证明四边形5篇范文

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第一篇:证明四边形

证明直角三角形全等

三组对应边相等的两个三角形全等(SSS)

两组对应边和一组对应的夹角相等的两个三角形全等(SAS)

两组对应角和一组对应的对边相等的两个三角形全等(AAS)

直角三角形中一组斜边和一组直角边相等的三角形全等(HL)

证明三角形相似

两三角形的对应边要的比例,所以“边边边”就是三条对应边的比例都相等“边角边”就是夹角相等的两边比例相等。

证明平行四边形

连结一条对角线,得到两个三角形,可证明它们全等,从而得到内错角相等,进而得到平行,由定义知是平行四边形

⑵由四边形内角和等于360°,而两组对角相等,因此四个内角的和变成一组邻角的和的两倍,即一组邻角的和是180°,得到一组对边平行,类似地可得另一组对边平行,从而得证

⑶由SAS可证全等,进而得到内错角相等,得到两组对边平行,问题得证证明菱形

1、一组邻边相等的平行四边形是菱形

2、四边相等的四边形是菱形

3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。

证明矩形

1.一个角是直角的平行四边形是矩形

2.对角线相等的平行四边形是矩形

3.有三个角是直角的四边形是矩形。

证明正方形

1:对角线相等的菱形是正方形。

2:有一个角为直角的菱形是正方形。

3:对角线互相垂直的矩形是正方形。

4:一组邻边相等的矩形是正方形。

5:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

6:对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

7:对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。

8:一组邻边相等,有三个角是直角的四边形是正方形。

9:既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

第二篇:四边形证明

1.已知:如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC和CD上,AE = AF.

(1)求证:BE = DF;

(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM = OA,连接EM、FM.判断四

边形AEMF是什么特殊四边形?并证明你的结论.

B

M D

2.已知:如图,正方形ABCD中,点E在BC的延长线上,AE分别交DC,BD于F,G,点H为EF的中点.

求证:⑴ ∠DAG=∠DCG;

⑵ GC⊥CH.(6分)

AD

B C E

3.小明在研究正方形的有关问题时发现有这样一道题:“如图①,在正方形ABCD中,点E

是CD的中点,点F是BC边上的一点,且∠FAE=∠EAD.你能够得出什么样的正确的结论?”

⑴ 小明经过研究发现:EF⊥AE.请你对小明所发现的结论加以证明;

B F 图① D E C

⑵ 小明之后又继续对问题进行研究,将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”(如图②、图③、图④),其它条件均不变,认为仍然有“EF⊥AE”.你同意小明的观点吗?若你同意小明的观点,请取图③为例加以证明;若你不同意小明的观点,请说明理由.(7分)

B 图②E F C 图③B F C

图④

4.如图,矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称,(1)试说明:BD=ED=EG=BG;

(2)若矩形ABCD面积为2,求四边形BDEG的面积。(本题6分)

5如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110º,∠BOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60º得△ADC,连结OD.

(1)求证:△COD是等边三角形;

(2)当a=150º时,试判断△AOD的形状,并说明理由;

(3)探究:当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?

第三篇:证明方法四边形必备初中

证明线段垂直

一.相交线、平行线: 1.相交直线邻补角相等。

2.a垂直b,c平行a,则c垂直b

二.三角形中:

1.等腰三角形三线合一。2.勾股定理逆定理。

3.三角形三条边上的高所在直线交于同一点。

三.四边形中:

1.菱形对角线互相垂直。2.矩形邻边互相垂直。

四.圆中: 1.垂径定理。2.切线性质定理。3.圆周角定理推论。

4.相交两圆连心线垂直平分公共弦。

五.图形运动:

1.图形翻折,对称轴垂直平分对应点连线。

六.角度计算:

证明线段平行

一.相交线、平行线: 1.同位角相等。2.内错角相等。3.同旁内角互补。4.平行线的传递性。

5.垂直同一条直线的两条直线平行。

6.比例线段。

二.三角形中: 1.三角形中位线。

三.四边形中:

1.平行四边形对边平行。2.梯形两底平行。3.梯形中位线平行两底。

四.图形运动:

1.图形平移对应边平行,对应点连线平行。2.图形翻折对应点连线平行。

五.平面直角坐标系:

1.一次函数斜率相等,两直线平行。六.向量:

1.向量a=k向量b,k不等于0,向量a,向量b不为0向量,向量a所在直线与向量b所在直线平行或重合。

证明角相等的方法 一.相交线、平行线: 1.对顶角相等。

2.等角的余角(或补角)相等。

3.两直线平行,同位角相等、内错角相等。4.凡直角都相等。

5. 角的平分线分得的两个角相等。

二.三角形中:

1.等腰三角形的两个底角相等。

2.等腰三角形底边上的高(或中线)平分顶角(三线合一)。3.三角形外角和定理:三角形外角等于和它不相邻的内角之和。4.全等形中,一切对应角都相等。5.相似三角形的对应角相等。

三.四边形中:

