证明切线的方法

第一篇：证明切线的方法

证明切线的方法

证明一条直线是圆的切线，可分两种情况进行分析。

（1）圆和直线的唯一公共点已知，方法是：连半

径，证垂直（比较常用）。

（2）圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂

直，证半径。

例如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点O

在线段AB上，以O为圆心、OB为半径作圆交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E。DE是圆O的切线吗？

分析：这属于第一种情况，可以考虑连半径，再证垂直。

DE是切线。

证明：连接OD。

∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴∠B＝∠C。

又∵OB＝OD，∴∠B＝∠1。

∴∠1＝∠C。

而DE⊥AC，∴∠C＋∠2＝90°。

∴∠1＋∠2＝90°。

∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD是圆O的半径。

∴DE是圆O的切线。

AB

第二篇：2021年中考数学复习练习圆切线证明方法

中考数学23题圆的切线证明及不规则阴影面积问题的解法探究

有关切线证明问题，通常给出直线与圆的交点时，要连半径通过证明半径与直线垂直，解决问题，证垂直的方法：（1）证明三角形全等，得出对应角相等，进而证得垂直；（2）通过证平行得出角相等，推出90度角得垂直；（3）通过角之间的关系，推出两角互余，证垂直。若直线与圆没有交点，可过圆心作直线的垂线，证明垂线段长等于半径即可，这个类型的证明多用全等三角形来解决。

不规则图形面积的求法，通常是转化为三角形的面积与扇形面积和差来解决。在具体证明解题时，要根据题中的条件确定解题思路。在解题时注意三角形中位线定理，等腰三角形的性质的运用；圆与平行四边形、菱形、正方形的综合题要学会从整体上着眼，从局部入手，充分运用特殊四边形的性质解题。

在解决这类问题时，经常要运用解直角三角形的知识来建立方程，求相关的量，总而言之，这类题综合性较强，解题时要认真分析，书写要严谨。

典型题解析

1.(2019葫芦岛)如图，点M是矩形ABCD的边AD延长线上一点，以AM为直径的⊙O交矩形对角线AC于点F，在线段CD上取一点E，连接EF，使EC=EF.(1)

求证：EF是⊙O的切线；

(2)

若cos∠CAD=，AF=6，MD=2，求FC的长.解析

：（1）连接OF，∵四边形ABCD是矩形可得∠CDA=900，∴∠DCA+∠DAC=900

∵EC=EF,OF=OA

∴∠EFC=∠DCA,∠OFA=∠DAC

∴∠EFC+∠OFA=900

∴∠EFO=1800-(∠EFC+∠OFA)=900

∴OF⊥EF

∴EF是⊙O的切线

(3)

过点O作OH⊥AF，垂足为H。

∵AF=6

∴AH=3

∵cos∠CAD=，cos∠CAD=

∴AO=5

∵AM=2AO=10,MD=2

∴AD=8

∵cos∠CAD=,cos∠CAD=

∴AC=

∴CF=AC-AF=-6=

2.（2019.铁岭）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，以点A为圆心、AB长为半径的⊙A恰好经过BC的中点E，连接DE,AE,BD,AE与BD交于点F.（1）

求证：DE与⊙A相切

（2）

若AB=6，求BF的长。

解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形

∴BC=AD=2AB.∵点E是BC的中点

∴BE=AD

∵AE=AB

∴AE=AB=BE

∴∠CBA=∠AEB=600

∵DC∥AB

∴∠C+∠CBE=1800

∴∠C=1200

∵CD=AB,AB=BE=CE

∴CD=CE

∴∠CDE=∠CED=300

∴∠DEA=1800-(∠CED+∠AEB)=900

∴AE⊥DE

∴DE与⊙A相切

（3）

过点B作BH⊥AE，垂足为H.则AH=HE,∵AB=6，∴AD=2AB=12,BE=6,AH=EH=3

∴BH=

∵BE∥AD

∴△FBE∽△FDA

∴

∴EF=AE=2

∴FH=EH-EF=1

∴BF=

3.(2018.抚顺)如图，AB为⊙O直径，AC为⊙O的弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于点H.（1）

