圆的证明与计算(弧中点)（范文大全）

第一篇：圆的证明与计算(弧中点)

《弧中点的运用》教学案

张店中学

桂应祥 教学目标：

1、知道过弧中点作圆的切线得到的基本图形以及相关基本结论；

2、会利用该基本图形中的结论（性质）进行计算；

3、通过变式寻求基本图形的性质，从而探求一般解法，培养学生分析问题、解决问题的能力；

4、在变式过程中养成探究的习惯，增强学习数学的信心 教学重点：利用基本图形、基本结论进行计算 教学难点：结合基本图形归纳基本方法 教学过程：

一、探究性质

活动1(1)如图1，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D为弧BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点E.① DE与AE有何位置关系？证明你的结论.② 连接BC，DE与BC有何关系？证明你的结论.③ 求证：2AE=AC+AB.④ 连接AD、BD，求证；AD2=AEAB.(2)如图2，设切线DE交AB的延长线于F，连接BD并延长交AE的延长线于M，连OD.① AB与AM有何数量关系？为什么？DM与DB呢？CE与ME呢？ ② 由OD∥AE，可得△ODF～△AEF吗？ ③ △MDC与△MAB相似吗？为什么？

【设计思路】涉及弧的中点一般有三种用法：一是等弧对等弦；二是构造弧所对的圆周角的平分线；三是由垂径定理构造矩形。

二、寻求解法 活动2

在图1中，（1）已知DE=3，CE=1，求AB 的长.分析：连 OD交BC于G，则四边形 DECG为矩形，在Rt△OBG中由勾股定理可求出⊙O的半径.(2)已知：AD=310,BC=6,求S△ABD.分析：DE1BC3，可求AE=9,再由△ADE～△ABD,求得AB=10,所以BD=10, 2得到S△ABD=15.归纳：

1、在图中选择适当的直角三角形运用勾股定理是解决圆中计算的常用方法；

2、相似三角形的证明与运用解决圆中计算问题的又一常用方法。

活动3 在图2中，（1）已知AE=9,EF=12, 求 BC的长.分析：先求AF=15,由△ODF～△AEF,得出

ODAE3，设OD=3x,DF=4x,则OF=5x,于是DFEF415275x153xx,所以BC9..再由2AEACAB,得AC84(2)设AD交BC于N，已知AB=15,DF=10, 求 CN的长.25,则AF20.由△ODF～△AEF，求EF=16,得出DE=6.2CNANAB9CN.由BC∥EF,得DEADAF2 分析：先求OF归纳：

1、在Rt△ODF中运用勾股定理；

2、发现并充分利用△ODF～△AEF；

3、利用BC∥EF, 得到比例式.三、拓展训练

1、在图1中，已知⊙O的半径为5，AD=310，求CE的长.2、在图2中，已知DF=5，DE=3，求S△DEM.3、在图2中，已知sinF3,CE1.求⊙O的半径以及EF的长.4

第二篇：中点四边形猜想与证明

中点四边形猜想与证明

大连市第四十四中学初二八班***

猜想：四边形中点连线为平行四边形

即：如图1-1，在四边形ABCD中，E、F、G、H为四边中点

求证：四边形EFGH为平行四边形

证明：如图∵E、F为AD、AB的中点

∴EF//BD（三角形的中位线平行于第三边）

同理：HG//BD

∴HG//EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

同理：EH//FG

∴四边形EFGH是平行四边形

（两组对边分别平行的四边形是平行

四边形）

FH

图1-1图1-2 B

那么：由已知条件：EF=HG=1/2BDFG=EH=1/2AC(三角形中位线定理)因为“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，所以当EF=GF时，即1/2BD=1/2AC，即BD=AC时，平行四边形EFGH是菱形

