11月9日嘉定嘉桃八年级数学证明举例

第一篇：11月9日嘉定嘉桃八年级数学证明举例

第十九章证明举例之添加辅助线的几种类型

一、第一条：等腰三角形的三线合一

例

1、已知如图，在ABC中，AB=AC,CD是边AB上的高.(练习册P61)1BCDA.求证：

2例

2、已知ABC中，AB=AC,ABAC，点D是边BC的中点，EDF90，射线DE与直线AB交于点E，射线DF与直线AC交与点F.(1)当点E在线段AB上时(如图一)

《1》、是判断DE、DF的大小关系，并证明你的结论。

《2》、试猜想线段AE、AF的大小关系，并证明你的结论。

（2）当点E在线段BA的延长线上时，在图二中补画符合要求的图形，并判断（1）中的两个小题的结论是否任然成立？若不成立，是写出这时相应的结论并证明（宝山2010年期中）

二、第二条：倍长中线

例

3、如图在ABC中，BAC的平分线AD平分BC,求证：AB=AC(堂堂练P85)例

4、如图C是AB的中点，12，求证：AE=BD.(TP85)

例

5、如图在ABC中，点D、E是BC边上的点，且12，DE=CE，过D作

三、第三条：截长和补短

第二篇：初二数学《证明举例》

初二数学《证明举例》

课题：22.4证明举例（4）

一、教案设计思考与亮点

教案设计思考：本节内容为证明举例的第四课时，用二次三角形全等来证明有关问题，教案的设计力求通过师生生动活泼的问题研究，不生搬硬套固定的解题模式，让学生亲身经历问题的解决与创设过程。教学中，随着问题的提出、分析和解决，构建积极进取的学习氛围，整个一堂课，始终是在师生的默契配合下进行，师生思维协调同步，处于“共鸣”状态，从而大大提高了课堂教学质效。

教案设计亮点：

1、教学过程中，设计了开放性问题，既可以消除学生“模仿例题”的习惯，又可以克服学生被动学习的弊端，有利于培养学生个性，发挥每个学生的聪明才智，更好地培养他们的思维品质。

2、教学过程中，设计了对例题的简单变式训练，引导学生进行猜想与验证，同时引导学生修正猜想。

二、教学目标：

1、知识目标：（1）尝试命题教学，学生掌握文字命题的证明步骤。

（2）会用二次三角形全等证明几何问题。

2、能力目标：（1）了解猜想证明与反驳、优化的数学思想方法。

（2）经历了命题的证明过程，学生逐步学会分别从题设和结论

出发，寻求论证思路的综合分析方法。

3、情感目标：注重对学生思维品质的培养，鼓励学生进行有效的合作学习。

三、教学重、难点：重点：用二次三角形全等进行几何证明。

难点：举出反例说明一个命题是假命题。

四、教学过程：

今天这一节课，我们继续来学习几何证明。（写课题）

一、文字命题证明

请同学们看这样一道例题：

例7：求证：有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等。

（一）提问：

1、文字命题的证明有哪些步骤？

2、这个命题的题设与结论分别是什么？

（二）学生动手操作：

完成画图，写已知和求证。

（学生完成，教师巡视，并抽一份点评，尽量让学生自己发现问题并

解决和完善）AA’

’

DD’

已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，AB= A’B’,BC= B’C’,AD、A’D’分别是

BC和B’C’边上的中线，AD＝A’D’。

求证：△ABC≌△A’B’C’

[归纳小结]

对于文字命题，我们先要读懂题意，正确理解其中的内涵，再着手

解题。

（三）讨论与分析：

我们如何来证明△ABC≌△A’B’C’，用什么方法？同学投入讨论。

（学生思考并讨论，互相启发，自我教育，然后小组选代表汇报解题思路。）追问学生：

1、你怎么想到证∠B＝∠B’？

2、如何证得BD’=B’D’？

你们能自己完成这道题的证明了吗？

（四）独立书写证明过程：

证明：∵AD、A’D’分别是BC和B’C’边上的中线（已知）

∴BD=

1212BC，B’C’＝B’C’（三角形中线定义）

又∵BC= B’C’（已知）

∴BD= B’D’（等式性质）

在△ABC和△A’B’C’中

’D’（已知）

’B’（已知）

AD＝A’D’（已知）

∴△ABC≌△A’B’C’（S • S • S）

∴∠B＝∠B’（全等三角形对应角相等）

在△ABC和△A’B’C’中

’B’（已知）

∠B＝∠B’（已证）

BC= B’C’（已知）

∴△ABC≌△A’B’C’（S • A • S）

（可能还有学生通过证AC= A’C’，从而得到△ABC≌△A’B’C’。此时教

师均给予肯定，然后指出在具体解决问题的过程中，要善于选择简捷的方法，培养学生优选的数学思想。）

（五）[归纳小结]

