添加辅助线解特殊四边形题

第一篇：添加辅助线解特殊四边形题

添加辅助线解特殊四边形题

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形．在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线．下面介绍一些辅助线的添加方法．

一、和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形．

1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形

例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形．

求证:OE与AD互相平分．

分析:因为四边形OCDE是平行四边形,所以OC//ED,OC=DE,又由O是AC的中点,得出AO//ED,AO=ED,则四边形AODE是平行四边形,问题得证． 证明:连结AE、OD，因为是四边形OCDE是平行四边形，所以OC//DE，OC=DE，因为0是AC的中点，所以A0//ED，AO=ED，所以四边形AODE是平行四边形，所以AD与OE互相平分．

图1 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形．

2．利用两组对边平行构造平行四边形

例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G．求证:ED+FG=AC．

分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH．

证明:过点E作EH//BC,交AC于H, 因为ED//AC,所以四边形CDEH是平行四边形, 所以ED=HC, 又FG//AC,EH//BC, 所以∠AEH=∠B,∠A=∠BFG, 又AE=BF, 所以△AEH≌△FBG, 所以AH=FG，图2 所以FG+DE=AH+HC=AC．

说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题．

3．利用对角线互相平分构造平行四边形 例3 如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证BF=AC． 分析：要证明BF=AC，一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中，利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和BF、AC相等的相段代换．寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形．

证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG，CG，因为BD=CD，所以四边形ABGC是平行四边形，所以AC=BG，AC//BG，所以∠1=∠4，因为AE=EF，所以∠1=∠2，又∠2=∠3，所以∠1=∠4，所以BF=BG=AC．

图3

图4 说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形．当已知中点或中线应思考这种方法．

二、和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题．

例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形． 分析：要证明四边形CDEF是菱形，根据已知条件，本题有量种判定方法，一是证明四边相等的四边形是菱形，二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据AD是∠BAC的平分线，AE=AC，可通过连接CE，构造等腰三角形，借助三线合一证明AD垂直CE． 求AD平分CE．

证明：连结CE交AD于点O，由AC=AE，得△ACE是等腰三角形，因为AO平分∠CAE，所以AO⊥CE，且OC=OE，因为EF//CD，所以∠1=∠2，图5 又因为∠EOF=∠COD，所以△DOC可以看成由△FOE绕点O旋转而成，所以OF=OD，所以CE、DF互相垂直平分．所以 四边形CDEF是菱形．

例5 如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长．

分析：要证明EF+BF的最小值是DE的长，可以通过连结菱形的对角线BD，借助菱形的对角线互相垂直平分得到DF=BF，然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题． 证明：连结BD、DF．

因为AC、BD是菱形的对角线，所以AC垂直BD且平分BD，所以BF=DF，所以EF+BF=EF+DF≥DE，当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时，上式等号成立，所以EF+BF的最小值恰好等于DE的长．

图6 说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线．

三、与矩形有辅助线作法

和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题．和矩形有关的试题的辅助线的作法较少．

例6 如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5．求 PD的长．

分析：要利用已知条件，因为矩形ABCD，可过P分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题．

解：过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于点H，交AD于G．

因为四边形ABCD是矩形，所以PF2=CH2=PC2-PH2，DF2=AE2=AP2-EP2，PH2+PE2=BP2，所以PD2=PC2-PH2+AP2-EP2=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18，所以PD=32 ．

图7 说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD与PA、PB、PC之间的关系，进而求到PD的长．

四、与正方形有关辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多．解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线．

例7如图8，过正方形ABCD的顶点B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE．求证：∠BCF= 1∠AEB． 2分析：由BE//AC，CF//AE，AE=AC，可知四边形AEFC是菱形，作AH⊥BE于H，根据正方形的性质可知四边形AHBO是正方形，从AH=OB=∠BCF=15°．

证明：连接BD交AC于O，作AH⊥BE交BE于H．

1AC，可算出∠E=∠ACF=30°，2在正方形ABCD中，AC⊥BD，AO=BO，又BE//AC，AH⊥BE，所以BO⊥AC，所以四边形AOBH为正方形，所以AH=AO=

1AC，2因为AE=AC，所以∠AEH=30°，因为BE//AC，AE//CF，所以ACFE是菱形，所以∠AEF=∠ACF=30°，因为AC是正方形的对角线，所以∠ACB=45°，所以∠BCF=15°，所以∠BCF=

图8 说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质．通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题．

五、与梯形有关的辅助线的作法

和梯形有关的辅助线的作法是较多的．主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4）延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等． 例8 已知，如图9，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于点0．求证：CO=CD．

分析：要证明CO=CD，可证明∠COD=∠CDO，由于已知∠BAC=90°，所以可通过作梯形高构造矩形，借助直角三角形的性质解决问题．

证明：过点A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别是E、F，则四边形AEFD为矩形，因为AE=DF，AB=AC，AE⊥BC，∠BAC=90°，所以AE=BE=CE=所以AE=DF=