猜想：当一个四边形的两条对角线相等时，其中点四边形是菱形。

例如：矩形的对角线相等

则：如图1-2，在矩形ABCD中，E、F、G、H为四边中点。

求证：四边形EFGH是菱形

证明：∵E、F为AD、AB的中点

∴EF=1/2BD（三角形的中位线等于第三边的一半）

同理：HG=1/2BD

∴HG=EF=1/2BD（等量代换）

同理：EH=FG=1/2AC

∴四边形EFGH是平行四边形

（两组对边分别相等的四边形是平行

四边形）

∵AC=BD

∴1/2AC=1/2BD

即：EF=GF

∴平行四边形EFGH是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）

同理上结论思路：

由已知条件：EF//HGFG//EH(三角形中位线定理)

因为“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，所以当∠EFG=90°时，即∠1=90°，即∠AOB=90°时，平行四边形EFGH是矩形。

猜想：当一个四边形两对角线互相垂直时，其中点四边形为矩形。

例如：菱形的对角线互相垂直。

则：如图1-3，在菱形ABCD中，E、F、G、H为四边中点。

求证：四边形EFGH是矩形

证明：∵E、F为AD、AB的中点

∴EF//BD（三角形的中位线平行于第三边）

同理：HG//BD

∴HG//EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

同理：FG//AC；EH//FG

∴四边形EFGH是平行四边形

（两组对边分别平行的四边形是平行

四边形）

∵四边形ABCD是菱形

∴∠AOB=90°（菱形的对角线互相垂直）

∴∠FNO=∠AOB=90°（两直线平行，内错角相等）

∴∠EFG=∠FNO =90°（两直线平行，同位角相等）

∴平行四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）

BF

H

图1-3图1-

4那么：因为正方形同时是矩形和菱形，所以满足同时使中点四边形为矩形和菱形的四边形，其中点四边形则可能是正方形。

猜想：当一个四边形的两对角线相等且互相垂直时，其中点四边形是正方形。

例如：正方形的对角线相等且互相垂直。

则：如图1-4，在正方形ABCD中，E、F、G、H为四边中点。

求证：四边形EFGH是正方形

证明：∵E、F为AD、AB的中点

∴EF//BD；EF=1/2BD（三角形的中位线平行于

第三边且等于第三边的一半）

同理：HG//BD；HG=1/2BD

∴HG//EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

HG=EF=1/2BD（等量代换）

同理：EH//AC//FG；EH=FG=1/2AC

∴四边形EFGH是平行四边形

（两组对边分别平行的四边形是平行

四边形）

∵四边形ABCD是正方形

∴∠AOB=90°（正方形两对角线互相垂直）

AC=BD（正方形两对角线相等）

∴∠FNO=∠AOB=∠FNO =90°

（两直线平行，内错角相等；

两直线平行，同位角相等）

1/2AC=1/2BD

即：EF=GF

∴平行四边形EFGH是正方形

（有一个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形）

2010/4

第三篇：平行四边形的证明与计算

中考专题：平行四边形的证明与计算

1.如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．

（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长．

号考 线

2.如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF．

题级 班答 要 不

内3.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF，求证：DE=BF．

线 封封 密

名 4.如图，在平行四边形ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上，且AE=CF．求证：DE=BF．

姓

5.如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC，求证：BE=AF．

密 校 学

6.如图，已知点A、C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE=CF．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）直接写出图中所有相等的线段（AE=CF除外）．

7.如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=10cm，BC=30cm，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

8.如图，ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，若∠ABF=∠CDE=90°．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AB=AD=8，BF=6，求AE的长．

9.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线与BE的延长线相交于点F，连接CF．（1）求证：四边形CDAF为平行四边形；（2）若∠BAC=90°，AC=AF，且AE=2，求线段BF的长．

10.如图，将▱ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的F处，点E在AB上．（1）求证：四边形ABFE为平行四边形；（2）若AB=4，BC=6，求四边形ABFE周长．

