内错角相等）∴∠1=∠2（等量代换）

2.证明：∵AD⊥BC于D（已知）

∴∠ADC=∠ADB=90°（垂直的定义）

∵AE平分∠BAC（已知）

1∴∠CAE=∠BAC（角平分线的定义）2

∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形内角和定理）1∴（∠B+∠BAC+∠C）=90°（等式的性质）2

∵∠1+∠DAE=∠CAE（已知）

∴∠DAE=∠CAE－∠1 1=∠BAC－（90°－∠C）2

11=∠BAC－［（∠B+∠BAC+∠C）－∠C］ 22

1111=∠BAC－∠B－∠BAC－∠C+∠C 2222

1=（∠C－∠B）（等式的性质）2

1即：∠DAE=（∠C－∠B）.2∴

第四篇：初二数学几何证明

1.已知△ABC是等边三角形，D是BC边延长线上一点，以AD为边作等边三角形ADE。连接CE.求证：CE平分∠ACD

E

A

BCD

2.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB边上的一点，AE=AC，EF∥BC交AC于点F.求证：∠DEC=∠FEC

.3.已知△ABC、△DBE、△CEF是等边三角形，求证：四边形ADEF是平行四边形.A

D

F

BC

4.如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC, ∠B的平分线与AC交于点D，过点C作CH⊥BD，H为垂足。试说明BD=2CH。

A

21C

5.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，过C点在△ABC形外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．

(1)求证：

MN=AM+BN

(2)△ABC内，∠ACB=90°，AC=BC若过C点在△ABC内作直线MN，当MN位于何位置时，AM，BN和MN满足MN=AM-BN，并证明之．

6.“等腰三角形两腰上的高相等”

(1)根据上述命题，画出相关图形，并写出“已知’’“求证”，不必证明．(2)写出上述命题的逆命题，并加以证明．

7.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，D、E、F分别是AB、BC、AC上的点，DE、DC、DF将△ABC分成四个全等的三角形，△ABC的周长是1 2厘米，求由DF、CD、DE所分成的各个小三角形的周长．

8.如图，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，EF⊥BD，垂足为F．求证：BF=DF．

B

FA

D

C

9.已知，如图正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，AF和DE交于点P． 求证：

CP=CD

10.如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥ AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于H，∠A=60°．DH =2,EH=1(1)求BD和CE的长．

(2)若∠ACB= 45°，求△ABC的面积．

11.如图，△ABC中，AD是∠BAC内的一条射线，BE⊥AD于E,CF⊥AD于F，点M 是BC的中点．求证：EM=FM

A

B

E

C

12.中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。你能根据这幅“勾股圆方图”证明勾股定理吗？（图中4个直角三角形全等）

13.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1A1A2A2A3A7A81，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：

A8

A

3ICME-7

21图甲图乙

（）12，S1

;(2)13,S2

;(3)14,S3

;„„

（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；

2222

（3）求出S1S2S3S10的值。

1.如图，在△ABC中，∠

A=90°，ABAC，BD平分∠ABC交AC于点D，若AB2cm.求：AD的长,2．在Rt△ABC中，∠C=90°，中线AD的长为7，中线BE的长为4.求：AB的长 3．四边形中，∠A=60

°，∠B=∠D=90°，AB2,CD1.(1)求BC、AD的长（2）

求四边形ABCD的面积.

第五篇：初二数学讲义证明

初二数学春季讲义（4）证明

一、识点归类 知识点四证明

1、从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。

注意：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。知识点五反证法

步骤：①假设原命题的结论不成立，得出“反面”②从“反面”出发，推出矛盾，因此否定“反面”③既然假设是错误的，所以原命题正确。举反例（用来证明假命题）

1．要想说明一个命题是假命题，只需举个反例。举反例的要求是：命题的条件，而命题的结论。举反例说明下列命题是假命题：

（1）对于不为零的实数c，关于x的方程

3．如图，AB // CD，MP // AB，MN平分AMD，A35，D40，求

4.点为O，E是AC•交BD于F，则OE=OF．（1）证明上述命题．

（2）对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，请画出图形，则结论“OE＝OF”还成立吗？若成立，请你证明，若不成立请说明理由．

x

c

c1的根是c。x

（2）有两边和一角对应相等的两个三角形全等。

证明题（直接证明）2.已知：如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1＝∠2．

求证：AD平分∠BAC.填写分析和证明中的空白． 分析：要证明AD平分∠BAC，只要证明__________＝____________，而已知∠1＝∠2，所以应联想这两个角分别和∠

1、∠2的关系，由已知BC的两条垂线可推出________∥_________，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论． 证明：

5.在ΔABC中AB=AC,∠BAC=90,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F ⑴求证：PE=PF。

⑵已知AF=12,CF=5.求ΔPEF的面积。

6．如图，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，以对角线BD为边作正三角形BDE，过E作DA的延长线的垂线EF，垂足为F。

（1）找出图中与EF相等的线段，并证明你的结论；（2）求AF的长。

7．如图，ΔABC中，∠A=60°，BE、CD分别平分

∠ABC和∠ACB，交点为P。请证明：BC=BE+CD。

A

E

B

D

C

8．如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同速度作直线运动．已知点P沿线段AB运动，点Q沿边BC的延长线运动(当点P运动到点B时两点即停止运动)，PQ与直线AC相交于点D．

(1)设AP的长为x，△PCQ的面积为S．求出S关于x的函数关系式；

(2)问是否存在x的值,使S△PCQ=S△ABC?若存在,请求出x的值;若不存在,说明理由.(3)作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变?证明你的结论．

2用反证法证明专题 14．求证：若n为自然数，则nn2不能被1

59．用反证法证明：“三角形中必有一个角不大于

整除 60°”，第一步先假设

10．已知：如右图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥

l2，13与11相交于点P.求证：13与l2相交．

证明：假设，即∥，又∵∥（已知），∴过直线12外一点有两条直线11,13与直线12平行，这与“”

15.证明：2不是有理数

相矛盾，∴假设不成立，即求证的命题成立，∴13与12相交．

11．已知:a,b是实数,且满足ab=0, 求证:a、b中至少有一个为0

12．求证:一个三角形中，至少有一个内角不小于

16.已知实数ｐ满足不等式（2x1)(x2)0,用反证法证明：关于x的方程x22x5p20无实根.17.求证：当x+bx+c=0有两个不相等的非零实数根时，必有bc≠0．

13．求证：两条相交直线只有一个交点.