1.平行四边形对边相等,对角线相互平分。2.菱形的每一条对角线平分一组对角。3.等腰梯形在同一底上的两个角相等。

四.圆中:

1.在同圆或等圆中,若有两条弧相等或有两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等。2.在同圆或等圆中,等弧所对的圆周角相等.。

3.圆周角定理:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。4.圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角。5.三角形的内心的性质:三角形的内心与角顶点的连线平分这个角。6.正多边形的性质:正多边形的外角等于它的中心角.。

7.从圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。五.角运算:

1.利用等量代换、等式性质 证明两角相等。2.利用三角函数计算出角的度数相等。

证明线段相等的方法 一.常用轨迹中:

1.两平行线间的距离处处相等。

2.线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。3.角平分线上任一点到角两边的距离相等。

4.若一组平行线在一条直线上截得的线段相等,则在其它直线上截得的线段也相等。

二.三角形中:

1.同一三角形中,等角对等边。(等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等)2.任意三角形的外心到三顶点的距离相等。3.任意三角形的内心到三边的距离相等。

4.等腰三角形顶角的平分线(或底边上的高、中线)平分底边。5.直角三角形中,斜边的中点到直角顶点的距离相等。6.有一角为60°的等腰三角形是等边三角形。

7.过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边。

8.同底或等底的三角形,若面积相等,则高也相等。同高或等高的三角形,若面积相等,则底也相等。

三.四边形中:

1.平行四边形对边相等,对角线相互平分。

2.矩形对角线相等,且其的交点到四顶点的距离相等。3.菱形中四边相等。

4.等腰梯形两腰相等、两对角线相等。

5.过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰。

四.正多边形中:

1.正多边形的各边相等。且边长

2.正多边形的中心到各顶点的距离(外接圆半径R)相等、各边的距离(边心距)相等。且

五.圆中:

1.同圆或等圆的半径相等、直径相等;等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等。2.同圆或等圆中,等弦所对的弦心距相等,等弦心距所对的弦相等。3.任意圆中,任一弦总被与它垂直的半径或直径平分。4.自圆外一点所作圆的两切线长相等。

5.两相交或外切或外离圆的二公切线的长相等;两外离圆的二内公切线的长也相等。6.两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分。7.两外切圆的一条外公切线与内公切线的交点到三切点的距离相等。8.两同心圆中,内圆的任一切线夹在外圆内的弦总相等且都被切点平分。

六.全等形中:

1.全等形中,一切对应线段(对应的边、高、中线、外接圆半径、内切圆半径……)都相等。

七.线段运算:

1.对应相等线段的和相等;对应相等线段的差相等。

2.对应相等线段乘以的相等倍数所得的积相等;对应相等线段除以的相等倍数所得的商相等。

3.两线段的长具有相同的数学解析式,或二解析式相减为零,或相除为1,则此二线段相等。

第四篇:2013年四边形证明专题训练

2013年平行四边形证明专题训练

1、已知:如图,在平行四边形ABCD中,E、F是对角线AC上的两点,且AE=CF,求证:DE=BF2、如图,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,已知点E、F分别为AO、OC的中点,•证明:四边形BFDE是平行四边形.

3、已知:如图,在□ABCD中,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,E在AD上,BE=12 cm,CE=5 cm.求□ABCD的周长和面积.

4、已知:如图,在□ABCD中,E、F是对角线AC上的两点,且AE=CF。求证:DE=BF。(12分)

(1)求证:BE= DF;

(2)若AC,EF将平行四边形ABCD分成的四部分的面积相等,指出E点的位置,并说明理由.

6、平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于O.(1)图中有哪些三角形全等? 有哪些相等的线段?

(2)若平行四边形ABCD的周长是20cm,△AOD的周长比△ABO的周长大6cm.求AB,AD的长.5、如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC的中点,过O点作直线EF分别交BC、AD于E、F.

A

D

B7、如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,F是DE延长线上的点,且EF=DE,则图中的平行四边形有哪些?说说你的理由.

8、如图所示,已知在平行四边形ABCD中,E是边DA的延长线上一点, 且AE=AD,连结EC,分别交AB,BD于点

F,G,证明:AF=BF.9、已知:在□ABCD中,∠A的角平分线交CD于E,若DE:EC3:1,AB的长为8,求BC的长。

10、如图,已知四边形ABCD是平行四边形,∠BCD的平分线CF交边AB于F,∠ADC的平分线DG交边AB于G.(1)求证:AF=GB;(2)请你在已知条件的基础上再添加一个条件,使得△EFG为等腰三角形,并说明理由。

E

A

FB

D

C

A B11、已知:如图,□ABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,•H,•求证:•四边形EFGH是矩形.