判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）

若HB=2，cos∠D=，请求出AC的长.解析：连接OC.∵OC=OA

∴∠OAC=∠OCA

∴∠COP=∠OAC+∠OCA=2∠OAC

∵∠D=2∠A，∴∠D=∠COP

∵DE⊥OA

∴∠DEP=900

∴∠D+∠P=900

∴∠COP+∠P=900

∴OC⊥DC

∴DC与⊙O相切

（3）

∵cos∠D=，cos∠D=

又OB=OC,BH=2

∴

解得：OC=5

∴OH=3,OC=0A=5

∴CH=,AH=8

∴AC=

4.（2020.丹东）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，∠CBD的平分线交⊙O于点E，交AC于点F，且AF=AB.（1）

判断BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）

若tan∠FBC=，DF=2，求⊙O的半径.解析：（1）∵AB为直径

∴∠ADB=900

∴∠DFB+∠DBF=∠ADB=900

∵BF是∠CBD的平分线,AF=AB.∴∠DBF=∠CBF,∠ABF=∠AFB

∴∠CBF+∠ABF=900

∴BC⊥AB

∴BC所在直线与⊙O相切

(2)

∵tan∠FBC=，∠DBF=∠CBF,DF=2

∴tan∠DBF=,∴BD=5

∵AF=AB

∴AD=AF-BD=AB-2

∵BD2+AD2=AB2

∴25+(AB-2)2=AB2

解得

：AB=

5.（2017.铁岭）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，连接OC，BC，以点C为顶点，CB为边作∠BCF=∠BOC,延长AB交CF于点D.(1)

求证：直线CF是半圆O的切线；

(2)

若BD=5，CD=,求弧BC的长.解析

：（1）∵OC=OB

∴∠OCB=∠OBC

∴∠OBC+∠OCB+∠BOC=1800

∴∠OCB+∠BOC=900

∵∠BCF=∠BOC

∴∠OCB+∠BCF

=900

∴OC⊥CF

∴直线CF是半圆O的切线；

(2)设半径为r

则有：r2+CD2=(r+BD)2

即

r2+75=(r+5)2

解得，r=5

∵OB=BD,∠OCD=900

∴BC=OB=OC=5

∴∠BOC=600

∴弧BC=

6.（2020.锦州）平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，以AB为直径的⊙O经过点E，与AD交于点F，G是AD延长线上一点，连接BG，交AC于点H，且∠DBG=∠BAD.（1）

求证：BG是⊙O的切线；

（2）

若CH=3,tan∠DBG=，求⊙O的直径.解析:(1)∵AB是直径

∴∠BEA=900

∵四边形ABCD是平行四边形

∴平行四边形ABCD是菱形

∴AB=AD

∴∠BAE=∠BAD.∵∠DBG=∠BAD.∴∠DBG=∠BAE

∵∠BAE+∠ABE=900,∴∠DBG

+∠ABE=900,∴BG⊥AB

(2)设HE=x

∵tan∠DBG=

tan∠BAE=，∴BE=2HE=2x,AE=4x

∵CE=AE,CH=3

∴3+x=4x,解得：x=1，即

AE=4,BE=2

∴AB=

7.（2019.本溪）如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP.（1）

求证：DP是⊙O的切线；

（2）

若tan∠PDC=，正方形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的长.7.解析：（1）连接OD.∵四边形ABCD是正方形