在这个命题的证明过程中，有两次证明三角形全等，其中第一次证

明所得的两角相等，成为第二次证明三角形全等的条件，这种将上一步推理所得的结论作为下一步推理条件的情况，在证明过程中常常会遇到。

二、变式训练

（一）完成了上述命题的证明：若将其中“一边上的中线”改成“一边上的高”，命题是否成立？

（学生独立思考，并请一位同学上黑板画图）

估计学生回答此命题仍成立，请学生说明理由。

老师问还有没有其它意见？

若学生没有意见，教师进行反驳，将学生所画的图作如下改变：

’（通过老师画图操作，学生观察分析，从而获得直观的认识）然后提问：

1、观察△ABC≌△A’B’C’中条件是否符合题意？

2、此时，△ABC≌△A’B’C’吗？为什么？

3、老师是用什么方法说明这是个假命题的？

（二）思考题：（让学有余力的同学进行再思考）

1、修正上述命题，使之成为真命题。

2、若改变“一边上中线”为“一角平分线”，其它条件作怎样变化，命题仍

成立，留作同学课外思考。

[归纳小结]

由上可见，我们在思考问题时既要积极大胆，又要注意思维的严密

性，不断优化我们的思维方式。

三、巩固练习：

如图：已知：点D、E分别在AB、AC上，BE和

相交于O点，且DB=EC，要证明OB=OC，还需要增加什么条件？

BC

（一）放手发动学生积极参与讨论，大胆思维，勇于探索。

（二）鼓励学生敢于发表见解，善于发表见解。

（三）学生提出的问题，还是由学生自己来评判是否正确。

（通过开放性练习，让学生探究尝试，调动学生学习的积极性，培养

学生发散性思维和逆向性思维的能力。）

四、课堂小结：

（先由学生小结，然后老师作点评和补充。）

这节课我们学到了些什么？

1、文字命题证明步骤。

2、二次三角形全等证明有关问题。

3、证明假命题的方法——举反例。

4、良好思维品质的培养。

五、作业布置：

1、课本练习及练习册练习

2、有兴趣的同学继续考虑：

（1）有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等吗？

（2）类似的角平分线、高有没有这样的性质呢？

五、教案说明

课堂教学是有效地开展师生双边活动的主阵地，在教师的主导作用下，广泛地让学生参与，积极思考，亲自实践，培养学生的自我意识、竞争意识和创新意识，发展学生的创造性思维，这是素质教育的要求之一。所以，我在教学过程中，让学生充分的动手、动脑，自由的讨论，在此基础上进行分析与研究，以激发学生学习的主动性，同时通过变式训练及开放性练习，不断开发学生的潜能，注重对学生思维品质的培养，从而提高分析问题，解决问题的能力。

本节内容为22.4证明举例的第四课时，用二次三角形全等来证明有关问题，为了分散难点，先复习了命题的证明步骤，再安排学生根据题意画图并写已知与求证，然后让学生在思考讨论的基础上分析解题思路，突出分析与综合的思想方法，最后独立写证明过程。整个例题基本上是由学生解决的，老师在其中作适当的分析、点评，从而培养学生对问题的观察、比较分析及综合演绎的能力。

由对例题的简单变换，引导学生进行猜想与验证，同时引导学生修正猜想。其中渗透猜想与反驳的数学思想，注重对学生思维品质的培养。之后又进一步提出问题，让学有余力的学生课外有深入的思考余地。这样的处理，使例7与练习第一题成为一个整体，而练习2的思维方式与例7相同，作为课后作业是对知识

