第一篇：圆教案
认识圆
教学目标：
1、知识与能力目标：
结合生活实际，通过观察、操作等活动认识圆，理解圆心、半径、直径的意义，掌握圆的特征，理解同一个圆里（或等圆）半径与直径的关系。
2、过程与方法目标：
结合具体的情境，体验数学与生活密切联系，能用圆的知识来解释生活中的简单现象。
3、情感态度与价值观目标：
通过观察、操作、想象等活动，培养学生自主探究的意识，进一步发展学生的空间观念。
教学重点：
在探索中发现圆的特征。教学难点：
理解同一个圆里（或等圆）半径与直径的关系，能利用圆的特征解决生活实际问题。
一、回顾已学过的平面图形
1、出示正方形、长方形、三角形等学过的平面图形。说出它们的特点。
2、出示圆
观察并比较和刚才的平面图形有什么区别？ 由直线构成的平面图形。由曲线围成的平面图形
3、找生活中的圆
你在生活中哪些地方见过圆？说一说。
4、你知道车轮为什么要做成圆形的？
二、学习圆
1、找圆心
把圆对折几次，有什么发现。折痕相交于一点。（板书圆心：O）在圆里标出圆心。
2、认识直径
画出其中一条折痕，说一说。（经过圆心，两端都在圆上。）（板书直径：d）圆有多少条直径？
量出它的一条直径的长度，再量另一条，比较长度。同一个圆中，所有直径长度相等。
比较不同大小的圆。（直径-----大小）
3、认识半径
（半径：r）（半径-----大小）直径和半径的关系
解决车轮为什么要做成圆形。
三、画圆
我们学习了圆，怎样来画一个圆。
1、画圆心
确定圆的位置
2、定半径
确定圆的大小
3、画圆 旋转一周
四、小结。
五、问题：怎么画一个大圆。
第二篇：圆教案
圆知识点总结
一、本章知识点框架
圆心、半径基本元素：定义、弧、垂径定理对称、中心对称圆的认识对称性：旋转对称、轴 圆心角、弧、弦、弦心距与圆有关的角：圆心角、圆周角、弦切角
点与圆相交直线与圆相切—切线与切线长与圆有关的位置关系 相离圆与圆的位置关系积弧长和扇形、弓形的面圆中的有关计算 圆锥与圆锥的侧面展开图
二、本章重点 1.圆的定义
（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆。
（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。2.判定一个点P是否在圆O上，设圆O的半径为R，OP=d，则有
dr点P在圆O外； dr点P在圆O上； dr点P在圆O内。
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3.与圆有关的角
（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
（2）圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧的圆心角的一半；（图a）
②同弧或等弧所对圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。（图b）
③90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角；（图c）④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形； ⑤圆内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
⑥在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
图a 图b 图c 图d（3）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角。（图d）推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半。4.圆的性质：
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（1）旋转不变形：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；
圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等。
（2）轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴。（3）垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；（图1）②平分弦（不是直径）的直径垂直与弦，并且平分弦所对的两条弧； ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧；
④平分一条弧所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分这条弦； ⑤平行弦夹的弧相等。（图2）
图1 图2 5.三角形的内心、外心、垂心、重心
（1）三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示。
（2）三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示。
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（3）三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示。（4）垂心：是三角形三边高线的交点。6.切线的判定、性质（1）切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线。②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线。（2）切线的性质：（图3）①圆的切线垂直与过切点的半径； ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点； ③经过切点作切线的垂线经过圆心。
（3）切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长。
（4）切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（图4）
图3 图4 7.圆内接四边形和外切四边形
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（1）四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。
（2）各边都和圆相切的四边形叫做圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等。圆内正多边形的计算：（如下图所示）①正三角形
在圆O中，ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行，OD:BD:OB1:3:2 ②正四边形
同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA1:1:2 ③正六边形
同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，AB:OB:OA1:3:2
8.直线和圆的位置关系：
