中点四边形猜想与证明

第一篇：中点四边形猜想与证明

中点四边形猜想与证明

大连市第四十四中学初二八班***

猜想：四边形中点连线为平行四边形

即：如图1-1，在四边形ABCD中，E、F、G、H为四边中点

求证：四边形EFGH为平行四边形

证明：如图∵E、F为AD、AB的中点

∴EF//BD（三角形的中位线平行于第三边）

同理：HG//BD

∴HG//EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

同理：EH//FG

∴四边形EFGH是平行四边形

（两组对边分别平行的四边形是平行

四边形）

FH

图1-1图1-2 B

那么：由已知条件：EF=HG=1/2BDFG=EH=1/2AC(三角形中位线定理)因为“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，所以当EF=GF时，即1/2BD=1/2AC，即BD=AC时，平行四边形EFGH是菱形

猜想：当一个四边形的两条对角线相等时，其中点四边形是菱形。

例如：矩形的对角线相等

则：如图1-2，在矩形ABCD中，E、F、G、H为四边中点。

求证：四边形EFGH是菱形

证明：∵E、F为AD、AB的中点

∴EF=1/2BD（三角形的中位线等于第三边的一半）

同理：HG=1/2BD

∴HG=EF=1/2BD（等量代换）

同理：EH=FG=1/2AC

∴四边形EFGH是平行四边形

（两组对边分别相等的四边形是平行

四边形）

∵AC=BD

∴1/2AC=1/2BD

即：EF=GF

∴平行四边形EFGH是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）

同理上结论思路：

由已知条件：EF//HGFG//EH(三角形中位线定理)

因为“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，所以当∠EFG=90°时，即∠1=90°，即∠AOB=90°时，平行四边形EFGH是矩形。

猜想：当一个四边形两对角线互相垂直时，其中点四边形为矩形。

例如：菱形的对角线互相垂直。

则：如图1-3，在菱形ABCD中，E、F、G、H为四边中点。

求证：四边形EFGH是矩形

证明：∵E、F为AD、AB的中点

∴EF//BD（三角形的中位线平行于第三边）

同理：HG//BD

∴HG//EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

同理：FG//AC；EH//FG

∴四边形EFGH是平行四边形

（两组对边分别平行的四边形是平行

四边形）

∵四边形ABCD是菱形

∴∠AOB=90°（菱形的对角线互相垂直）

∴∠FNO=∠AOB=90°（两直线平行，内错角相等）

∴∠EFG=∠FNO =90°（两直线平行，同位角相等）

∴平行四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）

BF

H

图1-3图1-

4那么：因为正方形同时是矩形和菱形，所以满足同时使中点四边形为矩形和菱形的四边形，其中点四边形则可能是正方形。

猜想：当一个四边形的两对角线相等且互相垂直时，其中点四边形是正方形。

例如：正方形的对角线相等且互相垂直。

则：如图1-4，在正方形ABCD中，E、F、G、H为四边中点。

求证：四边形EFGH是正方形

证明：∵E、F为AD、AB的中点

∴EF//BD；EF=1/2BD（三角形的中位线平行于

第三边且等于第三边的一半）

同理：HG//BD；HG=1/2BD

∴HG//EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

HG=EF=1/2BD（等量代换）

同理：EH//AC//FG；EH=FG=1/2AC

∴四边形EFGH是平行四边形

（两组对边分别平行的四边形是平行

四边形）

∵四边形ABCD是正方形

∴∠AOB=90°（正方形两对角线互相垂直）

AC=BD（正方形两对角线相等）

∴∠FNO=∠AOB=∠FNO =90°

（两直线平行，内错角相等；

两直线平行，同位角相等）

1/2AC=1/2BD

即：EF=GF

∴平行四边形EFGH是正方形

（有一个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形）

2010/4

第二篇：中点四边形说课稿

《中点四边形》说课稿

彭公中学王小静

各位领导，老师：

大家好！今天我讲课的题目是《中点四边形》。以下我将从六个方面说给大家听。

一、说教材：

（一）教材内容：

《中点四边形》是北师大版教科书九年级上册第三章第二节内容，也是证明部分最后一节内容，是在学生已经掌握了平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等基本四边形的性质及判定和三角形中位线的基础上学习的。因此，学生已经具备了一定的分析和解决问题的能力。它在初中数学中起着比较重要的作用，通过本节课的学习，准备使学生从感性到理性形成一个飞跃。

