《数学归纳法及其应用举例》教案

第一篇：《数学归纳法及其应用举例》教案

《数学归纳法及其应用举例》教案

云南省曲靖市第一中学

李德安

教学目标：

1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。

3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。

教学重点：

了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。

教学难点：

数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。

教学过程：

一．创设情境，回顾引入

师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？

生：因为有姓“万”的。

师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？

生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。）

师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？

生：有。例如等差数列通项公式的推导。

师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：a1a10d，a2a1d，a3a12d，a4a13d，„„归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？

生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。师：对。（投影展示有关定义）

像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。

完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？

生：（齐答）可靠。

师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？

生：不可靠。这是因为只考察了部分情况，结论不一定具有普遍性。师：是不可靠的。不妨再举一例ann1n2n3n1000容易验证a10，a20，a30，„，a10000，如果由此作出结论——对于任何nN*，ann1n2n3

n10000都成立，那就是错误的。事实上，a10011000!0。

二．设置问题，引导探究

师：请问同学们你们玩过多米诺骨牌吗？ 生：（没）玩过。（课堂气氛由刚才的沉思变得开始活跃）师：无论玩没玩过，下面我们一起来玩一下。（投影仪上进行生动、形象的骨牌演示）在观看骨牌玩法时，请思考：满足什么条件，骨牌可以全部倒下？

生：假设第kkN*张骨牌倒下，保证第k1张骨牌倒下。

师：这样就保证了可以递推下去，骨牌就可以全部倒下了，是吗？

生：不是。我们不知道第k张骨牌是否倒下了，从而我们是假设第k张骨牌倒下。若第k张骨牌倒下，需要第k1张骨牌倒下；若第k1张骨牌倒下，需要第k2张骨牌倒下，„„，最后递归到需要第1张骨牌倒下，所以，还要有一个条件：第一张骨牌倒下。

师：大家说有了这两个条件，骨牌是不是可以顺次的倒下呢？ 生：是。

师：上面同学说得很好，要使骨牌全部倒下应满足两个条件（投影显示）第一个条件是：第一张骨牌倒下；第二个条件是：假设第k张骨牌倒下，第k1张骨牌一定倒下。

现在你能不能利用这种思想（递推思想）来证明等差数列通项公式呢？是不是应该建立一种递推顺序呢？

生：n1时结论正确n2时结论正确n3时，结论正确，nk时结论正确nk1时结论正确

师：由于这个过程推理方法是一样的，能否把这个过程一般化呢？ 生：假设nk时结论正确nk1时结论也正确。

师：这样就保证了递推。下面你能证明等差数列通项公式了吗？ 三．解决问题，引出概念（学生共答，教师板书）

证明：（1）当n1时，左边a，右边a10da1，等式是成立的。

（2）假设当nk时等式成立，就是aka1(k1)d，下面看看是否能推出nk1时等式也成立，那么ak1等于什么？

生：ak1a1(k1)1d。

师：哦！看来nk1时等式也成立，这样做对吗？ 生：（齐答）不对。

师：注意在证nk1时，一定要用到归纳假设，nk时等式成立这一步，因为这样才能保证递推，那么ak1与ak有什么关系呢？（学生齐答，教师继续板书）ak1akda1(k1)dda1(k1)1d。这就是说，当nk1时，等式也成立，大家说有了这两步，是不是就证明了等差数列通项公式的正确性了呢？

生：n1时等式成立n2时等式成立n3时等式成立„„所以n取任何正整数等式都成立。

师：这种证明方法叫做数学归纳法，那么你能谈谈什么是数学归纳法，及其用数学归纳法证题的步骤是怎样的呢？

生：（在学生交流，教师引导完善下）数学归纳法（证明一个与正整数有关的命题的步骤）是：（投影跟踪给出）。

（1）证明当n取第一个值n0（例如n01或2等）时结论正确；

（2）假设当nk（kN*，且kn0）时结论正确，证明当nk1时结论也正确。根据（1）和（2），可知命题对从n0开始的所有正整数n都正确。所以数学归纳法是证明一个与正整数有关的命题的一种方法。概括起来就是“两个步骤，一个结论。”