1∠AEB．

21BC，∠ACB=45°，21，2180DBC75，2又DF⊥BC，所以在Rt△DFB中，∠DBC=30°，又BD=BC，所以∠BDC=∠BCD=所以∠DOC=∠DBC+∠ACB=30°+45°=75°． 所以∠BDC=∠DOC，所以C0=CD．

图9 说明：在证明线段相等时，一般利用等角对等边来证明，本题作梯形的高将梯形转化为矩形和直角三角形，进而根据直角三角形知识解决．

例9 如图10，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E．求DE的长． 分析：根据本题的已知条件，可通过平移一条对角线，把梯形转化为平行四边形和直角三角形，借助勾股定理解决．

解：过点D作DF//AC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形，所以AC=DF，AD=CF，因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AC=DB，BD=FD，因为DE⊥BC，所以BE=EF==

111BF=(BC+CF)=(BC+AD)2221×10=5． 2因为AC//DF,BD⊥AC,所以BD⊥DF, 因为BE=FE,所以DE=BE=EF=5, 即DE的长为5．

图10 说明:当有对角线或垂直成梯形时,常作梯形对角线的平行线,构造平行四边形,等腰三角形或直角三角形来解决．

六、和中位线有关辅助线的作法

例10 如图11，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G．求证：OG=OH．

分析：欲证0G=OH，而OG、OH为同一个三角形的两边，又E、F分别是AB、CD中点，所以可试想作辅助线，构造三角形中位线解决问题． 证明：取AD中点P，连结PE，PF． 因为E是AB的中点，F是CD的中点，所以PE//BD，且PE=11BD，PF//AC，且PF=AC，22所以∠PEF=∠PFE，又∠PEF=∠OGH，∠PFE=∠OHG，所以∠OGH=∠OHG，所以OG=OH．

说明：遇中点，常作中位线，借助中位线的性质解题．

图11

第二篇：中考辅助线的添加

一、专题精讲

和平行四边形有关的辅助线作法

平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形

例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.2．利用两组对边平行构造平行四边形

例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH.3．利用对角线互相平分构造平行四边形

例3 如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.图3

例

4、如下图1，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AECF,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）

二、专题过关：

1．（2015•张掖校级模拟）已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．

求证：四边形PBQD是平行四边形．

2．（2015•海淀区一模）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．

小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

请回答：BC+DE的值为

． 参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．

3．（2015•香坊区二模）已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，E在CB的延长线上，且BE=2BD，连接AE，F是AC的中点，G是AE的中点，连接BG、BF．（1）如图1，求证：四边形AGBF是平行四边形．

（2）如图2，连接GF、DF，GF与AB相交于点H，若GF=AB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等边三角形．

一、专题精讲

和中位线有关辅助线的作法

三角形的中位线平行等于底边的一半

例

1、如图11，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH.例

2、如图，四边形ABCD中，E、F、G、H是四边形各边的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。

例

3、（2014•鞍山一模）（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）

（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．

例

4、已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H．求证：OG=OH．

二、专题过关：

1．（2015•巴东县模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形；

（2）若AB=，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．

2．（2014•万州区校级模拟）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．（1）求证：EF=CF；（2）求证：FG⊥DG．

3．（2014春•河东区校级月考）如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AB，BD，BC，AC的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．

4．（2011秋•平顶山期末）如图四边形ABCD，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是平行四边形．

一、专题精讲

和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.例5 如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.三、与矩形有辅助线作法

例6 如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长.分析：要利用已知条件，因为矩形ABCD，可过P分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题.图7

四、与正方形有关辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.1例

7、如图8，过正方形ABCD的顶点B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求证：∠BCF=2∠AEB.专题过关

1．（2015春•巴南区校级期末）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．

2．（2013•张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；

（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；

（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

3．（2015春•泰兴市期末）如图，菱形ABCD中，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与菱形的顶点重合），且满足CF=DE，∠A=60°．（1）写出图中一对全等三角形：

；（2）求证：△BEF是等边三角形；（3）若菱形ABCD的边长为2，设△DEF的周长为m，则m的取值范围为

（直接写出答案）；

222（4）连接AC分别与边BE、BF交于点M、N，且∠CBF=15°，试说明：MN+CN=AM．

4．（2015•无锡校级三模）如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF．（1）求证：BF=DF；（2）连接CF，请直接写出的值为

（不必写出计算过程）．

课后作业

1．（2015春•山西校级期末）已知：如图，▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．

（1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC，DE，当AE与CD满足什么关系时，四边形ACED是正方形？请说明理由．

2．（2015春•澧县期末）如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作 等边△ADE．

（1）求证：△ACD≌△CBF；

（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°．

3．（2015春•宜春期末）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．

4．（2015春•龙口市期末）如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，点F是BE延长线与AC的交点，求的值．