（二）教学目标：

根据新课程标准关于数学目标设计的基本理念，在分析课标和教材的基础上，我把本节课的教学目标划分为以下三个方面：知识与技能、过程与方法、情感与态度观。具体说来：

1、知识与技能：

（1）学生能利用三角形中位线定理判断中点四边形的形状；

（2）感受中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置关系与数量关系；

（3）通过图形变换使学生掌握简单添加辅助线的方法。

2、过程与方法：

（1）培养学生观察、发现、分析、探索知识的能力及创造性思维和归纳总结能力；

（2）通过对图形既相互变化，又相互联系的内在规律的分析，渗透辩证唯物主义观点，使学生领悟事物是运动、变化、相互联系和相互转化的。

3、情感态度与价值观：

通过学生亲自参与、发现和证明，培养学生的参与意识及合作精神，激发学生探索数学的兴趣，体验数学学习的过程与探索成功后的喜悦。

（三）教学重难点：

根据数学课程标准对本学段这部分知识的建议，我把本节课的教学重点确定为确定中点四边形形状的探究。难点是探索出中点四边形为特殊平行四边形的决定因素。

二、说教学方法：

根据学生以往的学习经验，及九年级学生思维的感官性，所以本节课安排由学生通过实际操作去探索中点图的特征。也为使课堂生动、有趣、高效，准备将整节课以观察、思考、讨论贯穿于整个教学环节之中，并准备通过实验观察，启发式教学法和师生互动式教学模式进行教学，教学中，最大限度的调动学生学习的积极性和主动性，以利于最优化的达到教学目的。

教学过程中注意师生之间的情感交流，培养学生“多观察、动脑筋、大胆猜、勤钻研”的研讨式学习模式，培养学生归纳总结能力。为突破难点，我在教学中

适当补充练习题进行教学，重在引起学生对新知的巩固和掌握。

三、说学生学法：

（1）知识掌握上：在学生学习任意四边形中点形的基础上，再加上九级学生理解力强，所以本课安排学生分析决定中点四边形形状主要因素条件不存在太大的问题。

（2）知识障碍上：今天的新知，学生不易灵活应用，容易造成应用中的混淆现象，所以教学中灵活结合学生练习中可能存在的问题，进行简单明了、深入的分析讲解。

（3）思维特征上：根据九年级学生，不爱发表见解，希望得到老师表扬等特点，所以在教学中准备灵活抓住学生这一生理、心理特点，一方面让学生动手实际操作，尽量引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面积极创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。

（4）心理特征上：老师抓住学生对数学课感兴趣这一有利因素，引导学生认识到数学的科学性和应用性，学好数学有利于其他学科的学习以及学科知识的渗透性。

四、说教学程序设计：

教学设计应为教学目标展开，因此，我根据课改精神以及九年级学生的年龄特点、心理特征、学生学习水平。在确立了教学目标以后，将本节课的设计思路确立为以下几个环节：

1、复习旧知、导入新课，学生在已有认知的基础上，从旧知入手，创设情境，从而激发学生的学习兴趣。而后开门见山，给出课题，并引导学生探索的方法，从而使学生对本课形成整体观念。这样导入新课既为后面突破难点节省了时间，也激发了学生的学习兴趣，又引发了学生的求知欲，使他们带着浓厚的兴趣进入新课的学习。

2、动手操作探究规律：：

在大屏上映出做一做的内容，是利用学生自己动手实践，得出结论，并通过问题来引导学生开展观察、分析、交流、总结等活动，培养学生从数学的角度去观察事物，思考问题并归纳问题。

