四边形证明思路格式填空训练

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第一篇:四边形证明思路格式填空训练

四边形证明书写格式训练

班级姓名

1.如图正方形ABCD中,E为BC的中点,AE与BD相交于点F,求证CF⊥DE

证明:∵BD正方形ABCD的对角线

∴AB=,∠1 =∠

∵BF=BF

∴△ABF△CBF()

∴∠3 = ∠

∵AB=,∠ABC=∠DCB,BE=∴△ABE△DCE()

∴∠5 = ∠

∵Rt△ABE中∠3+∠5=°

∴∠4+ ∠6=

∴CF⊥DE

2.如图,已知:P是正方形ABCD的CD边

上一点,∠BAP的平分线交BC于Q,求证:

AP=DP+BQ.

证明:∵四边形ABCD是正方形

∴AB=AD,∠1=∠B=90°

把△ABQ绕点A逆时针旋转90°到△ADE的位置,∴∠2=∠,∠4=∠B=90°,∠E=∠,DE=BQ,AB与AD重合,B、D两点重合,∵∠4+∠1=∴点E、D、P三点共线

∵AD∥

∴∠5=∠DAQ=∠6+∠7 又∵∠6=∠3,∠3=∠2 ∴∠5 =∠2+∠7=∠PAE ∴∠E=∠PAE

∴△AEP中PA=∴PA=DP+DE=DP+BQ

3.如图,在正方形ABCD的边BC上任取一点M,过点C

CN⊥DM交AB

于N,设正方形对角线交

点为O,试确定OM与

ON之间的关系,并说明理由

答:OM=ON;OM⊥ON.

证明:∵四边形ABCD是正方形

∴DC=BC,∠DCM=∠NBC=90°

又∵CN⊥DM交AB于N

∴∠2+∠3=°

而Rt△CDM中∠3+∠4=°

∴∠2=∠

∴△DCM≌△CBN()

∴CM=BN,∵正方形ABCD中OC=OB,∠OCM=∠OBN=45°

∴△OCM≌△OBN()∴OM=ON,∠5=∠而AC⊥BD,∠5+∠6=° ∴∠+∠6=90°. 即∠MON=90°.

∴OM与ON的关系是OM=ON;OM⊥ON.

4.如图在菱形ABCD中,∠B=∠EAF=60°,∠BAE=20°,求∠CEF的大小 解:连接AC,∵在菱形ABCD中,AB=CB,∠B=60°

∴△ABC是三角形 ∴∠BAC=60°,AB=AC ∵∠EAF=60°

∴∠BAC-∠3=∠EAF-∠3 即:∠2=∠∵AB∥

∴∠5=∠BAC=° ∴∠5=∠B

∵∠2=∠,AB=AC,∠5=∠∴△ABE≌△ACF(ASA),∴AE=AF,又∠EAF=60°,则△AEF是等边三角形,∴∠6=60°,又∠AEC=∠B+∠BAE=80°,∴∠CEF=∠AEC-∠6=80°-60°=20°

5.如图,四边形ABCD是正方形,以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG,DE.猜想图中线段BG、DE的数量和位置关系,并说明理由.

答:猜想BG=DE,且BG⊥DE.

证明:∵四边形ABCD、CEFG是正方形,∴∠3=∠4=°,BC=CD,CE=CG,∴∠3+∠5=∠4+∠即∠BCG=∠DCE,∴△BCG≌△DCE()∴∠1=∠2,BG=DE,∵Rt△BCH中∠1+∠∠BHC=∠6

∴∠2+∠BHC=∠2+∠6=°

∴∠DOG=∠2+∠6=90°,∴BG⊥DE.

6.如图,正方形ABCD中,E、F为BC,CD的上点且∠EAF=45°,求证:EF=BE+DF 证明:如图,把△ABE逆时针旋转90°得到△ADG,∴BE=GD,AE=AG,∠1=∠

4∵正方形ABCD中∠BAD=90°,∠2=45° ∴∠1+∠3=45°=∠2 ∴∠4+∠3=∠2 ∴∠2=∠FAG

在△AEF和△AGF中,AE=AG,∠2=∠FAG,AF=AF

∴△AEF≌△AGF()∴EF=GF

即EF=GD+DF∴EF=BE+DF

7.正方形ABCD中,点O是对角线DB的中点,点P是DB所在直线上的一个动点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.