设圆O半径为R，点O到直线I的距离为d，（1）直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R；(图5)
（2）直线和圆O有唯一公共点直线I和圆O相切d=R；（图6）（3）直线I和圆O有两个公共点直线I和圆O相交d 学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.xiexiebang.com 10楼 街南 14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区 商含 业光 咨 号 楼 4-8嘉 翔层大 厦 216号 询 咨咨 电 询询 话 电电 话 ：0933-3603331 话 029-34200707 ：029-88758405 图5 图6 图7 9.圆与圆的位置关系： 设圆O1、圆O2的半径为R、r（R>r），圆心距O1O2d （1）圆O1和圆O2没有公共点，且每一个圆上的所以点在另一个圆的外部圆O1、圆O2外离d>R+r。（外离图8） （2）圆O1和圆O2没有公共点，且圆O2的每一个点都在圆O1内部圆O1、圆O2内含d （3）圆O1和圆O2有唯一公共点，除这个点外，每一圆上的点都在另一个圆外部圆O1、圆O2外切d=R+r。（外切图10） （4）圆O1和圆O2有唯一公共点，除这个点外，圆O2的每个点都在圆O1内部圆O1、圆O2内切d=R-r。（内切图11） （5）圆O1和圆O2有两个公共点圆O1、圆O2相交R-r 图8 图9 图10 西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.xiexiebang.com 10楼 街南 14路学校长西武安灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区 商含 业光 咨 号 楼 4-8嘉 翔层大 厦 216号 询 咨咨 电 询询 话 电电 话 ：0933-3603331 话 029-34200707 ：029-88758405 图11 图12 10.两圆的性质： （1）两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线； （2）相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切心。11.圆中有关计算: 2圆的面积公式：SR，周长C2R.圆心角为n、半径为R的弧长l圆心角为nnR.180nR21lR.、半径为R，弧长为l的扇形的面积S3602弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算。 圆柱的侧面图是一个矩形，地面半径为R，母线长为1的圆柱的体积为nR2l，侧面积为2Rl，全面积为2Rl2R2。 圆锥的侧面积展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积 222为Rl，全面积为RlR2，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有Rhl.例1.如图所示，已知AB为圆O直径，C为弧AB上一点，CDAB于点D，OCD的平分线CP交圆O与点P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？ 学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.xiexiebang.com 10楼 街南 14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区 商含 业光 咨 号 楼 4-8嘉 翔层大 厦 216号 询 咨咨 电 询询 话 电电 话 ：0933-3603331 话 029-34200707 ：029-88758405 分析:要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在弧AB上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律。解: 连接OP，2P1P OC=OP21OP//CDPAPB CDABPD点为AB中点。 例2.下列命题正确的是（B）A.相等的圆周角所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.三点确定一个圆 D.平分弦的直径垂直于弦 例3.四边形ABCD内接与圆O，A:B:C1:2:3，求D.分析：园内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等。解：设Ax，B2x，C3x, 则DACB2x.x2x3x2x360，x45 D90 学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.xiexiebang.com 10楼 街南 14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区 商含 业光 咨 号 楼 4-8嘉 翔层大 厦 216号 询 咨咨 电 询询 话 电电 话 ：0933-3603331 话 029-34200707 ：029-88758405 练习：四边形ABCD外切于圆O，周长为20，且AB:BC:CD1:2:3,求AD 的长。 例4.为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一个刻度尺，用如图所示的方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径，若测得PA=5cm，则铁环的半径是______cm.分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OPPA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，在用三角函数知识求解。解:tanPAOOPOPPAtan605353cm PA例5.已知圆O1与圆O2相交于A、B两点，圆O1的半径是10，圆O2的半径是17，公共弦AB=16，求两圆的圆心距。 学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.xiexiebang.com 10楼 街南 14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区 商含 业光 咨 号 楼 4-8嘉 翔层大 厦 216号 询 咨咨 电 询询 话 电电 话 ：0933-3603331 话 029-34200707 ：029-88758405 图1 图2 解：分两种情况讨论： （1）若O1、O2位于AB的两侧如图1所示，设O1O2与AB交于C，连接O1A、O2A，则O1O2垂直平分AB，ACAB.又AB16AC8 在RtO1CA中，O1CO1A2AC26.在RtO2CA中，O2CO2A2AC215.故O1O2=O1C+O2C=21（2）若O1、O2位于AB的同侧如图2所示，设O1O2的延长线与AB交于C，连接O1A、O2A，CO2垂直平分AB，AC1AB.212又AB16AC8 在RtO1CA中，O1CO1A2AC26.在RtO2CA中，O2CO2A2AC215.