因这部分内容是本节课的教学重点也是本节课的教学难点，为突破这一难点，准备安排十五分种的时间让学生亲自动手操作、合作交流得出结论。其间，我准备参与其中，并及时给个别学生加以引导，突出学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者的地位。在学生探索的基础上，老师提出让学生欣赏自己的作品，电脑显示老师的作品，设计这一环节的主要目的是让学生进一步明确答案，体会数学语言的严密性。另外，学生在操作的过程中特别强调先独立完成，再合作交流，从而体现合作是在自主的基础上进行的理念。

3、加深理解形成技能：我们教学要激发学生独立思考，让学生主动探索，养成良好的学习习惯，因此，我先结合“我会填”让学生学会初步应用新知，再结合“动脑做”请同学在动手操作的基础上，自动形成讨论组，对所提出的问题进行实际操作。并引导学生在动手

中思维，在思维中动手。再结合“学习了，会用吗？”进一步体会数学知识的严密性，从而为突破难点打下坚实的基础。

4、练习应用感受新知：为提高对重点内容的理解和应用，因材施教，尊重

学生的个性差异的基础上，特设计了三个题，以达到本节课的高潮，三个题，并且每一部分的出题都围绕着教学目的而展开。一题着眼于基础知识的练习和巩固，使绝大部分学生都能领悟和理解。教学中，无须浪费更多时间，学生自行解决即可。二题则多知识点交叉。必要时，老师要适时给以点播。三题目的是培养解题技能。安排这一内容的主要目的是提高学习兴趣，让学生在做对的基础上体味成功感，从而提高学习数学的信心。而练后教师的点评更使学生认识到合作学习给大家带来的好处。

五、说教学评价：

在教学中充分考虑到老师的表情神态、鼓励性的语言对学生学习过程的影响。同时从不同角度或侧面了解学生的跟课情况，以便及时调整教学过程，从而保证教与学的统一。我在这节课的设计中十分注意学生学习主动性的发挥，学生在进行操作、展示的过程中，及时给以评价，提高学生的自信心，从而体验数学，感受数学，形成对数学的正确认识，并得到情感态度与价值观的陶冶与升华。

六、说教学反思及再教设计

（一）教学反思：

1、本节课的指导思想是充分发挥学生在学习中的主体作用。从“问题提出小组交流探讨归纳与概括应用”的过程中，同学们

主动参与、积极探索，并对难的问题同学们合作研究，整个课堂学习积极性高，研究风气浓。

2、老师充分发挥在学习中的主导作用。对学习能力弱的学生积极地加以指导，并帮助学生分析问题，概括归纳新知识。

3、本节课的突出特点是利用现代技术，为学生创建一个学习、研究的学习情境。通过图形的变换，使学生很容易发现问题的规律、找出解决方法，使学生学得轻松，兴趣浓厚，精神状态极佳。

4、本节课容量较大，但由于采用了多媒体辅助教学手段，使学生在老师的启发下，一步一步地探索、归纳、学习，使学生是很容易地掌握了知识，并在探索的过程中培养了学生的创新精神和创新意识。

（二）再教设计：

1、在图形的制作上再下功夫。

2、在运用鼓励性的语言，激发学生学习的积极性和主动性以及进一步发挥学生的主体性上再下功夫。

本节课的设计思路基本这样，具体操作可能会有些疏漏，恳请各位领导、同仁多提宝贵意见。

第三篇：中点四边形教学设计

教学设计

————探究中点四边形

孟州市会昌中心学校

李培红

一、学习内容的分析

本节课中点四边形是在人教版八年级数学课本第68页习题第九题提出的，它是对三角形的中位线的直接应用，同时对四边形和平行四边形性质和判定应用的一个延伸。四边形是平面几何的一个重要内容，三角形中位线定理证明相关发现与平行四边形以及特殊的平行四边形的性质及判定紧密相关。

