关于圆的几何证明计算题的解题方法[范文模版]

第一篇：关于圆的几何证明计算题的解题方法[范文模版]

关于圆的几何证明计算题的解题方法

经过圆心的弦是直径；

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；

圆上任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆；

大于半圆弧的弧叫优弧，小于半圆弧的弧叫做劣弧；

由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。

（1）当两圆外离时，d>R_+r；

（2）当两圆相外切时，d=R_+r；

（3）当两圆相交时，R_-r

（4）当两圆内切时，d=R_-r（R>r）；

（4）当两圆内含时，d

其中，d为圆心距，R、r分别是两圆的半径。

如何判定四点共圆，我们主要有以下几种方法：

（1）到一定点的距离相等的n个点在同一个圆上；

（2）同斜边的直角三角形的各顶点共圆；

（3）同底同侧相等角的三角形的各顶点共圆；

（4）如果一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆；

（5）如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆；

（6）四边形ABCD的对角线相交于点P，若PA_*PC=PB_*PD，则它的四个顶点共圆；

（7）四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点P，若

PA_*PB=PC_*PD，则它的四个顶点共圆。

1、作直径上的圆周角

当告诉了一条直径，一般通过作直径上的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角这一

条件来证明问题.2、作弦心距

当告诉圆心和弦，一般通过过圆心作弦的垂线，利用弦心距平分弦这一条件证明问题.3、过切点作半径

当含有切线这一条件时，一般通过把圆心和切点连起来，利用切线与半径垂直这一性

质来证明问题.4、作直径

当已知条件含有直角，往往通过过圆上一点作直径，利用直径所对的圆周角为直角这

一性质来证明问题.5、作公切线

当已知条件中含两圆相切这一条件，往往通过过这个切点作两圆的公切线，通过公切

线找到两圆之间的关系.6、作公共弦

当含有两圆相交这一条件时，一般通过作两圆的公共弦，由两圆的弦之间的关系，找

出两圆的角之间的关系.7、作两圆的连心线

若已知中告诉两圆相交或相切，一般通过作两圆的连心线，利用两相交圆的连心线垂直

平分公共弦或；两相切圆的连心线必过切点来证明问题.8、作圆的切线

若题中告诉了我们半径，往往通过过半径的外端作圆的切线，利用半径与切线垂直或利

用弦切角定理来证明问题.9、一圆过另一圆的圆心时则作半径

题中告诉两个圆相交，其中一个圆过另一个圆的圆心，往往除了通过作两圆的公共弦外，还可以通过作圆的半径，利用同圆的半径相等来证明问题.10、作辅助圆

当题中涉及到圆的切线问题（无论是计算还是证明）时，通常需要作辅助线。一般地，有以下几种添加辅助线的作法：

（1）已知一直线是圆的切线时，通常连结圆心和切点，使这条半径垂直于切线.（2）若已知直线经过圆上的某一点，需要证明某条直线是圆的切线时，往往需要作出经

过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径，简记为“连半径，证垂直”；若直线与圆的公

共点没有确定，则需要过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再通过证明这条垂线段的长等

于半径，来证明某条直线是圆的切线.简记为“作垂直，证半径”.

第二篇：几何证明计算题

几何证明与综合应用

1、如图1，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，2、CF∥AE交DG于F.（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；

（2）求证：AE=FC+EF.2、如图2，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G.（1）求证：ADE≌CDE；

（2）过点C作CHCE，交FG于点H，求证：FHGH；

（3）设AD1，DFx，试问是否存在x的值，使ECG为等腰三角形，若存在，请求出x的A

D

值；若不存在，请说明理由.E

F

B

C

H

G

图

23、如图3，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线

BC上，且PE=PB.（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；（2）设AP=x, △PBE的面积为y.① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.4、如图4-1,在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, △ABD是等边三角形，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F.（1）求证：① △AEF≌△BEC；② 四边形BCFD是平行四边形；

（2）如图4-2，将四边形ACBD折叠,使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值.F

30°

D

B E 图

3C

D D

B

H

B5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形． D A（1）AD与BC有何等量关系？请说明理由；（2）当ABDC时，求证:□ABCD是矩形．C B

图4-1 图4-

26、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F．

（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；

（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；

（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？ A

E FM N

B DC

7、如图-1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC

边上的点，且AEEF，BE2.（1）求EC∶CF的值；

（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图-2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理

由；

（3）在图-2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证

明；若不存在，请说明理由．

P F

B E C B E C8、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BDDF，G为DF中图-1 交BC于F，连接图-2 点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）