故O1O2=O2C-O1C=9 三、相关定理： 1.相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）如下图所示 即：弦AB、CD交于点P，PAPBPCPA（相交弦定理） 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.xiexiebang.com 10楼 街南 14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区 商含 业光 咨 号 楼 4-8嘉 翔层大 厦 216号 询 咨咨 电 询询 话 电电 话 ：0933-3603331 话 029-34200707 ：029-88758405 即：CD垂直AB于点E，CE2DE2EAEB 例6.已知P为圆O内一点，OP=3cm，圆O半径为6cm，过P任作一弦AB，设AP=x，BP=y，则y关于x的函数关系式为______。 623227解：由相交弦定理得y，即y，其中3x9.xx2.切割线定理 推论：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：若PA是切线，PB是割线，则PA2PCPB 例7.已知PT切圆O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm,求PB长。 西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.xiexiebang.com 10楼 街南 14路学校长西武安灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区 商含 业光 咨 号 楼 4-8嘉 翔层大 厦 216号 询 咨咨 电 询询 话 电电 话 ：0933-3603331 话 029-34200707 ：029-88758405 解：设TD=x,BP=y,由相交弦定理得：ADDBCDTD 即34(8x)xx16，x22（舍） 由切割线定理，PT2APBP 由勾股定理得，PD2PT2TD2 PD2APBPTD2(y4)262y(y7) y20cm 四、辅助线总结 1.圆中常见的辅助线 （1）作半径，利用同圆或等圆的半径相等； （2）作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明。 （3）作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算。 （4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角； （5）作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角；（6）遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角；（7）遇到切线，作过切点的半径，构造直角； （8）欲证直线为圆的切线时，分两种情况：①若知道直线和圆有公共点时，常连接公共点和圆心证明直线垂直；②不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径 （9）遇到三角形的外心常连接外心和三角形的各顶点； （10）遇到三角形的内心，常作：①内心到三边的垂线；②连接内心和三角形的顶点； 学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.xiexiebang.com 10楼 街南 14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区 商含 业光 咨 号 楼 4-8嘉 翔层大 厦 216号 询 咨咨 电 询询 话 电电 话 ：0933-3603331 话 029-34200707 ：029-88758405 （11）遇相交两圆，常作:①公共弦；②连心线；（12）遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线； （13）求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边。 2.圆中较特殊的辅助线 ① 过圆外一点或圆上一点作圆的切线； ②将割线、相交弦补充完整； ③作辅助圆。 例8.如图所示，AB是圆O的直径，弦CDAB,垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么AE的长为（A） 分析：连接OC，由AB是圆O的直径，弦CDAB知CD=DE，设AE=x，则在RtCEO中，OC2OE2CE2, 即52(5x)242，则x12，x28（舍去） 例8图 例9图 例9.如图所示，CA为圆O的切线，切点为A，点B在圆O上，如果AOB等于（C） A.35 B.90 C.110 D.120 学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.xiexiebang.com 10楼 街南 14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区 商含 业光 咨 号 楼 4-8嘉 翔层大 厦 216号 询 咨咨 电 询询 话 电电 话 ：0933-3603331 话 029-34200707 ：029-88758405 分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道 AOB2BAC255110 故选C 例10.如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于（B）分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即24540(cm2) 例11.如图所示，在半径为4的圆O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交圆O于E，且EM>MC，连接OE、DE，DE15，求：EM的长。 解：由DC是圆O的直径，知DEEC，于是ECDC2DE27,设EM=x,则AMMBx(7x)，即x27x120，所以x13,x24，而EM>MC，即EM=4.学校长西武安西 北 首 家 教 育 综 合 体 · 精 心 打 造 中 国 教 育 第 一 品 牌 网址：www.xiexiebang.com 10楼 街南 14路灵台校区：灵台县国盛大厦校总区校:长：西武安县市新雁都滩会区 商含 业光 咨 号 楼 4-8嘉 翔层大 厦 216号 询 咨咨 电 询询 话 电电 话 ：0933-3603331 话 029-34200707 ：029-88758405 圆教案 一、本章知识框架 二、本章重点 1．圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆． (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上． 设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角． 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数． (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半． ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角． ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角． (3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角． 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半． 4．圆的性质： (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等． (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等． 5．三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示． (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点． 6．切线的判定、性质：(1)切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径． ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点． ③经过切点作切线的垂线经过圆心． (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长． (4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 7．圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角． (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等． 8．直线和圆的位置关系： 设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d． (1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R． (2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d ． (1)外离(2)含(3)外切(4)d 内有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部d＝R＋r． 的每个点都在内部有唯一公共点，除这个点外，内切d＝R－r． 相交(5)有两个公共点R－r 10．两圆的性质： (1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线． (2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点． 11．圆中有关计算： 圆的面积公式：，周长C＝2πR． 圆心角为n°、半径为R的弧长． 圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算． ． 圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为面积为2πRl，全面积为 ．，侧圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl，全面积为【经典例题精讲】 例1 如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 ． 分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律． 解： 连结OP，P点为中点． 小结：此题运用垂径定理进行推断． 例2 下列命题正确的是()A．相等的圆周角对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦． 解： A．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确． B．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确． C．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆． D．平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦． 故选B． 例3 四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D． 分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等． 解： 设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x． x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°． ∴∠D＝90°． 小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的长． 例4 0 分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解． 解： ． 小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型． 例5 已知 相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB＝16，求两圆的圆心距． 解：分两种情况讨论：(1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设 与AB交于C，连结又∵AB＝16 ∴AC＝8． 在在故(2)若，则垂直平分AB，∴ ． 中，中，． ． ． 位于AB的同侧(如图23-9)，设 ． 的延长线与AB交于C，连结∵垂直平分AB，∴． 又∵AB＝16，∴AC＝8． 在在故中，中，． ． ． 注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题． 三、相关定理： 1.相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等） 说明：几何语言： 若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 例1． 已知P为⊙O内一点，P任作一弦AB，设为。，⊙O半径为，过，则关于的函数关系式解：由相交弦定理得，即，其中 2.切割线定理 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 说明：几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB 例2． 已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。 解：设TD=，BP=，由相交弦定理得：即由切割线定理，理，∴ ∴，（舍）由勾股定∴ 四、辅助线总结 1.