几何证明及辅助线添加和函数问题的几点体会[本站推荐]

第一篇：几何证明及辅助线添加和函数问题的几点体会[本站推荐]

几何证明及辅助线添加和二次函数问题的几点体会

几何解答（或证明）辅助线添加

添加辅助线不宜生搬硬套什么方法和套路。个人有以下几条体会供参考：

一、添加辅助线实际上是增加题目条件中不充足的已知论断，让已知条件变得更充足。添加辅助线就是要灵活运用数学化归的思想。方法和技巧在理解和练习的基础形成、掌握直至熟练。添加辅助线应该根据题中已知论断和未知论断的的需要来添加。

二、几何证明（或解答）的常用思路和添加辅助线的目的：

1、转化（已知和未知）条件中的数量关系。数量关系包括：

（1）角和线段的和、差、倍、分关系。角的和差通常通过全等变换（平移、旋转[包括中心对称]和轴对称把有和差关系的角叠加在一起）；角的倍分关系可成倍放大或等分、利用三角形外角关系（如等腰三角形顶角的外角等于底角的二倍）；

（2）线段的和差关系往往利用截长补短的方法来转化，而线段的倍分关系用倍长中线、等分线段或添加平行线转化比例线段。

（3）图形的周长：常见的最短距离问题，利用两点之间线段最短把某些定点作定直线的对称点连接起来与定直线的交点即为该动点的静态位置。[例如：二次函数教案P22第11题]（4）转化图形的面积，有两种情况：一是将定理“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形”推广使用，和前面所述线段的倍分关系相关。二是利用“等底等角的三角形面积相等即如果一条直线平行于一条线段，那么这条直线上的所有点与这条线段两端点连接而成的三角形的面积相等”来转化。[例如：二次函数教案P14－17第1－5题]

2、转化已知和未知中的位置关系。

几何着重在于研究图形的识别，大小，性质，判定，画法及相互关系。这里的相互关系就包括同一平面内两条直线的位置关系。

图形的位置关系考虑三种情况：

1、平行；

2、垂直；

3、特殊角。

需要注意的是特殊角。特殊角要放在特殊三角形中，如：直角三角形，等边三角形。常常需要添加直线三角形或旋转（如45度角旋转成直角三角形，利用60度角旋转60度或120度，利用全等三角形和等边三角形的性质进行解答或证明）。

3、图形间的关系：

图形间的关系包括：全等和相似

在添加辅助线时构造全等的常用方法：（1）利用角平线添加成轴对称的全等形；（2）利用中线添加成中心对称的全等形；（3）通过平移构造全等形；（4）通过旋转构造全等形；（5）作平行线等办法构造相似形或转化比例线段。

三、圆的证明和计算

圆的计算或证明抓住几个定理来证明或转化。角的关系：圆周角定理及推论；[重要] 线段的关系：垂径定理及推论；[重要] 直线和圆的关系：切线的性质、判定；[重要] 三角形和圆的关系：圆的内接三角形和三角形的外切圆 切割线定理[重要]；

相交弦定理和弦切角定理[不在课程标准内，中考原则上不考。但各校入学考试可能涉及]；

圆内接四边形（四点共圆）、正多边形和圆；

圆、扇形的周长（面积）和旋转体（圆锥和圆柱）有关的计算。[较重要，中考不难]

解答函数题可能用得到的

各函数的意义

1、正比例函数y=kx(k≠0，k为常数）

（1）代数意义：函数值y是自变量x的k倍的所有有序实数对的集合；（2）几何意义：平面直角坐标系内纵坐标是横坐标k倍的所有点的集合。

2、一次函数y=kx+b(k≠0,k、b为常数）

（1）代数意义：函数值y比自变量x的k倍大b的所有有序实数对的集合；（2）几何意义：平面直角坐标系内平行于直线y=kx(k≠0,k为常数）且纵坐标比横坐标k倍大b的所有点的集合。

其中，k叫斜率。反映直线的倾斜程度即直线与x轴正半轴夹角α的大小。(k=tanα),b称为直线在y轴上的截距。b的符号决定直线平移的方向，它的绝对值决定平移的距离。

3、反比例函数y=k/x(k≠0，k为常数）

(1)代数意义：自变量x与函数值y乘积为定值k的所有有序实数对的集合；(2)几何意义：平面直角坐标系内横坐标与纵坐标乘积为定值k的所有点的集合。在解答用反比例函数求面积有关问题时用到。

