特殊四边形的证明题

第一篇：特殊四边形的证明题

题型一：矩形

1.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。（1）求证：BD=CD；（2）如果AB=AC，试判断

四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

2.如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．

求证： PA=PQ．

Q

B

D C

3.如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥AE．

试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．

C

4.如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，E在AB延长线上，∠BCE=60°，求∠ADE.1 E A FB E

5.已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.求证:AE平分∠BAD.（第23题）

6.如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE于F，连结DE，求证：DF＝DC． D

B E

7.在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边与AB、BC

分别相交于点M，N时，观察或测量BM与CN的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论。

题型二：菱形

8.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF．

（1）求证：△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．

BE C D

9.如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=a.（1）求∠ABC的度数；（2）求对角线AC的长；（3）求菱形ABCD的面积。

10.如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．

过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量

关系，并证明你的结论．

11.如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．求证：四边形DECF为菱形． BN B C

题型三：正方形

12.四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．（1）求证：AE=CG；（2）观

察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明

13.把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

F

E

14.如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.(1)求证：DE－BF = EF．(2)当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．(3)若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）． C

题型四：综合证明题

15.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AED2EAD，求证：四边形ABCD是正方形．

E

A

BC

第二篇：特殊四边形证明题(正方形)

特殊四边形证明题（正方形）

1．如图，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.求证：DE－BF = EF．

2．如图，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F． A D

（1）求证：△ABF≌△DAE；(2）求证：DEEFFB．

3．如图，在正方形ABCD中，CEDF．若CE10cm，求DF的长．

4．正方形ABCD中，MNGH，求证：MN=HG。

5．在正方形ABCD的边CD上任取一点E，延长BC到F，使CF=CE，求证：BEDF

6．在正方形ABCD的CD边上取一点G，在CG上向原正方形外作正方形GCEF，求证：DEBG，DE=BG。

F B C

A

E B

F

C

_B _C_E

7．已知如图，四边形ABCD是正方形，F、E分别为BC、CD上的点，且EF=BF+DE，AM⊥EF，垂足为M，求证：(1)AM=AB；(2)连AF，连AE，求∠FAE．

D

E

8．正方形ABCD中，∠EAF=45.求证：BE+DF=EF。

9．若分别以三角形ABC的边AB、AC

为边，在三角形外作正方形ABDE、ACFG，求证：BG=EC，BGEC。

10．若以三角形ABC的边AB、AC为边 向三角形外作正方形ABDE、ACFG，求证：SAEG

=SABC。

C

_ F

B_

_ E

_ B

_C

11．若以三角形ABC的边AB、BC为边向 三角形外作正方形ABDE、BCFG，N为AC 中点，求证：DG=2BN，BMDG。

12．正方形ABCD的边AD上有一点E，满足BE=ED+DC，如果M是AD的中点，求证：∠EBC=2∠ABM，_B_

C

_A_

N_C

_B

_C

13．正方形ABCD中，E是边CD的中点，F是线段CE的中点

求证：∠DAE=∠BAF。

_ E _ B

_C

14．已知，如图，正方形ABCD中，AC、BD交于O点，EA平分∠BAC交BD于F点．求证：FO=

D

C

EC．

215．如图，正方形ABCD对角线BD、AC交于O，E是OC上一点，AG⊥DE交BD于F，B求证：EF∥DC。A

C DG

16．如图，正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F。(1)说明OE=OF的道理；

(2)在（1）中，若E为AC延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“OE=OF”还成立吗？请说明理由。

AD

D

B

C

F

G

E

17．在正方形ABCD中，直线EF平行于对角线AC，与边AB、BC的交点 为E、F，在DA的延长线上取一点G，使AG=AD，若EG与DF的交点为H，求证：AH与正方形的边长相等。

_B

_ F

_

C

18．若以直角三角形ABC的边AB为边，在三角形ABC的外部作正方形ABDE，AF是BC边的高，延长FA使AG=BC，求证：BG=CD。

19．正方形ABCD，E、F分别是AB、AD延长线上的一点，且AE=AF=AC，EF交BC于G，交AC 于K，交CD于H，求证：EG=GC=CH=HF。

20．在正方形ABCD的对角线BD上，取BE=AB，若过E作BD的垂线EF交CD于F，求证：CF=ED。

21．在正方形ABCD中，P是BD上一点，过P引PEBC交BC于E，过P 引PFCD于F，求证：APEF。

22．过正方形ABCD的顶点B引对角线AC的平行线BE，在BE上取一点F，使AF=AC，若作菱形CAFÉ，求证：AE及AF三等分∠BAC。

_ B_ F_C

_A

_ B_ E

_D

_ F

_ B

_C

_D

_F

_C

_ E

23．正方形ABCD中，M为AB的任意点，MNDM，BN平分∠CBF，求证：MD=NM

24．从正方形ABCD的一个顶点C作CE平行 于BD，使BE=BD，若BE、CD的交点为F，求证：DE=DF。

_

_ B

C_

25．如图，M、N分别是正方形ABCD两边AD、DC的中点，CM与BM交于点P．求证：PA=AB．

26．如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P。（1）若AG=AE，证明：AP=AH；

（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；

（3）若Rt△GBH的周长为1，求矩形EPHD的面积；

（4）若矩形AEGP的面积为矩形PFCH面积的一半，求∠FAH的度数。

27．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

第24题图①

第24题图②

第24题图③

D

D

28．如同，在正方形ABCD中，对角线AC与BD

相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F。（1）EF+0.5AC =AB；

（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与点A1运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动。如图，AF1平分∠B A1 C1，交BD于F1，过F1作F1E1⊥A1 C1，垂足为E1，试猜想F1E1，0.5 A1 C1与AB之间的数量关系，并证明你的猜想。

（3）在（2）的条件下，当A1 C1=3，C1 E1=2时，求BD的长。

第三篇：特殊四边形证明题习题

特殊四边形证明题

1．（2009年湖北十堰市）如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.求证：DE－BF = EF．

2.（2009年山东青岛市）已知：如图，在ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．

(1）求证：BEDG；

(2）若B60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．

【关键词】全等三角形的性质与判定、菱形的性质与判定

D

B C

E F



3．（2009 年佛山市）如图，在正方形ABCD中，CEDF．若CE10cm，求DF的长．

A

E

B

F C

4．（2009年娄底）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.

