第一篇:初中教你如何做几何辅助线
初中几何辅助线做法
三角形
图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。四边形
平行四边形出现,对称中心等分点。梯形里面作高线,平移一腰试试看。平行移动对角线,补成三角形常见。证相似,比线段,添线平行成习惯。等积式子比例换,寻找线段很关键。直接证明有困难,等量代换少麻烦。斜边上面作高线,比例中项一大片。
圆
半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径连。切线长度的计算,勾股定理最方便。要想证明是切线,半径垂线仔细辨。是直径,成半圆,想成直角径连弦。弧有中点圆心连,垂径定理要记全。圆周角边两条弦,直径和弦端点连。弦切角边切线弦,同弧对角等找完。要想作个外接圆,各边作出中垂线。还要作个内接圆,内角平分线梦圆。如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。内外相切的两圆,经过切点公切线。若是添上连心线,切点肯定在上面。要作等角添个圆,证明题目少困难。
辅助线,是虚线,画图注意勿改变。假如图形较分散,对称旋转去实验。基本作图很关键,平时掌握要熟练。解题还要多心眼,经常总结方法显。切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。分析综合方法选,困难再多也会减。
一、见中点引中位线,见中线延长一倍
在几何题中,如果给出中点或中线,可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
二、在比例线段证明中,常作平行线。
作平行线时往往是保留结论中的一个比,然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。
三、对于梯形问题,常用的添加辅助线的方法有
1、过上底的两端点向下底作垂线
2、过上底的一个端点作一腰的平行线
3、过上底的一个端点作一对角线的平行线
4、过一腰的中点作另一腰的平行线
5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交
6、作梯形的中位线
7、延长两腰使之相交
四、在解决圆的问题中
1、两圆相交连公共弦。
2、两圆相切,过切点引公切线。
3、见直径想直角
4、遇切线问题,连结过切点的半径是常用辅助线
5、解决有关弦的问题时,常常作弦心距。
第二篇:辅助线几何证明题
辅助线的几何证明题
三角形辅助线做法
图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。
线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。
三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。
常见的辅助线做法
1、遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。
2、遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
3、遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
4、过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。
5、截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
6、特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答。
一、倍长中线(线段)造全等
(一)例题讲解
例
1、(“希望杯”试题)已知,如图ABC中,AB5,AC3,求中线AD的取值范围。分析:本题的关键是如何把AB,AC,AD三条线段转化到同一个三角形当中。解:延长AD到E,使DEDA,连接BE
又∵BDCD,BDECDA
∴BDECDASAS,BEAC3
∵ABBEAEABBE(三角形三边关系定理)
即22AD8
∴1AD4
经验总结:见中线,延长加倍。
E B D C A
第三篇:初中几何常见辅助线作法口诀
初中几何常见辅助线作法口诀
三角形
图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,中线加倍全等现。四边形
平行四边形出现,对称中心等分点。梯形里面作高线,平移一腰试试看。平行移动对角线,补成三角形常见。证相似,比线段,添线平行成习惯。
要作等角添个圆,证明题目少困难。
等积式子比例换,寻找线段很关键。
辅助线,是虚线,画图注意勿改变。
直接证明有困难,等量代换少麻烦。斜边上面作高线,比例中项一大片。
常见基本图形:8字形,平行8字形,平行等8字形,领子,射影,类射影 1.平行、平分、等腰,知二推一。2. 中线加倍 3. 补形
4. 旋转、平移、轴对称
5. 遇角分线截长补短或作双垂直,构成一对全等三角形。
6. 遇两个等边三角形有公共顶点,用一长一短和长短间的夹角证全等 7. 遇2倍角常变作等腰三角形顶角的外角
8. 证线段的1/2时,常变作中位线,直角三角形斜边中线或30°Rt△ 9. 等边三角形面积:
10.30°底角等腰三角形,腰是a,底是a,面积是
11.图中见120°角,想60°角;见15°角,想30°角;
12.梯形常用辅助线:延两腰,作双高,平行于一腰,平行于对角线。遇一腰中点,作平行等8字13.见直径,有直角
14.证切线,两方法:(1)连半径,证垂直;(2)作垂直,证半径 15.正多边形内切圆与外接圆对应线段比:面积比:
假如图形较分散,对称旋转去实验。圆
半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径连。切线长度的计算,勾股定理最方便。要想证明是切线,半径垂线仔细辨。是直径,成半圆,想成直角径连弦。弧有中点圆心连,垂径定理要记全。圆周角边两条弦,直径和弦端点连。弦切角边切线弦,同弧对角等找完。要想作个外接圆,各边作出中垂线。还要作个内接圆,内角平分线梦圆如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。内外相切的两圆,经过切点公切线。若是添上连心线,切点肯定在上面。
第四篇:初中几何常见辅助线作法口诀及习题
人说几何很困难,难点就在辅助线。
辅助线,如何添?把握定理和概念。
还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。
三角形
图中有角平分线,可向两边作垂线。