中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论

是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

D D

图②

图③ 图①

9、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于

点N．

（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN．①求证：△ABN≌△ADN；

②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =，求点M到AD的距离及tan的值；

（2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．

试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．

M（图25-1）B B（图25-2）A10、已知△ABC中，ABAC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD，连

结DE．

（1）如图1，当BAC120，DAE60时，求证：DEDE．

（2）如图2，当DEDE时，DAE与BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．

（3）如图3，在（2）的结论下，当BAC90，BD与DE满足怎样的数量关系时，△DEC

是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必说明理由）．

DD D

B DC B B E D E D E 图3 图1 图

211、正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M 点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置

D 时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；

（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求x的值．

N

C M第22题

12、图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A=30o，∠E= 45o，∠EDF=∠ACB=90 o，DE交AC于点G，GM⊥AB于M．

（1）如图①，当DF经过点C 时，作CN⊥AB于N，求证：AM=DN．

（2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理

由．

EB B①

②

13、（1）观察与发现:小明将三角形纸片ABC(ABAC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． A A

F

图① 图②

（2）实践与运用

将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D处，折痕为EG（如图 ④）； 再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中的大小．

E D A DA D A

DC C B B C F  F图③ 图④ 图⑤

14、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB4，BC6，∠B60.（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EPx.MN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；①当点N在线段AD上时（如图2），△P

若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.A A A D D DNF F F

B C B C B C MM 图1 图2 图

3D A D（第25题）A

F F

B C B C图5（备用）图4（备用）

15、如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点

F.（1）求证：DE－BF = EF．

（2）当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．

（3）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

A D

A D

E

FB C CG G B

图①

图②

第三篇：小升初典型的计算题及解题常用方法

专题训练一

专题一：典型的计算题及解题常用方法

在小学计算题中有好多题型方法新颖独特，在升重点中学考试和进入中学分班考试中，多有出现，有的学生因为没见过这种题型常常得分很少或得零分，其实这种题型只要

掌握一定的解题方法和规律一点都不难。下面老师跟你支支招：

一、熟记规律，常能化难为易。

① 25×4=100，②125×8=1000，③=0.25=25%，④=0.75=75%, ⑤=0.125=12.5%, ⑥=0.375=37.5%, ⑦5=0.625=62.5%, 87⑧=0.875=87.5% 834183814利用①12321=111×111，1234321=1111×1111，123454321=11111×11111 ②123123=123×1001，12341234=1234×10001 ③12345679×9=111111111等规律巧解题：

888888***252252525525525×108 ÷36

25225225252552566666***1

20102010×1999－2010×19991999 12345679×63 72×12345679

二、利用积不变、拆数和乘法分配率巧解计算题： 28.67×67+3.2×286.7+573.4×0.05

专题训练一

314×0.043+3.14×7.2-31.4×0.15 41.2×8.1+11×9.25+53.7×1.9

19931993×1993-19931992×1992-19931992

1.993×1993000+19.92×199200-199.3×19920-1992×1991

333×332332333-332×333333332

796976795363411362267123894

363411-48894124-627796976-180

专题训练一

1998111111-)＋2 -)-2000×(＋)＋3 ***98

2135261039154122051525

12324636948125101

59999×2222+3333×3334 4444×2222+8888×8889

3003230230231++***456

三、牢记设字母代入法

专题训练一

（1+0.21+0.32）×（0.21+0.32+0.43）-（1+0.21+0.32+0.43）×（0.21+0.32）

（1+0.23+0.34）×（0.23+0.34+0.65）-（1+0.23+0.34+0.65）×（0.23+0.34）

1（1+211+3+41）×（211+3+411+5）-（1+211+3+411+5）×（211+3+4）

***1（11+21+31+41）×（21+31+41+51）-（11+21+31+41+51）×（21+31+41）

531579（135+357753579+975）×（***+975+531）-（135+357753135579+975+531）×（357753+975）

四、利用aa÷b=b巧解计算题：

5445①（6.4×480×33.3）÷（3.2×120×66.6）

②（41+51）÷（3+3）

专题训练一

五、利用裂项法巧解计算题

11111111+++ „＋ +++„ + 122334991009111335572213355779911 +42+62+82+102

111111+++++2612203042

1×2+2×3+3×4+„„99×100

1×2×3+2×3×4+3×4×5+„„+9×10×11

1+311111111+5+7+9+11+13+15+17 ***

专题训练一

六、(递推法或补数法)1.*** 2.+++++„„++.******

234561+++++ 3121231234123451234561234567.4.1111111 + +++++3612244896192

七.循环小数必须化分数再计算:

