如何构造特殊四边形解决相关计算证明问题（模版）

第一篇：如何构造特殊四边形解决相关计算证明问题（模版）

如何构造特殊四边形解决相关计算证明问题

特殊的四边形在生活中有非常广泛的应用，也是现行教材中的一个重点和难点。学生在运用特殊四边形的性质，特别是构造四边形来解决有关的计算，证明问题时，存在严重缺陷。我认为构造特殊的四边形来解决相关问题时，能够另辟佳径,减少繁难的计算和证明，同时能够开阔学生视野,增强学生观察图形，分解图形，构造基本图形的能力。

一、数形结合，巧妙构造特殊的四边形。

1、如图,点A、B是反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上两点,过点A作x轴的垂线,过点B作y轴的垂线，垂足分别为C、D,AC、BD交于点F,则（）：AS△ADE>S△BECBS△ADE=S△BECCS△ADE

法确定解析：过点A作AM⊥y轴，过点B作BN⊥x轴，垂足分别为M、N,则S矩形AMOC=S矩形BNOD

矩形BNCE,=k ,即S矩形MADE=S矩形BNCE，又S△ADE= MADE，S△BEC=S

S2矩形∴S△ADE=S△BEC。解决此类问题一般的同学采用参

数法通过计算三角形的面积来解，计算量比较大，同时引入的参数个数也别较多，给学生造成较大的障碍，而我们采用数形结合，转化的思想，利用矩形的性质就很巧妙地加以解决。

二；培养数感，从直觉出发，构造特殊的四边形。

2，如图，AB=8，DB⊥AB，EA⊥AB，BD=6AE=12，点M是DE的中点，求BM的长。

解析：AE和BD的位置关系为平行，数量关系为BD=6，AE=12，BD=AE，延长DB至F点，使DF=12,连接EF、AD，则四边形ADFE是平行四边形。MB

分别是DE DF的中点，∴BM=EF,EF=AD，通过勾股定理可求出AD，从而解决BM长的计算问题。

我们利用学生对数字的敏感程度，对图形中相应边的位置关系和数量

关系进行分析，利用我们的直觉来构图，同时进行思维的发散，通过构造平行四边形将边的关系进行转化，联系三角形的中位线和勾股定理来进行计算。这是一道解法灵活多变的综合性较高的习题，学生没有现成的模式

可以套用，也不能简单依靠知识的叠加来实现解题，需要进行细致的观察。对数学敏感的程度和较好的构造图形的能力。．．．．．．．．．．．．．

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2练习：如图所示，已知六边形ABCDEF,其中∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=

∠F=120°, AB=10㎝，BC=70㎝，CD=20㎝，DE=40㎝。求AF、EF的长度。

解析：延长FA、CB交于点P ,延长FE、CD交于点Q,△APB △DEQ

均为等边三角形，从而可以证明四边形PCQF为平行四边形，利用方程思想可求出AF、EF的长。

三：生活问题数学化，建立数学模型，构造特殊的四边形。

E

F

B G

C4、如图，是某城市部分街道示意图，AF∥BC BA∥DE BD∥AE EC⊥BC,甲乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F,乙乘2路车，路线是B→D→C→F,假设两车速度相同，途中耽误的时间相同，那么谁先到达F站？请说明理由！

解析：1路车路程：BA+AE+EF ,2路车路程：BD+DC+CF,谁先到达F站，即比较BA+AE+EF与BD+DC+CF的大小。延长ED交BC于G点，则四边形ABGD为平行四边形，∴DG=AB 又四边形ABDE是平行四边形 ∴DE=AB ∴D为直角三角形ECG斜边上的中点 ∴CD=DG=AB, ∵DF∥CG,D为EG的中点∴EF=CF ∴1路车2路车同时到达F站.这是一些立意新颖的情景性习题，充满浓厚的生活气息，它强化了学生对文字、图形、符号语言的理解，并能将生活实际问题纯数学化，建立相应的数学模型，来解决问题。它让学生感受到数学来源于生活，又能指导我们的生活生产。从而培养学生运用数学的意识，体现数学在生活中的价值，同时体验成功的快感，感觉学有所获。

四：构造特殊的四边形解决探究性问题

D5、如图，E是平行四边形ABCD边DC的延长线上的一点，且CE=DC=AC，连AE分别交BC、BD于F、G，连AC交BD于点O，则下列结论：（1）AE⊥BC（2）AB=2OF（3）S△CEF=S平行四边形ABCD（4）四边形AOFB为等腰梯形，其中正确的是＿＿＿，若将条件改为CE=CD，那么正确的结论呢？

解析：连接BE，则四边形ABEC为菱形。∴AE⊥BC,F为BC中点 ∵O为AC中点 ∴S△CEF =S△ABC=S平行四边形，而（4）只有在AB=AD时

才成立。

我们设计一些探究性练习，给学生提供资助探索的机会，使其经历观察 实验 猜想 证明 比较 推理 反设 验证 等数学思考，体验数学问题的探索性和挑战性，培养提高学生的探究能力，并通过变换命题，变换条件，变换图形来引发学生的认知冲突，从而进一步探索新问题，发现新见解。