为了使学生顺利完成认知构建，本节课安排在本章内容结束之后进行，一方面可以让学生对学习过的三角形的中位线和特殊平行四边形的性质与判定进行一次系统的复习，另一方面也可以让学生将中点四边形与原四边形对角线的本质关系挖掘出来，从而完成本节课的教学。本节课的教学重点是各种四边形的中点四边形形状及其证明。难点有两个，一个是在学习中点四边形的概念后，运用已学的平行四边形和三角形中位线的相关知识多角度进行合情推理；另一个是逆向探究中点四边形的特殊性与原四边形（对角线）的本质关系。

二、教学目标设计 1.知识与技能：

(1)了解中点四边形的概念；

(2)会利用三角形中位线定理证明中点四边形是平行四边形；(3)理解并会证明特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）的中点四边形的特征；

(4)理解中点四边形的特殊性与原四边形的对角线有关，会画出满足特殊条件的中点四边形的原四边形。

2.过程与方法：

(1)通过复习学过的内容，单刀直入，提出问题，让学生带着问题学习；(2)经历观察、猜想、证明中点四边形是平行四边形；

(3)经历由一般到特殊的思维进程，发现并证明特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）的中点四边形的特征；

(4)根据逆向探究提出中点四边形的特殊性与原四边形的哪些元素（边、角、对角线）有关的问题，探索发现中点四边形的特殊性与原四边形的对角线有关；并体验画出原四边形真正有关的只有对角线；

3.情感态度与价值观：

(1)通过数学活动培养学生观察、归纳、猜想、证明的探索精神与实践能力；

(2)通过举一反三活跃学生思维，培养学生学会分析解决问题的能力；(3)通过组织课堂小组讨论活动，培养学生互助合作的意识。

三、教学问题诊断分析

本节课容易出现的问题有以下几个：第一，在第一部分，学生要自己讨论分析不同四边形的中点四边形的形状时候，会有对特殊平行四边形性质和判定不熟悉的情况，导致推断不出图形形状。针对这个问题，我在一开始设计了判断任意四边形的中点四边形是平行四边形的证明过程，这个过程让老师和学生一起做，但要求用不同的方法证明，这样就开阔了学生的视野，对知识应用起到一定的提示作用。第二，学生在讨论特殊平行四边形的中点四边形形状时候，我要求学生可以口述证明过程，可能会出现证明过程不够完整的情况，教师要及时进行更正和补充。第三，在利用逆向思维探究中点四边形与原来四边形的什么元素有关时候，学生估计有一定的困难，这时候教师要因势利导，引导学生认真观察图形，找出关键点所在，并进一步总结，形成新的认知结构。

四、教学支持条件分析

本节课使用的媒体资源主要是计算机。教师利用多媒体课件展示教学的各个环节，并且通过链接让学生可以比较直观的看到不同四边形的中点四边形的形状变化，然后再结合问题，通过图形的动态变化为学生的观察、猜想创造条件，使之成为学生感性发现到理性认知的工具。

五、教学过程设计

一、复习引入

1、什么是三角形的中位线？

2、三角形的中位线有什么性质？

3、用几何语言怎么表示？

学生仔细观察图形，迅速思维并回答:

1、三角形的中位线。

2、三角形中位线的性质。

3、中点四边形的概念。

【设计意图】：三角形中位线是学生刚学的知识，它是本课时探究学习的理论基础，同时又加深两条线段之间的数量和位置关系，为后边原四边形的对角线关系做铺垫。教师提出问题，并用多媒体展示，引导学生复习学过的知识，引出中点四边形的概念，突出概念形成过程，达到以旧引新的目的。

二、探究中点四边形的性质

探究一：猜想任意四边形的中点四边形是什么形状？ 教师活动：多媒体展示如图，提出问题，任意四边形的中点四边形是什么形状？可以从图形上先进行猜想。

学生活动：猜想：中点四边形是平行四边形。

教师引导学生写出已知，求证。让学生讨论如何证明，提示学生要用到平行四边形的判定。

已知：四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别为ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ各边的中点。

求证：四边形ＥＦＧＨ是平行四边形。证明：

证法

（一）连结2条对角线，只利用三角形中位线定理中的位置关系，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

