初三数学圆教案

第一篇：初三数学圆教案

初三数学 圆教案

一、本章知识框架

二、本章重点

1．圆的定义：

(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．

(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上． 设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半． ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．

(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角． 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半． 4．圆的性质：

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．

(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理及推论：

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．

5．三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点． 6．切线的判定、性质：(1)切线的判定：

①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：

①圆的切线垂直于过切点的半径．

②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点． ③经过切点作切线的垂线经过圆心．

(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．

(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 7．圆内接四边形和外切四边形

(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．

(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等． 8．直线和圆的位置关系：

设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．

(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．

(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交dr)，圆心距

．

(1)外离(2)含(3)外切(4)dR＋r． 没有公共点，且的每一个点都在外部

内有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部d＝R＋r． 的每个点都在内部有唯一公共点，除这个点外，内切d＝R－r．

相交(5)有两个公共点R－r

10．两圆的性质：

(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．

(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点． 11．圆中有关计算： 圆的面积公式：，周长C＝2πR．

圆心角为n°、半径为R的弧长．

圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．

．

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为面积为2πRl，全面积为

．，侧圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl，全面积为【经典例题精讲】

例1 如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有

．

分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律． 解：

连结OP，P点为中点．

小结：此题运用垂径定理进行推断． 例2 下列命题正确的是()A．相等的圆周角对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．三点确定一个圆

D．平分弦的直径垂直于弦． 解：

A．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确． B．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确． C．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆． D．平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦． 故选B．

例3 四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D． 分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等． 解：

设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x． x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．

∴∠D＝90°．

小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的长．

例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是__________cm．

分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行

合作解决，即过P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解． 解：

．

小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型． 例5 已知

相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB＝16，求两圆的圆心距． 解：分两种情况讨论：(1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设

与AB交于C，连结又∵AB＝16 ∴AC＝8． 在在故(2)若，则垂直平分AB，∴

．

中，中，．

． ．

位于AB的同侧(如图23-9)，设

． 的延长线与AB交于C，连结∵垂直平分AB，∴．

又∵AB＝16，∴AC＝8． 在在故中，中，．

． ．

注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题．

三、相关定理：

1.相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）

说明：几何语言：

若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

例1． 已知P为⊙O内一点，P任作一弦AB，设为。，⊙O半径为，过，则关于的函数关系式解：由相交弦定理得，即，其中 2.切割线定理

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

说明：几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB 例2． 已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。

解：设TD=，BP=，由相交弦定理得：即由切割线定理，理，∴

∴，（舍）由勾股定∴

四、辅助线总结 1.圆中常见的辅助线

1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．

2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明．

3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算．

4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．

5)．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角． 6)．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角． 7)．遇到切线，作过切点的半径，构造直角．

8)．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径．

9)．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．

10)．遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点．

11)．遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线． 12)．遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线．

13)．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边．

2、圆中较特殊的辅助线

1)．过圆外一点或圆上一点作圆的切线． 2)．将割线、相交弦补充完整． 3)．作辅助圆．

例1如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为()

A．2 B．3 C．4 D．5 分析：连结OC，由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB知CD＝DE．设AE＝x，则在Rt△CEO中，则，(舍去)．，即，答案：A．

例2如图23-11，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于()

A．35° B．90° C．110° D．120°

分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．

例3 如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于()A． B．

C．

D．

分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即

．答案：B．

例4 如图23-12，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交⊙O于E，且EM>MC，连结OE、DE，求：EM的长．

．

简析：(1)由DC是⊙O的直径，知DE⊥EC，于是则AM·MB＝x(7－x)，即

．所以

．设EM＝x，．而EM>MC，即EM＝4．

例5如图23-13，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程

(其中m为实数)的两根．

(1)求证：BE＝BD；(2)若，求∠A的度数．

简析：(1)由BE、BD是关于x的方程的两根，得，则m＝－2．所以，原方程为(2)由相交弦定理，得

．得，即

．故BE＝BD．

．而PB切⊙O于点B，AB为⊙O的直径，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易证∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，则，所以，所以

