数学四边形证明经典题

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第一篇:数学四边形证明经典题

数学选讲四边形证明经典题.2.已知:如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC和CD上,AE = AF.

(1)求证:BE = DF;

(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM = OA,连接EM、FM.判断四边形AEMF是什么特殊

四边形?并证明你的结论.

A

B

F

D M

B

D 3.如图,ABM为直角,点C为线段BA的中点,点D是射线BM上的一个动点(不与点B重合),AD,作BEAD,垂足为E,连结CE,过点E作EFCE,交BD于F.(1)求证:BFFD;

(2)A在什么范围内变化时,四边形ACFE是梯形,并说明理由;

(3)A在什么范围内变化时,线段DE上存在点G,满足条件DGDA,并说明理由.

4连结

4.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,点E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合),G、F、H分别是BE、BC、CE的中点.

(1)试探索四边形EGFH的形状,并说明理由.

(2)当点E运动到什么位置时,四边形EGFH是菱形?并加以证明.

(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形,请探索线段EF与线段BC的关系,并证明你的结论.

E

D(第29题图)

5.如图所示,在△ABC中,分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD,等边△ACE、等边△BCF.

C

(1)求证:四边形DAEF是平行四边形;

(2)探究下列问题:(只填满足的条件,不需证明)

①当△ABC满足_________________________条件时,四边形DAEF是矩形; ②当△ABC满足_________________________条件时,四边形DAEF是菱形;

③当△ABC满足_________________________条件时,以D、A、E、F为顶点的四边形不存在. 6.如图,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,过A作AG⊥EB于G,AG交BD于点F,则OE=OF,对上述命题,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB,交EB的延长线于点G,AG的延长线交DB的延长线于点F,其它条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,说明理由。

A

D

A

B

CD

E

G

B

问题一图

1F第2题图

C7、在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点,且>0),阅读下列材料,然后回答下面的问题:

如上图,连结BD∵

AEBE

FCBF

GCDG

AHHD

=k(k

AEBE

AHHD,FCBF

GCDG

∴EH∥BD,FG∥BD

①连结AC,则EF与GH是否一定平行,答:; ②当k值为时,四边形EFGH是平行四边形;

③在②的情形下,对角线AC和BD只需满足条件时,EFGH为矩形; ④在②的情形下,对角线AC和BD只需满足条件时,EFGH为菱形;

8.如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且EF∥AC,在DA的延长线上取一点G,使AG=AD,EG与DF相交于点H。求证:AH=AD。

S

B

P

AB

例1图

第4题图

9、如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC、BD相交于点O,∠ACD=60,点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点。

(1)求证:△PQS是等边三角形;(2)若AB=8,CD=6,求SPQS的值。

(3)若SPQS∶SAOD=4∶5,求CD∶AB的值。

10.将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑行,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q。

探究:设A、P两点间的距离为x。

(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的关系?试证明你观察得到的结论;(2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为定义域;

(3)当点P在线段AC上滑行时,△PCQ是否可能成为等腰三角形,如果可能,指出所有能使△PCQ成y,求y与x之间的函数关系式,并写出函数的为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x值;如果不可能,请说明理由(题目中的图形形状大小都相同,供操作用)。

A

D

A

D

A

D

BC

BC

BC11、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F.

求证:CE=CF.

12、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F. 求证:AE=AF.

第二篇:四边形证明题

四边形证明题

已知E.F分别为平行四边形ABCD一组对边ADBC的中点,BE与AF交于点G,CE与DF交于点H求证四边形EGFH是平行四边形

解:在三角形ABF和三角形EDC中

因为:AB=CD

角DAB=角DCB

AE=FC

所以:三角形ABF全等于三角形EDC

所以:EB=FD

所以:四边形BEDF为平行四边形

同理可证:四边形AEFC为平行四边形

在三角形EHD和三角形CHF中

因为:角EHD=角CHF

角DEH=角HCF

ED=FC

所以:角形EHD全等于三角形CHF

在三角形BGF和三角形FHC中

因为:角EBF=角DFC

BF=FC

角AFB=角ECF

所以:三角形BGF全等于三角形FHC

所以:三角形BGF全等于三角形EHD

所以:GF=EH

同理可证:GE=FH

所以:四边形EGFH是平行四边形

如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。已知∠BAC=30º,EF⊥AB,垂足为F,连结DF。

求证:四边形ADFE是平行四边形。

设BC=a,则依题意可得:AB=2a,AC=√3a,等边△ABE,EF⊥AB=>AF=1/2AB=a,AE=2a,EF=√3a

∵∠DAF=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°,AD=AC=√3a,∴DF=√(AD²+AF²)=2a

