简单几何的证明与计算

第一篇：简单几何的证明与计算

简单几何的证明与计算

A组题：

1、如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．

（1）求证：AB＝DF；

（2）若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．

2、如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路.现新修一条路AC到公路l.小明测量出∠ACD=30º，∠ABD=45º，BC=50m.请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m；21.4141.732）.3、如图，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD，等边ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．

⑴试说明AC＝EF；

⑵求证：四边形ADFE是平行四边形．

B组题：

1、如图1，在⊙O中，点C为劣弧AB的中点，连接AC并

延长至D，使CA=CD，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE.（1）求证：AE是⊙O的直径；

（2）如图2，连接CE，⊙O的半径为5，AC长为4，求阴影部分面

积之和.(保留与根号)

图1图

22、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．

（1）求证：直线BD与⊙O相切；

（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．

3、如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC。将△ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合．

(1)点C是否在以AB为直径的圆上?请说明理由;

(2)当AB=4时，求此梯形的面积．

C组题：

1、如图，已知抛物线y=x24x3与x 轴交于两点A、B，其顶点为C．

(1)对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上?请说明理由；

(2)求证:△ABC是等腰直角三角形；

(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P

为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明

理由．

2、如图，抛物线yx2bxc的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C

（0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；

（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

第二篇：几何证明与计算习题精选(二)

几何证明与计算

（二）2007、1【目标要求】

掌握等腰三角形（包括等边三角形）的判定，能应用等腰三角形的性质（底角相等，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一）进行有关的计算和证明．

能应用直角三角形的重要性质（两个锐角互余，斜边上的中线等于斜边的一半，30°角所对的直角边斜边的一半及其逆定理），以及勾股定理及其逆定理进行有关的计算和证明．【解题指导】 例1如图1，已知在△ABC中，点M是边BC的中点，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E，且MD=ME． 求证：△ABC是等腰三角形．

拓展与引申（1）本题的条件不变，还可证明MD等于AB边的高的一半．（2）如果在△ABC中，AB=AC，点M是BC边的任意一点，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E，这两个条件不变，可证明MD+ME等于AB边上的高．

（3）如图2，在等边△ABC中，P为三角形中的任意一点，那么P到三边的距离之和为定值，这个定值等于等边△ABC高．

例2 如图3，在△ABC中，AB=AC，D、E是AB及AC延长线上的点，连结DE交BC于F，若F是DE的中点，求证：BD=CE．

拓展与引申当点D为AB的中点时，可证明点F是BC的四等分点．

初二数学第1页

（图1）

C

（图2）

C

（图3）

例3如图4，在△ABC中，AF平分∠BAC，BF⊥AF于F，CE⊥AF于E，点D是BC的中点．求证DE=DF=

（AB-AC）．

2（图4）

B

例4 如图5，已知△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAC=90°.（1）（2）

当∠B=30°时，求证：BD=当BD=

CD； 2

CD时，∠B是否一定为30°？ 2

如果一定，请给出证明；如果不一定，请说明理由.（图5）

例5 如图6, 等边△ABC的边长为1, 点D、E分别在AB、BC边上，DE将△ABC分成面积相等的两部分，点F、G在AC边上，DF//BC，EG//AB, 设AF=x,CG=y.（1）求y与之间的函数解析式，并写出它的定义域；

x

（2）试问以AF、FG、GC的长为三边的长能否构成直角三

角形？请说明理由．

C

（图6）

拓展与引申 如图7，在Rt△ABC中，点D、E分别在AB、BC边上，DE将△ABC分成面积相等的两部分，点F、G在AC边上，DF//BC，EG//AB, 试问以AF、FG、GC的长为三边的长能否构成直角三角形？请说明理由．

（图7）

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【作业】A组

1．填空题（1）等腰三角形的顶角为α度，那么底角等于度．（2）在ΔABC中，AB=AC=5cm，∠B=60°，那么BC=cm．（3）在ΔABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，那么ΔABC的面积等于cm2．（4）直角三角形两个锐角的度数之比是4∶5，那么较大的一个锐角等于度．（5）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，CE是角平分线，∠A=25°.那么∠DCE=________°