(1)当点P与点O重合时(如图①),猜测AP与EF的数量及位置关系,并证明你的结论;

(2)当点P在线段DB上(不与点D、O、B重合)时(如图②),探究(1)中的结论是否成立?若成立,写出证明过程;若不成立,请说明理由;

解:(1)AP=EF,AP⊥EF,理由如下: 连接AC,∵四边形ABCD是正方形 O是BD的中点 ∴点A,O,C在同一直线上,AC=BD,AC⊥BD

∵OA=OC=AC,OB=OD=BD ∴OA=OB=OC=OD

∵△BCO中OB=OC,PE⊥BC

∴E是BC的中点 同理F是CD的中点 ∴EF是△BCD的中位线 ∴EF∥BD,EF=BD ∵AC⊥,OA=BD ∴OA⊥EF, OA=EF 即AP=EF,AP⊥EF

(2)题(1)的结论仍然成立,理由如下: 延长AP交BC于N,延长FP交AB于M; ∵PM⊥AB,PE⊥BC,∠MBE=90°

∴四边形BEPM是又∵∠2=∠3=° ∴∠3=∠4=° ∴BE=EP

∴矩形MBEP是正方形

∴MB=BE,∠5=∠FPE=90°; ∴AB-BM=BC-即AM=CE

而矩形CEPF中CE=PF ∴AM=PF

∴△AMP≌△FPE()∴AP=EF,∠6=∠7=∠8 ∵Rt△PEF中∠7+∠9=90° ∴∠8+∠9=90°,即AP⊥EF,故AP=EF,且AP⊥EF.

8.如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.

(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是正方形.

证明:(1)∵

ABCD对角线交于点O∴OA = OC

∵△EAC为等边三角形

∴ 

EO⊥AC即:AC⊥BD

故ABCD是菱形

(2)∵△EAC为等边三角形,OA = OC∴∠∠AEC = 30°∵∠AED = 2∠EAD∴∠EAD = 15°∴∠ADB = 45°

∴∵

 ∠ADC = 2∠ADB = 90°

ABCD为菱形

故:ABCD为正方形

9.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E,(1)求证:四边形ADCE为矩形;(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明.(1)证明:∵在△ABC中AB=AC,AD⊥BC,∴∠2=∠BAC,∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,∴∠3=∠CAM

∴∠DAE=∠2+∠3=×180°=90°,又∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴∠ADC=∠CEA=90°,∴四边形ADCE为矩形.

(2)当△ABC满足∠BAC=90°时,四边形ADCE是一个正方形.(答案不唯一)理由:∵AB=AC,∠BAC=90° ∴∠5=∠B=45°

∵∠∠BAC=45°

∴∠5=∠=45°,∴DC=AD,∵四边形ADCE为矩形,∴矩形ADCE是正方形. ∴当∠BAC=90°时,四边形ADCE是一个正方形.

10.如图,已知在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,CE平分∠ACB,交AD于G,EF⊥BC于F,求证:四边形AEFG为菱形. 解:∵AE⊥CA,EF⊥BC,CE平分∠ACB,∴AE=EF,∠=∠2 ∵AD⊥BC,EF⊥BC ∴AD∥EF ∴∠2=∠∴∠1=∠3 ∴AE=AG

∴四边形AEFG为平行四边形,又∵AE=AG,∴四边形AEFG为菱形.

11.如图,点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点,BE和CF交于点P.求证:AP=AB.

证明:延长CF、BA交于点M,∵四边形ABCD为正方形

∴AD=CD=BC,∠4=∠D=∠BCD=90° ∵DF=AD,CE=CD ∴CE=

∵BC=CD,∠BCE=∠D,CE=DF

∴△BCE≌△CDF()∴∠1=∠∵∠3+∠=∠BCD=90°

∴∠3+∠=90°

∴∠BPM=∠3+∠1=90° 又∵FD=FA,∠D=∠,∠5=∠6,∴△CDF≌△AMF()∴CD=AM.