．在Rt△ACB中，故∠A＝60°．

第二篇：初三数学 圆教案

圆

一、本章知识框架

二、本章重点

1．圆的定义：

(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．

(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上． 设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半． ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．

(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角． 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半． 4．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．

(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理及推论：

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．

5．三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点． 6．切线的判定、性质：(1)切线的判定：

①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：

①圆的切线垂直于过切点的半径．

②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点． ③经过切点作切线的垂线经过圆心．

(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．

(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 7．圆内接四边形和外切四边形

(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．

(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等． 8．直线和圆的位置关系：

设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．

(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．

(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交dr)，圆心距

．(1)外离(2)含(3)外切(4)dR＋r． 没有公共点，且的每一个点都在外部

内有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部d＝R＋r． 的每个点都在内部有唯一公共点，除这个点外，内切d＝R－r．

相交(5)有两个公共点R－r

10．两圆的性质：

(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．

(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点． 11．圆中有关计算： 圆的面积公式：，周长C＝2πR．

圆心角为n°、半径为R的弧长．

圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．

．

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为面积为2πRl，全面积为

．，侧圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有

．

本文由：西安论坛http://www.xiexiebang.com 西安婚纱摄影http://www.xiexiebang.com 宝鸡论坛http://www.xiexiebang.com 共同整理

第三篇：初三数学圆教案含答案

亿库教育网

http://www.xiexiebang.com 百万教学资源免费下载

第七章 圆

一.本周教学内容：

第七章 圆

三 圆和圆的位置关系

［学习目标］

1.掌握圆和圆的各种位置关系的概念及判定方法； 2.理解并掌握两圆相切的性质定理；

3.掌握相交两圆的性质定理，并完成相关的计算和证明；

4.理解圆的内、外公切线概念，会计算内、外公切线长及两公切线夹角；并能根据公切线的条数确定两圆的位置关系；

5.通过两圆位置关系的学习，进一步理解事物之间是相互联系和运动变化的观点，学会在变化中寻找规律，培养综合运用知识的能力。

［知识回顾］

1.圆与圆的位置关系的判定方法及图形特征 两圆位置关公共点个数 系 外离 0 相对关系 一圆在另一圆外部 除公共点外，一圆在另一圆外部 数量关系 d>R+r 公切线条数 4 外切 1 d=R+r 3 R－r

2.两圆相切的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。3.两圆相交的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。4.设两圆公切线长L，两圆半径R、r，两公切线的夹角α

则有：外公切线长L外d2(Rr)2这时sin2Rr d亿库教育网

http://www.xiexiebang.com 百万教学资源免费下载 亿库教育网

http://www.xiexiebang.com 百万教学资源免费下载

内公切线长L内d2(Rr)2这时sin2Rr d

【典型例题】

例1.已知⊙O1、⊙O2半径分别为15cm和13cm，它们相交于A、B两点，且AB长24cm，求O1O2长。

分析：该题没有给出图形，两圆相交有两种可能性： 1.两圆心在公共弦的两侧； 2.两圆心在公共弦的同侧；

因此，我们必须分两种情况来解。

解：（1）连结O1O2交AB于C（2）连结O1O2并延长交AB于C ∵⊙O1 ⊙O2交于A、B两点 ∴O1O2⊥AB，且AC1AB12cm 2 在Rt△AO1C中，由勾股定理： O1CO1A2AC21521229(cm)

在Rt△AO2C中，由勾股定理： O2CO2A2AC21321225cm

∴如图（1）O1O2=O1C+O2C=14cm

如图（2）O1O2=O1C－O2C=4cm 亿库教育网

http://www.xiexiebang.com 百万教学资源免费下载 亿库教育网

http://www.xiexiebang.com 百万教学资源免费下载

例1是两圆相交时的一题两解问题，希望引起同学们的重视。

例2.如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，AC切⊙O2于C交⊙O1于B，AP交⊙O2于D，求证：

