中考数学23题圆的切线证明及不规则阴影面积问题的解法探究
有关切线证明问题，通常给出直线与圆的交点时，要连半径通过证明半径与直线垂直，解决问题，证垂直的方法：（1）证明三角形全等，得出对应角相等，进而证得垂直；（2）通过证平行得出角相等，推出90度角得垂直；（3）通过角之间的关系，推出两角互余，证垂直。若直线与圆没有交点，可过圆心作直线的垂线，证明垂线段长等于半径即可，这个类型的证明多用全等三角形来解决。
不规则图形面积的求法，通常是转化为三角形的面积与扇形面积和差来解决。在具体证明解题时，要根据题中的条件确定解题思路。在解题时注意三角形中位线定理，等腰三角形的性质的运用；圆与平行四边形、菱形、正方形的综合题要学会从整体上着眼，从局部入手，充分运用特殊四边形的性质解题。
在解决这类问题时，经常要运用解直角三角形的知识来建立方程，求相关的量，总而言之，这类题综合性较强，解题时要认真分析，书写要严谨。
典型题解析
1.(2019葫芦岛)如图，点M是矩形ABCD的边AD延长线上一点，以AM为直径的⊙O交矩形对角线AC于点F，在线段CD上取一点E，连接EF，使EC=EF.(1)
求证：EF是⊙O的切线；
(2)
若cos∠CAD=，AF=6，MD=2，求FC的长.解析
：（1）连接OF，∵四边形ABCD是矩形可得∠CDA=900，∴∠DCA+∠DAC=900
∵EC=EF,OF=OA
∴∠EFC=∠DCA,∠OFA=∠DAC
∴∠EFC+∠OFA=900
∴∠EFO=1800-(∠EFC+∠OFA)=900
∴OF⊥EF
∴EF是⊙O的切线
(3)
过点O作OH⊥AF，垂足为H。
∵AF=6
∴AH=3
∵cos∠CAD=，cos∠CAD=
∴AO=5
∵AM=2AO=10,MD=2
∴AD=8
∵cos∠CAD=,cos∠CAD=
∴AC=
∴CF=AC-AF=-6=
2.（2019.铁岭）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，以点A为圆心、AB长为半径的⊙A恰好经过BC的中点E，连接DE,AE,BD,AE与BD交于点F.（1）
求证：DE与⊙A相切
（2）
若AB=6，求BF的长。
解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC=AD=2AB.∵点E是BC的中点
∴BE=AD
∵AE=AB
∴AE=AB=BE
∴∠CBA=∠AEB=600
∵DC∥AB
∴∠C+∠CBE=1800
∴∠C=1200
∵CD=AB,AB=BE=CE
∴CD=CE
∴∠CDE=∠CED=300
∴∠DEA=1800-(∠CED+∠AEB)=900
∴AE⊥DE
∴DE与⊙A相切
（3）
过点B作BH⊥AE，垂足为H.则AH=HE,∵AB=6，∴AD=2AB=12,BE=6,AH=EH=3
∴BH=
∵BE∥AD
∴△FBE∽△FDA
∴
∴EF=AE=2
∴FH=EH-EF=1
∴BF=
3.(2018.抚顺)如图，AB为⊙O直径，AC为⊙O的弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于点H.（1）
判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）
若HB=2，cos∠D=，请求出AC的长.解析：连接OC.∵OC=OA
∴∠OAC=∠OCA
∴∠COP=∠OAC+∠OCA=2∠OAC
∵∠D=2∠A，∴∠D=∠COP
∵DE⊥OA
∴∠DEP=900
∴∠D+∠P=900
∴∠COP+∠P=900
∴OC⊥DC
∴DC与⊙O相切
（3）
∵cos∠D=，cos∠D=
又OB=OC,BH=2
∴
解得：OC=5
∴OH=3,OC=0A=5
∴CH=,AH=8
∴AC=
4.（2020.丹东）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，∠CBD的平分线交⊙O于点E，交AC于点F，且AF=AB.（1）
判断BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）
若tan∠FBC=，DF=2，求⊙O的半径.解析：（1）∵AB为直径
∴∠ADB=900
∴∠DFB+∠DBF=∠ADB=900
∵BF是∠CBD的平分线,AF=AB.∴∠DBF=∠CBF,∠ABF=∠AFB
∴∠CBF+∠ABF=900
∴BC⊥AB
∴BC所在直线与⊙O相切
(2)
∵tan∠FBC=，∠DBF=∠CBF,DF=2
∴tan∠DBF=,∴BD=5
∵AF=AB
∴AD=AF-BD=AB-2
∵BD2+AD2=AB2
∴25+(AB-2)2=AB2
解得
：AB=
5.（2017.铁岭）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，连接OC，BC，以点C为顶点，CB为边作∠BCF=∠BOC,延长AB交CF于点D.(1)
求证：直线CF是半圆O的切线；
(2)
若BD=5，CD=,求弧BC的长.解析
：（1）∵OC=OB
∴∠OCB=∠OBC
∴∠OBC+∠OCB+∠BOC=1800
∴∠OCB+∠BOC=900
∵∠BCF=∠BOC
∴∠OCB+∠BCF
=900
∴OC⊥CF
∴直线CF是半圆O的切线；
(2)设半径为r
则有：r2+CD2=(r+BD)2
即
r2+75=(r+5)2
