第一篇:初二数学讲义命题与证明
初二数学讲义(5)证明(3)
一、选择题(每题3分)
1.下列语句:①若直线a∥b,b∥c,则a∥c;②生活在水里的动物是鱼;③作两条相交直线;④AB=3,CD=3,问AB与CD相等吗?④连结A,B两点; ⑤内错角不相等,两直线不平行。是命题的有()A.1个B.2个C.3个D.4个 2.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是()
A.垂直B.两条直线C.同一条直线D.两条直线垂直于同一条直线
3.下列各组所述几何图形中,一定全等的是()A.一个角是45°的两个等腰三角形
B.腰长相等的两个等腰直角三角形C.两个等边三角形D.各有一个角是40°,腰 长都为5㎝的两个等腰三角形
4.若三角形的三个外角的度数之比为2:3:4,则与之对应的三个内角的度数之比为„()
A.4:3:2B.3:2:4C.5:3:1D.3:1:
55.如图,如果AB∥CD,那么角α,β,γ之间的关系式为()
A.α+β+γ=360°B.α-β+γ=180°C.α+β+γ=180°D.α+β-γ=180°
6.已知,如图,在△ABC中,AB=AC,P是BC上任意一点,连结AP,则AC2AP2()A.CPBPB.CPBCC.BPBCD.以上都不对
二、填空题(每题3分)
7.如图,若AB∥CD,EF与AB、CD分别相交于点E、F,EP与EFD的平分线相交于点P,且EFD60,EPFP,则BEP
8.若一个三角形的外角平分线与三角形的一边平行,则这个三角形是三角形.9.用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应首先假设.10.如图,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,∠CDE=150°,则∠C=__________.11.把命题“在同一个三角形中,等角对等边”改写成“如
果„„那么„„”的形式:.12.如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,若CAD=76°,则CBD度.
三、解答题:
13.如图,在RtABC中,∠
ACB=90,AC=BC,D是斜边AB上的一点, AE⊥CD于E,BF⊥CD交
CD的延长线于F.求证:
ACE≌CBF.14.如图,点B在AC上,△ABE与△DBC是等
边三角形,M、N分别是AD、BC的中点,求证:△BMN是等边三角形.E
ABC
15.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D、P分别在边AC、AB上,且BD=AD,PE⊥BD,PF⊥AD,垂足分别为点E、F.求证:PE+PF=BC.
A
EB
16.已知如图,在△ABC中,CH是外角∠ACD的角平分线,BH是∠ABC的平分线,∠BAC=58°.①求∠BHC.②求∠CAH
17.在△ABC中,AD平分∠BAC,DE=DC,AC=EF.求证:EF∥AB.A
F
CBED
18.如图,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD中点.求证:CE⊥BE.
19.已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,EP=3,求EF的值,20.操作:在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点.图①,②,③是旋转三角板得到的图形中的3种情况.三角板绕点P旋转,观察线段PD和PE之间有什么数量关系?请
选择图②、图③中的一个加以证明.A
DC
AP
P
EB C①②
21.用反证法证明:设a,b,c是不全相等的任意实数,若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab.求证:x,y,z中至少有一个大于零
E
B
D
第二篇:初二数学讲义证明
初二数学春季讲义(4)证明
一、识点归类 知识点四证明
1、从一个命题的条件出发,通过讲道理(推理),得出它的结论成立,这个过程叫作证明。
注意:证明一个命题是假命题的方法是举反例,即找出一个例子,它符合命题条件,但它不满足命题的结论,从而判断这个命题是假命题。知识点五反证法
步骤:①假设原命题的结论不成立,得出“反面”②从“反面”出发,推出矛盾,因此否定“反面”③既然假设是错误的,所以原命题正确。举反例(用来证明假命题)
1.要想说明一个命题是假命题,只需举个反例。举反例的要求是:命题的条件,而命题的结论。举反例说明下列命题是假命题:
(1)对于不为零的实数c,关于x的方程
3.如图,AB // CD,MP // AB,MN平分AMD,A35,D40,求
4.点为O,E是AC•交BD于F,则OE=OF.(1)证明上述命题.