∴AE=DF=2a,EF=AD=√3a=>四边形ADFE是平行四边形

1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形

2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形

4、对角线互相平分的四边形是平行四边形

21.画个圆,里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行,所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360,5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..3判定(前提:在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注:仅以上五条为平行四边形的判定定理,并非所有真命题都为判定定理,希望各位读者不要随意更改。)(第五条对,如果对角相等,那么邻角之和的二倍等于360°,那么邻角之和等与180°,那么对边平行,(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等,两邻角互补。(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形。(7)对称中心是两对角线的交点。

性质9(8)矩形菱形是轴对称图形。(9)平行四边形ABCD中(如图)E为AB的中点,则AC和DE互相三等分,一般地,若E为AB上靠近A的n等分点,则AC和DE互相(n+1)等分。*注:正方形,矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形。(10)平行四边形ABCD中,AC、BD是平行四边形ABCD的对角线,则各四边的平方和等于对角线的平方和。(11)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。(12)平行四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形。(13)平行四边形中,两条在不同对边上的高所组成的夹角,较小的角等于平行四边形中较小的角,较大的角等于平行四边形中较大的角。(14)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高,与这个角的两边组成的夹角相等。编辑本段平行四边形中常用辅助线的添法

一、连接对角线或平移对角线。

二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。

三、连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构成线段平行或中位线。

四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造相似三角形或等积三角形。

五、过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等。编辑本段面积与周长

1、(1)平行四边形的面积公式:底×高(推导方法如图);如用“h”表示高,“a”表示底,“S”表示平行四边形面积,则S平行四边=ah(2)平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值;如用“a”“b”表示两组邻边长,@表示两边的夹角,“S”表示平行四边形的面积,则S平行四边形=ab*sin@

2、平行四边形周长可以二乘(底1+底2);如用“a”表示底1,“b”表示底2,“c平”表示平行四边形周长,则平行四边的周长c=2(a+b)底×1X高

第三篇:四边形证明题

1.如图,BD是□ABCD的对角线,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF交BC于点F.

求证:△ABE≌△CDF.

E

ABFC

2.如图已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点,且BE=DF.

(1)求证:四边形AECF是平行四边形;

(2)若BC=10,∠BAC=90°,且四边形AECF是菱形,求BE的长 .

3. 如图,在□ABCD中,E、F分别为边ABCD的中点,BD是对角线,过A点作AGDB

交CB的延长线于点G.

(1)求证:DE∥BF;

(2)若∠G=90,求证四边形DEBF是菱形.

4.如图5所示,在菱形ABCD中,∠ABC= 60°,DE∥AC交BC的延长线于点E.求

证:DE=

A1BE 2D

BCE

5.如图,将□ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.

⑴求证:△ABF≌△ECF

⑵若∠AFC=2∠D,连接AC、BE.求证:四边形ABEC是矩形.

D

B

6.如图,E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点,且AE=DF。求证:BE=CFE

7.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.

(1)求证:四边形OCED是菱形;

(2)若∠ACB=30,菱形OCED的面积为8,求AC的长.

E

C

B 8.如图,在梯形ABCD中,DC‖AB,AD=BC, BD平分ABC,A60.过点D作DEAB,过点C作CFBD,垂足分别为E、F,连接EF,求证:△DEF为等边三角形.9.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中点。

(1)求证:⊿MDC是等边三角形;

(2)将⊿MDC绕点M旋转,当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC即MC′)同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存

在,请说明理由;如果存在,请计算出⊿AEF周长的最小值.A

DC'B

MC

10.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,CD =2,BD⊥CD .过点C作CE⊥AB

于E,交对角线BD于F.点G为BC中点,连结EG、AF.

(1)求EG的长;

(2)求证:CF =AB +AF.

第四篇:2012中考数学四边形经典证明题含答案

1.如图,正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等图形,则当正方形A•′OB′C′绕正方形

ABCD的中心O顺时针旋转的过程中.

(1)四边形OECF的面积如何变化.

(2)若正方形ABCD的面积是4,求四边形OECF的面积.

解:在梯形ABCD中由题设易得到:

△ABD是等腰三角形,且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°.

过点D作DE⊥BC,则DE=1BE=6.

2过点A作AF⊥BD于F,则AB=AD=4.

故S梯形ABCD

2.如图,ABCD中,O是对角线AC的中点,EF⊥AC交CD于E,交AB于F,问四边形AFCE是菱形吗?请说明理由.

解:四边形AFCE是菱形.

∵四边形ABCD是平行四边形.