920.129-1.291 +0.19756(2)2.830×0.186 2+0.3+0.52(1)0.2+29（3）0.3

八．斜着约分更简单

（1+）×（1+）（1+）ׄ„×（1+

（1-）×（1-）（1-）ׄ„×（1-1212131411）（1+）99100131411）（1-）99100 6

专题训练一

九.定义新运算，一点都不难。贵在理解透，符号是言何？ 1.规定a☉b = ,则2☉(5☉3)之值为

.2.如果1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么4※5=

.3.[A]表示自然数A的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算: [120] =

.4.规定新运算a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x=

.5.两个整数a和b,a除以b的余数记为a☆b.例如,13☆5=3,5☆13=5,12☆4=0.根据这样定义的运算,(26☆9)☆4=

.6.规定:6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246, 1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=

.7.规定:符号“△”为选择两数中较大数,“☉”为选择两数中较小数.例如:3△5=5,3☉5=3.那么,[(7☉3)△5]×[5☉(3△7)]=

.8.羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号△表示羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了.小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号☆表示为羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了.对羊或狼,可用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法则是从左到右,括号内先算.运算的结果是羊,或是狼.求下式的结果:

羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)=（）.

第四篇：中考数学几何证明、计算题及解析

1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1)求证：DC=BC;

(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；

(3)在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值.AB[解析]（1）过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以DM

(2)等腰三角形.21.即DC=BC.2F

D

C证明：因为DEDF,EDCFBC,DCBC.所以，△DEC≌△BFC

所以，CECF,ECDBCF.所以，ECFBCFBCEECDBCEBCD90

即△ECF是等腰直角三角形.（3）设BEk,则CECF

2k，所以EF.因为BEC135，又CEF45，所以BEF90.所以BF3k 所以sinBFEk1.3k32、已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

[解析]（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．

∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝11AB，CF＝CD ． 2

2∴AE＝CF

∴△ADE≌△CBF ．

（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形 AGBD是矩形．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC ．

∵AG∥BD，∴四边形 AGBD 是平行四边形．

∵四边形 BEDF 是菱形，∴DE＝BE ． ∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE ．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB＝90°．∴四边形AGBD是矩形

3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段

BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

A(B(E)

图13－1 图13－

2图13－

3[解析]（1）BM=FN．

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF． 又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．

（2）BM=FN仍然成立．

（3）证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF． ∴∠MBO=∠NFO=135°．

又∵∠MOB=∠NOF，∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．

4、如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。

（1）若sin∠BAD，求CD的长；

5（2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）。

[解析]（1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5

所以∠ADB＝90°，AB＝10

BD

AB

3BD

3，所以BD6 又sin∠BAD，所以

5105

在Rt△ABD中，sin∠BAD

AD

AB2BD22628

因为∠ADB＝90°，AB⊥CD

所以DE·ABAD·BD，CEDE 所以DE1086 所以DE5

485

所以CD2DE

（2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD

所以CBBD，ACAD

所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD 因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO 所以∠CDB＝∠ADO

设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x

由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝x 因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90° 所以4x4xx90 所以x＝10°

所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100° 所以∠AOC＝∠AOD＝100°

⌒⌒⌒⌒

S扇形OAC

100125

52360185、如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.

（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

[解析](1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF

∴

EHAECE，∵HE＝EC，∴BF＝FD



BFAFFD

(2)方法一：连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵F是BD中点，∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线---------6′

方法二：可证明△OCF≌△OBF(参照方法一标准得分)(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC可证得：FA＝FG，且AB＝BG由切割线定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2○2 在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2 ○

1、○2得：FG2-4FG-12=0 由○

解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去）

∴AB＝BG＝42 ∴⊙O半径为226、如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3），⊙A的半径为2．过A作直线l平行于x轴，点P在直线l上运动．（１）当点P在⊙O上时，请你直接写出它的坐标；

（２）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由.[解析]

解: ⑴点P的坐标是（2,3）或（6,3）

⑵作AC⊥OP,C为垂足.∵∠ACP=∠OBP=90,∠1=∠

1∴△ACP∽△OBP



ACAP

OBOP

AC 在RtOBP中,OP又AP=12-4=8,∴ 3∴

∴

AC=241.9

4∵1.94<

2∴OP与⊙A相交.7、如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C.求证：∠ACB=

∠OAC.3O

A

B

[解析]

证明：连结OE、AE，并过点A作AF⊥DE于点F，（3分）

∵DE是圆的一条切线，E是切点，∴OE⊥DC，又∵BC⊥DE,∴OE∥AF∥BC.∴∠1=∠ACB，∠2=∠

3.∵OA=OE，∴∠4=∠3.∴∠4=∠2.又∵点A是OB的中点，∴点F是EC的中点.∴AE=AC.∴∠1=∠2.∴∠4=∠2=∠1.即∠ACB=

∠OAC.3



8、如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为60． ⑴求AO与BO的长；

⑵若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；

②如图３，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点．若∠POP’＝ 15，试求AA’的长．



[解析]