(2)对上述命题,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB的延长线于点G,AG的延长线交DB的延长线于点F,其他条件不变,请画出图形,则结论“OE=OF”还成立吗?若成立,请你证明,若不成立请说明理由.
x
c
c1的根是c。x
(2)有两边和一角对应相等的两个三角形全等。
证明题(直接证明)2.已知:如图,AD⊥BC于D,EF⊥BC于F,交AB于G,交CA延长线于E,∠1=∠2.
求证:AD平分∠BAC.填写分析和证明中的空白. 分析:要证明AD平分∠BAC,只要证明__________=____________,而已知∠1=∠2,所以应联想这两个角分别和∠
1、∠2的关系,由已知BC的两条垂线可推出________∥_________,这时再观察这两对角的关系已不难得到结论. 证明:
5.在ΔABC中AB=AC,∠BAC=90,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F ⑴求证:PE=PF。
⑵已知AF=12,CF=5.求ΔPEF的面积。
6.如图,已知四边形ABCD是边长为2的正方形,以对角线BD为边作正三角形BDE,过E作DA的延长线的垂线EF,垂足为F。
(1)找出图中与EF相等的线段,并证明你的结论;(2)求AF的长。
7.如图,ΔABC中,∠A=60°,BE、CD分别平分
∠ABC和∠ACB,交点为P。请证明:BC=BE+CD。
A
E
B
D
C
8.如图,等腰Rt△ABC的直角边AB=2,点P、Q分别从A、C两点同时出发,以相同速度作直线运动.已知点P沿线段AB运动,点Q沿边BC的延长线运动(当点P运动到点B时两点即停止运动),PQ与直线AC相交于点D.
(1)设AP的长为x,△PCQ的面积为S.求出S关于x的函数关系式;
(2)问是否存在x的值,使S△PCQ=S△ABC?若存在,请求出x的值;若不存在,说明理由.(3)作PE⊥AC于点E,当点P、Q运动时,线段DE的长度是否改变?证明你的结论.
2用反证法证明专题 14.求证:若n为自然数,则nn2不能被1
59.用反证法证明:“三角形中必有一个角不大于
整除 60°”,第一步先假设
10.已知:如右图,直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥
l2,13与11相交于点P.求证:13与l2相交.
证明:假设,即∥,又∵∥(已知),∴过直线12外一点有两条直线11,13与直线12平行,这与“”
15.证明:2不是有理数
相矛盾,∴假设不成立,即求证的命题成立,∴13与12相交.
11.已知:a,b是实数,且满足ab=0, 求证:a、b中至少有一个为0
12.求证:一个三角形中,至少有一个内角不小于
16.已知实数p满足不等式(2x1)(x2)0,用反证法证明:关于x的方程x22x5p20无实根.17.求证:当x+bx+c=0有两个不相等的非零实数根时,必有bc≠0.
13.求证:两条相交直线只有一个交点.
第三篇:初二数学讲义统计与证明(模版)
1、频数和频率:频数分布表的绘制步骤
(1)求出最大值和最小值的差(极差的概念。)
(2)确定组距、组数。x =94.5,下面是50名学生数学成绩的频数分布表.
极差25,为了使数据组距0.4不落在各组的边界上,我们把数据分成6组,且边界
值比实际数据多取一位小数。(特别指出:数据个数在100以内时,通常按数据的多少分成5—12组。)
2、介绍频数和频数分布表。
频数:我们称数据分组后落在各小组内的数据个
数为频数;(结合表中数据)根据题中给出的条件回答下列问题:
频数分布表:反映数据分布的统计表叫做频数分(1)在这次抽样分析的过程中,样本是___________ 布表,也称频数表。(2)频数分布表中的数据a= ____,b= __________.
频数(3)估计该校初三年级这次升学考试的数学平均成绩
3、频率的概念:频率=数据总数约为 ___________分.