∴CD=CB,∠DCP=∠BCP=450

∵CP=CP

∴△DCP≌△BCP

∴∠CDP=∠CBP

∵∠DCB=900

∴∠CEB+∠CBE=900

∵OD=OE,∠OED=∠CEB

∴∠ODE=∠OED=CEB

∴∠ODE+∠CDP=900

∴OD⊥DP

∴DP是⊙O的切线

(2)∵tan∠PDC=tan∠CBE=,BC=4

∴DE=CE=2

∵BC∥AF

∴∠EFA=∠CBE

∴tan∠DFE=

∴DF=4

∴FE=

∴OD=

过点P作PH⊥DC垂足为H.∵tan∠PDC==

∴DH=2PH

∵∠PCH=∠CPH=4500

∴PH=CH

∵DH+CH=4

∴DH=,PH=CH=

∴DP=

∴OP=

8.（2018.抚顺）如图，Rt△ABC中，∠ABC=900，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E.（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由：

（2）若BE=4,DE=8,求AC的长.解析：理由如下：

连接OC.∵CB=CD,OB=OD,OC=OC

∴△OBC≌△ODC

∴∠ODB=∠OBC=900

∴OD⊥DC

∴直线CD与⊙O相切

（2）设半径

为r，则OE=DE-OD=8-r,OB=r

∵OB2+BE2=OE2

∴r2+16=(8-r)2

解得：r=3

即OB=3,AB=6,OE=5

∵∠OEB=∠CED,∠EBO=∠EDC=900

∴△OEB∽△CED

∴

∴EC=

∴BC=CE-BE=10-4=6

∴AC=

9.(2020。辽阳)如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB=900,以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE.（1）求证：DE与⊙A相切；

（2）若∠ABC=600，AB=4，求阴影部分的面积.解析

：连接AE.∵四边形ABCD是平行四边形

∴BA=DC,∠B=∠ADC

∵AE=AB,∴∠ABE=∠AEB,DC=AE

∵BC∥AD

∴∠EAD=∠AEB=∠CDA

∵DA=AD

∴△DAC≌△ADE

∴∠DEA=∠ACD

∵CD∥AB

∴∠DCA=∠BAC=900

∴∠DEA=∠ACD=900

∴AE⊥DE

∴DE与⊙A相切

(2)过点E作EH⊥AC垂足为H.∵∠ABC=600，AE=AB=4

∴∠EAB=600,AC=

∴∠CAE=300

∴FE=1

∴阴影部分的面积=S△AEC-S扇形FAE=

10.（2018.葫芦岛）如图AB是⊙O的直径弧AC=弧BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE,连接AF交⊙O于点D，连接BD，BE.(1)求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若OB=2，求BD的长。

解析：（1）连接OC.∵B是⊙O的直径弧AC=弧BC

∴∠COA=∠COB=900

∵E是OB的中点

∴CE=FE

∵EF=CE,∠CEO=∠FEB

∴△CEO≌△FEB

∴∠FBA=∠COB=900

∴AB⊥BF

∴直线BF是⊙O的切线

(2)∵△CEO≌△FEB

∴BF=OC=OB=2

又∵AB=2OB=4

∴AF=

由AB∙BF=AF∙DB得

DB=

11.（2020.葫芦岛）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G.（1）

求证：DF是⊙O的切线；

（2）

若CF=1,DF=,求图中阴影部分的面积。

解析：（1）证明

：连接OD，AD.∵AB是⊙O直径

∴∠ADB=900

∵AB=AC，OD=OA

∴∠BAD=∠CAD，∠OAD=∠ODA

∴∠CAD=∠ODA

∴OD∥AC

∴∠AFG=∠ODG

∵DF⊥AC

∴∠ODG=∠AFG=900

∴OD⊥FD

∴DF是⊙O的切线

（2）∵CF=1,DF=，∠DFC=900

∴∠C=600，CD=2

∵AB=AC，∠ADB=900

∴∠OBD=∠C=600,DB=DC=2

∵OD=OB

∴△ODB是等边三角形

∴∠BOD=600,OD=2

∴∠OCG=300

∴DG=

∴图中阴影部分的面积=S△ODC-S扇形DOB=

12.（2017.本溪）如图，△PAB内接于⊙O，平行四边形ABCD的边AD是⊙O的直径，且∠C=∠APB，连接BD.(1)