师：用数学归纳法证题，实质是一种什么思想？ 生：递推思想。

师：在递推中，两个步骤各起到了怎样的作用呢？

生：第一步是奠基，是递推的基础，第二步是保证能够递推，是递推的依据。（此时投影上注明）

师：这两步可以缺少哪一步吗？ 生：（学生举例说明，教师点评，投影上也举出实例，从而明确）两步缺一不可。

师：我们已经知道，由不完全归纳法得到的结论不可靠，因而必须作证明。若命题是与正整数有关的，证明可考虑用数学归纳法。下面请同学们看一道例题。

例1：用数学归纳法证明：1352n1n2（师生共同证题，总结出用数学归纳法证题的技巧是“一凑假设，二凑结论”。）

练习：用数学归纳法证明：

1．123n1nn1。22．12222n12n1。

3．首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是ana1qn1。

四．归纳小结，深化主题

师：本节的中心内容是什么？为什么要学习数学归纳法？什么是数学归纳法？体现什么思想？

生：（学生积极回答，从而自主地构建本节课的知识网络。）（投影展示）小结：

不完全归纳法1．归纳法

完全归纳法特点：特殊→一般

2．数学归纳法概念及证题步骤。3．数学归纳法实质是递推思想。

五．布置作业： P76 1，2

第二篇：应用举例

工作流应用情况举例

应该说，工作流软件应用的范围还是非常广泛，凡是各种通过表单逐级手工流转完成的任务均可应用工作流软件自动实现，可以考虑在以下一些方面推行工作流程自动化。

行政管理类： 出差申请，加班申请，请假申请，用车申请，各种办公工具申请，购买申请，日报周报，信息公告等凡是原来手工流转处理的行政性表单。

人事管理类： 员工培训安排，绩效考评，新员工安排，职位变动处理，员工档案信息管理等。

财务相关类： 付款请求，应收款处理，日常、差旅、娱乐报销，预算和计划申请等。客户服务类： 客户信息管理，客户投诉、请求处理，售后服务管理。其他业务流程：订单、报价处理，采购处理，合同审核，客户电话处理等等。具体举例，如：

Purchase Request、Purchase Order、Delivery Note、Payment Request、Reimbursement、Annual Leave Application、Medical Claim、Overtime Request、Going Abroad Request、Training Request、Leave Request、Air Ticket Request、Contract Pre-Approval Workflow Management、Voucher/Expense Request、Renting Car Request、Meeting Room Reservation Request、Moving/Renting Cubicle, Room Request、Visitor Request Form、Travel Request Form、Stationery Checklist For New Hire、Company Property Checklist、Exit Checklist、Employee Absence Report/Leave Application、OT Expenses Reimbursement Form、Nursery Expense Reimbursement Form、Temporary Help Request Form、Professional Affairs Request Form、Temporary Help Expenses Reimbursement Form，公文会签表、名片申请单、用章申请单、付款/结算凭证、印刷品申请表等等。

Fiance：付款申请单、采购单、交通费报销单

GA：差旅申请单、办公用品申请单、访客申请表、名片、名牌、门禁卡申请单、用章申请单、公文会签表、公司合同管理会签单 HR：领用公司财物清单、离职清单、员工休假申请表、加班申请表、加班费用报销单、员工子女托费报销单、临时雇员申请表、培训申请表、专业事务申请表、书刊请购表、临时工费用报销申请表、员工医药费报销申请表

出差(申请－报销－报告)，请购（原料包材），人力需求申请表，派车单，用印申请表，员工考核表，工作申请表，人员异动申请表，薪资异动申请表，离职辞职人员申请表，离职移交表，名片印刷申请表，一般费用报销（包含医药费报销），请款（与ERP做接口），外出登记，加班申请，请购 等

第三篇：指数对数函数应用举例教案

对数函数的应用教案

编写

林建国

审核

高一数学教研组

第1页

4.5.3对数函数的应用举例

教学目的：掌握利用指数函数和对数函数的有关知识解决一些简单的函数应用问题。教学重点：利用指数函数和对数函数的有关知识解决一些简单的函数应用问题。

教学难点：通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义；根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，根据实际问题建立数学模型。

教学方法：学导式教学法 教学过程： 1.复习

数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．今天我们就一起来探讨几个有关指数函数和对数函数的应用问题。例1.现有人口100万，根据最近20年的统计资料，这个城市的人口的年自然增长率为1.2%，按这个增长率计算：