（1）PC平分∠BPD（2）若两圆内切，结论还成立吗？证明你的结论。

证明：（1）过P点作公切线PM交AC于M点

∵AC切⊙O2于C ∴MP=MC ∴∠MCP=∠MPC 在⊙O1中，由弦切角定理：

∠BPM=∠A ∵∠CPD为△APC的外角

∴∠CPD=∠A+∠MCP=∠BPM+∠MPC=∠BPC ∴PC平分∠BPD。

（2）两圆内切时仍有这样的结论。

证明：过P点作公切线PM交AB延长线于M

∵AM切⊙O2于C，∴MC=MP ∴∠MPC=∠MCP ∴∠MPB=∠A ∵∠MCP为△CPA的外角 ∠MCP=∠CPA+∠A 又∠MPC=∠MPB+∠BPC ∴∠BPC=∠CPA 即PC平分∠BPD。

在解决有关两圆相切的问题时，过切点作两圆的公切线是常见的一条辅助线，利用弦切角及圆周角的性质或切线长定理，可使问题迎刃而解。

亿库教育网

http://www.xiexiebang.com 百万教学资源免费下载 亿库教育网

http://www.xiexiebang.com 百万教学资源免费下载

从这道题我们还可以联想到做过的两道题，①当A、B重合时，也就是AC成为两圆的外公切线时，PC⊥AD，即我们书上的例题（P129 例4）

②当APD经过O1、O2时，PB⊥AC，PC平分∠BPD的证法就更多了。

例3.如图，以FA为直径的⊙O1与以OA为直径的⊙O1内切于点A，△ADF内接于⊙O，DB⊥FA于B，交⊙O1于C，连结AC并延长交⊙O于E，求证：

（1）AC=CE（2）AC=DB－BC

分析：（1）易证

（2）由（1）我们可联想到相交弦定理，延长DB交⊙O于G：即AC·CE=DC·CG 由垂径定理可知DB=BG，问题就解决了。

证明：（1）连结OG，延长DB交⊙O于G，∵OA为⊙O1直径 ∴OC⊥AE 在⊙O中 OC⊥AE ∴AC=CE（2）在⊙O中，∵DG⊥直径AF ∴DB=GB 由相交弦定理：AC·CE=DC·CG=（DB－BC）（BG＋BC）

∵AC=CE ∴AC＝DB－BC

本题中主要应用了垂径定理，相交弦定理等知识，另外，证明过程中线段代换比较巧妙，应认真体会。

例4.如图：⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A作⊙O1切线交⊙O2于点C，过点B作两圆割线交⊙O1和⊙O2于D、E，DE与AC相交于P点，222222亿库教育网

http://www.xiexiebang.com 百万教学资源免费下载 亿库教育网

http://www.xiexiebang.com 百万教学资源免费下载

（1）求证：PA·PE=PC·PD（2）当AD与⊙O2相切且PA=6，PC=2，PD=12时，求AD的长。

分析：（1）从图中我们看到有相交弦定理和切割线定理可用。

（2）求AD想到用切割线定理，但PB、PE均未知，利用相交弦定理也只能求出它们的乘积，我们连结公共弦得两个弦切角，再连结CE，可推出AD∥CE，这样，问题就解决了。

（1）证明：∵PA切⊙O1于A，PBD为⊙O1割线 ∴PAPB·PD2PA2∴PB

PD 在⊙O2中 由相交弦定理 PA·PCPB·PE∴PBPA·PC

PEPA2PA·PC ∴PDPE（2）连结AB、CE

∴PA·PEPC·PD

∵CA切⊙O1于A AB为弦 ∴∠CAB=∠D ∵⊙O2中∠CAB=∠E ∴∠D=∠E ∴AD∥CE ∴PCPEPAPD∵PC2PA6PD12

∴PEPC·PD2×124

PA6∴PB2×63 4 由相交弦定理：PB·PEPC·PA ∴BE=3+4=7 DB=12－3=9 由切割线定理 AD=DB·DE=9×(9+7)∴AD=12 亿库教育网