∴OA=OC,CE∥AF.

∴∠ECO=∠FAO,∠AFO=∠CEO.

∴△EOC≌△FOA,∴CE=AF.

而CE∥AF,∴四边形AFCE是平行四边形.

又∵EF是垂直平分线,∴AE=CE.

∴四边形AFCE是菱形.

3.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,•垂足分别为E、F.求证:(1)△BDE≌CDF.(2)△ABC是直角三角形时,四边形AEDF是正方形.



19.证明:(1)DEAB,DFACBEDCFD90

BC

△BDE≌△CDF.

(2)由∠A=90°,DE⊥AB,DF⊥AC知:

D是BC的中点BDCD

四边形AEDF是矩形

矩形AEDF是正方形.

BEDCFEDEDF

4.如图,ABCD中,E、F为对角线AC上两点,且AE=CF,问:四边形EBFD是平行四边形吗?为什么?

解:四边形EBFD是平行四边形.在ABCD中,连结BD交AC于点O,则OB=OD,OA=OC.又∵AE=CF,∴OE=OF.

∴四边形EBFD是平行四边形.

5.如图,矩形纸片ABCD中,AB=3 cm,BC=4 cm.现将A,C重合,使纸片

折叠压平,设折痕为EF,试求AF的长和重叠部分△AEF的面积.

【提示】把AF取作△AEF的底,AF边上的高等于AB=3.

由折叠过程知,EF经过矩形的对称中心,FD=BE,AE=CE=AF.由此可以在 △ABE中使用勾股定理求AE,即求得AF的长.

【答案】如图,连结AC,交EF于点O,由折叠过程可知,OA=OC,∴O点为矩形的对称中心.E、F关于O点对称,B、D也关于O点对称. ∴BE=FD,EC=AF,由EC折叠后与EA重合,∴EC=EA.

设AF=x,则BE=FD=AD-AF=4-x,AE=AF=x. 在Rt△ABE中,由勾股定理,得

AB2+BE2=AE2,即32+(4-x)2=x2.

25. 81257

52∴S△AEF=×3×=(cm)

281625752

故AF的长为cm,△AEF的面积为cm.

816

解得x=

6.如图,E是矩形ABCD的边AD上一点,且BE=ED,P是对角线BD上任意一点,PF⊥BE,PG⊥AD,垂足分别为F、G.求证:PF+PG=AB.

【提示】延长GP交BC于H,只要证PH=PF即可,所以只要证∠PBF=∠PBH. 【答案】∵BE=DE,∴∠EBD=∠EDB.

∵在矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB,∴∠EBD=∠CBD. 延长GP交BC于H点. ∵PG⊥AD,∴PH⊥BC.

∵PF⊥BE,P是∠EBC的平分线上.

∴PF=PH.

∵四边形ABHG中,∠A=∠ABH=∠BHG=∠HGA=90°. ∴四边形ABHG为矩形,∴AB=GH=GP+PH=GP+PF 故PF+PG=AB.

7.已知:如图,以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC,B在FE的延长线上.

求证:AE、AF把∠BAC三等分.

【提示】证出∠CAE=30°即可.

【答案】连结BD,交AC于点O,作EG⊥AC,垂足为G点.

∵四边形AEFC为菱形,∴EF∥AC. ∴GE=OB.

∵四边形ABCD为正方形,∴OB⊥AC,∴OB

GE,∵AE=AC,OB=

1BD=AC,2

2∴EG=AE,∴∠EAG=30°. ∴∠BAE=15°.

在菱形AEFC中,AF平分∠EAC,∴∠EAF=∠FAC=

∠EAC=15° 2

∴∠EAB=∠FAE=∠FAC. 即AE、AF将∠BAC三等分.

8.如图,已知M、N两点在正方形ABCD的对角线BD上移动,∠MCN为定角,连结AM、AN,并延长分别交BC、CD于E、F两点,则∠CME与∠CNF在M、N两点移动过程,它们的和是否有变化?证明你的结论.

【提示】BD为正方形ABCD的对称轴,∴∠1=∠3,∠2=∠4,用∠1和∠2表示∠MCN以及∠EMC+∠FNC. 【答案】∵BD为正方形ABCD的对称轴,∴∠1=∠3,∠2=∠4,∴∠EMC=180°-∠1-∠3=180°-2∠1. 同理∠FNC=180°-2∠2.

∴∠EMC+∠FNC=360°-2(∠1+∠2). ∵∠MCN=180°-(∠1+∠2),∴∠EMC+∠FNC总与2∠MCN相等.

因此∠EMC+∠FNC始终为定角,这定角为∠MCN的2倍.