其中，k叫双曲线的曲率。它的符号决定双曲线经过的象限，绝对值大小决定双曲线的弯曲程度。

4、二次函数的意义

代数意义和几何意义会在高中阶段学习。

其中，a的符号决定抛物线开口的方向，a的绝对值决定开口的大小。a和b共同决定抛物线的对称轴，c是抛物线与y轴交点纵坐标。

二、灵活运用点与函数的关系解决函数问题

解题时，紧紧抓住图象或题中给出的点，以及图象与两坐标轴的交点。

研究和解决函数应用题始终抓住以点研究线，线指导点，点是线的典型性代表，点线结合，动点是有规律变化的点，但在实际问题中找动点上的特殊点让动点成为定点要静态地去看待和研究它，注意数形结合。时刻不忘线与线的相互作用和关系。

三、灵活运用函数与方程、不等式的关系

函数与方程和不等式的关系用来求图象与坐标轴的交点坐标和变量的取值范围； 二次函数与一元二次方程和二次不等式的关系运用中要考虑到一元二次方程一般形式中二次项系数的限制条件以及判别式和韦达定理的使用。二次函数的最值要注意顶点坐标是否在自变量x的取值范转内。

四、解答函数问题可能用到的两点知识

1、三角形的面积

11如图所示的三角形的面积分别为：Sah、Sx1x2PQ

2、两条互相垂直的直线斜率互为负倒数。

如图

y1k1xb1y2k2xb2则：k1k21

第二篇：几何中添加辅助线的一般原则

添线原则：

一把分散的几何元素转化为相对集中的几何元素（如把分散的元素集中在一个三角形或两个全等的三角形中，以使定理能够针对应用）二把不规则的图形转化为规则的图形，把复杂图形转化为简单的基本图形。常见方法：

1.遇到等腰三角形时，添底边中线，或已知底边中线添两腰，应用等腰三角形三线合一性质；

2.遇到直角三角形时，添斜边中线，应用直角三角形性质解题；

3.遇到三角形中线时，将中线延长一倍；

4.遇到两条线段的和等于第三条线段，可在长的线段上截取，也可延长短的线段； 5.遇到证明圆中的弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系时，常添半径或弦心距； 6.遇到一些常见的几何基本图形残缺不全时，利用添线补全基本图形。

例题：如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于点F。求证：AF=EF（4）本阶段涉及的证明类型及方法：

①证明两线段相等方法 1.利用全等三角形性质证明； 2.利用等腰三角形性质及判定证明； 3.利用直角三角形性质及度量关系证明； 4.利用平行四边形性质证明；

5.利用线段的中垂线、角平分线性质证明； 6.利用图形翻折证明； 7.通过计算线段证明； 8.利用第三线段过渡证明。

例1：如图，已知RT△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，AM=AN, MN∥AC.求证：MN=AC ②证明两角相等方法1.利用全等三角形性质证明； 2.利用平行四边形性质证明； 3.利用等腰三角形性质证明； 4.利用平行线性质证明；

5.利用计算角度证明；

6.利用常用定理证明（如对顶角相等、同角或等角的余角或补角相等、圆的性质等）

例2：如图：已知在△ABC中，AB=AC, E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于D, 连结ED并延长ED到点F, 使DF=DE，连FC.求证：

③证明两直线平行方法 1.利用平行线的判定证明； 2.利用平行四边形性质证明； 例3：如图：已知∠

1与∠

23.利用平行线的传递性证明；

互补，∠A=∠D

求证：AB∥CD ④证明两直线垂直方法 1.利用垂直定义证明；

2.利用邻补角的两角的平分线互相垂直证明；

3.利用三角形内角和证明； 4.利用等腰三角形性质证明； 5.利用垂径定理证明；

例4：如图：已知在△ABC中，AD⊥BC,M为BC的中点，且∠BAD=∠DAM=∠MAC 求证：∠BAC=90°

⑤证明线段的和差倍分方法 1.通过代数方法证明；

2.利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明；

3.利用在直角三角形中，如果有一个

锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半证明； 4.利用截长补短法证明； 5.利用延短等长法证明；

例5：如图：已知在△ABC中，AD是BC上的高，∠B=2∠C, 求证：AB+BD=DC

⑥证明角的和差倍分方法

1.利用三角形外角等于不相邻的两个内角和证明；

2.利用平行线性质证明；

3.通过代数方法证明；

4.通过题中的平行线、垂线中隐含的角与角间的联系证明。

例6：如图：已知MN∥PQ, AC⊥PQ, BD和AC交于点E，且 DE=2AB.求证：∠ABC=3∠DBC

第三篇：辅助线几何证明题

辅助线的几何证明题

三角形辅助线做法

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。

常见的辅助线做法

1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。

5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

一、倍长中线（线段）造全等

（一）例题讲解

例

1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB5，AC3，求中线AD的取值范围。分析：本题的关键是如何把AB，AC，AD三条线段转化到同一个三角形当中。解:延长AD到E，使DEDA，连接BE

