13.2 命题与证明2

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第一篇:13.2 命题与证明2

13.2 命题与证明

小结:证明几何命题的表述格式

①按题意画出图形;

②分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论; ③在“证明”中写出推理过程。(3)练习:P78课内练习1、2

三、例题教学

P78例题4

例、已知:如图,AC与BD相交于点O,AO=CO,BO=DO。求证: AB∥CD(证明略)

ODC

四、练习巩固

ABP80 练习1、2

五、小结

(1)证明的含义

(2)真命题证明的步骤和格式

(3)思考、探索:假命题的判断如何说理、证明?

第二篇:命题与证明教学设计

八年级数学教学设计

肥东县王城中学王合课题:14.2证明(2)

教材与学生现实的分析

1、本节内容是《命题与证明》的教学流程设计

八年级数学教学设计

八年级数学教学设计

八年级数学教学设计

八年级数学教学设计

八年级数学教学设计

第三篇:命题与证明平行四边形 教案

《命题与证明》

1、定义(一般地,能清楚地规定某一名称或术语意义的句子叫做该名称或术语的定义)

2、命题(一般地,判断一件事情的句子叫做命题)命题是一个“判断句”,判断“是”或“非”.其中正确的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题,如“对顶角相等”是真命题,“相等的角是对顶角”是假命题.注意:(1)命题是语句,而且必须是能判断正确和错误的句子.(2)错误的命题也是命题.

过直线外一点做一条直线与已知直线垂直。

过直线外一点做一条直线,要么与已知直线相交,要么与已知直线平行。

3、每个命题是由条件(题设)和结论(题断)两部分组成.条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,命题常写成“如果……那么……”的形式.一般形式是“如果p,那么q”,其中用“如果”开始的部分是条件,用“那么”开始的部分是结论.(判断清楚哪些是条件,哪些是结论)

写成“如果,那么”的形式

①在同一个三角形中 等角对等边

②角平分线上的点到角两边的距离相等

③同角的余角相等

3、公理、定理、推论

人们在长期实践中检验所得的真命题,并作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做公理.如“过两点有且只有一条直线”;“两点之间,线段最短”等等.有些命题的正确性是通过推理证实的,并被选定作为判定其它命题真假的依据,这样的真命题叫定理.由公理、定理直接得出的真命题叫做推论. 如 三角形内角和定理三角形的内角和等于180°.

推论1 直角三角形的两锐角互余.

推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

推论3 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

4、证明真命题的方法

根据题设、定义、公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫证明.证明一个真命题一般按以下步骤进行:

(1)审题,分清命题的条件与结论.(2)画图,依题意画出图形,画图时应做到图形正确且具有一般性,切忌将图形特殊化.(3)写“已知”“求证”,按照图形,分析、探求解题思路,然后写出证明过程,证明的每一步都要做到叙述清楚,而且要有理有据.5、证明假命题的方法

证明一个命题是假命题,只需举一个“反例”即可,也就是举出一个符合命题的条件而不符合结论的例子.用反证证明下列命题是假命题

有一条边、两个角相等的两个三角形全等

任何三条线段都能组成三角形

6、重难点及归纳

①命题的理解:本节的一个难点是找出一个命题的题设和结论,它是后面证明中,书写已知求证的基础,对那些条件结论不明显的命题.应在学习中多练,必要时结合图形来区分.例如命题“如果两条直线和

第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行”,其中“两条直线和第三条直线平行”是条件,“这两条直线也平行”是结论.再如命题,“对顶角相等”,它的条件和结论不明显,应将它改成“如果两个角为对顶角,那么这两个角相等”,再指出条件和结论.

②定义、命题、公理和定理之间的联系与区别

这四者都是句子,都可以判断真假,即定义、公理和定理也是命题,不同的是定义、公理和定理都是真命题,都可以作为进一步判断其他命题真假的依据,只不过公理是最原始的依据,而命题不一定是真命题,因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据.