(1)10年后这个城市的人口预计有多少万？(2)20年后这个城市的人口预计有多少万？

(3)在今后20年内，前10年与后10年分别增加了多少万人？

分析：按年自然增长率为1.2%，计算1年后该城市的人口总数为100+100×1.2% =100（1+1.2%）（万人）2年后该城市的人口总数为 100（1+1.2%）+100（1+1.2%）1.2%=100（1+1.2%）（万人）

依此…n年后该城市的人口总数为 100（1+1.2%）（万人）

解：（1）10年后该城市的人口总数为 100（1+1.2%）≈112.67（万人）

20（2）20年后该城市的人口总数为 100（1+1.2%）≈126.94（万人）（3）前10年增加的人口为112.67-100=12.67（万人）

后10年增加的人口为126.94-112.67=14.27（万人）答：…

例2.1995年我国人口总数是12亿，如果人口的自然增长率控制在1.25%。问哪一年人口总数将达到14亿？

解：设x年后人口总数将达到14亿，则有12（1+1.25%）=14 即：1.0125=两边取常用对数可得：x=log1.012510

n14 1214 ≈12.4 12 答：13年后即2008年我国人口总数将达到14亿。

例3.库存的某种商品的价值是50万元，如果每年的损耗是4.5%，那么经过多少年，它的价值将为20万元？ 对数函数的应用教案

编写

林建国

审核

高一数学教研组

第2页

解：设经过x年它的价值将为20万元，依题意有：50（1-4.5%）=20 50×0.955=20  0.955=0.4 xlog0.9550.4  x≈20

2.小结：解决数学实际问题的关键是根据实际建立数学模型。

3.作业：page79 T6 PageT9，T10

第四篇：《数学归纳法及其应用举例》教案

《数学归纳法及其应用举例》教案

教学目标：

1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。

3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。

教学重点：

了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。

教学难点：

数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。

教学过程：

一．创设情境，回顾引入

师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？

生：因为有姓“万”的。

师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？

生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。）

师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？

生：有。例如等差数列通项公式的推导。

师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：a1a10d，a2a1d，a3a12d，a4a13d，„„归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？

生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。师：对。（投影展示有关定义）

像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。

完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？

生：（齐答）可靠。

师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？

生：不可靠。这是因为只考察了部分情况，结论不一定具有普遍性。

师：是不可靠的。不妨再举一例ann1n2n3n1000容易验证a10，a20，a30，„，a10000，如果由此作出结论——对于任何nN*，ann1n2n3 n10000都成立，那就是错误的。事实上，a10011000!0。

二．设置问题，引导探究

师：请问同学们你们玩过多米诺骨牌吗？ 生：（没）玩过。（课堂气氛由刚才的沉思变得开始活跃）师：无论玩没玩过，下面我们一起来玩一下。（投影仪上进行生动、形象的骨牌演示）在观看骨牌玩法时，请思考：满足什么条件，骨牌可以全部倒下？

生：假设第kkN*张骨牌倒下，保证第k1张骨牌倒下。

师：这样就保证了可以递推下去，骨牌就可以全部倒下了，是吗？

生：不是。我们不知道第k张骨牌是否倒下了，从而我们是假设第k张骨牌倒下。若第k张骨牌倒下，需要第k1张骨牌倒下；若第k1张骨牌倒下，需要第k2张骨牌倒下，„„，最后递归到需要第1张骨牌倒下，所以，还要有一个条件：第一张骨牌倒下。

师：大家说有了这两个条件，骨牌是不是可以顺次的倒下呢？ 生：是。

师：上面同学说得很好，要使骨牌全部倒下应满足两个条件（投影显示）第一个条件是：第一张骨牌倒下；第二个条件是：假设第k张骨牌倒下，第k1张骨牌一定倒下。

现在你能不能利用这种思想（递推思想）来证明等差数列通项公式呢？是不是应该建立一种递推顺序呢？

生：n1时结论正确n2时结论正确n3时，结论正确，nk时结论正确nk1时结论正确

师：由于这个过程推理方法是一样的，能否把这个过程一般化呢？ 生：假设nk时结论正确nk1时结论也正确。

师：这样就保证了递推。下面你能证明等差数列通项公式了吗？ 三．解决问题，引出概念（学生共答，教师板书）

证明：（1）当n1时，左边a，右边a10da1，等式是成立的。

（2）假设当nk时等式成立，就是aka1(k1)d，下面看看是否能推出nk1时等式也成立，那么ak1等于什么？

生：ak1a1(k1)1d。

师：哦！看来nk1时等式也成立，这样做对吗？ 生：（齐答）不对。

师：注意在证nk1时，一定要用到归纳假设，nk时等式成立这一步，因为这样才能保证递推，那么ak1与ak有什么关系呢？（学生齐答，教师继续板书）ak1akda1(k1)dda1(k1)1d。这就是说，当nk1时，等式也成立，大家说有了这两步，是不是就证明了等差数列通项公式的正确性了呢？