圆中常见的辅助线 1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等． 2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明． 3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算． 4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角． 5)．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角． 6)．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角． 7)．遇到切线，作过切点的半径，构造直角． 8)．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径． 9)．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点． 10)．遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点． 11)．遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线． 12)．遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线． 13)．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边． 2、圆中较特殊的辅助线 1)．过圆外一点或圆上一点作圆的切线． 2)．将割线、相交弦补充完整． 3)．作辅助圆． 例1如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为() A．2 B．3 C．4 D．5 分析：连结OC，由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB知CD＝DE．设AE＝x，则在Rt△CEO中，则，(舍去)．，即，答案：A． 例2如图23-11，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于() A．35° B．90° C．110° D．120° 分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C． 例3 如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于()A． B． C． D． 分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即 ．答案：B． 例4 如图23-12，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交⊙O于E，且EM>MC，连结OE、DE，． 求：EM的长． 简析：(1)由DC是⊙O的直径，知DE⊥EC，于是．设EM＝x，则AM·MB＝x(7－x)，即．所以 ．而EM>MC，即EM＝4． 例5如图23-13，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程 (其中m为实数)的两根． (1)求证：BE＝BD；(2)若，求∠A的度数． 简析：(1)由BE、BD是关于x的方程的两根，得，则m＝－2．所以，原方程为(2)由相交弦定理，得 ．得，即 ．故BE＝BD． ．而PB切⊙O于点B，AB为⊙O的直径，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易证∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，则，所以，所以 ．在Rt△ACB中，故∠A＝60°． 课题：圆和圆的位置关系 山西省平定县娘子关中学冯向科 教学目标： 了解圆与圆的五种位置关系的定义； 掌握两圆的相切位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系，相切两圆的连心线的性质。 1．培养学生的分类和数形结合数学思想；培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力． 2．促使学生勤于思考、乐于探究的习惯、增强学习自信心。 教学重点： 两圆的相切位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系． 教学难点： 两圆相切时分类讨论 教具：圆规、圆片 教学步骤： （一）复习、引出问题 1．复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的? （教师主导，学生回忆、回答）直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交．各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的 2．引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢? （二）观察、分类，得出概念 1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义： (1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．(图(1)) (2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(2)) (3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．(图(3)) (4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(4)) (5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5))．两圆同心是两圆内含的一个特例．(图(6)) 2、归纳： (1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点． (2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一 (3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和内切)． 教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交．除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点? 结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系． （三）分析、研究 1、相切两圆的性质． 让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质： 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上． 