进行巩固。

最后一道题则是提高要求，少给一个条件，进行开放性思维训练、要学生通过讨论，大胆探索，提出所增加的条件，再由学生来判断其正确性。这样学生的积极性得到充分的调动，更增添学生学习数学的兴趣，从而培养学生发散思维与逆向思维的能力。本堂课小结基本上由学生完成，使学生明白通过努力，收获还是很多的，同时也培养了学生对知识的概括归纳能力。

六、教学反思

综观本节课的课堂教学，我认为教学其实施过程比较顺利，并能有效地开展教学双边活动。其中学生始终是课堂教学的主人，在教师的调动下，学生积极参与课堂教学活动，学习的主动性与积极性得到充分的发挥。

在教学中，凡是能让学生自己去获取知识的内容，我都给学生提供机会，大胆地放，如例题教学中，命题证明要先根据题意画图，写已知、求证、再进行证明，我就放手让学生操作，然后分析解题思路让学生讲，疑点让学生议，错如让学生剖析，最后加以修正。这样，使新知识易掌握，错误易暴露，也利于及时纠正反馈，同时，对发展学生的逻辑思维能力是十分有利的，从而使例题教学显得充实、有效。

把例题简单变式后，提出问题“此时命题还是否成立？”其实这是老师有意设计的一个问题，我先让学生猜想认可，学生均自以为判断是正确的。然后教师平等地参与学生一起也发表见解，通过老师实际画图，学生观察分析，直观地认识到结论不成立，再来分析原因，从而引起学生的重视与反思。这样的反例反驳，学生不仅错明确误之处，而且更明确用举反例证明假命题的方法，从而得出与原来不同的结论。这样使学生在今后解题过程中，不仅要敢于探索，大胆思维，同时也要注意思维的严密性与批判性，从而培养良好的思维品质，不断优化思维方式。

巩固练习是属于“从不变的结论来探索使结论成立的已知条件”的编题，其题型结构是：

条件条件条件结论

条件（不变）

条件条件（学生探索）

缺条件，当然要设定，而且有多种可能性，这样的开放性问题要求学生从条

件方面进行思维和纵向发散，而这种思维的发散需要先进行广泛的逆向联想，再进行正向的验证，颇具挑战性，很容易激起学生“跃跃欲试”的情感和对数学知识的浓厚兴趣，从而打破学生的思维定势，开阔思维。在整个教学过程中，由于教师的鼓励，适时的引导，使学生敢于创新，大胆创造，特别是增加了“BE=DC”这个条件，它的证明需添设辅助线，此时由于学生的思维始终处于兴奋状态，就很自然地想到了解决的办法，进而提高了学生分析问题、解决问题地能力，从中得到了“以思维的逆向性和变通性”为主的思维转换能力的培养。

从当堂学生的各种反馈及课后的作业来看，本节课完成了教学任务，达到了教学目的与要求，特别注重了思维力度与品质的培养，但在教学过程中，对某些问题的问法设计上还有待改进。

第三篇：19.2证明举例(上海八年级第一学期)

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龙文教育个性化辅导授课案

教师：学生：学科：时间：年月日

§19.2

证明举例（上海八年级第一学期）

第四篇：沪教版_初二数学几何证明举例

1.已知：如图1，AD是BC上的中线，且BE∥CF.求证：DF=DE.2.已知：如图2，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点E、F

在AD上，∠ABE=∠DCF.求证：BE∥CF.3.已知：如图3，在△ABC中，EF∥BC，∠1=∠2，D是EF中点。

求证：AE=AF.4.已知：如图1，AB∥CD，BE、DE分别是∠ABD、∠BDC的平分线.求证：BE⊥

DE.5.已知：如图2，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：AO⊥BC.6.如图3，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E.1)若BC在DE的同侧(如图①)且AD=CE，求证：BA⊥AC.2)若BC在DE的两侧(如图②)其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是，请予证明，若不是请说明理由.7.已知：如图1，AB=CD，AD=BC，AE=CF.B、A、E三点

共线，D、C、F三点共线.求证：∠E=∠F.8.已知：如图2，AB=AC，∠A=90°，AE=BF，BD=DC.求证：FD⊥ED.9.已知：如图3，AC=BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B.求证：AD=BC.10.已知：如图1，在△ABC中，∠C=2∠B，AD⊥BC.求证：AC=BD-DC

11.已知：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证：AC=BF.12.已知：如图3，正方形ABCD中，点F在DC上，E在BC上，∠EAF=45°.求证：EF=BE+DF.