证法

（二）连结2条对角线，只利用三角形中位线定理中的数量关系，证明两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

证法

（三）连结一条对角线，充分利用三角形中位线定理中的位置和数量关系，证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

教师引导：比较这三种证明途径，哪一种更简便？利用三角形中位线定理时注意使用的灵活性和充分性。

【设计意图】：通过图形的展示，给学生以直观感，让学生经历观察-猜想-论证的过程，符合对事物的认知规律，让学生掌握科学有效的探索步骤。在分析的基础上更清晰的从图形上找到自己想要的条件，以便于达到要证明的结果，与此同时，教师展示证明过程，可以更加规范几何证明题的写法，培养学生严谨的探究程序感。在分析过程中，教师引导学生用不同的方法来证明，不仅复习了平行四边形的几种判定方法，而且让学生明白几何题目在解题过程中的一题多解，同时认识到连接对角线是解决问题的关键，将四边形的问题转化为三角形的问题来解决，加深中点四边形的边与原对角线之间的位置和数量关系。

三、探索特殊四边形的中点四边形

探究二：当原四边形是下列图形时，中点四边形是什么四边形？

1、平行四边形，2、矩形，3、菱形，4、正方形。以小组为单位讨论，提出猜想并陈述理由。学生充分讨论。

猜想1：平行四边形的中点四边形是平行四边形。猜想2：矩形的中点四边形是菱形。猜想3：菱形的中点四边形是矩形。猜想4：正方形的中点四边形是正方形。学生展示证明思路与过程。得到结论：

1、平行四边形的中点四边形是平行四边形。

2、矩形的中点四边形是菱形。

3、菱形的中点四边形是矩形。

4、正方形的中点四边形是正方形。

【设计意图】：观察当原四边形是特殊的四边形时，它们的中点四边形有没有变化？变化如何？设计由一般到特殊的探究过程，渗透给学生逐步加深探究的途径。在探究过程中，一方面让学生对原图形的性质加以回顾，另一方面也对特殊平行四边形的判定方法加以复习巩固，同时对已知，求证，证明过程更为熟悉。在学生讨论后，教师让学生单独口述证明过程，能够更好的培养学生的思维能力和空间想象能力。通过学生亲自参与、发现和证明，培养学生的参与意识及合作精神，激发学生探索数学的兴趣，体验数学学习的过程与探索成功后的喜悦。

四、探索中点四边形与原四边形的哪些元素有关

探究三：通过上述思考，你知道中点四边形的形状与原四边形的什么有着密切的联系？

教师引导：下面让我们把特殊性转移到中点四边形和原四边形的关系上： 当中点四边形是一些特殊的平行四边形时，观察原四边形的变化，从边、角、对角线的角度考虑，你有什么发现？

【设计意图】：本环节设计了逆向思维的探究过程，将探究活动的难度提升。让学生充分的考虑到四边形的因素：边，角，对角线。从这几种元素分别讨论，其实这个过程学生一看图像就很清楚了，教师只是起到引导作用，但是如果让学生自己考虑的话，难度还是比较大的。

学生在教师的引导下讨论并回答：中点四边形只与对角线有关，取决于原四边形的两条对角线的位置与长短。

然后教师按照位置和长短将对角线分类：

1、对角线既不相等也不垂直的四边形，2、对角线相等的四边形，3、对角线互相垂直的四边形，4、对角线相等且互相垂直的四边形。

让学生观看展示的图形后，得出结论：

1、对角线既不相等也不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形，2、对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，3、对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，4、对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形。

教师进一步引导：如果知道中点四边形的形状，原四边形对角线应该有什么性质？

在进行表格归纳之后，学生会发现：

1、中点四边形是平行四边形的对原图形没有要求；

2、中点四边形是矩形只需原四边形的对角线互相垂直；

3、中点四边形是菱形只需原四边形的对角线相等；

4、中点四边形是正方形只需原四边形的对角线互相垂直且相等。

【设计意图】通过探究，让学生感受到研究中点四边形就是研究原图形对角线的位置和数量关系，从对角线的没关系到相等，到垂直，到相等且垂直，是从一般到特殊的思想方法，在认识上循序渐进，学生较好理解。在得出一般结论后，再回答几种特殊四边形的中点四边形，就只要考虑对角线的关系了。