11.如图，延长▱ABCD的边AB到点E，使BE=BC，延长CD到点F，使DF=DA，连结AF，CE，求证：四边形AECF

是平行四边形．

12.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，延长BC至点F，使得CF=

BC，连结CD、DE、EF．

（1）求证：四边形CDEF是平行四边形．

（2）若四边形CDEF的面积为8，则△ABC的面积为 16 ．

13.如图，在△ABC中，D、E是AB、AC中点，AG为BC边上的中线，DE、AG相交于点O，求证：AG与DE互相平分．

14.如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：CF=2AE；（2）若S△ABE=2cm2，求四边形ADCF的面积．

15.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF．求证：BE∥DF．

16.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点，试说明四边形AECF是平行四边形．

17.如图，平行四边形ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA，DC的延长线分别交于点E，F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）连接EC，AF，求证：四边形AECF是平行四边形．

18.如图Rt△ACB中，已知∠BAC=30°，BC=2，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE． EF⊥AB，垂足为F，连接DF．

（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；（2）求四边形ADFE的周长．

19.（2016春•云梦县期末）如图，D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点F，若FA=FC．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）若AE⊥EC，EF=EC=1，求四边形ADCE的面积．

20.如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD的延长线上，且ED=FB，连结AE、EC、CF，AF．（1）求证：AE=CF．（2）求证：四边形AECF是平行四边形．

21.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，过点B作AC的平行线交∠CAB的平分线于点D，过点D作AB的平行线交

AC于点E，交BC于点F，连接BE，交AD于点G．（1）求证：四边形ABDE是菱形；（2）若BD=14，cos∠GBH=，求GH的长．

22.如图，茬四边形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AC平分∠BCD，且AC⊥AB，接DE，交AC于F．（1）求证：AD=CE；

（2）若∠B=60°，试确定四边形ABED是什么特殊四边形？请说明理由．

第四篇：平行四边形的证明与计算

平行四边形的证明与计算

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．下列命题正确的是（）

A．对角线互相平分的四边形是菱形；B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；

D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.2．平行四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D四个角的度数比可能是（）A．1：2：3：4B．2：3：2：3C．2：2：3：3D．1：2：2：3 3．如果菱形的边长是a，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（）A．

2aB

．

2aC．aD

a

4．顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（）A．矩形

B．直角梯形

C．菱形

D．正方形

5．已知一个等腰梯形的下底与上底之差等于一腰长，•则这个等腰梯形中的较小的角的度数为（）

A．30°B．60°C．45°D．75°

6．已知四边形ABCD中，在①AB∥CD；②AD=BC；③AB=CD；④∠A=∠C四个条件中，不能推出四边形ABCD是平行四边形的条件是（）．A．①②B．①③C．①④D．②③

7．如图1，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）A．1B．

A

G

B

43C．

C

D．2

D

A E

P C

F

A B

D

O

C

B

（1）(2)（3）

8．如图2，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）

A．35°B．45°C．50°D．55°

9．在下列命题中，是真命题的是（）

A．两条对角线相等的四边形是矩形

B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形

C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

10．如图3，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOB60°，AB2，则矩形的对角线AC的长是（）

A．2

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11．如图5，ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于E，且AD=a，AB=b，用含a、b的代数式表示EC，则EC=________．

B．4C

． D

．

(5)(6)(7)(8)

12．如图6，平行四边形ABCD中，E是BC中点，且AE=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_________．

13．已知菱形的周长为20cm，两对角线之和为14cm，则菱形的面积为_____cm2．

14．以边长为2cm的正方形的对角线为边的正方形的面积为________cm2．

15．一个多边形的每个外角都是36°，则这个多边形的边数是________．

16．矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为48cm，则矩形ABCD的面积为_______cm2．

17．如图7，若将四根木条钉成矩形木框，再变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的度数为_______．

18．如图8，菱形ABCD的对角线长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______．

三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，•垂足分别为E、F．求证：（1）△BDE≌CDF．（2）△ABC是直角三角形时，四边形AEDF是正方形．

20．如图，ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且AE=CF，问：四边形EBFD是平行四边形吗？为什么？