③证明真命题的方法和步骤,难点是分析证明思路,有条理地写出推理过程.

④三角形内角和定理的三个推论常用来求角的大小和进行角的比较.

7、证明的思路: ①从已知出发,推出可能的结果,并与要证明的结论比较,直至推出最后的结果。②从

要证明的结论出发,探索要使结论成立,需要什么条件,并与已知条件对照,直到找到所需要的并且是已知的条件。

探索证明:在三角形的内角中,至少有一个角大于或等于60度

9、用反证法(证明的思路如何,苦李子的故事)

用反证法证明命题,一般有三个步骤:

反设 假设命题的结论不成立(即假设命题结论的反面成立)

归谬 推出矛盾(和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾,或者与假设所推出的任何一个已知相矛盾)结论 从而得出命题结论正确。

例如用反证法证明:

在同一个平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。

在三角形的内角中,至少有一个角大于或等于60度

例1两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两直线平行

已知:如图∠1=∠2A1B

求证:AB∥CD

证明:设AB与CD不平行C2D

那么它们必相交,设交点为MD

这时,∠1是△GHM的外角A

1∴∠1>∠2G这与已知条件相矛盾

2∴AB与CD不平行的假设不能成立H

∴AB∥CDC

例2.求证两条直线相交只有一个交点

证明:假设两条直线相交有两个交点,那么这两条直线都经过相同的两个点,这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾,所以假设不能成立,因此两条直线相交只有一个交点。

(从以上两例看出,证明中的三个步骤,最关键的是第二步——推出矛盾。但有的题目,第一步“反设”也要认真对待)。

例3.已知:m2是3的倍数,求证:m 也是3的倍数

例4.求证:2不是有理数

《平行四边形》

1、四边形的定义

2、定理:四边形的内角和等于360度

推论:四边形的外角和等于360度

N边形的内角和外角和(为什么)

正五边形能镶嵌平面吗(为什么)

单独和镶嵌平面的正多边形有哪几种?为什么只有这几种?

(2011浙江省,8,3分)如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°,AB=BC,AE=DE,在BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为()(如何作辅助线,培养感觉)

A.100°B.110°C.120°D.130°

3、平行四边形的定义性质

定理:平行四边形的对角相等

定理1:平行四边形的两组对边分别相等。

推论1:夹在两条平行线间的平行线段相等。

推论1:夹在两条平行线间的垂线段相等。

定理2:平行四边形的对角线互相平分。

4、中心对称图形定义 对称中心

性质:对称中心平分两个对称点的线段。(在平面直角坐标系中,点(x,y)关于原点对称的点的坐标是多少?为什么?)

5、平行四边形的判定

①定义②定理1:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形③定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形④定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形

6、三角形的中位线定理(如何证明?)

7、逆命题与逆定理

两个命题,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。每个命题都有逆命题。每个定理都有逆命题。如果一个定理的逆命题也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理,其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。

因此,每个命题有逆命题;每个定理有逆命题,但不一定有逆定理。

1.(2011浙江金华,15,4分)如图,在□ABCD中,AB=3,AD=4,∠ABC=60°,过BC的中点E作EF⊥AB,垂足为点F,与DC的延长线相交于点H,则△DEF的面积是

.3.(2011四川成都,20,10分)如图,已知线段AB∥CD,AD与BC相交于点K,E是线段AD上一动点.5CD

1(1)若BK=2KC,求AB的值;(2)连接BE,若BE平分∠ABC,则当AE=2AD时,猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明.再探究:当AE=nAD(n2),而其余条件不变时,线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论,不必证明.