∵CD=AB,∴AB=AM.

∴PA是Rt△BPM斜边BM上的中线,∴AP=BM= AB=AM 即AP=AB.

12.如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90度.将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC,点E在AC

上,再将

Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF.连接AD.

(1)求证:四边形AFCD是菱形;(2)连接BE并延长交AD于G,连接CG,请问:四边形ABCG是什么特殊平行四边形,为什么?

(1)证明:∵Rt△DEC

是由Rt△ABC绕点C旋转60°得到的,∴AC=,∠1=∠ACD=° ∴△ACD是三角形 ∴AD=DC=

又∵Rt △ABF是Rt△ABC沿AB折叠的 ∴AC=,∠2=∠ABC=°

∴∠FBC是平角∴点F、B、C三点共线,∵∠ACB=°

∴等腰△AFC是三角形 ∴AF=FC=AC

∴AD=DC=FC=AF∴四边形AFCD是(2)四边形ABCG是矩形

证明:由(1)知△ACD是三角形

DE⊥AC于E ∴AE=∵AG//BC ∴∠3=∠∠4=∠∴△AEG≌()∴AG=

∴四边形ABCG是平行四边形 而∠ABC=

∴平行四边形ABCG是矩形

第二篇:2013年四边形证明专题训练

2013年平行四边形证明专题训练

1、已知:如图,在平行四边形ABCD中,E、F是对角线AC上的两点,且AE=CF,求证:DE=BF2、如图,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,已知点E、F分别为AO、OC的中点,•证明:四边形BFDE是平行四边形.

3、已知:如图,在□ABCD中,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,E在AD上,BE=12 cm,CE=5 cm.求□ABCD的周长和面积.

4、已知:如图,在□ABCD中,E、F是对角线AC上的两点,且AE=CF。求证:DE=BF。(12分)

(1)求证:BE= DF;

(2)若AC,EF将平行四边形ABCD分成的四部分的面积相等,指出E点的位置,并说明理由.

6、平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于O.(1)图中有哪些三角形全等? 有哪些相等的线段?

(2)若平行四边形ABCD的周长是20cm,△AOD的周长比△ABO的周长大6cm.求AB,AD的长.5、如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC的中点,过O点作直线EF分别交BC、AD于E、F.

A

D

B7、如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,F是DE延长线上的点,且EF=DE,则图中的平行四边形有哪些?说说你的理由.

8、如图所示,已知在平行四边形ABCD中,E是边DA的延长线上一点, 且AE=AD,连结EC,分别交AB,BD于点

F,G,证明:AF=BF.9、已知:在□ABCD中,∠A的角平分线交CD于E,若DE:EC3:1,AB的长为8,求BC的长。

10、如图,已知四边形ABCD是平行四边形,∠BCD的平分线CF交边AB于F,∠ADC的平分线DG交边AB于G.(1)求证:AF=GB;(2)请你在已知条件的基础上再添加一个条件,使得△EFG为等腰三角形,并说明理由。

E

A

FB

D

C

A B11、已知:如图,□ABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,•H,•求证:•四边形EFGH是矩形.

12、已知:如图,D是△ABC的BC边的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是E、F,且BF=CE 求证:(1)△ABC是等腰三角形;

(2)当∠A=90时,试判断四边形AFDE是怎样的四边形,证明你判断的结论。

13、如图,矩形ABCD中,AC与BD交于O点,BE⊥AC于E,CF⊥BD于F.求证:BE=CF.14、如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC, ∠AEB=∠DEC,证明:四边形ABCD是矩形.15、已知:如图ABC中,AD是BAC的角平分线,DE∥AC,DF∥AB。证明:四边形AEDF是菱形。对于这道题,小林是这样证明明的。证明:因为AD平分BAC,所以∠1=∠2,因为DE∥AC,所以∠2=∠

3因为DF∥AB,所以∠1=∠4 又AD=AD,所以△AED≌△AFD.所以AE=AF,DE=DF.所以四边形AEDF是菱形.老师说小林的解题过程有错误,你能看出来吗?