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第二篇：特殊四边形的证明经典必考题范文

特殊四边形的证明姓名：

1、如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=2AB，求证：∠AOD=120° A

OD

BC2、探究证明：

（1）如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC=BD，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、AD边上的中点，猜想四边形EFGH是什么样的图形，并证明；

A

EH

D

F

CGB

（2）如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC⊥BD，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、AD边上的中点，猜想四边形EFGH是什么的图形，并证明；

A

E

B

F

CGHD

（3）如果将一个四边形每个边的中点依次连接起来形成的四边形叫做这个四边形的中点四边形，那么自己讨论证明平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形的中点四边形的形状，并总结一个四边形的中点四边形的形状由原来四边形的什么来决定；

3、如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB=6，BC=8，P是AD上一点，且PH⊥AC，PK⊥BD，求PH+PK的值；

A

H

O

BPDC4、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD与点O，∠BAC=60°，若，求此梯形的面积；

A

O

BDC5、如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD与点E，AB=8，BC=10，则

D

AED

O

AC

B6、如图，菱形对角线AC、BD交于点O，且AC=8，BD=6，过O做OH⊥AB与点H，则；

7、如图，在ABCD中，AE、DF分别为∠BAD和∠ADC的平分线，AE、DF相交于点G；

（1）求证：AE⊥DF AD（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长；

BCFE

CHB8、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB的中点；

求证：四边形BCDE是菱形

DC

AEB9、在正方形ABCD中，E为对角线上一点，连接EB、ED，（1）求证：∠CDE=∠CBE

（2）延长BE交AD与点F，若∠DEB=140°，求∠AFE的度数；

DF

EA

CB10、已知等腰梯形的底边长分别为2㎝和8㎝，高为4㎝，则一腰长为

211、已知菱形的两条对角线长分别为12㎝和6㎝，那么这个菱形的面积为。

12、矩形一个角的平分线分矩形一边为1㎝和3㎝两部分，则这个矩形的面积为

13、下列说法正确的是（）

A.一组对边相等的四边形是平行四边形

B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

C.一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形

D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

14、平行四边形两个邻角的角平分线所成的角是（）

A.锐角B.直角C.钝角D.不能确定

15/△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC，DF∥AB。

求证：四边形AEDF是菱形。

16、如图所示，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C，BC交AD于E，AD=8，AB=4，求△

BED的面积。′′

17、如图，O为平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，EF经过点O，且与边CD、AB分别交于点E、F，则图中的全等三角形有()

A.2对B.3对C.5对D.6对

18、如图，在梯形ABCD中AＤ∥ＢＣ，对角线AC⊥ＢＤ，且ＡＣ＝12，ＢＤ＝9，则AD+BC=（）

A.20B.21 C.15D.2419、四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（）

AB∥CDBC∥ADAB=CDBC=AD

A、2种B、3种C、4种D、6种

第三篇：四边形证明及计算提高练习

特殊四边形证明及计算提高练习

平行四边形

1．（2012•威海）（1）如图①，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．

求证：AE=CF．

（2）如图②，将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I． 求证：EI=FG．

2．（2007•黑龙江）在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．

请直接应用上述信息解决下列问题：

当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．

3．（2006•泰安）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接AF，CE．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）若∠BAD的平分线与FC的延长线交于点G，则△ACG是等腰三角形吗？并说明理由．

4．如图，以△ABC三边为边在BC同侧作三个等边△ABD、△BCE、△ACF．请回答下列问题：

（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形．

菱形

5．（2010•盘锦）如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．

（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；

（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；

（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

6．（2009•龙岩）在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A⇒B⇒C向终点C运动，连接DM交AC于点N．

（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN：

①求证：△ABN≌△ADN；

②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值．

（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．

7．（2001•河北）如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=60度．点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动；设点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）．

（1）点N为BC边上任意一点，在点M移动过程中，线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；

（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，在什么时刻，梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值；

矩形

8．（2002•无锡）已知：如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、F分别是AB、CD的中点．

（1）在边AD上取一点M，使点A关于BM的对称点C恰好落在EF上．设BM与EF相交于点N，求证：四边形ANGM是菱形；

（2）设P是AD上一点，∠PFB=3∠FBC，求线段AP的长．

9．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．

（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；

（2）如图2，若∠ABC=90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数；

（3）如图3，若∠ABC=120°，请直接写出∠BDG的度数．

10．如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC和BE相交于点O．

（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；

（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积．

11．（2005•淮安）已知：平行四边形ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形（如图）．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）在四边形ABCD中，求的值．

12．如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．

（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；

（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；

（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．

13．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．

（1）判断△BEC的形状，并说明理由？

（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；

（3）求四边形EFPH的面积．

正方形

14．（2012•黑龙江）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图1，易证：∠AFC=∠ACB+∠DAC；

（1）若点D在BC延长线上，其他条件不变，写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系，并结合图2给出证明；

（2）若点D在CB延长线上，其他条件不变，直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式．

15．（2012•常德）已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连接OP，ON．（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2）

