§5.6几何证明举例

第一篇：§5.6几何证明举例

年级八年级学科数学第五 单元第 8课时总计课时2013年 11月 4日

§5.6几何证明举例（2）

课程标准：掌握等腰三角形的性质和判定定理，了解等边三角形的概念并探索其性质。学习目标：

1.学生会根据三角形全等推导等腰三角形的性质。

2.熟练掌握应用等腰三角形的性质定理。

3.掌握等边三角形的性质，并会运用判定等边三角形。

学习重点难点：

等腰三角形的性质定理和判定定理。

我的目标以及突破重难点的设想：

学前准备：

学情分析：

学案使用说明以及学法指导：

预习案

一、教材助读

1、等腰三角形的性质是什么？判定是什么？

2、等边三角形的性质和判定是什么？

探究案

探究一：等腰三角形的性质

（1）“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？怎样证明。

（2）在右图等腰△ABC中，AB=AC.AD为BC边上的高

∠1与∠2有什么关系？BD与CD有什么关系？

你能得出什么结论？试着总结一下。

探究二：等腰三角形的判定（合作交流）

（3）说出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题？

（4）这个逆命题是真命题吗？怎样证明它的正确性？

课型：新授执笔：马海丽审核： 滕广福韩增美

（5）求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形

已知：

求证：

点拨：注意条件中为什么是两个“角”，不是两个“底角”。

三、精讲点拨：

1、等腰三角形的性质：

性质1：

性质2：

2、数学语言叙述：

性质1：性质2：

∵AB=AC∵AB=AC

∴∠B= ∠C① AD平分∠BAC

（等边对等角）

(①,② ,③均可作为一个条件，推出其他两项)

（三线合一）

3、总结等边三角形的性质以及判定（学生小组讨论，写出他们的证明过程）

四、应用新知

例

2、已知，如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F。

求证：AD=AF。

点拨：以后证明线段相等或角相等时，除利用三角形全等外，还可以利用等腰三角形的性质和判定。

五、课堂小结：

训练案

课本180页 练习1,2题

我的反思：

第二篇：5.6几何的证明举例

5.6几何证明举例

（二）诸冯学校 备课组

学习目标：

1、进一步学习几何证明的思路和步骤；

2、牢固掌握等腰三角形的性质及判定，等边三角形的性质及判定，并

能够熟练地应用它们进行相关的证明与计算。

重点：等腰三角形的性质及判定

难点：等腰三角形的性质地应用。

学习过程：

一、温故知新：等腰三角形的对称轴是，由轴对称的性质，你认为等腰三角形两个底角大小有什么关系？

二、创设情境：你会用所学的知识证明你的结论吗？自主学习课本P177——179内容，独立完成课后练习1、2后，与小组同学交流.通过学习等腰三角形的性质，请思考以下问题：

1、等腰三角形的顶角是45゜，则底角是（）。

2、三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，则这个三角形一定是（）。

三、挑战自我：自学课本180页挑战自我，小组讨论，展示。

四、巩固提升：

1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）

（A）60°（B）120°（C）60°或150°（D）60°或120

2.已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）

（A）12或9（B）12（C）9（D）7

3.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（）

（A）44°（B）68°（C）46°（D）22°

4、如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，则图中等腰三角形共有个.（第4题）

四、课堂小结：同学们本节课的学习，你收获吗？

五、达标检测

1、如图，△ABC是等边三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分线，则下列结论正确的是（）

（A）△ABC≌△AED（B）△AED是等边三角形（C）∠EAB＝60°（D）AD＞DE2、如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD，则下列结论正确的是（）

（A）△CDE是等边三角形（B）DE＝AB（C）点D在线段BE的垂直平分线上（D）点D在AB的垂直平分线上

3、已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E。

求证：△ADE是等边三角形。

六、布置作业

七、教学反思

C

D（第1题）

（第2题）E E

第三篇：沪教版_初二数学几何证明举例

1.已知：如图1，AD是BC上的中线，且BE∥CF.求证：DF=DE.2.已知：如图2，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点E、F

在AD上，∠ABE=∠DCF.求证：BE∥CF.3.已知：如图3，在△ABC中，EF∥BC，∠1=∠2，D是EF中点。

求证：AE=AF.4.已知：如图1，AB∥CD，BE、DE分别是∠ABD、∠BDC的平分线.求证：BE⊥

DE.5.已知：如图2，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：AO⊥BC.6.如图3，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E.1)若BC在DE的同侧(如图①)且AD=CE，求证：BA⊥AC.2)若BC在DE的两侧(如图②)其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是，请予证明，若不是请说明理由.7.已知：如图1，AB=CD，AD=BC，AE=CF.B、A、E三点

共线，D、C、F三点共线.求证：∠E=∠F.8.已知：如图2，AB=AC，∠A=90°，AE=BF，BD=DC.求证：FD⊥ED.9.已知：如图3，AC=BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B.求证：AD=BC.10.已知：如图1，在△ABC中，∠C=2∠B，AD⊥BC.求证：AC=BD-DC

11.已知：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证：AC=BF.12.已知：如图3，正方形ABCD中，点F在DC上，E在BC上，∠EAF=45°.求证：EF=BE+DF.