4、频率分布直方图和折线图:(4)在这次升学考试中,该校初三年级数学成绩在画频数分布直方图的一般步骤: 90.5~100.5范围内的人数约为 __________人.(1)画频数分布表(2)写标题
8、某中学进行了一次演讲比赛,分段统计参赛同学的(3)画坐标:横坐标是什么?纵坐标是什么? 成绩,结果如下(分数为整数,满分为100分)
(4)画小长方形:长是什么? 宽是什么 请根据表中提供的信息,解答【练习】 下列问题:
1、一组数据的最大值为100,最小值为45,若选取组(1)参加这次演讲比赛的同距为10,则这组数据可分成(•)学有;
A.5组B.6组C.8组D.4组(2)已知成绩在91~100分的2、将50个数据分成5组列出频数分布表,其中第一同学为优秀者,那么优胜率
组的频数为6,•第二组与第五组的频数和为20,那么为;
命题与证明综合提高
一、识点归类
注意:定义必须严密的,一般避免使用含糊不清的语
言,例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现。
例1 在下列横线上,填写适当的概念:(1)连结三角形两边中点的线段叫作三角形的;(2)能够完全重合的两个图形叫做_____; 例2 叙述概念的定义
(1)数轴;(2)等腰三角形 知识点命题
知识点一命题的概念 注意:(1)命题必须是一个完整的句子。
(2)这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断,二者缺一不可。
例 下列句子中不是命题的是()
A 明天可能下雨B 台湾是中国不可分割的部分 C 直角都相等D 中国是2008年奥运会的举办国知识点二真命题与假命题
注意:真、假命题的区别就在于其是否是正确的,在判断命题的真假时,要注意把握这点。例 下列命题中的真命题是()
A 锐角大于它的余角B 锐角大于它的补角 C 钝角大于它的补角D 锐角与钝角等于平角 知识点三命题的结构
每个命题都有条件和结论两部分组成。条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项。一般地,命题都可以写出“如果------,那么-------”的形式。有的命题表面上看不具有“如果------,那么-------”的形式,但可以写成这种形式。如:“对顶角相等”,改写成“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”。例 把下列命题改写成“如果------,那么-------”的形式,并指出条件与结论。
1、同角的余角相等
2、两点确定一条直线
知识点四证明
1、从一个命题的条件出发,通过讲道理(推理),得
出它的结论成立,这个过程叫作证明。
注意:证明一个命题是假命题的方法是举反例,即找出一个例子,它符合命题条件,但它不满足命题的结论,从而判断这个命题是假命题。
证明题 1.已知:(如图)MN//PQ,AC⊥PQ,BD、AC相交于点E,且DE=2AB. 求证:∠DBC=
∠ABC.
3MDAN
2.如图,已知△ABC中,AD平分∠BAC,AB+BD=AC,求证:∠B=2∠C.
BDC
3.如图,△ABC中,AD平分∠
BAC,BE=CE,过点E作GH⊥AD,交AC、以及AD、AB的延长线于H、F、G.求证:AC=2BG+AB
A
DH
F
C
4求证:
5.DC(2)
6.如图,已知AB // CD,B100,EF平分BEC,EGEF,求BEG和DEG的度数。
9.求证:形如4n+3的整数P(n为整数)不能化为两个整数的平方和.
第四篇:初二数学教案:命题与证明
初二数学教案:命题与证明
第二十四章 证明与命题(一)复习
一、教学目标:
1、了解定义、命题、定理的含义,会区分命题的条件(题设)和结论。
2、会在简单情况下判断一个命题的真假。理解反例的作用,知道利用反例可证明一个命题是错误的。、了解证明的 含义,理解证明的必要性,体会证明的过程要步步有据。
4、会根据一些基本事实证明简单命题。
5、通过实例,体会反证法的含义。了解反证法的基本步骤。
6、初步会综合运用命题、证明以及相关知识解决简单的实际问题。
二、本章知识结构框架图:
三、教 学过程:
(一)知识回顾
1、一 般地,对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。
命题分为真命题与假命题。
2、说明一个命题是假命题,通常只用找出一个反例,但要说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子。
(二)说一说
1.指出下列句子,哪些是命题,哪些不是命题?
(1)有两个角和夹边对应相等的三角形是全等的三角形;
(2)有两条边对应相等的两个三角形全等;
(3)作A的平分线;
(4)若a=b 则 a2= b2
(5)同位角相等 吗?