这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明 2、两圆位置关系的数量特征． 设两圆半径分别为R和r．圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系．（图形略） 两圆外切 两圆内切 d＝R+r； d＝R-r(R＞r); 说明：注重“数形结合”思想的教学． （四）应用、练习 例1： 如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米。求：以P为圆心作⊙P与⊙O相切，圆⊙P的半径是多少? 解：（1）设⊙P与⊙O外切与点A，则PA=PO-OA ∴PA=3cm． （2）设⊙P与⊙O内切与点B，则 PB=PO+OB ∴PB=1 3cm． 综上所述，圆⊙P的半径是3cm或1 3cm。 练习 1、⊙O的半径为5厘米，OP=1厘米，以P为圆心作⊙P与⊙O相切，圆⊙P的半径是多少? 2、⊙O的半径为5厘米，⊙P的半径为3厘米，以P为圆心作⊙P与⊙O相切，PO是多少? 3、⊙O的半径为5厘米，⊙P的半径为3厘米，⊙P与⊙O外切，半径为7厘米的圆和两圆相切，这样的圆能做几个？半径为5厘米呢？半径为8厘米呢？ 4、⊙O的半径为15厘米，⊙P的半径为20厘米，⊙P与⊙O相交与A、B两点，AB=24。（1）求PO的长？（2）求∠PAO的度数？（3）求四边形PAOB的面积？ （五）小结 这节课你学到了什么？是怎样学到的？ （六）作业 《圆和圆的位置关系》示范课教学反思 -------用数学眼光开生活 山西省平定县娘子关中学冯向科 我在教学能手示范课中讲授了《圆和圆的位置关系》一课。感受到学生在数学和生活的联系方面有欠缺，缺乏学一致用。下面谈谈在示范课后我的一些实践的心得体会。 在生活中挖掘数学，让数学服务于生活，让学生学习有用的数学，以人为本，人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。这是数学新课程标准的宗旨，它通过加强过程性，体验性目标，以及对教材、教学、评价等方面的指导，引导学生主动参与、亲身实践、独立思考、合作探究、获取新知识的能力，分析和解决问题的能力，以及交流与合作的能力，并且采用多种评价方式，促进学生发展，体现着改革与创新精神，数学新课程标准为未来的数学教学指明了方向。 一 培养学生把生活经验和数学知识相联系的能力 数学来源于生活，生活中处处有数学。我们的日常生活就是学习数学的大课堂，是探索问题的广阔天地，把所学的知识运用到生活实践中，是数学学习的最终目的。很多数学规律、数学思想方法都可以在生活中找到它们的原型，在平时生活中，学生很难从现实中寻找数学题材，把要学的数学知识与学生的生活实际有机结合，如举出生活中两圆不同位置关系的实例，学生难以描述。 二、创设情景、贴近生活、激发兴趣 结合学生身边的实例导入新课，不但可提高学生的学习兴趣，激发求知的内驱力，而且可使所要学习的数学问题具体化，形象化。在新知的教学时，如果能结合学生的日常生活，创设学生熟悉与感兴趣的具体生活活动情况，就能引导学生通过联想、类比，沟通从具体的感性实践到抽象概括的道路，加深对新知的理解。因此在教学中如何使学生“领悟”出数学知识源于生活，又服务于生活，能用数学眼光观察生活实际，培养解决实际问题的能力，是每位数学教师重视的问题。教师选取贴近学生生活实际的题材，以唤起学生的学习兴趣，使学生能凭借生活经验，积极参与尝试探究。因此当学生掌握了某项数学知识后，可以有意识地创设一些把所学知识运用到生活实际的环境。 如在导入《直线和圆的位置关系》时，这样问学生：小朋友，你们看过日出 吗？太阳和地平线在开始时候是怎样的位置关系？后来怎么变化的呢？ 三、引导实践、总结规律、寓教育乐 数学源于实践，又服务于实践。为此在数学教学中，我们要创设运用数学知识的条件给学生以实际活动的机会，让学生亲自参与实践，摸一摸，摆一摆，拼一拼，移一移，看一看，想一想，形成丰富的感性材料，再经过大脑加工，由表及里，由浅入深，去伪存真地辩证分析，教学效果事半功倍。如这节课通过让学生动手实践，圆和圆的位置关系、两圆相切是圆心距和两圆半径的关系等结论，学生很快发现其中的奥秘，总结出规律。如果教师不让学生动手实践，而是一味滔滔不绝地讲解分析，学生只能是“知其然而不知其所以然”，听得索然寡味。数学知识是抽象的，教学不得法，会挫伤学生的学习积极性，会扼杀学生的实践力，会抑制学生的聪明才智。 四、引导学生发现问题、提出问题、解决问题 新课程标准很重视在教学过程中，学生的主动参与，学生能独立思考并能一起合作探究，能提出有价值的问题，并能通过个人的或大家的智慧解决问题。老师教给学生的是一种能力而不是问题的答案。教学中教师的作用重在于“导”，具体应体现在启发、点拨、设疑和解惑上。能让学生先说的尽可能让学生说，能让学生操作的尽可能让学生操作，能让学生讨论的尽可能让学生讨论，力求为学生的主动学习创设情境、营造氛围。让学生有机会成为“问”的主体，成为“信息源”，那么，学生学习的积极性和主动性将会被大大激发。如做完练习 3、⊙O的半径为5厘米，⊙P的半径为3厘米，⊙P与⊙O外切，半径为7厘米的圆和两圆相切，这样的圆能做几个？半径为9厘米呢？半径为8厘米呢？后。有学生问⊙O的半径为a厘米，⊙P的半径为b厘米，⊙P与⊙O外切，半径＞（a+b）厘米的圆和⊙O、⊙P两圆相切，这样的圆能做几个？半径＜（a+b）厘米呢？半径为（a+b）厘米呢？ 数学知识源于生活而最终服务于生活。在今后教学中，我还要经常从现实中寻找数学题材，把要学的数学知识与学生的生活实际有机结合，注意引导学生动手实践，亲身体验，理解、巩固、运用数学知识，解决数学问题。 圆的定义 目标：探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别 1、想想生活中的圆：摩天轮、呼啦圈、自行车、圆月、硬币、瓶盖、钟面、圆桌、钮扣、圆形饼干、铁饼 2、动手画圆：在一个平面内一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点形成的图形就是圆． 3、第一定义：圆：在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆； 圆心：固定的端点O叫作圆心； 半径：线段OA的长度叫作这个圆的半径． 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆． 4、弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦； 直径：经过圆心的弦叫作直径； 弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧； 弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”； 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆． 优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如图3中的ABC； 劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如图3中的BC． 5、思考：车轮为什么做成圆形？如果做成正方形会有什么结果？ 