⑴请你帮小林指出他的错误是什么?(先在解答过程中划出来,再说明他错误的原因)⑵请你帮小林做出正确的解答。

16、如图,已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高,∠B的平分线交AD于M,交AC于E点,∠DAC的平分线交CD于点N,证明四边形AMNE是菱形。

17、如图,矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过O点的直线EF 与AB、CD延长线分别交于E、F.(1)证明:△BOE≌△DOF.(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形,为什么?

A

BF

A

BCD18、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点。求证:MN和PQ互相平分。

P

Q

A

M

D19、如图,在菱形ABCD中,∠ABC与∠BAD的度数比为1:2,周长是48cm.求:

(1)两条对角线的长度;(2)菱形的面积.

B

N

C

A

O

B

D

C20、(2011年江西省)如图,四边形ABCD为菱形,已知A(0,4),B(-3,0).(1)求点D的坐标;(2)求经过点C的反比例函数解析式.

21、已知△ABC的面积为3,且AB=AC,现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA.

(1)求四边形CEFB的面积;

(2)试判断AF与BE的位置关系,并说明理由;

(3)若BEC15,求AC的长.

第三篇:直线型(四边形)证明专题训练

1如图6,在正方形ABCD中,G是BC上的任意一点,(G与B、C两点不重合),E、F是AG上的两点(E、F与A、G两点不重合),若AF=BF+EF,∠1=∠2,请判断线段DE与BF有怎样的位置关系,并证明你的结论.在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AC上一点,连接EB、ED.(1)求证:△BEC≌△DEC;

F,当∠BED=120°时,求∠EFD的度数.

A

2B

E

F

D

C

图6

2平行四边形ABCD的对角线相交于点O,直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.求证:四边形AECF是平行四边形.如图,已知:ABCD中,BCD的平分线CE交边AD于

E,ABC的平分线BG

交CE于F,交AD于G.求证:AEDG.

E G

图7

B C 3如图,已知平行四边形ABCD,DE是ADC的角平分线,交BC于点E.(1)求证:CDCE;

(2)若BECE,B80,求DAE的度数.

4.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,四边形ABDE是平行四边形.求证:四边形ADCE是矩形.A

D

B

C

5.如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。已知∠BAC=30º,EF⊥AB,垂足为F,连结DF。(1)试说明AC=EF;

(2)求证:四边形ADFE是平行四边形。

6.如图,在□ABCD中,EF∥BD,分别交BC,CD于点P,Q,交AB,AD的延长线于点E.F.已知BE=BP.求证:(1)∠E=∠F(2)□ABCD是菱形.

AE

6,AC是菱形ABCD的对角线,点E、F分别在边AB、AD上,且AE=AF.求证:△ACE≌△ACF.

47已知:如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2.(1)求证:AB=BC;

(2)当BE⊥AD于E时,试证明:BE=AE+CD.

8如图已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点,且BE=DF.(1)求证:四边形AECF是平行四边形;(2)若BC=10,∠BAC=90°,且四边形AECF是菱形,求BE的长 .

9如图,在□ABCD中,E、F分别为边ABCD的中点,BD是对角线,过A点作AGDB交CB的延长

线于点G. A

(1)求证:DE∥BF;

D(2)若∠G=90,求证四边形DEBF是菱形.

10如图,将□ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,B 交BC于点F.

⑴求证:△ABF≌△ECF ⑵若∠AFC=2∠D,连接AC、BE.求证:四边形ABEC是矩形.

11如图,E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点,且AE=DF。求证:BE=CF

12.如图,矩形ABCD的对角线相交于点

O,DE∥AC,CE∥BD.(1)求证:四边形OCED是菱形;

(2)若∠ACB=30,菱形OCED的面积为83,求AC的长.

A

D

E

13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,且AF=CE=AE.⑴说明四边形ACEF是平行四边形;

⑵当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形,并说明理由.