2.说出一个已学过 定理:
说出一个已学过公理:
3、下列把命题改写成如果,那么的形式。并判断下列命题的真假.(1)不相等的角不可能是对顶角.(2)垂直于同一条直线的两直线平行;
(3)两个无理数的乘积一定是无理数.(三)练一练 1.用反例证明下列命题是假命题:
(1)若x(5-x)=0,则x=0;
(2)等腰三角形一边上的中线就是这条边上的高;
(3)相等的角是内错角;
(4)若x2,则分式 有意义.(四)例题分析
例1求证:全等三角形对应角的平分线相等.证明命题的一般步骤:
(1)根据题意,画出图形;
(2)用符号语言写出已 知和求证
(3)分析证明思路;(4)写出证明过程;
例2已知:如图,△ABC中,C=2B,BAD=DAC.求 证:AB=AC+CD
还有其他方法吗? A A E
B D C B D C
(第三题)(第二题)
例3已知 :如图D,E分别是BC,AB上的一点,BC、BD的长度之比为3:1, △ECD的面积是△ABC的面积的一半.求证: BE=3AE[来源:学|科|网]
例
4、已知:如图,直线AB,CD,EF在同一平面内,且AB ∥ EF,CD ∥ EF,[来源:学科网]
求证:AB ∥ CD。
证明:假设AB∥CD,那么AB与CD一定相交于一点P
∵AB ∥ EF,CD ∥ EF(已知)
过点P有两条直线AB,CD都与直线EF平行。
这与经过直线外一点,有一条而且只有一条直线和这条直线平行矛盾。[来源:学科网]
AB ∥ CD不能成立。
AB ∥ CD
反证法的一般步骤:[来源:学科网]
1.反设(否定结论);
2.归谬(利用已知条件和反设,进行推理,得出与已学过的公理、定理、定义或与已知条件矛盾);
3.写出结论(肯定原命题成立)。
练习:
如图,已知:AB=AE,BC=DE,AFCD于F.求证:CF=DF.(五)小结:
(六)作业布置:练习一份
B= E,
第五篇:初中数学命题与证明
命题与证明
一、选择题
1、(2012年上海黄浦二模)下列命题中,假命题是()
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形;
B.一组邻边相等的矩形是正方形;
C.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形;
D.一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形.答案:C2、(2012温州市泰顺九校模拟)下列命题,正确的是()
A.如果|a|=|b|,那么a=b
B.等腰梯形的对角线互相垂直
C.顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形
D.相等的圆周角所对的弧相等
答案:C
3(2012年中考数学新编及改编题试卷)下列语句中,属于命题的是()..
(A)作线段的垂直平分线(B)等角的补角相等吗
(C)平行四边形是轴对称图形(D)用三条线段去拼成一个三角形
答案:C4、(2012年上海市黄浦二模)下列命题中,假命题是(▲)
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形;
B.一组邻边相等的矩形是正方形;
C.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形;
D.一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形.答案:C5、(2012年上海金山区中考模拟)在下列命题中,真命题是……………………………………………………………………………………………()
(A)两条对角线相等的四边形是矩形
(B)两条对角线互相垂直的四边形是菱形
(C)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
(D)两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
答案:C
二、填空题
1、三、解答题
1.(2012年江苏海安县质量与反馈)已知:如图,在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.
⑴求证:点D是AB的中点;
⑵证明DE是⊙O的切线.
答案:22.(1)略;(2)略.
2.(2012年江苏通州兴仁中学一模)如图,在□ABCD中,E为BC的中点,连接DE.延长DE交AB的延长线于点F.求证:AB=BF.
E C
答案:由□ABCD得AB∥CD,∴∠CDF=∠F,∠CBF=∠C.
又∵E为BC的中点,∴△DEC≌△FEB.
∴DC=FB.
由□ABCD得AB=CD,∵DC=FB,AB=CD,∴AB=BF.