求证：BC是⊙O的切线。

(2)

若BC=2，∠PBD=600，求AP与弦AP围成的阴影部分的面积。

解析

：（1）连接OB.∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠C=∠DAB

∵∠C=∠APB

∴∠DAB=∠APB

∴弧BD=弧AB

∵AB是直径

∴∠AOB=∠BOD=900

∵AD∥BC

∴∠OBC=∠AOB==900

∴OB⊥BC

∴BC是⊙O的切线。

（2）连接OP.∵∠PBD=600

∴∠PAD=∠PBD=600

∵OP=OA

∴△OAP是等边三角形

∴∠AOP=600,OH=

∵AD=BC=2

∴OA=1

∴AP与弦AP围成的阴影部分的面积=S扇形OAP-S△OAP=

13.（2017.铁岭）如图，四边形ABCD中，连接AC，AC=AD，以AC为直径的⊙O过点B，交CD于点E，过点E作EF⊥AD于点F.（1）

求证：EF是⊙O的切线；

（2）

若∠BAC=∠DAC=300,BC=2,求弧BCE的长。（结果保留）

解析：（1）证明：连接OE,AE.∵AC为直径

∴∠AEC=∠AED=900

∵AC=AD

∴CE=DE

∵OA=OC

∴OE∥AD

∴∠OEF=∠EFD

∵EF⊥AD

∴∠OEF=∠EFD=900

∴OE⊥EF

∴EF是⊙O的切线；

（2）连接OB.∵∠BAC=∠DAC=300,∠CAE=∠CAD

∴∠BAE=∠CAE+∠BAC=450

∴∠BOE=2∠BAE=900

∵AC是直径

∴∠ABC=900

∴AC=2BC=4

∴弧BCE的长=

14.（2017.抚顺）如图，在△ABC中，∠ACB=900，AC=CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作GDEC.（1）

判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由。

（2）

若点B是弧DBC的中点，⊙O的半径为2，求弧BC的长。

解析：（1）DE与⊙O的位置相切，理由如下：

连接OD.∵∠ACB=900，AC=CB

∴∠B=∠A=450

∴∠DOC=2∠B=900

∵四边形DECB是平行四边形

∴ED∥CG

∴∠EDO+∠DOC=1800

∴∠EDO=900

∴OD⊥DE

∴DE与⊙O的位置相切

（2）∵点B是弧DBC的中点

∴弧CB=弧DB

∴∠DOB=∠COB

∵∠DOB+∠COB+∠DOC=3600，∠DOC=900

∴∠COB=1350

∵⊙O的半径为2

∴弧CB=

15.（2017.营口）如图，△ABC中，∠ACB=900,BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D.（1）

求证：AB为⊙O的切线；

（2）

若tan∠A=，AD=2,求BO的长.解析：（1）证明：过点O作OH⊥AB，垂足为H.则∠OHB=900

∵BO为△ABC的角平分线，∴∠HBO=∠CBO

∵∠ACB=900,∴∠OHB=∠ACB，又BO=BO

∴△BOH≌△BOC

∴OH=OC=R

∴AB为⊙O的切线

（2）设OH=3k，由tan∠A=得，AH=4K,根据勾股定理

得，AO=5k。

∵AD=2，AO=AD+OD,OD=OH=3k.∴5k=2+3k，解得：k=1

∴OC=3，AC=8

在Rt△ACB中

tan∠A=

∴BC=6

∴OB=

16.（2018.本溪）如图，在Rt△ABC中，∠C=900，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF=DO，连接DF.（1）