第三篇：初中数学辅助线添加口诀

数学辅助线

人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。几何证题难不难，关键常在辅助线； 知中点、作中线，中线处长加倍看；底角倍半角分线，有时也作处长线； 线段和差及倍分，延长截取证全等；公共角、公共边，隐含条件须挖掘； 全等图形多变换，旋转平移加折叠；中位线、常相连，出现平行就好办； 四边形、对角线，比例相似平行线；梯形问题好解决，平移腰、作高线； 两腰处长义一点，亦可平移对角线；正余弦、正余切，有了直角就方便； 特殊角、特殊边，作出垂线就解决；实际问题莫要慌，数学建模帮你忙； 圆中问题也不难，下面我们慢慢谈；弦心距、要垂弦，遇到直径周角连； 切点圆心紧相连，切线常把半径添；两圆相切公共线，两圆相交公共弦； 切割线，连结弦，两圆三圆连心线；基本图形要熟练，复杂图形多分解；

以上规律属一般，灵活应用才方便。

第四篇：几何中添加辅助线的一般原则

添线原则：

一把分散的几何元素转化为相对集中的几何元素（如把分散的元素集中在一个三角形或两个全等的三角形中，以使定理能够针对应用）二把不规则的图形转化为规则的图形，把复杂图形转化为简单的基本图形。常见方法：

1.遇到等腰三角形时，添底边中线，或已知底边中线添两腰，应用等腰三角形三线合一性质；

2.遇到直角三角形时，添斜边中线，应用直角三角形性质解题；

3.遇到三角形中线时，将中线延长一倍；

4.遇到两条线段的和等于第三条线段，可在长的线段上截取，也可延长短的线段； 5.遇到证明圆中的弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系时，常添半径或弦心距； 6.遇到一些常见的几何基本图形残缺不全时，利用添线补全基本图形。

例题：如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于点F。求证：AF=EF（4）本阶段涉及的证明类型及方法：

①证明两线段相等方法 1.利用全等三角形性质证明； 2.利用等腰三角形性质及判定证明； 3.利用直角三角形性质及度量关系证明； 4.利用平行四边形性质证明；

5.利用线段的中垂线、角平分线性质证明； 6.利用图形翻折证明； 7.通过计算线段证明； 8.利用第三线段过渡证明。

例1：如图，已知RT△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，AM=AN, MN∥AC.求证：MN=AC ②证明两角相等方法1.利用全等三角形性质证明； 2.利用平行四边形性质证明； 3.利用等腰三角形性质证明； 4.利用平行线性质证明；

5.利用计算角度证明；

6.利用常用定理证明（如对顶角相等、同角或等角的余角或补角相等、圆的性质等）

例2：如图：已知在△ABC中，AB=AC, E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于D, 连结ED并延长ED到点F, 使DF=DE，连FC.求证：

③证明两直线平行方法 1.利用平行线的判定证明； 2.利用平行四边形性质证明； 例3：如图：已知∠

1与∠

23.利用平行线的传递性证明；

互补，∠A=∠D

求证：AB∥CD ④证明两直线垂直方法 1.利用垂直定义证明；

2.利用邻补角的两角的平分线互相垂直证明；

3.利用三角形内角和证明； 4.利用等腰三角形性质证明； 5.利用垂径定理证明；

例4：如图：已知在△ABC中，AD⊥BC,M为BC的中点，且∠BAD=∠DAM=∠MAC 求证：∠BAC=90°

⑤证明线段的和差倍分方法 1.通过代数方法证明；

2.利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明；

3.利用在直角三角形中，如果有一个

锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半证明； 4.利用截长补短法证明； 5.利用延短等长法证明；

例5：如图：已知在△ABC中，AD是BC上的高，∠B=2∠C, 求证：AB+BD=DC

⑥证明角的和差倍分方法

1.利用三角形外角等于不相邻的两个内角和证明；

2.利用平行线性质证明；

3.通过代数方法证明；

4.通过题中的平行线、垂线中隐含的角与角间的联系证明。

例6：如图：已知MN∥PQ, AC⊥PQ, BD和AC交于点E，且 DE=2AB.求证：∠ABC=3∠DBC

第五篇：特殊四边形的证明题

题型一：矩形

1.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。（1）求证：BD=CD；（2）如果AB=AC，试判断

四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

2.如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．

求证： PA=PQ．

Q

B

D C

3.如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥AE．

试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．

C

4.如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，E在AB延长线上，∠BCE=60°，求∠ADE.1 E A FB E

5.已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.求证:AE平分∠BAD.（第23题）

6.如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE于F，连结DE，求证：DF＝DC． D

B E

7.在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边与AB、BC

分别相交于点M，N时，观察或测量BM与CN的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论。

题型二：菱形

8.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF．

（1）求证：△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．

BE C D

9.如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=a.（1）求∠ABC的度数；（2）求对角线AC的长；（3）求菱形ABCD的面积。

10.如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．

过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量

关系，并证明你的结论．

11.如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．求证：四边形DECF为菱形． BN B C

题型三：正方形

12.四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．（1）求证：AE=CG；（2）观

察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明

13.把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

F

E

14.如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.(1)求证：DE－BF = EF．(2)当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．(3)若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）． C

题型四：综合证明题

15.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AED2EAD，求证：四边形ABCD是正方形．

E

A

BC