也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
角平分线加垂线,三线合一试试看。
线段垂直平分线,常向两端把线连。
要证线段倍与半,延长缩短可试验。
三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,延长中线等中线。
四边形
平行四边形出现,对称中心等分点。
梯形里面作高线,平移一腰试试看。
平行移动对角线,补成三角形常见。
证相似,比线段,添线平行成习惯。
等积式子比例换,寻找线段很关键。
直接证明有困难,等量代换少麻烦。
斜边上面作高线,比例中项一大片。
作辅助线的方法一:中点、中位线,延线,平行线。如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作辅助线,使延长的某一段等于中线或中位线;另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到应用某个定理或造成全等的目的。二:垂线、分角线,翻转全等连。如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的方法,并借助其他条件,而旋转180度,得到全等形,这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。三:边边若相等,旋转做实验。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转一定的角度,就可以得到全等形,这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心,因题而异,有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。四:造角、平、相似,和、差、积、商见。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,欲证线段或角的和差积商,往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时,一般地,有两种方法:第一,造一个辅助角等于已知角;第二,是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀:“造角、平、相似,和差积商见。”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表)五:两圆若相交,连心公共弦。如果条件中出现两圆相交,那么辅助线往往是连心线或公共弦。六:两圆相切、离,连心,公切线。如条件中出现两圆相切(外切,内切),或相离(内含、外离),那么,辅助线往往是连心线或内外公切线。七:切线连直径,直角与半圆。如果条件中出现圆的切线,那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角;相反,条件中是圆的直径,半径,那么辅助线是过直径(或半径)端点的切线。即切线与直径互为辅助线。如果条件中有直角三角形,那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆,或半圆;相反,条件中有半圆,那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。八:弧、弦、弦心距;平行、等距、弦。如遇弧,则弧上的弦是辅助线;如遇弦,则弦心距为辅助线。如遇平行线,则平行线间的距离相等,距离为辅助线;反之,亦成立。如遇平行弦,则平行线间的距离相等,所夹的弦亦相等,距离和所夹的弦都可视为辅助线,反之,亦成立。有时,圆周角,弦切角,圆心角,圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。九:面积找底高,多边变三边。如遇求面积,(在条件和结论中出现线段的平方、乘积,仍可视为求面积),往往作底或高为辅助线,而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形,想法割补成三角形;反之,亦成立。另外,我国明清数学家用面积证明勾股定理,其辅助线的做法,即“割补”有二百多种,大多数为“面积找底高,多边变三边”。
三角形
图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。
线段垂直平分线,常向两端把线连。线段和差及倍半,延长缩短可试验。
线段和差不等式,移到同一三角去。三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,倍长中线得全等。
四边形
平行四边形出现,对称中心等分点。梯形问题巧转换,变为三角或平四。
平移腰,移对角,两腰延长作出高。如果出现腰中点,细心连上中位线。
上述方法不奏效,过腰中点全等造。证相似,比线段,添线平行成习惯。
等积式子比例换,寻找线段很关键。直接证明有困难,等量代换少麻烦。
斜边上面作高线,比例中项一大片。
圆形
半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径联。
切线长度的计算,勾股定理最方便。要想证明是切线,半径垂线仔细辨。
是直径,成半圆,想成直角径连弦。弧有中点圆心连,垂径定理要记全。
圆周角边两条弦,直径和弦端点连。弦切角边切线弦,同弧对角等找完。
要想作个外接圆,各边作出中垂线。还要作个内接圆,内角平分线梦圆。
如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。内外相切的两圆,经过切点公切线。
若是添上连心线,切点肯定在上面。要作等角添个圆,证明题目少困难。
由角平分线想到的辅助线
一、截取构全等
如图,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。
分析:在此题中可在长线段BC上截取BF=AB,再证明CF=CD,从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。
二、角分线上点向两边作垂线构全等
如图,已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证:∠ADC+∠B=180
分析:可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。三、三线合一构造等腰三角形
如图,AB=AC,∠BAC=90,AD为∠ABC的平分线,CE⊥BE.求证:BD=2CE。
分析:延长此垂线与另外一边相交,得到等腰三角形,随后全等。
四、角平分线+平行线
如图,AB>AC, ∠1=∠2,求证:AB-AC>BD-CD。