21如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，CG⊥AB于G，对角线AC⊥BC于点O，EF是中位线，求证CC＝EF.22．如图，ABCD中，O是对角线AC的中点，EF⊥AC交CD于E，交AB于F，问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．

23．1．如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.(1)求证：DE－BF = EF．

(2)当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量

关系，并说明理由．

24． 如图，梯形ABCD中，AD＝18cm，BC＝21cm，点P从点A开始沿AD边向D以

1m/s的速度移动，点Q从C点开始沿CB边向B以2m/s的速度移动，如果P、Q分别从A、C同时出发，设移动时间为t秒，求：

（1）t为何时，四边形ABQP为矩形？

（2）t为何时，四边形PQCD为等腰梯形？

第五篇：四边形的证明与计算

四边形的证明与计算

（时间：100分钟总分：100分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1．下列命题正确的是（）

A．对角线互相平分的四边形是菱形；

B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形

C．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；

D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.2．平行四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D四个角的度数比可能是（）

A．1：2：3：4B．2：3：2：3C．2：2：3：3D．1：2：2：

33．如果菱形的边长是a，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（）

1A．2aB

．2aC．aD

4．用形状、大小完全相同的图形不能进行密铺的是（）

A．任意三角形B．任意四边形C．正五边形D．正四边形

5．已知一个等腰梯形的下底与上底之差等于一腰长，•则这个等腰梯形中的较小的角的度数为（）

A．30°B．60°C．45°D．75°

6．已知四边形ABCD中，在①AB∥CD；②AD=BC；③AB=CD；④∠A=∠C四个条件中，不能推出四边形ABCD是平行四边形的条件是（）．

A．①②B．①③C．①④D．②③

7．如图1，ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，则AB的长m•取值范围是（）

A．1

5



（1）(2)(3)(4)

8．如图2，两张宽度相等的纸条交叉重叠，重合部分是（）

A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形

9．如图3，ABCD中，P是对角线BD上的任意一点，过点P作EF∥BC，HG∥AB，•则下列说法不正确的是（）

A．SAEPG=SPHCFB．图中有3对全等三角形

C．图中共有9个平行四边形D．SAEFD≠SGHCD

10．如图4，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，•E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（）

A．80°B．70°C．65°D．60°

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11．如图5，ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于E，且AD=a，AB=b，用含a、b的代数式表示EC，则EC=________． 

(5)(6)(7)(8)

12．如图6，平行四边形ABCD中，E是BC中点，且AE=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_________．

13．已知菱形的周长为20cm，两对角线之和为14cm，则菱形的面积为_____cm2．

14．以边长为2cm的正方形的对角线为边的正方形的面积为________cm2．

15．一个多边形的每个外角都是36°，则这个多边形的边数是________．

16．矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为48cm，则矩形ABCD的面积为_______cm2．

17．如图7，若将四根木条钉成矩形木框，再变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的度数为_______．

18．如图8，菱形ABCD的对角线长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______．

三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，•垂足分别为E、F．求证：（1）△BDE≌CDF．（2）△ABC是直角三角形时，四边形AEDF是正方形．

20．如图，ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且AE=CF，问：四边形EBFD是平行四边形吗？为什么？ 

21．如图，圆A、圆B、圆C、圆D、圆E、圆F相互外离，它们的半径都是1，顺次连结这

六个圆心，得到六边形ABCDEF．

求：（1）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．（2）求图中阴影部分的面积之和．

22．如图，ABCD中，O是对角线AC的中点，EF⊥AC交CD于E，交AB于F，问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．



23．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，求梯形的面积．

24．如图，正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等图形，则当正方形A•′OB′C′绕正方形ABCD的中心O顺时针旋转的过程中．

（1）四边形OECF的面积如何变化．

（2）若正方形ABCD的面积是4，求四边形OECF的面积．

25．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P•从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB以3cm/s的速度向点B运动．P、Q同时出发，当其中一点到达顶点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts，•问t为何值时．

（1）四边形PQCD是平行四边形．（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形．

答案:

一、选择题

二、