http://www.xiexiebang.com 百万教学资源免费下载 2亿库教育网

http://www.xiexiebang.com 百万教学资源免费下载

解与两圆相交的有关问题时，作两圆的公共弦为辅助线，使不同的两个圆的圆周角建立联系，沟通它们之间某些量的关系，同学们应注意它的应用。

例5.如图，已知：⊙O与⊙B相交于点M、N，点B在⊙O上，NE为⊙B的直径，点C在⊙B上，CM交⊙O于点A，连结AB并延长交NC于点D，求证：AD⊥NC。

分析：要证AD⊥NC，我们可证∠C+∠CAD=90°或∠DBN+∠BND=90°，这里可用到的是①NE为直径，它对的圆周角是直角，因此我们连结EC，而∠ECM=∠ENM，又可利用圆内接四边形的性质得∠ENM=∠CAD，从而得证。

证明：连结EC ∵EN为直径 ∴∠ECM+∠ACD=90°

∵四边形ABNM内接于⊙O ∴∠CAD=∠MNE ∵∠ECM=∠MNE ∴∠CAD+∠ACD=90°

∴∠ADC=180°－90°=90°

∴AD⊥NC 从证明中可见点B在⊙O上这一条件的重要性。

例6.如图：已知△DEC中DE=DC，过DE作⊙O1交EC、DC于B、A，过A、B、C作⊙O2，过B作BF⊥DC 于F，延长FB交⊙O1于G，连DG交EC于H，（1）求证：BF过⊙O2的圆心O2

（2）若EH=6，BC=4，CA=4.8，求DG的长。

分析：要证BF过⊙O2圆心O2，只需证它所在弦对的圆周角是直角即可，故应延长BF交⊙O2于M，连CM，去证∠MCA+∠ACB=90°，而连AB后可得∠MCA转移到∠MBA，再由圆内接四边形的性质转移到∠CDG，而DH⊥EC，于是可证。

（1）证明：延长BF交⊙O2于M，连MC、AB ∵四边形ABGD内接于⊙O1 ∴∠ABM=∠ADG ∵DG⊥EC于H ∴∠ADG+∠DCH=90°

亿库教育网

http://www.xiexiebang.com 百万教学资源免费下载 亿库教育网

http://www.xiexiebang.com 百万教学资源免费下载

∵∠ABM=∠ACM ∴∠ADG=∠ACM ∵∠ACM+∠ACB=90° ∴BM为⊙O2直径

∴BF过⊙O2的圆心O2。

（2）解：∵四边形ADEB内接于⊙O1

∴∠CAB=∠E ∵DE=DC ∠E=∠DCB ∴∠CAB=∠ACB ∴AB=BC=4 ∴等腰△CBA∽△CDE ∴CDBC45 ECAC4.86 ∴设CD=5k，EC=6k ∵DH⊥EC DE=DC ∴EC=2EH=12=6k，∴k=2 ∴CD=10 在Rt△DHE中，由勾股定理： DH102628

∵BH=6－4=2 由相交弦定理：DH·HG=EH·HB ∴HGEH·HB2×6315.DH82 ∴DG=8+1.5=9.5

例7.如图：⊙O1与⊙O2外切于点P，AB是两圆外公切线，AB与O1O2延长线交于

C点，AP延长线上一点E，满足条件APACABAEPE交⊙O2于点D，（1）求证：AC⊥EC（2）求证：PC=EC(3)若AP4PD（1）证明：连结BP ∵94求BC的值 ECAPACABAE∠A∠A

∴△APB∽△AEC ∴∠ACE=∠APB 由例4结论得∠APB=90°

∴∠ACE=90° 即AC⊥EC 亿库教育网

http://www.xiexiebang.com 百万教学资源免费下载 亿库教育网

http://www.xiexiebang.com 百万教学资源免费下载

（2）证明：连结BD，∵∠APB=∠BPD=90° ∴BD为直径

∵AB为外公切线 B为切点 ∴BD⊥AC于B ∵AC⊥EC ∴BD∥EC ∴△PO2D∽△PCE ∴PC=EC（3）解：设PC交⊙O2于F，连结BF 在Rt△ABD中 BP⊥AD ∴由射影定理：BPAP·PD4× ∴BP=3 ∵CB切⊙O2于B ∴∠CBF=∠BPC ∠ABP=∠BFP ∵∠BCF=∠PCB ∴△BCF∽△PCB∴ ∵PC=EC ∴