五、课堂小结

至此，本节课的重点内容全部结束，教师要引导学生进行课堂小结：

1、你学会了什么？

2、本节课的体会和感受是什么？ 结合学生的见解归纳：

１．利用三角形中位线定理，可以判定中点四边形的形状。２．中点四边形的形状都是平行四边形。

３．中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置与长短

【设计意图】：本环节主要是对整节课做个总结，包括知识点，几何题目的分析方法，以及重要的结论，方便学生以后的应用。同时让学生养成良好的学习习惯，勤学习，勤总结。培养学生的归纳能力，使学生形成完整的知识结构和研究数学问题的一般方法。

六、目标检测设计

（1）中点四边形的形状与原四边形的（）有密切关系；

（2）只要原四边形的两条对角线（），就能使中点四边形是菱形；（3）只要原四边形的两条对角线（），就能使中点四边形是矩形；（4）要使中点四边形是正方形，原四边形要符合的条件是（）。（5）如图,四边形ABCD中,AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD 各边中点,得四边形A1B1C1D1;再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点, 得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn.四边形A1B1C1D1是_ __，四边形A2B2C2D2是，四边形A11B11C11D11是____；

【设计意图】：高效课堂提倡向课堂要质量，所以在学完本节内容之后要让学生进行练习，让学生对本节课的内容加以巩固。

本着因材施教的教育理念，在教学中进行分层练习，由易到难，让所有学生都能体验到成功的快乐，提高学习的积极性，前四个问题主要考察了学生对一些重要结论的掌握情况，从中教师可以观察出学生的听课效率，为以后的课堂提供参考。第五题主要考察学生的发散思维，对学生掌握知识的灵活性，应用性都有较高要求，提高学生研究数学的兴趣和创新意识。