第五篇：八年级数学-勾股定理的证明及拓展

八年级数学

勾股定理的证明及其延伸

1.说明

勾股定理是数学中一个重要知识。虽然在教材章节内容中所占篇幅不多，在考试中也往往不会作为一个独立知识点进行命题，但其实其内容及方法常常包含在其他各类题目中，是问题解答过程中一个很重要的手段。所以学生对勾股定理要能够十分熟练地进行使用。本文对勾股定理进行证明及拓展，以使学生对其进行深刻理解。

2.勾股定理的证明

命题：在直角三角形中，a、b为直角边长，c为斜边边长，则有abc。勾股定理一个最简单的证明方法是使用图形证明法。如下图，我们使用4个同样大小的红色直角三角形（a、b为直角边长，c为斜边边长）拼出2个图形： 22

2图1和图2这两个蓝色正方形的面积是相等的（它们的边长都是a+b），而4个红色直角三角形的面积也是相等的，所以2个图形中白色部分的面积也应该相等（都等于蓝色正方

形面积减去4个红色三角形的面积）。而左边图形中白色部分的面积是ab，右边图形中白色部分的面积是c，所以abc。

222222

3.圆与三角形

在讨论勾股定理的延伸之前，我们先来看圆与三角形的关系。

如图3，以BC为直径做圆，圆心为BC的中点O。在圆上任取一点A，则三角形ABC为直角三角形，其中∠A=90°。

如图4，同样做圆。如果A点在圆外，则∠A为锐角。可以这样来证明：连接AO，和圆交与点D。容易得到∠BAC<∠BDC，而∠BDC=90°，故∠A<90°。

如图5，同样做圆。如果A点在圆内，则∠A为钝角。可以这样来证明：连接OA，并延长和圆交与点D。容易得到∠BAC>∠BDC，而∠BDC=90°，故∠A>90°。

综合起来，我们可以得到如下命题：

命题：在三角形ABC中，以BC为直径、BC的中心点为圆心做圆，如果A在圆上，则∠A=90°；如果A在圆外，则∠A<90°；如果A在圆内，则∠A>90°。

注意，这个命题的逆命题也是成立的，即：

命题：在三角形ABC中，以BC为直径、BC的中心点为圆心做圆，如果∠A=90°，则A在圆上；如果∠A<90°，则A在圆外；如果∠A>90°，则A在圆内。

这个逆命题可以利用上面几副图用反证法很容易证得。

4.勾股定理的延伸

现在，我们对勾股定理进行延伸，如下：

命题：在三角形中，a、b、c为其3条边长，其中c为最长边（c≥a、c≥b），如果三角形为直角三角形，则abc；如果三角形为锐角三角形，则abc；如果三角形为钝角三角形，则abc。

请注意上面“c为最长边（c≥a、c≥b）”的条件限定。如果c不是最长边，那么必然是abc，这就不存在任何讨论的必要了。

下面我们来证明这一命题。对于直角三角形的情况，那就是勾股定理，前面我们已经证明了。现在只要证明锐角和钝角三角形的情况。

见下图，仍然如上一节那样，去最长边c为直径做圆（设这条边为BC），那么直径所对应的∠A也会是三角形ABC中最大的角（大角对大边）。

222222222222从上节的讨论中，如果是锐角三角形，A必然在圆外，如图6所示。从A点做直径BC的垂线，交圆于D点。显然AB>BD、AC>DC，而BDDCBC，所以222AB2AC2BC2。

如果是钝角三角形，A必然在圆内，如图7所示。从A点做直径BC的垂线，反向延长交圆于D点。显然AB

命题：在三角形中，a、b、c为其3条边长，其中c为最长边（c≥a、c≥b），如果222222a2b2c2，则三角形为直角三角形；如果a2b2c2，则三角形为锐角三角形；如果

a2b2c2，则三角形为钝角三角形。

5.勾股定理的增强描述

综合以上的讨论，我们可以对勾股定理进行增强型的表述，如下：

在三角形中，a、b、c为其3条边长，其中c为最长边（c≥a、c≥b），则三角形为直角三角形的充分必要条件是abc；三角形为锐角三角形的充分必要条件是222

a2b2c2；三角形为钝角三角形的充分必要条件是a2b2c2。