第四篇：几何证明

1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________.推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________.2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段___________.3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于

_________________；

相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项.5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半.圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数.推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______.o推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是____；90的圆周角所对的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________.6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：

圆的内接四边形的对角______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_____.如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点______；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________.7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________.推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______；经过切点且垂直于切线的直线必经过______.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________.8.相交弦定理:圆内两条相交弦，_____________________的积相等.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，_____________的两条线段长的积相等.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是__________的比例中项.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____；

圆心和这点的连线平分_____的夹角.

第五篇：几何证明

龙文教育浦东分校学生个性化教案

学生：钱寒松教师：周亚新时间：2010-11-27

学生评价◇特别满意◇满意◇一般◇不满意

【教材研学】

一、命题

1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．

2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果„„，那么„„”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．

3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．

二、互逆命题

1．概念：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个

命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题．

2．说明：

（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；

（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；

（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．

三、互逆定理

1．概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．

2．说明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理．

所以∠C=∠C’=90°，即△ABC是直角三角形．

【点石成金】

例1． 指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．

（1）两直线平行，同旁内角互补；

（2）直角三角形的两个锐角互余；

（3）对顶角相等．

分析：解题的关键是找出原命题的题设和结论，然后再利用互逆命题的特征写出它们的逆命题．

（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．

（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．

（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是课题：几何证明

对顶角”．

名师点金：当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果„„，那么„„”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可．

例2．某同学写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是“如果一个三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，你认为他写得对吗?

分析：写出一个命题的逆命题，是把原命题的题设和结论互换，但有时需要适当的变通，例如“等腰三角形的两底角相等”的逆命题不能写成“两底角相等的三角形是等腰三角形”，因为我们还没有判断出是等腰三角形，所以不能有“底角”这个概念．

解：上面的写法不对．原命题条件是直角三角形，斜边是直角三角形的边的特有称呼，该同学写的逆命题的条件中提到了斜边，就已经承认了直角三角形，就不需要再得这个结论了．因此，逆命题应写成“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”．

名师点金：在写一个命题的逆命题时，千万要注意一些专用词的用法．

例3．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：① AB=AC；②AD=AE；③ ∠1=∠2；④BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题(要求写出已知，求证及证明过程)

解：选①②③作为题设，④作为结论．

已知：如图19—4—103，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

求证：BD=CE,证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD．

即∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，AB=AC．∠BAD＝∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（S．A．S．）∴BD=CE．

名师点金：本题考查的是证明三角形的全等，但条件较为开放．当然，此题的条件还可以任选其他三个．

【练习】

1．“两直线平行，内错角相等”的题设是____________________，结论是_________________________

2．判断：（1）任何一个命题都有逆命题．()

（2）任何一个定理都有逆定理．()

【升级演练】

一、基础巩固

1．下列语言是命题的是()

A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗

C．延长线段AD到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等

2．下列命题的逆命题是真命题的是()

A．直角都相等B．钝角都小于180。

龙文教育浦东分校个性化教案ABDEC.cn

C．如果x+y=0，那么x=y=0D．对顶角相等

3．下列说法中，正确的是()

A．一个定理的逆命题是正确的B．命题“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命题是正确的C．任何命题都有逆命题

D．定理、公理都应经过证明后才能用

4．下列这些真命题中，其逆命题也真的是()

A．全等三角形的对应角相等

B．两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形

C．等边三角形是锐角三角形

D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

5．证明一个命题是假命题的方法有__________．

6．将命题“所有直角都相等”改写成“如果„„那么„”的形式为___________。

7．举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题。

二、探究提高

8．下列说法中，正确的是()

A．每个命题不一定都有逆命题B．每个定理都有逆定理

c．真命题的逆命题仍是真命题D．假命题的逆命题未必是假命题

9．下列定理中，没有逆定理的是()

A．内错角相等，两直线平行B．直角三角形中两锐角互余

c．相反数的绝对值相等D．同位角相等，两直线平行

三、拓展延伸

10．下列命题中的真命题是()

A．锐角大于它的余角B．锐角大于它的补角

c．钝角大于它的补角D．锐角与钝角之和等于平角

11．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中，正确命题的个数为()

A．0个B．1个C．2个D．3个

龙文教育浦东分校个性化教案