3、(盐城地区2011~2012学适应性训练)(本题满分10分)如图,AB是⊙O的直径,点A、C、D在⊙O上,过D作PF∥AC交⊙O于F、交AB于E,且∠BPF=∠ADC.(1)判断直线BP和⊙O的位置关系,并说明你的理由;
(2)当⊙O5,AC=2,BE=1时,求BP的长.(1)直线BP和⊙O相切.……1分
理由:连接BC,∵AB是⊙O直径,∴∠ACB=90°.……2分
∵PF∥AC,∴BC⊥PF, 则∠PBH+∠BPF=90°.……3分
P
∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,得AB⊥BP,……4分
所以直线BP和⊙O相切.……5分
(2)由已知,得∠ACB=90°,∵AC=2,AB=25,∴BC=4.……6分
∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,∴∠BPF=∠ABC,由(1),得∠ABP=∠ACB=90°,∴△ACB∽△EBP,……8分
∴ACBC解得BP=2.即BP的长为2.……10分 BEBP
4.(盐城市第一初级中学2011~2012学年期中考试)(本题满分10分)如图,在△ABC中,∠B=60°,⊙O是△ABC外接圆,过点A作⊙O的切线,交CO的延长线于P点,CP交⊙O于D;
(1)求证:AP=AC;
(2)若AC=3,求PC的长.
答案(1)证明过程略;(5分)
(2)3
35(徐州市2012年模拟)(6分)如图,在平行四边形ABCD中,E,F为BC上两点,且BECF,AFDE.
求证:(1)△ABF≌△DCE;
(2)四边形ABCD是矩形. A D
B C E F
(第21题)答案:解:(1)BECF,BFBEEF,CECFEF,······························· 1分 BFCE.
四边形ABCD是平行四边形,ABDC. ······························ 2分 在△ABF和△DCE中,ABDC,BFCE,AFDE,△ABF≌△DCE. ··························· 3分
△ABF≌△DCE,(2)解法一:
BC. ······························ 4分 四边形ABCD是平行四边形,AB∥CD.
BC180.
BC90. ···························· 5分
·························· 6分 四边形ABCD是矩形.
解法二:连接AC,DB.
△ABF≌△DCE,AFBDEC.
AFCDEB. ··························· 4分 在△AFC和△DEB中,AFDE,AFCDEB,CFBE,△AFC≌△DEB.
ACDB. ······························ 5分 四边形ABCD是平行四边形,·························· 6分 四边形ABCD是矩形.
6.(盐城地区2011~2012学适应性训练)(本题满分12分)如图,△AEF中,∠
EAF=45°,AG⊥EF于点G,现将△AEG沿AE折叠得到△AEB,将△AFG沿AF折叠得到△AFD,延长BE和DF相交于点C.
(1)求证:四边形ABCD是正方形;
(2)连接BD分别交AE、AF于点M、N,将△ABM绕点A逆时针旋转,使AB与AD重合,得到△ADH,试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系,并说明理由.(3)若EG=4,GF=6,BM2,求AG、MN的长.
AHBENFDC(1)由∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,得矩形ABCD,……2分
由AB=AD,得四边形ABCD是正方形.……3分
222(2)MN=ND+DH.……4分
理由:连接NH,由△ABM≌△ADH,得AM=AH,BM=DH,∠ADH=∠ABD=45°, ∴∠NDH=90°,……6分
再证△AMN≌△AHN,得MN=NH,……7分
222∴MN=ND+DH.……8分
(3)设AG=x,则EC=x-4,CF=x-6,22由Rt△ECF,得(x-4)+(x-6)=100,x1=12,x2=-2(舍去)∴AG=12.……10分
由AG=AB=AD=12,得BD=122,∴MD=92,222设NH=y,由Rt△NHD,得y=(92-y)2),y=52,即MN=52.……12分
7.(盐城地区2011~2012学适应性训练)(本题满分8分)如图,已知E、F分别是□
ABCD的边BC、AD上的点,且BE=DF.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)若BC=10,∠BAC=90°,且四边形AECF是菱形,求BE的长.
AFD
BEC
证:(1)由□ABCD,得AD=BC,AD∥BC.……2分
由BE=DF,得AF=CE, ∴AF=CE,AF∥CE.……3分
∴四边形AECF是平行四边形;
(2)由菱形AECF,得AE=EC,∴∠EAC=∠ACE.由∠BAC=90°,得∠BAE=∠B,∴AE=EB.∴BE=AE=EC,BE=5.……4分 ……5分 ……7分 ……8分