分析:AB上取E使AC=AE,通过全等和组成三角形边边边的关系可证。
由线段和差想到的辅助线
截长补短法
AC平分∠BAD,CE⊥AB,且∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE。
分析:过C点作AD垂线,得到全等即可。由中点想到的辅助线
一、中线把三角形面积等分
如图,ΔABC中,AD是中线,延长AD到E,使DE=AD,DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2,求:ΔCDF的面积。
分析:利用中线分等底和同高得面积关系。
二、中点联中点得中位线
如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证:∠BGE=∠CHE。
分析:联BD取中点联接联接,通过中位线得平行传递角度。
三、倍长中线
如图,已知ΔABC中,AB=5,AC=3,连BC上的中线AD=2,求BC的长。
分析:倍长中线得到全等易得。
四、RTΔ斜边中线
如图,已知梯形ABCD中,AB//DC,AC⊥BC,AD⊥BD,求证:AC=BD。
分析:取AB中点得RTΔ斜边中线得到等量关系。
由全等三角形想到的辅助线
一、倍长过中点得线段
已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是。
分析:利用倍长中线做。
二、截长补短
如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分,求证:∠A+∠C=180
分析:在角上截取相同的线段得到全等。
三、平移变换
如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:AB+AC>AD+AE
分析:将△ACE平移使EC与BD重合。
四、旋转
正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数
分析:将△ADF旋转使AD与AB重合。全等得证。由梯形想到的辅助线
一、平移一腰
所示,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,AB∥DC,AD=15,AB=16,BC=17.求CD的长。
分析:利用平移一腰把梯形分割成三角形和平行四边形。
二、平移两腰
如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B+∠C=90°,AD=1,BC=3,E、F分别是AD、BC的中点,连接EF,求EF的长。
分析:利用平移两腰把梯形底角放在一个三角形内。
三、平移对角线
已知:梯形ABCD中,AD//BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD的面积。
分析:通过平移梯形一对角线构造直角三角形求解。
四、作双高
在梯形ABCD中,AD为上底,AB>CD,求证:BD>AC。
分析:作梯形双高利用勾股定理和三角形边边边的关系可得。
五、作中位线
(1)如图,在梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别是BD、AC的中点,求证:EF//AD
分析:联DF并延长,利用全等即得中位线。
(2)在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,E是DC上的中点,连接AE和BE,求∠AEB=2∠CBE。
分析:在梯形中出现一腰上的中点时,过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。
1.已知:如图,在正方形ABCD中,E、F分别在AD、DC上,且DE=DF,BM⊥EF于M.求证:ME=MF.
2.如图,正方形ABCD,E是BC上的一点,延长AB至F使BE=BF,延长AE交CF于G。求证:CFAG.
3.如图,ABCD、BEFG都是正方形,A、B、E在一条直线上,连结A、G,且延长交CE的连线为H,求证:CEAH.
第五篇:初中几何辅助线的连接方法
初中几何辅助线的连接方法盐中数学中考冲刺
人说几何很困难,难点就在辅助线。辅助线,如何添?把握定理和概念。还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。三角形见着中点就延长,线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等线。平行四边形出现,对称中心等分点。梯形平移腰、平移对角线
梯形里面作高线,平移一腰试试看。做高、延长两腰补成三角形
平行移动对角线,补成三角形常见。证相似,比线段,添线平行成习惯。等积式子比例换,寻找线段很关键。直接证明有困难,等量代换少麻烦。斜边上面作高线,比例中项一大片。半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径连。切线长度的计算,勾股定理最方便。要想证明是切线,半径垂线仔细辨。是直径,成半圆,想成直角径连弦。弧有中点圆心连,垂径定理要记全。圆周角边两条弦,直径和弦端点连。弦切角边切线弦,同弧对角等找完。要想作个外接圆,各边作出中垂线。还要作个内接圆,内角平分线梦圆如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。内外相切的两圆,经过切点公切线。若是添上连心线,切点肯定在上面。要作等角添个圆,证明题目少困难。辅助线,是虚线,画图注意勿改变。
假如图形较分散,对称旋转去实验。基本作图很关键,平时掌握要熟练。解题还要多心眼,经常总结方法显。切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。分析综合方法选,困难再多也会减。虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。几何证题难不难,关键常在辅助线;知中点、作中线,中线处长加倍看;底角倍半角分线,有时也作处长线;线段和差及倍分,延长截取证全等;公共角、公共边,隐含条件须挖掘;全等图形多变换,旋转平移加折叠;中位线、常相连,出现平行就好办;四边形、对角线,比例相似平行线;梯形问题好解决,平移腰、作高线;两腰处长义一点,亦可平移对角线;正余弦、正余切,有了直角就方便;特殊角、特殊边,作出垂线就解决;实际问题莫要慌,数学建模帮你忙;圆中问题也不难,下面我们慢慢谈;弦心距、要垂弦,遇到直径周角连;切点圆心紧相连,切线常把半径添;两圆相切公共线,两圆相交公共弦;切割线,连结弦,两圆三圆连心线;基本图形要熟练,复杂图形多分解;以上规律属一般,灵活应用才方便。