又∵BDCD，BDECDA

∴BDECDASAS，BEAC3

∵ABBEAEABBE(三角形三边关系定理)

即22AD8

∴1AD4

经验总结：见中线，延长加倍。

E B D C A

第四篇：中考辅助线的添加

一、专题精讲

和平行四边形有关的辅助线作法

平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形

例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.2．利用两组对边平行构造平行四边形

例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH.3．利用对角线互相平分构造平行四边形

例3 如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.图3

例

4、如下图1，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AECF,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）

二、专题过关：

1．（2015•张掖校级模拟）已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．

求证：四边形PBQD是平行四边形．

2．（2015•海淀区一模）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．

小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

请回答：BC+DE的值为

． 参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．

3．（2015•香坊区二模）已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，E在CB的延长线上，且BE=2BD，连接AE，F是AC的中点，G是AE的中点，连接BG、BF．（1）如图1，求证：四边形AGBF是平行四边形．

（2）如图2，连接GF、DF，GF与AB相交于点H，若GF=AB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等边三角形．

一、专题精讲

和中位线有关辅助线的作法

三角形的中位线平行等于底边的一半

例

1、如图11，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH.例

2、如图，四边形ABCD中，E、F、G、H是四边形各边的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。

例

3、（2014•鞍山一模）（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）

（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．

例

4、已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H．求证：OG=OH．

二、专题过关：

1．（2015•巴东县模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形；

（2）若AB=，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．

2．（2014•万州区校级模拟）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．（1）求证：EF=CF；（2）求证：FG⊥DG．

3．（2014春•河东区校级月考）如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AB，BD，BC，AC的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．

4．（2011秋•平顶山期末）如图四边形ABCD，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是平行四边形．

一、专题精讲

和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.例5 如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.三、与矩形有辅助线作法

例6 如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长.分析：要利用已知条件，因为矩形ABCD，可过P分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题.图7

四、与正方形有关辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.1例

7、如图8，过正方形ABCD的顶点B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求证：∠BCF=2∠AEB.专题过关

1．（2015春•巴南区校级期末）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．

2．（2013•张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；

（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；

（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

3．（2015春•泰兴市期末）如图，菱形ABCD中，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与菱形的顶点重合），且满足CF=DE，∠A=60°．（1）写出图中一对全等三角形：

；（2）求证：△BEF是等边三角形；（3）若菱形ABCD的边长为2，设△DEF的周长为m，则m的取值范围为

（直接写出答案）；

222（4）连接AC分别与边BE、BF交于点M、N，且∠CBF=15°，试说明：MN+CN=AM．

4．（2015•无锡校级三模）如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF．（1）求证：BF=DF；（2）连接CF，请直接写出的值为

（不必写出计算过程）．

课后作业

1．（2015春•山西校级期末）已知：如图，▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．

（1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC，DE，当AE与CD满足什么关系时，四边形ACED是正方形？请说明理由．

2．（2015春•澧县期末）如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作 等边△ADE．

（1）求证：△ACD≌△CBF；

（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°．

3．（2015春•宜春期末）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．

4．（2015春•龙口市期末）如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，点F是BE延长线与AC的交点，求的值．

第五篇：初中数学辅助线添加口诀

数学辅助线

人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。几何证题难不难，关键常在辅助线； 知中点、作中线，中线处长加倍看；底角倍半角分线，有时也作处长线； 线段和差及倍分，延长截取证全等；公共角、公共边，隐含条件须挖掘； 全等图形多变换，旋转平移加折叠；中位线、常相连，出现平行就好办； 四边形、对角线，比例相似平行线；梯形问题好解决，平移腰、作高线； 两腰处长义一点，亦可平移对角线；正余弦、正余切，有了直角就方便； 特殊角、特殊边，作出垂线就解决；实际问题莫要慌，数学建模帮你忙； 圆中问题也不难，下面我们慢慢谈；弦心距、要垂弦，遇到直径周角连； 切点圆心紧相连，切线常把半径添；两圆相切公共线，两圆相交公共弦； 切割线，连结弦，两圆三圆连心线；基本图形要熟练，复杂图形多分解；

以上规律属一般，灵活应用才方便。