12、已知:如图,D是△ABC的BC边的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是E、F,且BF=CE 求证:(1)△ABC是等腰三角形;

(2)当∠A=90时,试判断四边形AFDE是怎样的四边形,证明你判断的结论。

13、如图,矩形ABCD中,AC与BD交于O点,BE⊥AC于E,CF⊥BD于F.求证:BE=CF.14、如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC, ∠AEB=∠DEC,证明:四边形ABCD是矩形.15、已知:如图ABC中,AD是BAC的角平分线,DE∥AC,DF∥AB。证明:四边形AEDF是菱形。对于这道题,小林是这样证明明的。证明:因为AD平分BAC,所以∠1=∠2,因为DE∥AC,所以∠2=∠

3因为DF∥AB,所以∠1=∠4 又AD=AD,所以△AED≌△AFD.所以AE=AF,DE=DF.所以四边形AEDF是菱形.老师说小林的解题过程有错误,你能看出来吗?

⑴请你帮小林指出他的错误是什么?(先在解答过程中划出来,再说明他错误的原因)⑵请你帮小林做出正确的解答。

16、如图,已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高,∠B的平分线交AD于M,交AC于E点,∠DAC的平分线交CD于点N,证明四边形AMNE是菱形。

17、如图,矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过O点的直线EF 与AB、CD延长线分别交于E、F.(1)证明:△BOE≌△DOF.(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形,为什么?

A

BF

A

BCD18、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点。求证:MN和PQ互相平分。

P

Q

A

M

D19、如图,在菱形ABCD中,∠ABC与∠BAD的度数比为1:2,周长是48cm.求:

(1)两条对角线的长度;(2)菱形的面积.

B

N

C

A

O

B

D

C20、(2011年江西省)如图,四边形ABCD为菱形,已知A(0,4),B(-3,0).(1)求点D的坐标;(2)求经过点C的反比例函数解析式.

21、已知△ABC的面积为3,且AB=AC,现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA.

(1)求四边形CEFB的面积;

(2)试判断AF与BE的位置关系,并说明理由;

(3)若BEC15,求AC的长.

第五篇:数学四边形证明经典题

数学选讲四边形证明经典题.2.已知:如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC和CD上,AE = AF.

(1)求证:BE = DF;

(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM = OA,连接EM、FM.判断四边形AEMF是什么特殊

四边形?并证明你的结论.

A

B

F

D M

B

D 3.如图,ABM为直角,点C为线段BA的中点,点D是射线BM上的一个动点(不与点B重合),AD,作BEAD,垂足为E,连结CE,过点E作EFCE,交BD于F.(1)求证:BFFD;

(2)A在什么范围内变化时,四边形ACFE是梯形,并说明理由;

(3)A在什么范围内变化时,线段DE上存在点G,满足条件DGDA,并说明理由.

4连结

4.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,点E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合),G、F、H分别是BE、BC、CE的中点.

(1)试探索四边形EGFH的形状,并说明理由.

(2)当点E运动到什么位置时,四边形EGFH是菱形?并加以证明.

(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形,请探索线段EF与线段BC的关系,并证明你的结论.

E

D(第29题图)

5.如图所示,在△ABC中,分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD,等边△ACE、等边△BCF.

C

(1)求证:四边形DAEF是平行四边形;

(2)探究下列问题:(只填满足的条件,不需证明)

①当△ABC满足_________________________条件时,四边形DAEF是矩形; ②当△ABC满足_________________________条件时,四边形DAEF是菱形;

③当△ABC满足_________________________条件时,以D、A、E、F为顶点的四边形不存在. 6.如图,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,过A作AG⊥EB于G,AG交BD于点F,则OE=OF,对上述命题,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB,交EB的延长线于点G,AG的延长线交DB的延长线于点F,其它条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,说明理由。

A

D

A

B

CD

E

G

B

问题一图

1F第2题图

C7、在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点,且>0),阅读下列材料,然后回答下面的问题:

如上图,连结BD∵

AEBE

FCBF

GCDG

AHHD

=k(k

AEBE

AHHD,FCBF

GCDG

∴EH∥BD,FG∥BD

①连结AC,则EF与GH是否一定平行,答:; ②当k值为时,四边形EFGH是平行四边形;

③在②的情形下,对角线AC和BD只需满足条件时,EFGH为矩形; ④在②的情形下,对角线AC和BD只需满足条件时,EFGH为菱形;

8.如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且EF∥AC,在DA的延长线上取一点G,使AG=AD,EG与DF相交于点H。求证:AH=AD。

S

B

P

AB

例1图

第4题图

9、如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC、BD相交于点O,∠ACD=60,点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点。

(1)求证:△PQS是等边三角形;(2)若AB=8,CD=6,求SPQS的值。

(3)若SPQS∶SAOD=4∶5,求CD∶AB的值。

10.将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑行,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q。

探究:设A、P两点间的距离为x。

(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的关系?试证明你观察得到的结论;(2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为定义域;

(3)当点P在线段AC上滑行时,△PCQ是否可能成为等腰三角形,如果可能,指出所有能使△PCQ成y,求y与x之间的函数关系式,并写出函数的为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x值;如果不可能,请说明理由(题目中的图形形状大小都相同,供操作用)。

A

D

A

D

A

D

BC

BC

BC11、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F.

求证:CE=CF.

12、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F. 求证:AE=AF.

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