圆的基本性质证明与计算

圆的基本性质证明与计算

命题点1　垂径定理

例1、如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（）

A．AE>BE

B.＝

C．∠D＝∠AEC

D．△ADE∽△CBE

命题点2　圆周角定理

例2、如图，点O为优弧所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D______．

重难点1　垂径定理及其应用

例3、已知AB是半径为5的⊙O的直径，E是AB上一点，且BE＝2.(1)如图1，过点E作直线CD⊥AB，交⊙O于C，D两点，则CD＝_______；

图1

图2

图3

图4

探究：如图2，连接AD，过点O作OF⊥AD于点F，则OF＝_____；

(2)过点E作直线CD交⊙O于C，D两点．

①若∠AED＝30°，如图3，则CD＝__________；

②若∠AED＝45°，如图4，则CD＝___________．

【思路点拨】　由于CD是⊙O的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾股定理，求出弦的一半，再求弦．

【变式训练1】如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（）

A．4

B．2

C.D．2

【变式训练2】　【分类讨论思想】已知⊙O的半径为10

cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16

cm，CD＝12

cm，则弦AB和CD之间的距离是__________________

1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧．

2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解．

3．事实上，过点E任作一条弦，只要确定弦与AB的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长．

重难点2　圆周角定理及其推论

例3、已知⊙O是△ABC的外接圆，且半径为4.(1)如图1，若∠A＝30°，求BC的长；

(2)如图2，若∠A＝45°：

①求BC的长；

②若点C是的中点，求AB的长；

(3)如图3，若∠A＝135°，求BC的长．

图1

图2

图3

【变式训练3】　如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是（）

A．58°

B．60°

C．64°

D．68°

【变式训练4】　将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为88°，30°，则∠ACB的大小为（）

A．15°

B．28°

C．29°

D．34°

1．在圆中由已知角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条弧．

2．弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决．

3．一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补．

在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边．

注意同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，避免把数量关系弄颠倒．

重难点3　圆内接四边形

例4、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为（）

A．50°

B．60°

C．80°

D．90°

【思路点拨】　延长AE交⊙O于点M，由垂径定理可得＝2，所以∠CBD＝2∠EAD.由圆内接四边形的对角互补，可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE与∠EAD互余，由此得解．

【变式训练5】如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）

A．80°

B．120°

C．100°

D．90°

【变式训练6】　如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠A＝n°，则∠DCE＝____________

1．找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质．

2．在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍．Ｋ

能力提升

1．如图，在⊙O中，如果＝2，那么（）

A．AB＝AC

B．AB＝2AC

C．AB＜2AC

D．AB＞2AC

2．如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，则AB的长为（）

A．2

B．2

C．4

D．4

3．如图，在平面直角坐标系中，⊙O′经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于点B，C，分别作O′E⊥OC于点E，O′D⊥OB于点D.若OB＝8，OC＝6，则⊙O′的半径为（）

A．7

B．6

C．5

D．4

4．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是（）

A．25°

B．27.5°

C．30°

D．35°

5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（）

A．15°

B．35°

C．25°

D．45°

6．如图，分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边，延长线相交于点F，C.若∠F＝27°，∠A＝53°，则∠C的度数为（）

A．30°

B．43°

C．47°

D．53°

7．如图，小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2

cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是________cm.8．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证：DE＝DB；

(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．

9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E.若DE＝3，则AD的长为（）

A．5

B．4

C．3

D．2

提示：过点D作DF⊥AC于点F，利用△ADF∽△CAB，△DEF∽△DBA可求解．

10．如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E，且DE交AC于点F，DB交AC于点G.若＝，则＝_____________．

11．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60

cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30

cm，∠B1D1C1＝120°.(1)图2中，弓臂两端B1，C1的距离为30cm；

(2)如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为(10－10)cm.12．如图所示，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H.(1)如果⊙O的半径为4，CD＝4，求∠BAC的度数；

(2)若点E为的中点，连接OE，CE.求证：CE平分∠OCD；

(3)在(1)的条件下，圆周上到直线AC的距离为3的点有多少个？并说明理由．

参考答案

命题点1　垂径定理

例1、如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（）

A．AE>BE

B.＝

C．∠D＝∠AEC

D．△ADE∽△CBE

【答案】：D

命题点2　圆周角定理

例2、如图，点O为优弧所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D______．

【答案】：27°

重难点1　垂径定理及其应用

例3、已知AB是半径为5的⊙O的直径，E是AB上一点，且BE＝2.(1)如图1，过点E作直线CD⊥AB，交⊙O于C，D两点，则CD＝_______；

图1

图2

图3

图4

探究：如图2，连接AD，过点O作OF⊥AD于点F，则OF＝_____；

(2)过点E作直线CD交⊙O于C，D两点．

①若∠AED＝30°，如图3，则CD＝__________；

②若∠AED＝45°，如图4，则CD＝___________．

【答案】：（1）8,（2）

【思路点拨】　由于CD是⊙O的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾股定理，求出弦的一半，再求弦．