（6）等边三角形的边长等于a，那么它的高等于． 2．选择题

（1）用以下长度的三条线段不能组成一个直角三角形的是（）．

（A）6cm，8cm，10cm（B）5cm，12cm，13cm（C）7cm，11cm，15cm（D）8cm，15cm，17cm

（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CM分别是这个三角形的高和中线，那么下列结论错误的是（）．

（A）∠ACD=∠B（B）∠MCD =∠ACD（C）∠ACD=∠BCM（D）∠ACM=∠BCD（3）如果一个等腰三角形能够分割为两个小的等腰三角形，那么顶角不可能是（）．

（A）36º（B）72º

（C）90º（D）108º

D 3．如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在 点E处，BE与AD相交于点F．求证：△BDF是等腰三角形．

C

4．已知，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，以点A

为圆心，AD的长为半径画弧，交BC于点E．求∠CDE的度数．

第4题5．在△ABC中，AB=AC，∠B和∠C的平分线相交于点D，求证：点D在边BC的垂直平分线上．

C

第5题 6．求证：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那

么这个三角形是直角三角形．

E

7．如图，已知Rt△ABC中，AB=AC，CE垂直∠B的平分线BD，垂足为点E．求证：BD=2CE． B C

（第7题）

初二数学第3页

B组

1．填空题（1）等腰三角形两条边的长度分别为3和6，那么周长等于．

（2）等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为45°，那么顶

角为度．

（3）如图，在ΔABC中，BC=5 cm，BP、CP分别是△ABC和△

ACB的平分线，点D、E在BC边上，且PD//AB，PE//AC，那么ΔPDE第1（3）题的周长是_______ cm.．

（4）已知直角三角形的周长为9cm，斜边上的中线长为A 2cm，那么两条直角边长的和为cm．

（5）在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线MN交边AC于点M，如果∠B=55°，那么∠CBM度．

E

（6）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，那么这个B D 等腰三角形的顶角等于_____度．

2．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，C

∠ADC=50°，点E是对角线BD的中点．求∠CAE的度数．

第2题

3．在直角坐标平面中，点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（2，5），点C的坐标为（-1，8），试判断△ABC是否为直角三角形，并证明你的结论．

A

4．如图，已知∠ABD=∠ADB，∠ABC=∠ADC，BE=DC．试比

较∠DCB+2∠ACB与180度的大小． C

5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC，过点C任意

画一条与斜边相交的直线，分别过点A、B作这条直线的垂线，垂足分别为点D和点E．求证：DE=AD-BE．

C B

第5题

6．已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，过点C作直线l（直线l不经过点A和点B），过点A作AD⊥l，垂足为点D，过点B作BE⊥l，垂足为点E，试探索DE、AD、BE长度之间的关系．

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第三篇：直线型几何计算与证明（范文模版）

直线型几何计算与证明（相似问题）

1、如图，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F．

(1)求证：△CEB≌△ADC；(2)若AD＝9cm，DE＝6cm，求BE及EF的长． E2、如图，直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AD∥BC，点E在BC上，点F在AC上，∠DFC=∠AEB．

（1）求证：△ADF∽△CAE；

（2）当AD=8，DC=6，点E、F分别是BC、AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积？

C A3、如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E．

（1）求证：△ABD∽△CED．

（2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．

4、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AD平分∠CAB交于点D,过点C作CE⊥AD于E,CE的延长线交AB于点F,过点E作EG∥BC交AB于G,AE·5.（1）求证:CE=EF；（2）求AC的长.F

F

G

B5、已知,如图,在△ABC中,D是BC的中点,且AD=AC,DE⊥BC交AB于点E,EC与AD相交于点F.（1）求证:△ABC∽△FCD；（2）若S△FCD=5,BC=10,求DE的长.6、如图1，在Rt△ABC中，BAC90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．

（1）求证：△ABF∽△COE；

OFAC

（2）当O为AC边中点，的值； 2时，如图2，求

OEAB

OFAC

（3）当O为AC边中点，的值． n时，请直接写出

OEAB

B

A

O 图

1C

O 图

2B

F

C

C7、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O.（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；

（2）设（1）中的相似比为k，若AD︰BC = 2︰3.请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当k= 1时，是；②当k= 2时，是；③当k= 3时，是.并证明．．．k= 2时的结论.8、如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N．

O P

C D

（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；

（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？

（3）探究：AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等？

第四篇：初中几何证明与计算专题复习

中考几何证明与计算专题复习

1.全等三角形

例题1：如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点

P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．P

D

C B

例题2：如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．

求证：AFBFEF．

A

E

B G

变式训练1：如图，在△ABC中，ABAC，BAC40°，分别以AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使BADCAE90°．

（1）求DBC的度数；

（2）求证：BDCE．

D C

变式训练2：如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.变式训练3：如图：已知在△ABC中，ABAC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若A90°，求证：四边形DFAE是正方形.D

F

C

2.相似三角形

例题1：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB6，AE9，DE2，求EF的长．

例题2：如图,点D在△ABC的边AB上，连结CD，∠1=∠B，AD=4,AC=5,求 BD 的长?