第25题图

14.如图,P是矩形ABCD下方一点,将△

PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合,得到△PEA,连接EB,问△ABE是什么特殊三角形?请说明理由.15.如图,在梯形ABCD中,DC‖AB,AD=BC, BD平分ABC,A60.

过点D作DEAB,过点C作CFBD,垂足分别为E、F,连接EF,求证

:△DEF为等边三角形.16.如图,四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,点E,F在BC上,且BE=CF,连接DE,AF.求证:DE=AF.AD

B

E

F

C

17.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,CD =2,BD⊥CD .过点C作CE⊥AB于E,交对

角线BD于F.点G为BC中点,连结EG、AF.(1)求EG的长;

(2)求证:CF =AB +AF.

18.如图,在等腰△ABC中,点

D、E分别是两腰AC、BC上的点,连接AE、BD相交于点O,∠1=∠2.

(1)求证:OD=OE;(2)求证:四边形ABED是等腰梯形;(3)若AB=3DE, △DCE的面积为

2, 求四边形ABED的面积.

题图

24.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.⑴ 求证:AD=AE;

⑵ 若AD

=8,DC=4,求AB的长.

第四篇:四边形证明

1.已知:如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC和CD上,AE = AF.

(1)求证:BE = DF;

(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM = OA,连接EM、FM.判断四

边形AEMF是什么特殊四边形?并证明你的结论.

B

M D

2.已知:如图,正方形ABCD中,点E在BC的延长线上,AE分别交DC,BD于F,G,点H为EF的中点.

求证:⑴ ∠DAG=∠DCG;

⑵ GC⊥CH.(6分)

AD

B C E

3.小明在研究正方形的有关问题时发现有这样一道题:“如图①,在正方形ABCD中,点E

是CD的中点,点F是BC边上的一点,且∠FAE=∠EAD.你能够得出什么样的正确的结论?”

⑴ 小明经过研究发现:EF⊥AE.请你对小明所发现的结论加以证明;

B F 图① D E C

⑵ 小明之后又继续对问题进行研究,将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”(如图②、图③、图④),其它条件均不变,认为仍然有“EF⊥AE”.你同意小明的观点吗?若你同意小明的观点,请取图③为例加以证明;若你不同意小明的观点,请说明理由.(7分)

B 图②E F C 图③B F C

图④

4.如图,矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称,(1)试说明:BD=ED=EG=BG;

(2)若矩形ABCD面积为2,求四边形BDEG的面积。(本题6分)

5如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110º,∠BOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60º得△ADC,连结OD.

(1)求证:△COD是等边三角形;

(2)当a=150º时,试判断△AOD的形状,并说明理由;

(3)探究:当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?

第五篇:证明四边形

证明直角三角形全等

三组对应边相等的两个三角形全等(SSS)

两组对应边和一组对应的夹角相等的两个三角形全等(SAS)

两组对应角和一组对应的对边相等的两个三角形全等(AAS)

直角三角形中一组斜边和一组直角边相等的三角形全等(HL)

证明三角形相似

两三角形的对应边要的比例,所以“边边边”就是三条对应边的比例都相等“边角边”就是夹角相等的两边比例相等。

证明平行四边形

连结一条对角线,得到两个三角形,可证明它们全等,从而得到内错角相等,进而得到平行,由定义知是平行四边形

⑵由四边形内角和等于360°,而两组对角相等,因此四个内角的和变成一组邻角的和的两倍,即一组邻角的和是180°,得到一组对边平行,类似地可得另一组对边平行,从而得证

⑶由SAS可证全等,进而得到内错角相等,得到两组对边平行,问题得证证明菱形

1、一组邻边相等的平行四边形是菱形

2、四边相等的四边形是菱形

3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。

证明矩形

1.一个角是直角的平行四边形是矩形

2.对角线相等的平行四边形是矩形

3.有三个角是直角的四边形是矩形。

证明正方形

1:对角线相等的菱形是正方形。

2:有一个角为直角的菱形是正方形。

3:对角线互相垂直的矩形是正方形。

4:一组邻边相等的矩形是正方形。

5:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

6:对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

7:对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。

8:一组邻边相等,有三个角是直角的四边形是正方形。

9:既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

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