第四篇：“中点四边形”教学设计 教学反思

“中点四边形”教学设计的得与失

--------“中点四边形”的教学反思

广州市47中学汇景实验学校 刘莓

第Ⅰ部分 学案（第一稿）

课题:中点四边形

姓名 班级 学号

一、学习目标：

1、了解中点四边形的概念

2、灵活应用三角形的中位线性质研究中点四边形与原四边形的关系。

二、学习重点、难点

1、重点：研究中点四边形与原四边形的关系；

2、难点：找出中点四边形与原四边形的形状的变化规律。

三、学习过程：

（一）、复习：三角形的中位线性质：利用右图用几何语言表示

（二）、练习：

1．证明：顺次连结四边形的各边中点所组成的四边形（简称中点四边形）是平行四边形。

已知：

求证：

2、与周围的同学交流一下证明方法。

从以上的证明过程中可知：中点四边形的边与原四边形的对角线有密切关系。

3、通过画图猜想：顺次连结矩形的各边中点所组成的四边形是什么形状？

请证明你的结论。

4、回味刚才的证明过程，想一想：要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗？

由此可得：只要原四边形的两条对角线，就能使中点四边形是菱

形。

5、通过画图猜想：顺次连结菱形的各边中点所组成的四边形是什么形状？

请证明你的结论。

6、回味刚才的证明过程，想一想：要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是菱形吗？

由此可得：只要原四边形的两条对角线，就能使中点四边形是矩形。

7、讨论一下：要使中点四边形是正方形，原四边形要符合的条件是

8、小结：

（1）中点四边形最起码是一个 ；

（2）原四边形的对角线与中点四边形的边有密切关系：

原四边形的两条对角线相等 中点四边形的邻边也 中点四边形是 形

原四边形的两条对角线垂直 中点四边形的邻边也 中点四边形是 形

原四边形的两条对角线垂直且相等 中点四边形的邻边也

中点四边形是 形

作业：

1、顺次连结等腰梯形的各边中点所组成的四边形是特殊的平行四边形吗？

证明你的结论。

2、中点四边形的面积与原四边形的面积之比是。

第Ⅱ部分 反思

一、教材地位与学案的设计思想

这节课的内容安排在华东师大版教材的九年级下册第27章«证明»一章后的课题学习，这样的安排很恰当，学生刚刚学完了用推理的方法研究三角形和四边形。这节课的内容是三角形中位线的应用，也是对特殊平行四边形性质、判定的巩固，还是对学生研究变式图形能力的训练--------这是一个动态图形的系列问题：无论原来的四边形的形状怎样改变，顺次连结它各边的中点所得的四边形最起码是平行四边形。而且平行四边形又包含了矩形、菱形、正方形，这时，原四边形要作怎样的变化呢？通过这节课的学习，使学生对中点四边形与原四边形的形状的变化规律有一个系统的认识。

学生往往不重视课题学习或找不到方法去研究这个课题。而这节课的学案设计就是为学生研究这个课题在方法上搭建了一个平台。

在使用旧人教版的时候，为使学生对中点四边形与原四边形的形状的变化规律有一个系统的认识，也曾这样设计：

在每个学生一台电脑的网络室利用《几何画板》教师先做两个页面，第一页原四边形设计为平行四边形，第二页原四边形设计为任意四边形。学生只需用鼠标拖动原四边形或中点四边形的一个顶点，就可实现动画。两页都有辅助线（原四边形的对角线）的显示/隐藏按钮。每个同学须填写一份实验报告。实验报告的问题设计如下：

在学生完成前12分钟的实验后，教师利用实物投影仪展示一些同学的证明过程、小结实验情况、对比证明方法，让学生明确“四边形EFGH的形状的变化与原四边形的两条对角线有着密切的关系”----为下一阶段的实验铺路。第二阶段的实验有足够的时间让学生操作，而且绝大多数同学能遵循题目的暗示将中点四边形EFGH进行动画，通过中点四边形EFGH形状的改变来观察原四边形ABCD的变化。所以第1题完成情况良好，又为第二题铺平了道路。最后由同学自荐所出题目，公认最好的作为作业布置。

二、课堂实施情况

对比两种设计方案的实施情况:

①实验报告的设计没有在文字上给学生具体方法的指导，普通班相当一部分学生在实验的第二阶段中不知怎样证明自己所得的结论，也正因为如此给成绩好的学生留下了较大的思维空间；学生不用自己画图节省了时间。但也留下了缺憾------怎样画出符合题意的示意图也是要训练的，而且在画图的过程中还能对题意有更深的理解。当时在重点班的实施效果较好，普通班的实施情况不理想------大约一半学生达不到实验的预期目的。

②学案（第一稿）的设计弥补了实验报告的不足，由于设计时多种情况都让学生从熟悉的图形：矩形、菱形入手，证明它们的中点四边形分别是菱形、矩形。然后通过“回味刚才的证明过程，”让学生注意到在证明过程中运用了矩形、菱形的对角线相等、对角线互相垂直的性质，而没有用对角线互相平分的性质，从而把图形变式，将特殊情况予以推广。这种过渡层层递进，分散了难点，课堂上进行的较为顺利。而且学案的设计由始至终在研究方法上贯穿一条主线：原四边形的对角线与中点四边形的边有密切关系------原四边形的两条对角线若垂直、相等，中点四边形的相邻边也垂直、相等。课堂上，学生的证明方法较为多样，如下图，学生通过证明图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ全等来证明中点四边形是菱形，但大多数学生遵从学案中的“暗示”，连结两条对角线，利用中位线证明。通过讨论和展示多种证明方法既开拓了学生的思路又始终引导学生沿主线展开研究。