9.如图(1),AB、CD是两条线段,M是AB的中点,S△DMC、S△DAC和S△DBC分别

表示△DMC、△DAC、△DBC的面积.当AB∥CD时,有

S△DMC=

SDACSDBC

(1)如图(2),若图(1)中AB

时,①式是否成立?请说明理由.

(2)如图(3),若图(1)中AB与CD相交于点O时,S△DMC与S△DAC和S△DBC有何种相等关系?证明你的结论.

图(1)图(2)图(3)

【提示】△DAC,△DMC 和△DBC 同底CD,通过它们在CD 边上的高的关系,来确定它们面积的关系. 【答案】(1)当AB时,①式仍成立.

分别过A、M、B作CD的垂线,AE、MN、BF的垂足分别为E、N、F. ∵M为AB的中点,(AE+BF).

211

1∴S△DAC+S△DBC=DC·AE+DC·BF=DC·(AE+BF)=2 S△DMC.

222SSDAC

∴S△DMC=DBC

∴MN=

(2)对于图(3)有S△DMC=

SDBCSDAC

证法一:∵M是AB的中点,S△ADM=S△BDM,S△ACM=S△BCM,S△DBC=S△BDM+S△BCM+S△DMC,① S△DAC=S△ADM+S△ACM-S△DMC②

①-②得:S△DBC-S△DAC=2 S△DMC

∴S△DMC=

SDBCSDAC

证法二:如右图,过A作CD的平行线l,MN⊥l,垂足为N,BE⊥l,垂足为E.设A、M、B到CD的距离分别h1、h0、h2.则MN=h1+h0,BE=h2+h1.

∵AM=BM,∴BE=2 MN.

∴h2+h1=2(h1+h0),h2h

1. 2SSDAC

∴S△DMC=DBC.

∴h0=

10.已知:如图,△ABC中,点O是AC上边上一个动点,过点O作直线MN∥BC,MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证EO=FO.

(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?证明你的结论.

【提示】(1)证明OE=OC=OF;

(2)O点的位置首先满足四边形AECF是平行四边形,然后证明它此时也是矩形. 【答案】(1)∵CE平分∠BCA,∴∠BCE=∠ECO. 又MN∥BC,∴∠BCE=∠CEO. ∴∠ECO=∠CEO. ∴OE=OC. 同理OC=OF. ∴OE=OF.

(2)当点O运动到AC边的中点时,四边形AECF是矩形,证明如下: ∵OE=OF,又O是AC的中点,即OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.

∵CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD,且∠BCA+∠ACD=180°,∴∠ECF=∠ECO+∠OCF=∴□AECF是矩形.

(∠BCA+∠ACD)=90°. 2

第五篇:四边形的证明题

四边形的证明题

1.如图,在矩形ABCD中,点O是边AD上的中点,点E是边BC上的一个动点,延长EO到F,使得OE=OF.F

AD

BEC

(1)当点E运动到什么位置时,四边形AEDF是菱形?(直接写出答案)

(2)若矩形ABCD的周长为20,四边形AEDF的面积是否存在最大值?如果存在,请求出最大值;如果不存在,请说明理由.

(3)若AB=m,BC=n,当m.n满足什么条件时,四边形AEDF能成为一个矩形?(不必说明理由)

【答案】(1)当点E运动到BC的中点时,四边形AEDF是菱形;

(2)存在.当x5时,四边形AEDF的面积最大为25;

(3)当m≤1n时,四边形AEDF能成为一个矩形.

2【解析】

试题分析:(1)根据矩形的性质得出AB=CD,∠B=∠C=90°,求出四边形是平行四边形,根据勾股定理求出AE=DE,即可得出答案;

(2)求出S四边形AEDF=2S△AED=S矩形ABCD,设AB=x,则BC=10﹣x,四边形AEDF的面积为y,求出y=x(10﹣x),求出二次函数的最值即可;

(3)根据矩形能推出△BAE∽△CED,得出比例式,代入得出方程,求出方程的判别式,即可得出答案. 试题解析:(1)当点E运动到BC的中点时,四边形AEDF是菱形,理由是:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠B=∠C=90°,∵E为BC中点,∴BE=CE,由勾股定理得:AE=DE,∵点O是边AD上的中点,OE=OF,∴四边形AEDF是平行四边形,∴平行四边形AEDF是菱形;

(2)存在.∵点O是AD的中点,∴AO=DO ,∵OE=OF,∴四边形AEDF是平行四边形 ,∴S四边形AEDF2SAEDS矩形ABCD ,设AB=x,则BC=10x,四边形AEDF的面积为y,yx(10x)

x210x

(x5)22

5当x5时,四边形AEDF的面积最大为25;