2O2DEC1 O2PPC9 4BCBFBP3ctg∠BFPctg∠ABP PCBPAP4BCBC3 ECPC4亿库教育网

http://www.xiexiebang.com 百万教学资源免费下载

第四篇：2017初三数学圆教案.doc

第七章 圆

一.本周教学内容：

第七章 圆

三 圆和圆的位置关系

［学习目标］

1.掌握圆和圆的各种位置关系的概念及判定方法； 2.理解并掌握两圆相切的性质定理；

3.掌握相交两圆的性质定理，并完成相关的计算和证明；

4.理解圆的内、外公切线概念，会计算内、外公切线长及两公切线夹角；并能根据公切线的条数确定两圆的位置关系；

5.通过两圆位置关系的学习，进一步理解事物之间是相互联系和运动变化的观点，学会在变化中寻找规律，培养综合运用知识的能力。

［知识回顾］

1.圆与圆的位置关系的判定方法及图形特征

2.两圆相切的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。3.两圆相交的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。4.设两圆公切线长L，两圆半径R、r，两公切线的夹角α

【典型例题】

例1.已知⊙O1、⊙O2半径分别为15cm和13cm，它们相交于A、B两点，且AB长24cm，求O1O2长。

分析：该题没有给出图形，两圆相交有两种可能性： 1.两圆心在公共弦的两侧； 2.两圆心在公共弦的同侧；

因此，我们必须分两种情况来解。

解：（1）连结O1O2交AB于C（2）连结O1O2并延长交AB于C ∵⊙O1 ⊙O2交于A、B两点

在Rt△AO1C中，由勾股定理：

在Rt△AO2C中，由勾股定理：

∴如图（1）O1O2=O1C+O2C=14cm

如图（2）O1O2=O1C－O2C=4cm

例1是两圆相交时的一题两解问题，希望引起同学们的重视。

例2.如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，AC切⊙O2于C交⊙O1于B，AP交⊙O2于D，求证：

（1）PC平分∠BPD（2）若两圆内切，结论还成立吗？证明你的结论。

证明：（1）过P点作公切线PM交AC于M点

∵AC切⊙O2于C ∴MP=MC ∴∠MCP=∠MPC 在⊙O1中，由弦切角定理：

∠BPM=∠A ∵∠CPD为△APC的外角

∴∠CPD=∠A+∠MCP=∠BPM+∠MPC=∠BPC ∴PC平分∠BPD。

（2）两圆内切时仍有这样的结论。

证明：过P点作公切线PM交AB延长线于M

∵AM切⊙O2于C，∴MC=MP ∴∠MPC=∠MCP ∴∠MPB=∠A ∵∠MCP为△CPA的外角 ∠MCP=∠CPA+∠A 又∠MPC=∠MPB+∠BPC ∴∠BPC=∠CPA 即PC平分∠BPD。

在解决有关两圆相切的问题时，过切点作两圆的公切线是常见的一条辅助线，利用弦切角及圆周角的性质或切线长定理，可使问题迎刃而解。

从这道题我们还可以联想到做过的两道题，①当A、B重合时，也就是AC成为两圆的外公切线时，PC⊥AD，即我们书上的例题（P129 例4）

②当APD经过O1、O2时，PB⊥AC，PC平分∠BPD的证法就更多了。

例3.如图，以FA为直径的⊙O1与以OA为直径的⊙O1内切于点A，△ADF内接于⊙O，DB⊥FA于B，交⊙O1于C，连结AC并延长交⊙O于E，求证：

（1）AC=CE（2）AC=DB－BC

分析：（1）易证

（2）由（1）我们可联想到相交弦定理，延长DB交⊙O于G：即AC·CE=DC·CG 由垂径定理可知DB=BG，问题就解决了。

证明：（1）连结OG，延长DB交⊙O于G，∵OA为⊙O1直径 ∴OC⊥AE 在⊙O中 OC⊥AE ∴AC=CE（2）在⊙O中，∵DG⊥直径AF ∴DB=GB 由相交弦定理：AC·CE=DC·CG=（DB－BC）（BG＋BC）