（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；

（2）设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．

16．（2011•阜新）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点．

（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；

（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；

（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．

17．如图，四边形ABCD是正方形，点P是BC上任意一点，DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，CH⊥DE于点H，BF的延长线交CH于点G．

（1）求证：AF﹣BF=EF；

（2）四边形EFGH是什么四边形？并证明；

（3）若AB=2，BP=1，求四边形EFGH的面积．

18．如图，在正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BM=DN．点E为MN的中点，DE的延长线与AC相交于点F．试猜想线段DF与线段AC的关系，并证你的猜想．

19．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：

（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？

（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？

第四篇：四边形的证明与计算

四边形的证明与计算

（时间：100分钟总分：100分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1．下列命题正确的是（）

A．对角线互相平分的四边形是菱形；

B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形

C．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；

D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.2．平行四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D四个角的度数比可能是（）

A．1：2：3：4B．2：3：2：3C．2：2：3：3D．1：2：2：

33．如果菱形的边长是a，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（）

1A．2aB

．2aC．aD

4．用形状、大小完全相同的图形不能进行密铺的是（）

A．任意三角形B．任意四边形C．正五边形D．正四边形

5．已知一个等腰梯形的下底与上底之差等于一腰长，•则这个等腰梯形中的较小的角的度数为（）

A．30°B．60°C．45°D．75°

6．已知四边形ABCD中，在①AB∥CD；②AD=BC；③AB=CD；④∠A=∠C四个条件中，不能推出四边形ABCD是平行四边形的条件是（）．

A．①②B．①③C．①④D．②③

7．如图1，ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，则AB的长m•取值范围是（）

A．1

5



（1）(2)(3)(4)

8．如图2，两张宽度相等的纸条交叉重叠，重合部分是（）

A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形

9．如图3，ABCD中，P是对角线BD上的任意一点，过点P作EF∥BC，HG∥AB，•则下列说法不正确的是（）

A．SAEPG=SPHCFB．图中有3对全等三角形

C．图中共有9个平行四边形D．SAEFD≠SGHCD

10．如图4，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，•E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（）

A．80°B．70°C．65°D．60°

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11．如图5，ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于E，且AD=a，AB=b，用含a、b的代数式表示EC，则EC=________． 

(5)(6)(7)(8)

12．如图6，平行四边形ABCD中，E是BC中点，且AE=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_________．

13．已知菱形的周长为20cm，两对角线之和为14cm，则菱形的面积为_____cm2．

14．以边长为2cm的正方形的对角线为边的正方形的面积为________cm2．

15．一个多边形的每个外角都是36°，则这个多边形的边数是________．

16．矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为48cm，则矩形ABCD的面积为_______cm2．

17．如图7，若将四根木条钉成矩形木框，再变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的度数为_______．

18．如图8，菱形ABCD的对角线长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______．

三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，•垂足分别为E、F．求证：（1）△BDE≌CDF．（2）△ABC是直角三角形时，四边形AEDF是正方形．

20．如图，ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且AE=CF，问：四边形EBFD是平行四边形吗？为什么？ 

21．如图，圆A、圆B、圆C、圆D、圆E、圆F相互外离，它们的半径都是1，顺次连结这

六个圆心，得到六边形ABCDEF．

求：（1）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．（2）求图中阴影部分的面积之和．

22．如图，ABCD中，O是对角线AC的中点，EF⊥AC交CD于E，交AB于F，问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．



23．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，求梯形的面积．

24．如图，正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等图形，则当正方形A•′OB′C′绕正方形ABCD的中心O顺时针旋转的过程中．

（1）四边形OECF的面积如何变化．

（2）若正方形ABCD的面积是4，求四边形OECF的面积．

25．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P•从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB以3cm/s的速度向点B运动．P、Q同时出发，当其中一点到达顶点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts，•问t为何值时．

（1）四边形PQCD是平行四边形．（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形．

答案:

一、选择题

二、

第五篇：四边形证明

1.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．

（1）求证：BE = DF；

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四

边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

B

M D

2．已知：如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC，BD于F，G，点H为EF的中点．

求证：⑴ ∠DAG＝∠DCG；

⑵ GC⊥CH．(6分)

AD

B C E

3．小明在研究正方形的有关问题时发现有这样一道题：“如图①，在正方形ABCD中，点E

是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE＝∠EAD．你能够得出什么样的正确的结论？”

⑴ 小明经过研究发现：EF⊥AE．请你对小明所发现的结论加以证明；

B F 图① D E C

⑵ 小明之后又继续对问题进行研究，将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”(如图②、图③、图④)，其它条件均不变，认为仍然有“EF⊥AE”．你同意小明的观点吗？若你同意小明的观点，请取图③为例加以证明；若你不同意小明的观点，请说明理由．(7分)

B 图②E F C 图③B F C

图④

4．如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，(1)试说明：BD=ED=EG=BG；

(2)若矩形ABCD面积为2，求四边形BDEG的面积。(本题6分)

5如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110º，∠BOC＝a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60º得△ADC，连结OD．

(1)求证：△COD是等边三角形；

(2)当a＝150º时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

(3)探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？