B

变式训练1：已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（）

(A)1：2(B)1：4(C)2：1(D)4：

1变式训练2：如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）A．12mB．10mC．8mD．7m

3.四边形

例题1：下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形 C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形

例题2：已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E． 求证：（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE．

例题3：如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P．

（1）求证：AF=BE；

（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．

P

B

D

C 变式训练1：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB＝AD＝DC,∠B＝60º.(1)求证：AB⊥AC；

(2)若DC＝6,求梯形ABCD的面积.变式训练2：在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连结EF、EC、BF、CF。⑴判断四边形AECD的形状（不证明）；

⑵在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明。

⑶若CD＝2，求四边形BCFE的面积。圆

例题1：如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O 上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．（1）求证：DC=BC；

（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．

例题2：如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB2，OD3,则BC的长为（）A．

B．

C

．

D

．

变式训练1：如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使

DCBD，连结AC，过点D作DEAC，垂足为E．（1）求证：ABAC；（2）求证：DE为⊙O的切线；

（3）若⊙O的半径为5，BAC60，求DE的长．

变式训练2：在Rt△ABC中，ACB90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．（1）求证：BDBF；

（2）若BC6，AD4，求⊙O的面积．

第五篇：中考数学专题复习几何证明与计算分析

中考数学专题复习：几何图形证明与计算题分析

【2011中考真题回顾与思考】

如图9，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE。

（1）求证：AE是⊙O的直径；

（2）如图10，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和。（结果保留π与根号）

A A

图图9

（2011深圳中考21题）如图11，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G。

（1）求证：AG＝C′G；

（2）如图12，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长。

D [来源学科网]D

B C 图1

1图1

2【典型例题分析】

1.已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则

.2.（2011重庆江津区）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B（8，0），D（0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是错误！未找到引用源。．

MC的值是AM1

3.如图，在边长为8的正方形ABCD中，P为AD上一点，且AP5,BP的垂直平分线分别交正方形的边于点E，F，Q为垂足，则EQ：EF的值是（）A、5:8B、5:13 C、5:16D、3:8

C

E

B

4.（2011•泰安）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）

A、B、C、D、6

5.（2011•潍坊）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为．

6.如图，在RtABC中，ACB90，ACBC1。将ABC绕点C逆时针旋转30°得到A1B1C1，CB1与AB相交于点D。求BD的长。

7.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结CE，若AFCE于点F，且AF平分

DAE,CD

2,求sinCAF的值。AE

5E

8.如图，把一副三角板如图（1）放置，其中ACBDEC90，A45,D30，斜边AB6cm,DC7cm,把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到D'CE'如图（2），这时AB与CD'相交于点O，D'E'与AB相交于点F。（1）求OFE'的度数；（2）求线段AD'的长；

（3）若把三角形D'CE'绕着点C顺时针再旋转30°得到D''CE''，这时点B在D''CE''的内部，外部，还是边上？证明你的判断。

9.（2009年清远）如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC．（1）求证：△ABC∽△POA；（2）若OB2，OP

10．（2010河南）（1）操作发现 ：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求

7，求BC的长． 2

AD的值； AB

AD的值． AB

F

（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求

11.如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

O为圆心的半圆交AC于点F，12..如图，已知△ABC，以BC为直径，点E为弧CF的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且ADBE，垂足为点H.（1）求证：AB是半圆O的切线；（2）若AB3，BC4，求BE的长.A

B

A A

13．（2011成都）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB．⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．

（1）求证：AE＝CK；

（2）如果AB＝a，AD＝错误！未找到引用源。（a为大于零的常数），求BK的长：

（3）若F

是EG的中点，且DE＝6，求⊙O的半径和GH的长．