圆的证明歌

第一篇：圆的证明歌

圆的证明歌：

圆的证明不算难，常把半径直径连;有弦可作弦心距，它定垂直平分弦;直径是圆最大弦，直圆周角立上边，它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边;还有与圆有关角，勿忘相互有关联，圆周、圆心、弦切角，细找关系把线连。同弧圆周角相等，证题用它最多见，圆中若有弦切角，夹弧找到就好办;圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆;直角相对或共弦，试试加个辅助圆;若是证题打转转，四点共圆可解难;要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连，直线与圆未给点，需证半径作垂线;四边形有内切圆，对边和等是条件;如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，两圆相切作公切，两圆相交连公弦。

解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。

高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。

证不等式的方法，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高下。

直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。

还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造法

第二篇：圆票证明

圆 票 证 明

地税局：

兹有 公司在我单位承接消防安装工程，需圆票金额，现由该公司 前来办理圆票手续，请贵局给予办理为谢!

业主单位名称 年 月 日

第三篇：杭州学思教育小升初数学圆的证明歌

圆的证明歌：

圆的证明不算难，常把半径直径连;有弦可作弦心距，它定垂直平分弦;直径是圆最大弦，直圆周角立上边，它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边;还有与圆有关角，勿忘相互有关联，圆周、圆心、弦切角，细找关系把线连。

同弧圆周角相等，证题用它最多见，圆中若有弦切角，夹弧找到就好办;圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆;直角相对或共弦，试试加个辅助圆;

若是证题打转转，四点共圆可解难;要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连，直线与圆未给点，需证半径作垂线;四边形有内切圆，对边和等是条件;如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，两圆相切作公切，两圆相交连公弦。圆中比例线段：遇等积，改等比，横找竖找定相似;不相似，别生气，等线等比来代替，遇等比，改等积，引用射影和圆幂，平行线，转比例，两端各自找联系。

第四篇：圆幂定理及其证明

圆幂定理

圆幂的定义:一点P对半径R的圆O的幂定义如下：OPR

所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。

（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

DA22PC

如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AD、BC，则∠D=∠B，∠A=∠C。所以△APD∽△BPC。所以 BAPPDAPBPPCPD PCBP（2）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。

TPAB

如图，PT为圆切线，PAB为割线。连接TA，TB，则∠PTA=∠B（弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA∽△PBT，所以

PTPAPT2PAPB PBPT（3）割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有

PA·PB=PC·PD。

DCPAB

这个证明就比较简单了。可以过P做圆的切线，也可以连接CB和AD。证相似。存在：PAPBPCPD 进一步升华（推论）：

过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r，则

PCPD(POR)(POR)PO2R2|PO2R2|（一定要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P到圆O的幂。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）

若点P在圆内，类似可得定值为R2PO2|PO2R2|

故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝 对值。（这就是“圆幂”的由来）

第五篇：圆的有关证明相关定理

平面几何证明相关定理、题型及条件的联想

一、平面几何证明相关定理

1、平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段相等.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

2、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

3、相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；

相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于相似比； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于相似比的平方；

4、直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；

两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

5、圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆心角定理：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

o推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

6、圆内接四边形的性质定理与判定定理：

圆的内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；

如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

7、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过圆心；经过切点且垂直于切线的直线必经过切点。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

8、相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成两条线段长的积相等。

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这点的连线平分两条切线的夹角。

重要结论：经过不共线三点的圆有且只有一个

二、平面几何证明问题形式及处理方向

1、线段等比式的证明——利用三角形相似证明

2、线段的等积式证明——转化成等比式，利用三角形相似证明，或者等比中项式进行等量代换证明

3、等比中项式证明——可以通过三角形相似，切割线定理，直角三角形射影定理证明

4、线段相等证明——如果它们在一个三角形中，则证明它们所对的角相等，如果不在同一个三角形中，则通过等量代换证明即可

5、四点共圆的证明——证明四点形成的三角形对角互补或是证明该四边形中同一条边对应的两个角相等

6、直线与圆相切的证明——连接圆心与直线与圆的交点，证明半径与该直线垂直即可

7、角相等的证明——通过三角形相似证明或是等量代换证明

8、三角形相似的证明——通过证明两个三角形中有两组角对应相等或是一组角相等，且夹这个的两边对应成比例

三、平面几何证明条件的发散思维

1、条件中有直径——联想——直径所对的圆周角是直角，2、条件中的切线——联想——切割线定理，弦切角定理，连接圆心与与切点，半径与切线垂直

3、直角三角形斜边上的高——联想——直角三角形射影定理

4、条件中圆内接四边形——联想——圆内角四边形对角互补，圆内接四边形外角等于内对角

5、条件中弧相等——联想——它们所对的圆周角相等

6、条件中线段相等——联想——如果在同一个三角形中，则它们所对的角相等