解得，r=5
∵OB=BD,∠OCD=900
∴BC=OB=OC=5
∴∠BOC=600
∴弧BC=
6.（2020.锦州）平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，以AB为直径的⊙O经过点E，与AD交于点F，G是AD延长线上一点，连接BG，交AC于点H，且∠DBG=∠BAD.（1）
求证：BG是⊙O的切线；
（2）
若CH=3,tan∠DBG=，求⊙O的直径.解析:(1)∵AB是直径
∴∠BEA=900
∵四边形ABCD是平行四边形
∴平行四边形ABCD是菱形
∴AB=AD
∴∠BAE=∠BAD.∵∠DBG=∠BAD.∴∠DBG=∠BAE
∵∠BAE+∠ABE=900,∴∠DBG
+∠ABE=900,∴BG⊥AB
(2)设HE=x
∵tan∠DBG=
tan∠BAE=，∴BE=2HE=2x,AE=4x
∵CE=AE,CH=3
∴3+x=4x,解得：x=1，即
AE=4,BE=2
∴AB=
7.（2019.本溪）如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP.（1）
求证：DP是⊙O的切线；
（2）
若tan∠PDC=，正方形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的长.7.解析：（1）连接OD.∵四边形ABCD是正方形
∴CD=CB,∠DCP=∠BCP=450
∵CP=CP
∴△DCP≌△BCP
∴∠CDP=∠CBP
∵∠DCB=900
∴∠CEB+∠CBE=900
∵OD=OE,∠OED=∠CEB
∴∠ODE=∠OED=CEB
∴∠ODE+∠CDP=900
∴OD⊥DP
∴DP是⊙O的切线
(2)∵tan∠PDC=tan∠CBE=,BC=4
∴DE=CE=2
∵BC∥AF
∴∠EFA=∠CBE
∴tan∠DFE=
∴DF=4
∴FE=
∴OD=
过点P作PH⊥DC垂足为H.∵tan∠PDC==
∴DH=2PH
∵∠PCH=∠CPH=4500
∴PH=CH
∵DH+CH=4
∴DH=,PH=CH=
∴DP=
∴OP=
8.（2018.抚顺）如图，Rt△ABC中，∠ABC=900，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E.（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由：
（2）若BE=4,DE=8,求AC的长.解析：理由如下：
连接OC.∵CB=CD,OB=OD,OC=OC
∴△OBC≌△ODC
∴∠ODB=∠OBC=900
∴OD⊥DC
∴直线CD与⊙O相切
（2）设半径
为r，则OE=DE-OD=8-r,OB=r
∵OB2+BE2=OE2
∴r2+16=(8-r)2
解得：r=3
即OB=3,AB=6,OE=5
∵∠OEB=∠CED,∠EBO=∠EDC=900
∴△OEB∽△CED
∴
∴EC=
∴BC=CE-BE=10-4=6
∴AC=
9.(2020。辽阳)如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB=900,以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE.（1）求证：DE与⊙A相切；
（2）若∠ABC=600，AB=4，求阴影部分的面积.解析
：连接AE.∵四边形ABCD是平行四边形
∴BA=DC,∠B=∠ADC
∵AE=AB,∴∠ABE=∠AEB,DC=AE
∵BC∥AD
∴∠EAD=∠AEB=∠CDA
∵DA=AD
∴△DAC≌△ADE
∴∠DEA=∠ACD
∵CD∥AB
∴∠DCA=∠BAC=900
∴∠DEA=∠ACD=900
∴AE⊥DE
∴DE与⊙A相切
(2)过点E作EH⊥AC垂足为H.∵∠ABC=600，AE=AB=4
∴∠EAB=600,AC=
∴∠CAE=300
∴FE=1
∴阴影部分的面积=S△AEC-S扇形FAE=
10.（2018.葫芦岛）如图AB是⊙O的直径弧AC=弧BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE,连接AF交⊙O于点D，连接BD，BE.(1)求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若OB=2，求BD的长。
解析：（1）连接OC.∵B是⊙O的直径弧AC=弧BC
∴∠COA=∠COB=900
∵E是OB的中点
∴CE=FE
∵EF=CE,∠CEO=∠FEB
∴△CEO≌△FEB
∴∠FBA=∠COB=900
∴AB⊥BF
∴直线BF是⊙O的切线
(2)∵△CEO≌△FEB
∴BF=OC=OB=2
又∵AB=2OB=4
∴AF=
由AB∙BF=AF∙DB得
DB=
11.（2020.葫芦岛）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G.（1）
求证：DF是⊙O的切线；
（2）
若CF=1,DF=,求图中阴影部分的面积。
解析：（1）证明
：连接OD，AD.∵AB是⊙O直径
∴∠ADB=900
∵AB=AC，OD=OA
∴∠BAD=∠CAD，∠OAD=∠ODA
∴∠CAD=∠ODA
∴OD∥AC
∴∠AFG=∠ODG
∵DF⊥AC
∴∠ODG=∠AFG=900
∴OD⊥FD
∴DF是⊙O的切线