6、如图,已知△ABC中,ABC45,F是高AD和BE的交点,CD4,则线段DF的长度为().A

.B. 4C

.D

第四篇:初中数学命题与证明

命题与证明

一、选择题

1、(2012年上海黄浦二模)下列命题中,假命题是()

A.一组邻边相等的平行四边形是菱形;

B.一组邻边相等的矩形是正方形;

C.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形;

D.一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形.答案:C2、(2012温州市泰顺九校模拟)下列命题,正确的是()

A.如果|a|=|b|,那么a=b

B.等腰梯形的对角线互相垂直

C.顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形

D.相等的圆周角所对的弧相等

答案:C

3(2012年中考数学新编及改编题试卷)下列语句中,属于命题的是()..

(A)作线段的垂直平分线(B)等角的补角相等吗

(C)平行四边形是轴对称图形(D)用三条线段去拼成一个三角形

答案:C4、(2012年上海市黄浦二模)下列命题中,假命题是(▲)

A.一组邻边相等的平行四边形是菱形;

B.一组邻边相等的矩形是正方形;

C.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形;

D.一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形.答案:C5、(2012年上海金山区中考模拟)在下列命题中,真命题是……………………………………………………………………………………………()

(A)两条对角线相等的四边形是矩形

(B)两条对角线互相垂直的四边形是菱形

(C)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

(D)两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

答案:C

二、填空题

1、三、解答题

1.(2012年江苏海安县质量与反馈)已知:如图,在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.

⑴求证:点D是AB的中点;

⑵证明DE是⊙O的切线.

答案:22.(1)略;(2)略.

2.(2012年江苏通州兴仁中学一模)如图,在□ABCD中,E为BC的中点,连接DE.延长DE交AB的延长线于点F.求证:AB=BF.

E C

答案:由□ABCD得AB∥CD,∴∠CDF=∠F,∠CBF=∠C.

又∵E为BC的中点,∴△DEC≌△FEB.

∴DC=FB.

由□ABCD得AB=CD,∵DC=FB,AB=CD,∴AB=BF.

3、(盐城地区2011~2012学适应性训练)(本题满分10分)如图,AB是⊙O的直径,点A、C、D在⊙O上,过D作PF∥AC交⊙O于F、交AB于E,且∠BPF=∠ADC.(1)判断直线BP和⊙O的位置关系,并说明你的理由;

(2)当⊙O5,AC=2,BE=1时,求BP的长.(1)直线BP和⊙O相切.……1分

理由:连接BC,∵AB是⊙O直径,∴∠ACB=90°.……2分

∵PF∥AC,∴BC⊥PF, 则∠PBH+∠BPF=90°.……3分

P

∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,得AB⊥BP,……4分

所以直线BP和⊙O相切.……5分

(2)由已知,得∠ACB=90°,∵AC=2,AB=25,∴BC=4.……6分

∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,∴∠BPF=∠ABC,由(1),得∠ABP=∠ACB=90°,∴△ACB∽△EBP,……8分

∴ACBC解得BP=2.即BP的长为2.……10分 BEBP

4.(盐城市第一初级中学2011~2012学年期中考试)(本题满分10分)如图,在△ABC中,∠B=60°,⊙O是△ABC外接圆,过点A作⊙O的切线,交CO的延长线于P点,CP交⊙O于D;

(1)求证:AP=AC;

(2)若AC=3,求PC的长.

答案(1)证明过程略;(5分)

(2)3

35(徐州市2012年模拟)(6分)如图,在平行四边形ABCD中,E,F为BC上两点,且BECF,AFDE.

求证:(1)△ABF≌△DCE;

(2)四边形ABCD是矩形. A D

B C E F

(第21题)答案:解:(1)BECF,BFBEEF,CECFEF,······························· 1分 BFCE.

四边形ABCD是平行四边形,ABDC. ······························ 2分 在△ABF和△DCE中,ABDC,BFCE,AFDE,△ABF≌△DCE. ··························· 3分

△ABF≌△DCE,(2)解法一:

BC. ······························ 4分 四边形ABCD是平行四边形,AB∥CD.

BC180.

BC90. ···························· 5分

·························· 6分 四边形ABCD是矩形.