生：n1时等式成立n2时等式成立n3时等式成立„„所以n取任何正整数等式都成立。

师：这种证明方法叫做数学归纳法，那么你能谈谈什么是数学归纳法，及其用数学归纳法证题的步骤是怎样的呢？

生：（在学生交流，教师引导完善下）数学归纳法（证明一个与正整数有关的命题的步骤）是：（投影跟踪给出）。

（1）证明当n取第一个值n0（例如n01或2等）时结论正确；

（2）假设当nk（kN*，且kn0）时结论正确，证明当nk1时结论也正确。根据（1）和（2），可知命题对从n0开始的所有正整数n都正确。所以数学归纳法是证明一个与正整数有关的命题的一种方法。概括起来就是“两个步骤，一个结论。”

师：用数学归纳法证题，实质是一种什么思想？ 生：递推思想。

师：在递推中，两个步骤各起到了怎样的作用呢？

生：第一步是奠基，是递推的基础，第二步是保证能够递推，是递推的依据。（此时投影上注明）

师：这两步可以缺少哪一步吗？ 生：（学生举例说明，教师点评，投影上也举出实例，从而明确）两步缺一不可。

师：我们已经知道，由不完全归纳法得到的结论不可靠，因而必须作证明。若命题是与正整数有关的，证明可考虑用数学归纳法。下面请同学们看一道例题。

例1：用数学归纳法证明：1352n1n2（师生共同证题，总结出用数学归纳法证题的技巧是“一凑假设，二凑结论”。）

练习：用数学归纳法证明：

1．123n1nn1。22．12222n12n1。

3．首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是ana1qn1。

四．归纳小结，深化主题

师：本节的中心内容是什么？为什么要学习数学归纳法？什么是数学归纳法？体现什么思想？

生：（学生积极回答，从而自主地构建本节课的知识网络。）（投影展示）小结：

不完全归纳法1．归纳法

完全归纳法特点：特殊→一般

2．数学归纳法概念及证题步骤。3．数学归纳法实质是递推思想。五．布置作业： P76 1，2

《数学归纳法及其应用举例》教案说明

一、数学归纳法的地位与作用

1．数学归纳法在教材中的地位与作用

数学归纳法是证明与正整数有关命题的一种重要的证明方法，它起源于正整数的归纳公理或最小数原理，而演变成各种形式。《数学归纳法及其应用举例》是人教版高中数学新教材第三册第二章“极限”中第一部分的知识。通过对数学归纳法的学习，可对中学数学中的许多重要结论，如等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、二项式定理以及中小学很多思维上开拓创新的题目可以进行很好地证明，使很多数学结论更加严密，也为后继学习打下了良好的基础。

2．数学归纳法对思维发展的地位与作用

人类对问题的研究，结论的发现认同，思维流程通常是观察→归纳→猜想→证明。猜想的结论对不对，证明是尤为关键的。运用数学归纳法解题时，有助于学生对等式的恒等变形，不等式的放缩，数、式、形的构造与转化等知识加强训练与掌握。对数学归纳法原理的理解，蕴含着递 归与递推，归纳与推理，特殊到一般，有限到无限等数学思想和方法，对思维的发展起到了完善与推动的作用。

二、数学归纳法的本质与教学目标定位

数学归纳法体现了递推的思想，数学归纳法的本质就是利用递推思想去证题的一种方法。一堂精彩的课不仅仅是传授给学生知识，更重要的是对学生能力的培养和情感的熏陶。根据本节课的特点及布鲁纳的教学目标，特设置一条明线：如何验证等差数列通项公式的正确性；一条暗线：如何验证由不完全归纳法得到的与正整数有关命题的真假。将本节课的教学目标定为三重目标：①认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法与技巧；②能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力；③情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。