判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）

当∠A=300，CF=时，求⊙O的半径。

解析：（1）直线DF与⊙O的位置相切，理由如下：

连接OE,过点O作OH⊥DF，垂足为H.∵⊙O与AC相切于点E,∴OE⊥AB

∵点O，D分别为AB，BC的中点

∴OD∥AC

∴∠ODC+∠C=1800,又∠C=900，∴∠ODC=∠OEC=∠C=900

∴四边形DCEO是矩形

∴DC=OE=R

∵∠ODH=∠CFD,DF=DO,∠OHD=∠DCF=900

∴△OHD≌△DCF

∴OH=DC=OE=R

∴直线DF与⊙O的位置相切

（2）∵OD是△ABC的中位线

∴OD=AC,∵四边形DCEO是矩形

∴OD=CE

∴OD=AE

在Rt△OEA中，∠A=300，∠OEA=900

∴OD=AE=OE=R

∵△OHD≌△DCF

∴DH=CF=

在Rt△OHD中，OH2+DH2=OD2

∴R2+2=3R2,解得：R=1

第三篇：圆的切线方程公式证明

已知:圆的方程为:(xb)² = r², 圆上一点P(x0, y0)解:圆心C(a, b)

直线CP的斜率:k1 =(y0a)

因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 =-1/k1 =a)/(y0y0 = k2(xy0 = [-(x0b)](xx0)(x0y0)(y0ax + ax0 + y0yx0²a)² +(y02ax0 + a² + y1²x0²2by0 + a² + b²ax + ax0 + y0y2by0 + a² + b²axyba)(xb)(y(x0 + D/2)/(y0 + E/2)

根据点斜式, 求得切线方程：

yx0)

yx0)

整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2Ey0/2-x0²x0²Dx0/2a)² +(yMC²)

(根据勾股定理)

= √ [(x0b)²MC²)

(根据勾股定理)

= √ [(x0 + D/2)² +(y0 + E/2)²-((√(D²+E²-4F))/2)² ]

(半径:r=(√(D²+E²-4F))/ 2)

= √(x0² + y0² + Dx0 + Ey0 + F)

第四篇：中考复习专题——如何证明圆的切线

如何证明圆的切线

证明直线是圆的切线，通常有的两种方法：

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30º．求证：DC是⊙O的切线．

思路：要想证明DC是⊙O的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD

＝90º即可．

证明：连接OC，BC．

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90º． ∵∠CAB＝30º，∴BC＝∵BD＝OB，∴BC＝

图

1AB＝OB．

2OD．∴∠OCD＝90º． 2

∴DC是⊙O的切线．

【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD＝90º时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD＝90º．

二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．

【例2】如图2，已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E．求证：OB与⊙D相切．

思路：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，证明DE＝DF即可，这可由角平分线上的点到角两边的距离相等证得．

请同学们写出证明过程．

图

2【评析】一定要防止出现错将圆上的一点当作公共点而连接出半径．同学们一定要认真体会证明切线时常用的这两种方法，作辅助线时一定要注意表述的正确性．

【例3】如图3，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点

图

3的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．

思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．

证明：连接OC．

∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD．

∵AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠1＝∠2．

∵OC＝OA，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．

∴AC平分∠DAB．

【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．

【例4】如图4，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接

OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．

思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也

就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明

CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90º即可．

证明：连接OD．

∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．

∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．

又∵OB＝OD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．

∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90º．∴∠ODC＝90º．

∴DC是⊙O的切线．

【评析】本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理．一定要注意区分这两个定理的题设与结论，注意在什么情况下可以用切线的性质定理，在什么情况下可以用切线的判定定理．希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识．本题若作OD⊥CD，就判断出了CD与⊙O相切，这是错误的．这样做相当于还未探究、判断，就以经得出了结论，显然是错误的．