(1）求证：△ABE≌△ACE

(2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是

菱形？并说明理由.

5．（2009年佳木斯）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.(1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.(2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由

.【关键词】矩形的性质，全等三角形的判定

6．(2009年安顺)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。

(1）求证：BD=CD；

(2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

ACD30°，BD6．7．（2009肇庆）如图 5，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，A（1）求证：△ABD是正三角形；

(2）求 AC的长（结果可保留根号）．

8．（2009肇庆）如图，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F．

A D

B F C

（1）求证：△ABF≌△DAE；

(2）求证：DEEFFB．

9．（2009年广西钦州）（1）已知：如图1，在矩形ABCD中，AF＝BE．求证：DE＝CF；

【关键词】矩形性质、全等三角形判定

A B

D图

110．（2009年广西梧州）如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于

点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．

(1）求证：AD＝CE；

(2）填空：四边形ADCE的形状是

【关键词】垂直平分线、全等三角形、菱形判定

A

M

N

B11．(2009年宜宾）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.(1）求证：AM=DM；(2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．

【关键词】菱形的性质,全等三角形的判定

B

FD第21题图C

AB5，AC6．12．（2009年广东省）在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过

点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．

(1）求△BDE的周长；

(2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．

求证：BPDQ．

Q

P C E

【关键词】菱形的性质；勾股定理；平行四边形的判定；利用平行四边形证明线段相等；全等三角形的性质与判定

第四篇：四边形证明题

四边形证明题

已知E.F分别为平行四边形ABCD一组对边ADBC的中点,BE与AF交于点G，CE与DF交于点H求证四边形EGFH是平行四边形

解：在三角形ABF和三角形EDC中

因为：AB=CD

角DAB=角DCB

AE=FC

所以：三角形ABF全等于三角形EDC

所以：EB=FD

所以：四边形BEDF为平行四边形

同理可证：四边形AEFC为平行四边形

在三角形EHD和三角形CHF中

因为：角EHD=角CHF

角DEH=角HCF

ED=FC

所以：角形EHD全等于三角形CHF

在三角形BGF和三角形FHC中

因为：角EBF=角DFC

BF=FC

角AFB=角ECF

所以：三角形BGF全等于三角形FHC

所以：三角形BGF全等于三角形EHD

所以：GF=EH

同理可证：GE=FH

所以：四边形EGFH是平行四边形

如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。已知∠BAC=30º，EF⊥AB，垂足为F，连结DF。

求证：四边形ADFE是平行四边形。

设BC=a,则依题意可得：AB=2a,AC=√3a,等边△ABE,EF⊥AB=>AF=1/2AB=a,AE=2a,EF=√3a

∵∠DAF=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°,AD=AC=√3a,∴DF=√(AD²+AF²)=2a

∴AE=DF=2a,EF=AD=√3a=>四边形ADFE是平行四边形

1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形

2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形

4、对角线互相平分的四边形是平行四边形

21.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。)(第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。(7)对称中心是两对角线的交点。

性质9(8)矩形菱形是轴对称图形。(9)平行四边形ABCD中(如图)E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。*注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形。(10)平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。(11)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。(12)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。(13)平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。(14)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。编辑本段平行四边形中常用辅助线的添法

一、连接对角线或平移对角线。

二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。

三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。

四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。

五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。编辑本段面积与周长

1、(1)平行四边形的面积公式：底×高(推导方法如图);如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边=ah(2)平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值;如用“a”“b”表示两组邻边长，@表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=ab*sin@

2、平行四边形周长可以二乘(底1+底2);如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b)底×1X高

第五篇：四边形证明题

1.如图，BD是□ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．

求证：△ABE≌△CDF．

E

ABFC

2.如图已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长 ．

3． 如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB

交CB的延长线于点G．

（1）求证：DE∥BF；

（2）若∠G＝90，求证四边形DEBF是菱形．

4.如图5所示，在菱形ABCD中，∠ABC= 60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求

证：DE=

A1BE 2D

BCE

5.如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．

⑴求证：△ABF≌△ECF

⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．

D

B

6.如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=DF。求证：BE=CFE

7.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．

（1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）若∠ACB＝30，菱形OCED的面积为8，求AC的长．

E

C

B 8.如图，在梯形ABCD中，DC‖AB，AD=BC, BD平分ABC,A60.过点D作DEAB，过点C作CFBD，垂足分别为E、F，连接EF，求证：△DEF为等边三角形.9.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中点。

（1）求证：⊿MDC是等边三角形；

（2）将⊿MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC即MC′)同时与AD交于一点F时，点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存

在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF周长的最小值.A

DC'B

MC

10.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD ＝2，BD⊥CD ．过点C作CE⊥AB

于E，交对角线BD于F．点G为BC中点，连结EG、AF．

(1)求EG的长；

(2)求证：CF ＝AB ＋AF．