(3)当m≤1n时,四边形AEDF能成为一个矩形, 2

理由是:设BE=z,则CE=n﹣z,当四边形AEDF是矩形时,∠AED=90°,∵∠B=∠C=90°,∴∠BAE+∠BEA=90°,∠BEA+∠DEC=90°,∴∠BAE=∠DEC,∴△BAE∽△CED, ABBE, CECD

mz, ∴nzm∴

∴z﹣nz+m=0,22当判别式△=(﹣n)﹣4m≥0时,方程有根,即四边形AEDF是矩形, 解得:m≤

∴当m≤221n, 21n时,四边形AEDF能成为一个矩形. 2

考点:四边形综合题.

2.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥CA,AE∥BD.

(1)求证:四边形AODE是菱形;

(2)若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”,其余条件不变,则四边形AODE的形状是什么?说明理由.

【答案】(1)证明见解析;(2)矩形,理由见解析.【解析】

试题分析:(1)根据矩形的性质求出OA=OD,证出四边形AODE是平行四边形即可;(2)根据菱形的性质求出∠AOD=90°,再证出四边形AODE是平行四边形即可.试题解析:(1)∵矩形ABCD的对角线相交于点O,∴AC=BD(矩形对角线相等),OA=OC=11AC,OB=OD=BD(矩形对角线互相平分).∴OA=OD.22

∵DE∥CA,AE∥BD,∴四边形AODE是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).∴四边形AODE是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形).(2)矩形,理由如下:

∵DE∥CA,AE∥BD,∴四边形AODE是平行四边形.∵菱形ABCD,∴AC⊥BD.∴∠AOD=90°.∴平行四边形AODE是矩形.

考点:1.矩形的判定和性质;2.平行四边形的判定;3.菱形的判定和性质.3.如图1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.

(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点G.

①求证:BD⊥CF;

②当AB=4,FG的长.

【答案】(1)BD=CF成立,证明见解析;(2)①证明见解析;②FG=.5

【解析】

试题分析:(1)证明线段相等的常用方法是三角形的全等,直观上判断BD=CF,而由题目条件,旋转过程中出

现了两个三角形△BAD和△CAF,并且包含了要证明相等的两条线段BD和CF,∵△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC,∵四边形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°,只差夹角相等,在Rt△BAC中,∠BAD+∠DAC=90°,∠CAF+∠DAC=90°, ∴∠BAD=∠CAF, ∴△BAD≌△CAF, BD=CF.(2)①要证明BD⊥CF,只要证明∠BGC=90°,即∠GBC+∠BCG=∠GBC+∠ACF+∠ACB=90°,在Rt△BAC中,∠ABC+

∠ACB=∠ABG+∠GBC+∠BCA=90°,有(1)知,∠ACF=∠ABG,所以∠GBC+∠ACF+∠ACB=∠GBC+

∠ABG +∠ACB =90°,所以BD⊥CF.②求线段的方法一般是三角形的全等和勾股定理,题目中没有和FG直接相关的线段,而CG从已知条件中又无法求出,所以需要作辅助线,连接FD,交AC于点N, 在正方形ADEF中,, AN=1, CN=3, 由勾股定理CF=,设FG=x,CG=x,在Rt△FGD中,∵FD=2,∴GD=4x2,∵在Rt△BCG中,CGBGBC,∴(x)2(4x2)2(42)2,解之得FG=

试题解析:②解法一:

如图,连接FD,交AC于点N,222.5

∵在正方形ADEF中,, 1AE=1,FD=2, 2

∵在等腰直角△ABC 中,AB=4,∴CN=AC-AN=3,∴AN=FN=

∴在Rt△FCN中,CFFN2CN2232,∵△BAD≌△CAF(已证),∴BD=CF=,设FG=x,在Rt△FGD中,∵FD=2,∴GD=4x2, ∵CF=,∴CG=x,∵在等腰直角△ABC 中,AB=AC=4,∴BC

∵在Rt△BCG中,CGBGBC, ∴(x)2(4x2)2(42)2 ,整理,得5x2x60, 解之,得x122223,x2(不合题意,故舍去)55

∴FG=.5

解法二:

如图,连接FD,交AC于点N;连接CD,同解法一,可得:DG=4x2,CG=x,易证△ACD≌△ABD(SAS),可得CD=BD=,在Rt△CGD中,CGDGCD,即(x)2(4x2)2()2 解之,得x222,故FG=.55

考点:1.三角形的全等;2.勾股定理;3.正方形的性质.

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