解法二:连接AC,DB.

△ABF≌△DCE,AFBDEC.

AFCDEB. ··························· 4分 在△AFC和△DEB中,AFDE,AFCDEB,CFBE,△AFC≌△DEB.

ACDB. ······························ 5分 四边形ABCD是平行四边形,·························· 6分 四边形ABCD是矩形.

6.(盐城地区2011~2012学适应性训练)(本题满分12分)如图,△AEF中,∠

EAF=45°,AG⊥EF于点G,现将△AEG沿AE折叠得到△AEB,将△AFG沿AF折叠得到△AFD,延长BE和DF相交于点C.

(1)求证:四边形ABCD是正方形;

(2)连接BD分别交AE、AF于点M、N,将△ABM绕点A逆时针旋转,使AB与AD重合,得到△ADH,试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系,并说明理由.(3)若EG=4,GF=6,BM2,求AG、MN的长.

AHBENFDC(1)由∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,得矩形ABCD,……2分

由AB=AD,得四边形ABCD是正方形.……3分

222(2)MN=ND+DH.……4分

理由:连接NH,由△ABM≌△ADH,得AM=AH,BM=DH,∠ADH=∠ABD=45°, ∴∠NDH=90°,……6分

再证△AMN≌△AHN,得MN=NH,……7分

222∴MN=ND+DH.……8分

(3)设AG=x,则EC=x-4,CF=x-6,22由Rt△ECF,得(x-4)+(x-6)=100,x1=12,x2=-2(舍去)∴AG=12.……10分

由AG=AB=AD=12,得BD=122,∴MD=92,222设NH=y,由Rt△NHD,得y=(92-y)2),y=52,即MN=52.……12分

7.(盐城地区2011~2012学适应性训练)(本题满分8分)如图,已知E、F分别是□

ABCD的边BC、AD上的点,且BE=DF.

(1)求证:四边形AECF是平行四边形;

(2)若BC=10,∠BAC=90°,且四边形AECF是菱形,求BE的长.

AFD

BEC

证:(1)由□ABCD,得AD=BC,AD∥BC.……2分

由BE=DF,得AF=CE, ∴AF=CE,AF∥CE.……3分

∴四边形AECF是平行四边形;

(2)由菱形AECF,得AE=EC,∴∠EAC=∠ACE.由∠BAC=90°,得∠BAE=∠B,∴AE=EB.∴BE=AE=EC,BE=5.……4分 ……5分 ……7分 ……8分

第五篇:命题与证明导学案

命题与证明(2)

学习目标:

1、会区分定理,公理和命题。

2、了解证明的含义,体验证明的必要性。

重点:证明的含义和表述格式。

难点:按照规定格式表述证明的过程。

一、独学(课本77~78页)

1、所有推理的原始共同出发点是_________________________________。

2、几何推理中,把那些从长期实践中总结出来的,不需要再作证明的____________叫做公理。(举例证明)

3、有些命题。它们的正确性已经过推理得到证实,并被选定作为判定其它命题真假的依据,这样的命题叫做_____________,推理的过程叫做_________________。

二、对学(要探究出因与果,会填写理由,会使用“∵”“∴”)

例1:已知直线c与直线a、b相交,且12,求证ab。

=180,OE平分AOB,OF平分BOC,求证例2:已知,如图AOBBOC

OEOF.注:

1、做题时要写“证明”二字,不能写“解”。

2、结对双方要共同探究各步的因果关系,一定要写出每一步的理由(即根据题目使用“∵”“∴”)。

3、对文字说明题,一定要根据题意写出“已知”、“求证”和“画出图形”最后给出证明。

三、群学(组内交流展示)

1、课本78页练习(1)(2).2、第79~80页练习(1)(2).四、拓展练习.证明:如图ABCD,DF平分CDB,BE平分ABD,求证:12。

五、小结收获.六、作业:第83页第5题(1)(2)。

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