∵AC=CE ∴AC＝DB－BC

本题中主要应用了垂径定理，相交弦定理等知识，另外，证明过程中线段代换比较巧妙，应认真体会。

例4.如图：⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A作⊙O1切线交⊙O2于点C，过点B作两圆割线交⊙O1和⊙O2于D、E，DE与AC相交于P点，222222

（1）求证：PA·PE=PC·PD（2）当AD与⊙O2相切且PA=6，PC=2，PD=12时，求AD的长。

分析：（1）从图中我们看到有相交弦定理和切割线定理可用。

（2）求AD想到用切割线定理，但PB、PE均未知，利用相交弦定理也只能求出它们的乘积，我们连结公共弦得两个弦切角，再连结CE，可推出AD∥CE，这样，问题就解决了。

（1）证明：∵PA切⊙O1于A，PBD为⊙O1割线

在⊙O2中 由相交弦定理

（2）连结AB、CE ∵CA切⊙O1于A AB为弦 ∴∠CAB=∠D ∵⊙O2中∠CAB=∠E ∴∠D=∠E ∴AD∥CE

∴BE=3+4=7 DB=12－3=9 由切割线定理 AD=DB·DE=9×(9+7)∴AD=12

解与两圆相交的有关问题时，作两圆的公共弦为辅助线，使不同的两个圆的圆周角建立联系，沟通它们之间某些量的关系，同学们应注意它的应用。

例5.如图，已知：⊙O与⊙B相交于点M、N，点B在⊙O上，NE为⊙B的直径，点C在⊙B上，CM交⊙O于点A，连结AB并延长交NC于点D，求证：AD⊥NC。

分析：要证AD⊥NC，我们可证∠C+∠CAD=90°或∠DBN+∠BND=90°，这里可用到的是①NE为直径，它对的圆周角是直角，因此我们连结EC，而∠ECM=∠ENM，又可利用圆内接四边形的性质得∠ENM=∠CAD，从而得证。

证明：连结EC ∵EN为直径 ∴∠ECM+∠ACD=90°

∵四边形ABNM内接于⊙O ∴∠CAD=∠MNE ∵∠ECM=∠MNE ∴∠CAD+∠ACD=90°

∴∠ADC=180°－90°=90°

∴AD⊥NC 从证明中可见点B在⊙O上这一条件的重要性。

例6.如图：已知△DEC中DE=DC，过DE作⊙O1交EC、DC于B、A，过A、B、C作⊙O2，过B作BF⊥DC 于F，延长FB交⊙O1于G，连DG交EC于H，（1）求证：BF过⊙O2的圆心O2

（2）若EH=6，BC=4，CA=4.8，求DG的长。

分析：要证BF过⊙O2圆心O2，只需证它所在弦对的圆周角是直角即可，故应延长BF交⊙O2于M，连CM，去证∠MCA+∠ACB=90°，而连AB后可得∠MCA转移到∠MBA，再由圆内接四边形的性质转移到∠CDG，而DH⊥EC，于是可证。

