辅助圆思想
题型一：共顶点等线段
【例1】
在中，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．
⑴
若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；
⑵
在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；
（2012年北京中考节选）
【解析】
⑴
图略，．
⑵
如图，连接，根据对称性可知，以为圆心、长为半径作，则，∴．
【例2】
已知：中，中，．连接、，点、、分别为、、的中点．
⑴
如图1，若、、三点在同一直线上，且，则的形状是
___________，此时________；
⑵
如图2，若、、三点在同一直线上，且，证明，并计算的值（用含的式子表示）；
（海淀一模）
【解析】
⑴
等边三角形，1；
⑵
证明：连接、．
由题意，得，．
∵、、三点在同一直线上，∴、、三点在同一直线上．
∴．
∵为中点，∴在中，．
在中，．
∴．
∴、、、四点都在以为圆心，为半径的圆上．
∴．
又∵，∴．
∴．∴．
由题意，又．
∴．∴．
在Rt中，．
题型二：
共斜边的直角三角形
∵，∴．∴．
【例3】
已知，是的平分线．将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合．如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；
【解析】
与的数量关系是相等
．
常规证法：过点作，垂足分别为点．
∵，易得，∴，而，∴．
∵是的平分线，∴，又∵，∴．∴．
辅助圆证法：∵，∴四点共圆，∵平分，∴，∴．
【例4】
如图，四边形是正方形，是上一点，交的外角平分线于，求证：．
【解析】
连接
∵四边形是正方形，∴，∵是外角平分线，∴，∴，∵，∴四点共圆，∴，∴，∴．
【例5】
在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．
⑴
如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；
⑵
将三角板从⑴中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：
①
∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；
②
直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．
备用图
（朝阳一模）
【解析】
⑴
在矩形ABCD中，AP=1，CD=AB=2，∴PB=，．
∵，∴．
∴．
∴
△ABP∽△DPC．
∴，即．
∴PC=2．
⑵
①
∠PEF的大小不变．
理由：过点F作FG⊥AD于点G．
∴四边形ABFG是矩形．
∴．
∴GF=AB=2，．
∵，∴．
∴．
∴
△APE∽△GFP.∴．
∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=．
即tan∠PEF的值不变．
∴∠PEF的大小不变．
②
.辅助圆证法：
连接，∵，∴四点共圆，∴，∴不会发生变化．
题型三：
四点共圆的简单应用
【例6】
如图，在四边形中，是的平分线，若，求证：．
【解析】
∵，∴是圆内接四边形，∵平分，∴，∴．
【例7】
已知：如图，正方形中，为对角线，将绕顶点逆时针旋转（），旋转后角的两边分别交于点、点，交于点、点，联结．在的旋转过程中，的大小是否改变？若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围．
【解析】
∵是对角线，∴，∵，∴四点共圆，∴，∴的大小不发生改变．
【例8】
（海淀区2010-2011学年度第一学期初三期末25）如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆和半圆，其中和分别为两个半圆的圆心.F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点.⑴
连结，证明：；
⑵
如图二，过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段PQ的长;
⑶
如图三，过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA.证明：PA是半圆的切线.【解析】
⑴
如图一，∵，F分别是AB，AC，BC边的中点，∴F∥AC且F
=A，F∥AB且F
=A，∴∠BF=∠BAC，∠CF=∠BAC，∴∠BF=∠CF
∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，∴F
=A=E，F
=A=D，∠BD
=90°，∠CE
=90°，∴∠BD=∠CE.∴∠DF=∠FE.∴.⑵
如图二，延长CA至G，使AG=AQ,连接BG、AE.∵点E是半圆圆弧的中点，∴AE=CE=3
∵AC为直径，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=∠EAC
=45°，AC==，∵AQ是半圆的切线，∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°，∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°
∴AQ=AC=AG=
同理：∠BAP=90°，AB=AP=
∴CG=,∠GAB=∠QAP
∴，∴PQ=BG
∵∠ACB=90°，∴BC==
∴BG==，∴PQ=.⑶
证法一：如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CS⊥MF于S，过B作BR⊥MF于R，连接DR、AD、DM.∵F是BC边的中点，∴.∴BR=CS，由⑵已证∠CAQ=90°,AC=AQ，∴∠2+∠3=90°
∵FM⊥PQ,∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3,同理：∠2=∠4,∴，∴AM=CS，∴AM=BR，同⑵可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°,∴∠ADB=∠ARB=90°,∠ADP=∠AMP=90°
∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，且∠DBR+∠DAR=180°，∴∠5=∠8,∠6=∠7,∵∠DAM+∠DAR=180°，∴∠DBR=∠DAM
∴，∴∠5=∠9，∴∠RDM=90°，∴∠5+∠7=90°，∴∠6+∠8=90°，∴∠PAB=90°，∴PA⊥AB,又AB是半圆直径，∴PA是半圆的切线.训练1.如图，分别切于两点，满足，且，求的度数．
【解析】
∵都是的切线，∴
∵，∴
∴，∴三点都在以为圆心，为半径的圆上．
设，则，∴
∵，∴
在中，即
∴，∴，即．
训练2.如图，分别是正方形的边的中点，相交于，求证：．
【解析】
连接
∵是的中点，∴，∴，∴，即，∴四点共圆，∴，很明显，∴，∴．
训练3.如图，已知在五边形中，，且．求证：．
【解析】
连接，∵，∴，∴，∴，∴四点共圆．
同理四点共圆，∴五点共圆，∵，∴．
题型一
共顶点等线段
【练习1】
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，连结．
⑴
求证：是等边三角形；
⑵
点在线段的延长线上，连结，作的垂直平分线，垂足为点，并与轴交于点，分别连结、．
①若，直接写出的度数；
②若点在线段的延长线上运动（不与点重合），的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数；
【解析】
⑴
证明：如图，∵一次函数的图象与x轴交于点A（－3，0），B（0，）．
∵C（3，0）．∴OA＝OC．
又y轴⊥AC，∴AB＝BC．
x
O
A
B
C
P
E
y
在Rt△AOB中，．∴∠BAC=60°.∴△ABC是等边三角形.⑵
①答：∠AEP=120°．
②解：如图，作EH⊥CP于点H，∵y轴垂直平分AC，△ABC是等边三角形，∴EA=EC，∠BEA＝∠BEC＝，∠DEP=30°．
∴∠BEH=60°．
∵ED垂直平分AP，∴
EA=EP．
∴
EA＝EC＝EP，∴EH垂直平分CP，在△CEP中，∠CEH=∠PEH＝，∵∠BEH=∠BEC＋∠CEH＝＋=60°．
∴∠AEP=∠AEC＋∠PEC＝120°．
辅助圆的证法：
∵点在轴上，∴，∵，∴以为圆心、长为半径作圆，在该圆上，∴．
题型二
共斜边的直角三角形
【练习2】
如图，正方形的中心为，面积为，为正方形内一点，且，求的长．
【解析】
连接，∵是正方形，∴，∵，∴四点共圆，∴．
在中，∴，设，则，解得，∴，∴．
题型三
四点共圆的简单应用
【练习3】
设是等腰底边的中点，过两点（但不过点）任作一圆交直线于点，连接交此圆于点．求证：．
【解析】
连接，由题意可知四点共圆，⑴
若在线段上，则，∵，∴四点共圆，∴，∴．
⑵
若在的延长线上，则，∵，∴四点共圆，∴，∴．
⑶
若在的延长线上，则，∵，∴四点共圆，∴，∴，∴．
综上所述，命题成立．
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