在实施过程中，由于要落实画图、写已知、求证及证明，普通班两节连堂方可完成，重点班一节课可完成。

三、课后作业反馈

第1题：

①有少部分学生把课堂小结的图形变化规律当作定理直接应用于证明过程中；

②有少部分学生没有写已知、求证；

③有少部分学生的图形太特殊导致中点四边形是正方形，而在证明时又把菱形的识别当作正方形的识别；

第2题：在课间与学生的口头交流得知，大部分学生知道可用特殊值法并求

出了正确结果，但其中有些学生对于一般情形下的解法是没掌握的。

四、学案改进

给出学案中1、3、5、中的示意图并将写“已知、求证”删去以免冲淡主题；改为要求学生画4、6、的示意图，让学生更好地理解4、6、是3、5、的深入与推广（教师注意巡堂，发现学生画出的是3、5、条件下的图形应予以纠正）。

作业的第2题要求学生交流解法。

第Ⅲ部分 学案（改进稿）

课题:中点四边形

姓名 班级 学号

一、学习目标：

1、了解中点四边形的概念

2、灵活应用三角形的中位线性质研究中点四边形与原四边形的关系。

二、学习重点、难点

1、重点：研究中点四边形与原四边形的关系；

2、难点：找出中点四边形与原四边形的形状的变化规律。

三、学习过程：

（一）、复习：三角形的中位线性质：利用右图用几何语言表示

（二）、练习：

1、已知：如图，四边形ABCD为任意四边形，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点。

求证：四边形EFGH是平行四边形

2、与周围的同学交流一下证明方法。

我们把顺次连结四边形各边中点所成的四边形叫中点四边形

从以上的证明过程中可知：中点四边形的边与原四边形的对角线有密切关系。

3、已知：如图，四边形ABCD为矩形，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点。顺次连结EF、FG、GH、HE，猜想四边形EFGH是什么形状的四边形。

并证明你的结论。

4、回味刚才的证明过程，想一想：要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是

矩形吗？

由此可得：只要原四边形的两条对角线，就能使中点四边形是菱形。请画出符合此命题的示意图。

5、已知：如图，四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点。猜想四边形EFGH是什么形状的四边形。并证明你的结论。

6、回味刚才的证明过程，想一想：要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是

菱形吗？

由此可得：只要原四边形的两条对角线，就能使中点四边形是矩形。

请画出符合此命题的示意图。

7、讨论一下：要使中点四边形是正方形，原四边形要符合的条件是

8、小结：

（1）中点四边形最起码是一个 ；

（2）原四边形的对角线与中点四边形的边有密切关系：

原四边形的两条对角线相等 中点四边形的邻边也

中点四边形是 形

原四边形的两条对角线垂直 中点四边形的邻边也

中点四边形是 形

原四边形的两条对角线垂直且相等 中点四边形的邻边也

中点四边形是 形

（看屏幕上的动画演示）

作业：

1、顺次连结等腰梯形的各边中点所组成的四边形是特殊的平行四边形吗？

证明你的结论。

2、中点四边形的面积与原四边形的面积之比是。与其他

同学交流一下研究此问题的方法。

第五篇：四边形证明

1.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．

（1）求证：BE = DF；

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四

边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

B

M D

2．已知：如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC，BD于F，G，点H为EF的中点．

求证：⑴ ∠DAG＝∠DCG；

⑵ GC⊥CH．(6分)

AD

B C E

3．小明在研究正方形的有关问题时发现有这样一道题：“如图①，在正方形ABCD中，点E

是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE＝∠EAD．你能够得出什么样的正确的结论？”

⑴ 小明经过研究发现：EF⊥AE．请你对小明所发现的结论加以证明；

B F 图① D E C

⑵ 小明之后又继续对问题进行研究，将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”(如图②、图③、图④)，其它条件均不变，认为仍然有“EF⊥AE”．你同意小明的观点吗？若你同意小明的观点，请取图③为例加以证明；若你不同意小明的观点，请说明理由．(7分)

B 图②E F C 图③B F C

图④

4．如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，(1)试说明：BD=ED=EG=BG；

(2)若矩形ABCD面积为2，求四边形BDEG的面积。(本题6分)

5如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110º，∠BOC＝a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60º得△ADC，连结OD．

(1)求证：△COD是等边三角形；

(2)当a＝150º时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

(3)探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？