【变式训练1】如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（）

A．4

B．2

C.D．2

【答案】：D

【变式训练2】　【分类讨论思想】已知⊙O的半径为10

cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16

cm，CD＝12

cm，则弦AB和CD之间的距离是__________________

【答案】：2cm或14cm

1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧．

2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解．

3．事实上，过点E任作一条弦，只要确定弦与AB的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长．

重难点2　圆周角定理及其推论

例3、已知⊙O是△ABC的外接圆，且半径为4.(1)如图1，若∠A＝30°，求BC的长；

(2)如图2，若∠A＝45°：

①求BC的长；

②若点C是的中点，求AB的长；

(3)如图3，若∠A＝135°，求BC的长．

图1

图2

图3

【答案】（1）4（2）4.,8（3）4.【点拨】　连接OB，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，构建可解的等腰三角形求解．

【解析】　解：(1)连接OB，OC.∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形．

∴BC＝OB＝4.(2)①连接OB，OC.∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形．

∵OB＝OC＝4，∴BC＝4.②∵点C是的中点，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴∠ACB＝90°.∴AB是⊙O的直径．∴AB＝8.(3)在优弧上任取一点D，连接BD，CD，连接BO，CO.∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°.∵OB＝OC＝4，∴BC＝4.【变式训练3】　如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是（）

A．58°

B．60°

C．64°

D．68°

【答案】：A

【变式训练4】　将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为88°，30°，则∠ACB的大小为（）

A．15°

B．28°

C．29°

D．34°

【答案】C

1．在圆中由已知角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条弧．

2．弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决．

3．一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补．

在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边．

注意同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，避免把数量关系弄颠倒．

重难点3　圆内接四边形

例4、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为（）

A．50°

B．60°

C．80°

D．90°

【答案】C

【思路点拨】　延长AE交⊙O于点M，由垂径定理可得＝2，所以∠CBD＝2∠EAD.由圆内接四边形的对角互补，可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE与∠EAD互余，由此得解．

【变式训练5】如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）

A．80°

B．120°

C．100°

D．90°

【答案】B

【变式训练6】　如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠A＝n°，则∠DCE＝____________

【答案】n°

1．找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质．

2．在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍．Ｋ

能力提升

1．如图，在⊙O中，如果＝2，那么（）

A．AB＝AC

B．AB＝2AC

C．AB＜2AC

D．AB＞2AC

【答案】C

2．如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，则AB的长为（）

A．2

B．2

C．4

D．4

【答案】D

3．如图，在平面直角坐标系中，⊙O′经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于点B，C，分别作O′E

⊥OC于点E，O′D⊥OB于点D.若OB＝8，OC＝6，则⊙O′的半径为（）

A．7

B．6

C．5

D．4

【答案】C

4．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是（）

A．25°

B．27.5°

C．30°

D．35°

【答案】D

5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（）

A．15°

B．35°

C．25°

D．45°

【答案】A

6．如图，分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边，延长线相交于点F，C.若∠F＝27°，∠A＝53°，则∠C的度数为（）

A．30°

B．43°

C．47°

D．53°

【答案】C

8．如图，小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2

cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是________cm.【答案】10cm

8．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证：DE＝DB；

(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．

【答案】：(1)证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∴＝.∴∠DBC＝∠BAE.∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE,∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝DB.(2)连接CD.∵＝，∴CD＝BD＝4.∵∠BAC＝90°，∴BC是直径．

∴∠BDC＝90°.∴BC＝＝4.∴△ABC外接圆的半径为2.9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E.若DE＝3，则AD的长为（）

A．5

B．4

C．3

D．2

提示：过点D作DF⊥AC于点F，利用△ADF∽△CAB，△DEF∽△DBA可求解．

【答案】D

10．如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E，且DE交AC于点F，DB交AC于点G.若＝，则＝_____________．

【答案】

11．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60

cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30

cm，∠B1D1C1＝120°.(1)图2中，弓臂两端B1，C1的距离为30cm；

(2)如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为(10－10)cm.【答案】,12．如图所示，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H.(1)如果⊙O的半径为4，CD＝4，求∠BAC的度数；

(2)若点E为的中点，连接OE，CE.求证：CE平分∠OCD；

(3)在(1)的条件下，圆周上到直线AC的距离为3的点有多少个？并说明理由．

【答案】：(1)∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∴CH＝CD＝2.在Rt△COH中，sin∠COH＝＝，∴∠COH＝60°.∴∠BAC＝∠COH＝30°.(2)证明：∵点E是的中点，∴OE⊥AB.又∵CD⊥AB，∴OE∥CD.∴∠ECD＝∠OEC.又∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE.∴∠OCE＝∠DCE，即CE平分∠OCD.(3)圆周上到直线AC的距离为3的点有2个．

因为上的点到直线AC的最大距离为2，上的点到直线AC的最大距离为6，2＜3＜6，根据圆的轴对称性，到直线AC的距离为3的点有2个．