图42

第五篇：证明方法

2.2直接证明与间接证明BCA案

主备人：史玉亮 审核人:吴秉政使用时间：2012年2-1

1学习目标：

1.了解直接证明的两种基本方法，即综合法和分析法。了解间接证明的一种基本方法——反证法。

2.了解综合法和分析法的思考过程与特点，并会用两种方法证明。了解反证法的解题步骤，思维过程及特点。

重点：

1.对综合法和分析法的考查是本课的重点。应用反证法解决问题是本课考查的热点。

2.命题时多以考查综合法为主，选择题、填空题、解答题均有可能出现。反证法仅作为客观题的判断方法不会单独命题。

B案

一、直接证明

1.定义：直接证明是从___________或___________出发的，根据已知的_________、________________，直接推证结论的真实性。

2.直接证明的方法：______________与________________。

二、综合法

1.定义：综合法是从___________推导到______________的思维方法。具体地说，综合法 从__________除法，经过逐步的___________，最后达到_______________。

 

 „ 

三、分析法

1.定义：分析法是从__________追溯到__________的思维方法，具体地说，分析法是从________出发，一步一步寻

求结论成立的____________，最后达到

_________或__________。



  „ 

四、反证法的定义

由证明pq转向证明prt,t与_________矛盾，或与某个________矛盾，从而判定_________，推出___________的方法，叫做反证法。

预习检测：

1.已知|x|＜1，|y|＜1，下列各式成立的是（）

A.|xy||xy|≥2B.xyC.xy1xyD.|x||y|

ln2ln3ln5,b,c，则（）23

5A.abcB.cbaC.cabD.bac 2.若a

3.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（）

A.有两个内角是直角

B.有三个内角是直角

C.至少有两个内角是直角

D.没有一个内角是直角

4.abcd的必要不充分条件是（）

A.acB.bdC.ac且bdD.ac或bd

5.“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”的反证法设为（）

A.自然数a,b,c都是奇数B.自然数a,b,c都是偶数

C.自然数a,b,c中至少有两个是偶数D.自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数

6.已知a是整数，a2为偶数，求证：a也是偶数。

C案

一、综合法

例1求证：12

3log19log1919

253log2

2.已知n是大于1的自然数，求证：log(n1)log(n2)

n(n1)

二、分析法

例2．求证

2变式突破： 已知a,b,c表示三角形的三边，m0,求证：

三、反证法：

例3．（1）证明：2不是有理数。

变式突破：若a、b、c均为实数，且ax2y

求证：a、b、c中至少有一个大于0.2abc ambmcm2,by22z3,cz22x6.当堂检测：

1.“x

0”是“0”成立的（）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.非充分非必要条件 D.充要条件

2.设alog54，b(log53)2，clog45，则（）

A.acbB.bcaC.abcD.bac

3.设x,y,zR，ax111,by,cz，则a,b,c三数（）yzx

A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于

22224.若下列方程：x4ax4a30,x(a1)xa0，x2ax2a0至少有2

一个方程有实根，试求实数a的取值范围。

A案

1.A、B为△ABC的内角，∠A＞∠B是sinAsinB的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.若向量a(x,3)(xR)，则“x4”是“|a|5”的（）

A.充分不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项的和，若a2a32a1且a4与2a7的等差中项为5，则S5=（）A.35B.33C.31D.29

44.定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)2xy(x,yR)，f(1)2，则f(2)等于（）A.2B.3C.6D.9

5.分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的（）

A.充分条件B.必要条件C.重要条件D.既非充分条件又非必要条件

6.下面四个不等式：①abc≥abbcca；②a(1a)≤2221ba；③≥2； 4ab

④(a2b2)(c2d2)≥(acbd)2，其中恒成立有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

7.若x,y0且xy2，则1y1x1y1x和的值满足（）A.和的中至少xxyy

有一个小于2B.1y1x1y1x和都小于2C.和都大于2D.不确定 xxyy

8.已知、为实数，给出下列三个论断：

①0；②||

5；③|||个论断为结论，写出你认为正确的命题是______________。

9.设a0,b0,c0，若abc1，则

111≥______________。abc