⑴RtAOB中,∠O=90,∠α=60 ∴,∠OAB=30，又ＡＢ＝4米，





AB2米

.2

OAABsin604.--------------(3分)

∴OB

⑵设AC2x,BD3x,在RtCOD中,OC2x,OD23x,CD4

根据勾股定理:OC2OD2CD2

∴2x



23x2

42-------------(5分)

∴13x2

12x0 ∵x0∴13x12830

∴x-------------(7分)

即梯子顶端A沿NO

.----(8分)

⑶∵点P和点P分别是RtAOB的斜边AB与RtA'OB'的斜边A'B'的中点∴PAPO，P'

A'P'O-------------(9分)∴PAOAOP,PAOAOP-------(10分)∴PAOPAOAOPAOP

∴PAOPAOPOP15

∵PAO30

∴PAO45

-----------------------(11分)

∴AOABcos45

4

分)

∴AAOAAO米.--------(13分)

第五篇：几何证明方法总结

方法总结



1、首先找出两个平面的交线，然后证明这几点都是这两个平面的公共点，〖1〗 证点共线：由公理2可知，这些点都在交线上 

2、首先选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在此直线上



1、先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内

〖2〗 证点线共面：

2、过有关的点、线分别作多个平面，再证明这些平面重合 

3、反证法

〖3〗 证线线平行：常用公理

4、线面平行的性质、面面平行的性质、两直线与同

一平面垂直

〖4〗 证线面平行：





平面相交的交线经过直线作或找平面与在平面内作或找一

1、根据面面平行的定义：两个平面没有公共点

2、面面平行的判定定理：

〖5〗 证面面平行： 

3、垂直于同一条直线的两个平面平行



4、两个平面同时平行于第三个平面

5、一个平面的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条相交直线

理

1、用三垂线定理或逆定

2、求两直线所成的角为直角〖6〗 证线线垂直：

3、线面垂直的性质

4、面面垂直的性质

1、利用线面垂直的定义

2、用线面垂直的判定定理〖7〗 证线面垂直：

3、两平行线之一垂直平面，则另一条也垂直于这个平面

〖8〗 证面面垂直：面的平面角是直角

1、定义法：证明两个平

平面经过另一个平面的垂线

2、判定定理：证明一个

〖9〗 求斜线和平面所成的角、二面角、直线和直线所成的角：常先作出要求的角，然后组成三角形，通过解三角形求角（一作、二证、三计算）



1、找斜线和平面所成的角，关键是找斜线在平面内的射影，而找射影关键是找垂足和斜足

1、用定义法

2、找二面角的平面角

2、利用垂面法要注意以上各种角的范围 



3、利用三垂线定理





3、无棱二面角可考虑用射影面积法





4、直线和直线所成的角用公理4找出所要求的角

〖10〗求点到平面的距离、求点到直线的距离、平行平面之间的距离、直线和平

面平行时直线到平面的距离，异面直线的距离常先作出垂线段，然后解由垂线段组成的三角形，或利用体积相等的方法求垂线段的长 〖11〗利用向量判断线线、线面、面面的位置关系，利用向量求角、距离、证明

平行垂直等问题：先选定一组基底，其它向量都用这组基底表示，再利用向量的法则进行计算

〖12〗在空间直角坐标系中判断线线、线面、面面的位置关系，求角、距离：先

把点、线段、向量坐标化，然后用向量的坐标进行计算

1、如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，点D是AB的中点，【1】 求证：AC⊥BC

1A1

【2】 求证：AC1∥平面CDB1

【3】 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值

2、如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点。

【1】 ED为异面直线BB1与AC1的公垂线 Ｄ 【2】 设AA1=AC=2AB，求二面角A1—AD—C1 的大小．

3、如图，在直三棱柱ABC---A1B1C1中，AA1=4, AB=5,BC=3,AC=4,D,E分别CC1、AB上的中点，【1】 求证：平面B1C1E⊥平面ACC1A1 【2】 求二面角D—AB—C的大小 【3】 求点D到平面B1C1E的大小

4、如图，直三棱柱AB1C1---ABC中，BC=CC1=CA= =2，AC⊥BC，D、E分别为棱C1C、AC的中点，【1】 求二面角B—A1D—A的大小

【2】 若F为线段B1C1上的任意一点，试确定F的位置，使EF⊥平面A1BD

Ｃ

B1

D B

Ｅ 1

B1

B

A1

C1 D

C

A

B1

B