（1）证明：延长BF交⊙O2于M，连MC、AB ∵四边形ABGD内接于⊙O1 ∴∠ABM=∠ADG ∵DG⊥EC于H ∴∠ADG+∠DCH=90°

∵∠ABM=∠ACM ∴∠ADG=∠ACM ∵∠ACM+∠ACB=90° ∴BM为⊙O2直径

∴BF过⊙O2的圆心O2。

（2）解：∵四边形ADEB内接于⊙O1

∴∠CAB=∠E ∵DE=DC ∠E=∠DCB ∴∠CAB=∠ACB ∴AB=BC=4 ∴等腰△CBA∽△CDE

∴设CD=5k，EC=6k ∵DH⊥EC DE=DC ∴EC=2EH=12=6k，∴k=2 ∴CD=10 在Rt△DHE中，由勾股定理：

∵BH=6－4=2 由相交弦定理：DH·HG=EH·HB

∴DG=8+1.5=9.5

例7.如图：⊙O1与⊙O2外切于点P，AB是两圆外公切线，AB与O1O2延长线交于

（1）求证：AC⊥EC（2）求证：PC=EC

（1）证明：连结BP

∴△APB∽△AEC ∴∠ACE=∠APB 由例4结论得∠APB=90°

∴∠ACE=90° 即AC⊥EC

（2）证明：连结BD，∵∠APB=∠BPD=90° ∴BD为直径

∵AB为外公切线 B为切点 ∴BD⊥AC于B ∵AC⊥EC ∴BD∥EC

∴PC=EC（3）解：设PC交⊙O2于F，连结BF 在Rt△ABD中 BP⊥AD

∴BP=3 ∵CB切⊙O2于B ∴∠CBF=∠BPC ∠ABP=∠BFP ∵∠BCF=∠PCB

∵PC=EC

第五篇：初三数学圆的综合复习教案

精品讲义

贡献人：蜀道鹏

圆综合复习

一、本章知识框架

二、本章重点

1．圆的定义：

(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．

(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上． 设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半． ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．

(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角． 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．

精品讲义

贡献人：蜀道鹏

4．圆的性质：

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．

(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理及推论：

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．

5．三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点． 6．切线的判定、性质：(1)切线的判定：

①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：

①圆的切线垂直于过切点的半径．

②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点． ③经过切点作切线的垂线经过圆心．

(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．

(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 7．圆内接四边形和外切四边形

(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．

(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等． 8．直线和圆的位置关系：

设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．

(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．

(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d

精品讲义

贡献人：蜀道鹏

9．圆和圆的位置关系： 设(1)外离(2)含(3)外切(4)dr)，圆心距

．

没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部d>R＋r． 没有公共点，且的每一个点都在外部

内有唯一公共点，除这个点外，内切d＝R－r．

相交(5)有两个公共点R－r

10．两圆的性质：

(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．

(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点． 11．圆中有关计算： 圆的面积公式：，周长C＝2πR．

圆心角为n°、半径为R的弧长．

圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．

．

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为面积为2πRl，全面积为

．，侧圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl，全面积为

，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．

精品讲义

贡献人：蜀道鹏

【经典例题精讲】

例1 如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？

例2 下列命题正确的是()A．相等的圆周角对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．三点确定一个圆

D．平分弦的直径垂直于弦．

例3 四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．

例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是__________cm．

精品讲义

贡献人：蜀道鹏

例5 已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB＝16，求两圆的圆心距．

三、相关定理：

1.相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）

说明：几何语言：

若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

例1． 已知P为⊙O内一点，⊙O半径为，过P任作一弦AB，设，则关于的函数关系式为。2.切割线定理

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 说明：几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB 例2． 已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。

精品讲义

贡献人：蜀道鹏

四、辅助线总结 1.圆中常见的辅助线

1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．

2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明．

3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算．

4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．

5)．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角． 6)．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角． 7)．遇到切线，作过切点的半径，构造直角．

8)．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径．

9)．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．

10)．遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点．

11)．遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线． 12)．遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线．

13)．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边．

2、圆中较特殊的辅助线

1)．过圆外一点或圆上一点作圆的切线． 2)．将割线、相交弦补充完整． 3)．作辅助圆． 【中考热点】

近年来，在中考中圆的应用方面考查较多，与一元二次方程、函数、三角函数、实际问题、作图等是中考中的热点，也是难点．

例1（·北京市)如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为()

A．2 B．3 C．4 D．5 例2(北京市)如图23-11，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于()

A．35° B．90° C．110° D．120°

例3（北京市)如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于()A． B．

C．

D．

精品讲义

贡献人：蜀道鹏

例4(河南省A卷)如图23-12，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交⊙O于E，且EM>MC，连结OE、DE，(1)求EM的长．

(2)求sin∠EOB的值．

例5（山西省)如图23-13，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程

(其中m为实数)的两根．

(1)求证：BE＝BD；(2)若，求∠A的度数．

．