把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如果做成其他图形，比如正方形，正方形的中心（对角线的交点）距离地面的距离随着正方形的滚动而改变，因此中心到地面的距离就不是保持不变，因此不稳定． 6、如何在操场上画一个半径是5 m的圆？ 7、从树木的年轮，可以很清楚地看出树生长的年龄．如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23 cm，这棵红杉树平均每年半径增加多少？ 垂直于弦的直径 目标：探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质； 能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题． 1、动手活动：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？ 沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 2、动手活动：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合； 第二步，得到一条折痕CD； 第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足； 第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B垂直于弦的直径的性质： （1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 例１：AB所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径． 弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来． 例２：已知AB，请你利用尺规作图的方法作出AB的中点，说出你的作法． 3、某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为7．2米，桥的最高处点C离水面的高度2．4米．现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由． GCFMAHEDOB 连接AO、GO、CO，由于弧的最高点C是弧AB的中点，所以得到 OC⊥AB，OC⊥GF，根据勾股定理容易计算 OE=1．5米，OM=3．6米． 所以ME=2．1米，因此可以通过这座拱桥． 4、银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图7所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道? 连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，1则AE=2AB = 30 cm．令⊙O的半径为R，则OA=R，OE＝OF-EF＝R-10． 在Rt△AEO中，OA=AE+OE，即R=30+(R-10)． 解得R =50 cm． 修理人员应准备内径为100 cm的管道． 222 弧、弦、圆心角 目标：（1）圆的旋转不变性； （2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理； 动手活动：(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定． 注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合． (3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合． 在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等． ABAC，∠ACB＝60°，求证∠AOB=∠AOC=∠BOC． 例 1、在⊙O中，AOBC 例 2、AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数． 思考：定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 圆周角 目标：1．了解圆周角与圆心角的关系． 2．探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征． 3．能运用圆周角的性质解决问题． 问题1：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（AOB和ACB）有什么关系？ 问题2：如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（ADB和AEB）和同学乙的视角相同吗？ 同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半． 问题3：半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？90°的圆周角所对的弦是什么? 例：如图，⊙O的直径 AB 为10 cm，弦 AC 为6 cm，∠ACB 的平分线交⊙O于 D，求BC、AD、BD的长． AD=BD ACOBD （一）圆的有关概念 1、圆（两种定义）、圆心、半径； 2、圆的确定条件： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一直线上的三个点确定一个圆。 3、弦、直径； 4、圆弧（弧）、半圆、优弧、劣弧； 5、等圆、等弧，同心圆； 6、圆心角、圆周角； （二）圆的基本性质 1、圆的对称性 ①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。*②圆是中心对称图形，圆心是对称中心。 2、圆的弦、弧、直径的关系 ①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 * [引申] 一条直线若具有：Ⅰ、经过圆心；Ⅱ、垂直于弦；Ⅲ、平分弦；Ⅳ、平分弦所对的劣弧；Ⅴ、平分弦所对的优弧，这五个性质中的任何两条，必具有其余三条性质，即“知二推三”。（注意：具有Ⅰ和Ⅲ时，应除去弦为直径的情况） 3、弧、弦、圆心角的关系 ①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 ②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。 归纳：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。 4、圆周角的性质 ①定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。②在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 ③推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。第三篇：圆 教案
第四篇：圆和圆教案
第五篇：圆——教案
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