三、学法、教法特点及预期效果

1．学法指导

高中学生具有一定的逻辑思维和推理演算能力，并且对事物的认识逐步的由感性上升到理性，个体的发展由外显转化为内隐，这些都是我们学好本节的有利因素。但不足的是，学生考虑问题的全面性及课堂气氛的活跃性还不够好。为此，根据教育学家奥苏伯尔关于学科和认知结构组织的假设及其“先行组织者”技术与美国心理学家布鲁纳倡导的发现法教育理论，在学法方面我采用“导—思—点拨—练”的学习过程，让学生自主参与知识的发生、发展、形成过程。在这个过程中对学生进行以下学法指导。

（1）温故知新法

引导学生回顾等差数列通项公式的推导过程，从而引出归纳法的概念，其又分为完全归纳法和不完全归纳法，如何验证等差数列通项公式的正确性呢？进而引出数学归纳法。

（2）体验感悟法

让学生认真观看多米诺骨牌实验，从而感悟数学归纳法原理。（3）质疑法

引导学生主动质疑，解决问题，得到方法。（4）练习法

通过类比，练习用数学归纳法证题，进一步体会数学归纳法原理。2．教学特点 本节课在教法上贯彻如下两个原则：

一是建构主义原则。学生是教学的主体，学生学习数学是一种再创造过程，他们通过吸收与融合原知识的过程来建立理解的层次结构。皮亚杰的认知结构学说：“所有的认知结构，结构再构建，构成复杂的结构，不断发展。”数学知识不能从一个人迁移到另一个人，一个人的数学知识必须基于个人对经验的归纳、交流，通过反思来主动建构，这就是建构主义的数学学习观。为此教学设计是通过等差数列通项公式的证明及多米诺骨牌实验引导学生积极主动的进行建构。

二是寓教于乐原则。实践证明，学生在积极愉快的情形下，学习效率会大幅提高；在宽松的情形下，能够最大限度地激发其聪明才智和创造性。结合本节课特点，将知识性与趣味性相结合，以吸引学生喜欢数学，自觉地学习数学，以调动学生的“心理场”。比如，通过讲员外儿子学写数字，引进了归纳法的概念，同时学生也体会到通过观察、归纳、猜想一些结论，是很好的一个思维流程，但其结果不可靠。通过多米诺骨牌玩法的演示，诠释了递推思想。

3．预期效果

通过学法指导，教法特点实现三重目标。

四、教学诊断与评价

1．教学诊断

证明数学归纳法的第一步是容易实现的，第二步是重点也是难点，在验证nk1命题的正确性时，极易脱离归纳假设，为此应重申递推思想，总结出证题技巧“一凑假设，二凑结论”。

2．教学评价

整个教学设计重点突出，层次分明，环环紧扣，温故知新。抓住知识的内在联系，教师处处启发学生自己主动去获取知识，使教师的主导作用和学生的主体作用得以充分发挥，体现了素质教育的指导思想。生活事例贯穿整个教学过程，使数学知识人文化，使抽象的问题具体化，调动了学生学习的积极性、主动性。使学生学有所得，学有所用，进一步激发了学生学习的兴趣，培养了学生科学的思维态度。

第五篇：解三角形应用举例教案（推荐）

解三角形应用举例教案

●教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语

过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正

情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ●教学重点

实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 ●教学难点

根据题意建立数学模型，画出示意图 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

1、[复习旧知] 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2、[设置情境]

请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。Ⅱ.讲授新课

（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解

[例题讲解]

(2)例

1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=51，ACB=75。求A、B两点的距离(精确到0.1m)

启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。解：根据正弦定理，得

ABsinACB =

ACsinABC

AB = ACsinACB

sinABC = 55sinACB

sinABC =

55sin75 sin(1805175)= 55sin75

sin54 ≈ 65.7(m)答:A、B两点间的距离为65.7米

变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？

老师指导学生画图，建立数学模型。解略：2a km 例

2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=， ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦定理得

AC = BC =

asin()= asin()

sin[180()]sin()asin = asin sin[180()]sin()计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离 AB =

AC2BC22ACBCcos

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。

变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60

略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20

评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。Ⅲ.课堂练习

课本第13页练习第1、2题 Ⅳ.课时小结

解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解

（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 Ⅴ.课后作业

课本第19页第1、2、3题