（2）∵CF=1,DF=，∠DFC=900
∴∠C=600，CD=2
∵AB=AC，∠ADB=900
∴∠OBD=∠C=600,DB=DC=2
∵OD=OB
∴△ODB是等边三角形
∴∠BOD=600,OD=2
∴∠OCG=300
∴DG=
∴图中阴影部分的面积=S△ODC-S扇形DOB=
12.（2017.本溪）如图，△PAB内接于⊙O，平行四边形ABCD的边AD是⊙O的直径，且∠C=∠APB，连接BD.(1)
求证：BC是⊙O的切线。
(2)
若BC=2，∠PBD=600，求AP与弦AP围成的阴影部分的面积。
解析
：（1）连接OB.∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠C=∠DAB
∵∠C=∠APB
∴∠DAB=∠APB
∴弧BD=弧AB
∵AB是直径
∴∠AOB=∠BOD=900
∵AD∥BC
∴∠OBC=∠AOB==900
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切线。
（2）连接OP.∵∠PBD=600
∴∠PAD=∠PBD=600
∵OP=OA
∴△OAP是等边三角形
∴∠AOP=600,OH=
∵AD=BC=2
∴OA=1
∴AP与弦AP围成的阴影部分的面积=S扇形OAP-S△OAP=
13.（2017.铁岭）如图，四边形ABCD中，连接AC，AC=AD，以AC为直径的⊙O过点B，交CD于点E，过点E作EF⊥AD于点F.（1）
求证：EF是⊙O的切线；
（2）
若∠BAC=∠DAC=300,BC=2,求弧BCE的长。（结果保留）
解析：（1）证明：连接OE,AE.∵AC为直径
∴∠AEC=∠AED=900
∵AC=AD
∴CE=DE
∵OA=OC
∴OE∥AD
∴∠OEF=∠EFD
∵EF⊥AD
∴∠OEF=∠EFD=900
∴OE⊥EF
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接OB.∵∠BAC=∠DAC=300,∠CAE=∠CAD
∴∠BAE=∠CAE+∠BAC=450
∴∠BOE=2∠BAE=900
∵AC是直径
∴∠ABC=900
∴AC=2BC=4
∴弧BCE的长=
14.（2017.抚顺）如图，在△ABC中，∠ACB=900，AC=CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作GDEC.（1）
判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由。
（2）
若点B是弧DBC的中点，⊙O的半径为2，求弧BC的长。
解析：（1）DE与⊙O的位置相切，理由如下：
连接OD.∵∠ACB=900，AC=CB
∴∠B=∠A=450
∴∠DOC=2∠B=900
∵四边形DECB是平行四边形
∴ED∥CG
∴∠EDO+∠DOC=1800
∴∠EDO=900
∴OD⊥DE
∴DE与⊙O的位置相切
（2）∵点B是弧DBC的中点
∴弧CB=弧DB
∴∠DOB=∠COB
∵∠DOB+∠COB+∠DOC=3600，∠DOC=900
∴∠COB=1350
∵⊙O的半径为2
∴弧CB=
15.（2017.营口）如图，△ABC中，∠ACB=900,BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D.（1）
求证：AB为⊙O的切线；
（2）
若tan∠A=，AD=2,求BO的长.解析：（1）证明：过点O作OH⊥AB，垂足为H.则∠OHB=900
∵BO为△ABC的角平分线，∴∠HBO=∠CBO
∵∠ACB=900,∴∠OHB=∠ACB，又BO=BO
∴△BOH≌△BOC
∴OH=OC=R
∴AB为⊙O的切线
（2）设OH=3k，由tan∠A=得，AH=4K,根据勾股定理
得，AO=5k。
∵AD=2，AO=AD+OD,OD=OH=3k.∴5k=2+3k，解得：k=1
∴OC=3，AC=8
在Rt△ACB中
tan∠A=
∴BC=6
∴OB=
16.（2018.本溪）如图，在Rt△ABC中，∠C=900，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF=DO，连接DF.（1）
判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）
当∠A=300，CF=时，求⊙O的半径。
解析：（1）直线DF与⊙O的位置相切，理由如下：
连接OE,过点O作OH⊥DF，垂足为H.∵⊙O与AC相切于点E,∴OE⊥AB
∵点O，D分别为AB，BC的中点
∴OD∥AC
∴∠ODC+∠C=1800,又∠C=900，∴∠ODC=∠OEC=∠C=900
∴四边形DCEO是矩形
∴DC=OE=R
∵∠ODH=∠CFD,DF=DO,∠OHD=∠DCF=900
∴△OHD≌△DCF
∴OH=DC=OE=R
∴直线DF与⊙O的位置相切
（2）∵OD是△ABC的中位线
∴OD=AC,∵四边形DCEO是矩形
∴OD=CE
∴OD=AE
在Rt△OEA中，∠A=300，∠OEA=900
∴OD=AE=OE=R
∵△OHD≌△DCF
∴DH=CF=
在Rt△OHD中，OH2+DH2=OD2
∴R2+2=3R2,解得：R=1
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