第一篇：2013中考备考数学证明专题-圆相关的证明(试题与标准答案)
2013中考备考 数学证明专题《圆相关的证明》
与圆有关的证明问题
（时间：100分钟总分：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（）A．等腰梯形B．正方形C．菱形D．矩形
2．如图1，DE是⊙O的直径，弦AB⊥ED于C，连结AE、BE、AO、BO，则图中全等三角形有（）
A．3对B．2对C．1对D．0对
3．垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，假命题是（）A．①②③④B．①③②④C．①④②③D．②③①④
4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心，•2.3cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2.4cm长为半径的圆与AB相切；•③以点C为圆心，2.5cm长为半径的圆与AB相交，则上述结论正确的有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
AC上的任意一点（与A、C不重合），则5．在⊙O中，C是AB的中点，D是
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图3，在△ABC中，AD是高，AE是直径，AE交BC于G，有下列四个结论：•①AD2=BD·CD；②BE2=EG·AE；③AE·AD=AB·AC；④AG·EG=BG·CG．其中正确结论的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个 8．如图4，AB是⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，交⊙O于G．下面的结论：①EC=DF；②AE+BF=AB；③AE=GF；④FG·FB=EC·ED．其中正确的有（）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
9．如图5，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，•垂；③AP=BH；足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH=CP；②ADBD
④DH为圆的切线，其中一定成立的是（）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③
（1）
(2)(3)(4)
（）
A．AC+CB=AD+DBB．AC+CB C．AC+CB>AD+DBD．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定 6．如图2，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，EF切⊙O于点C，则图中与∠ACB相等的角（不包括∠ACB）共有（）． (5)(6)(7)(8) 《圆相关的证明》 10．如图6，在⊙O中，AB=2CD，那么（） 三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD． 20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形． 21．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD． D;B．DAB2CAB 2CA． D;D．AD与2CD的大小关系可能不确定 AB2CC． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．在⊙O中，若AB⊥MN于C，AB为直径，MN•为弦，•试写出一个你认为正确的结论：_________． 12．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为10cm，6cm，OO的长为3cm，则⊙O1与⊙O 2的位置关系是_________． 13．如图7，C是⊙O的直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，连结AD、OD、BD，请你根据图中所给的条件（不再标字母或添辅助线），写出一个你认为正确的结论____________． 14．已知⊙O的直径为10，P为直线L上一点，OP=5，那么直线L与⊙O•的位置关系是_______． 15．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点O是△ABC的外心，现以O为圆心，•分别以2，2．5，3为半径作⊙O，则点C与⊙O的位置关系分别是________． 16．以等腰△ABC的一腰AB为直径作圆，交底边BC于D，则∠BAD与∠CAD•的大小关系是∠BAD________∠CAD． 17．在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以C为圆心，以 2线AB•的位置关系是____________． 18．如图8所示，A、B、C是⊙O上的三点，当BC平分∠ABO时得结论_________． 《圆相关的证明》 22．如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，ABAF，BF和AD交于E，求证：AE=BE． 24．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°． （1）求∠ACM的度数．（2）在MN上是否存在一点D，使AB·CD=AC·BC，说明理由． 23．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E． （1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线． 25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．（1）若圆心O与C重合时，⊙O与AB有怎样的位置关系？（2）若点O沿CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切？ 《圆相关的证明》 答案： 一、选择题 1．D2．A3．B4．D5．C6．D7．B8．B9．D10．A 二、填空题 11．BM=BN等12．内含13．∠ADO=∠BDC等14．相交或相切15．在圆外、•在圆上、在圆内16．=17．相交18．OC∥AB等 三、解答题 19．证明：过点O作OE∥AB于E，则AE=BE．在△OCD中，OE⊥CD，OC=OD，∴CE=•DE．•∴AC=BD． 20．证明：∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠DEC=∠B．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=CD．∴△DEC为等腰三角形． 21．证明：连结BC，由AB是直径可知，ACB90A30∠ABC=60°． CD是切线∠BCD=∠A=30°∠D=30°=∠AAC=CD． 22．证明：连结AB，AC，BC是直径BAC90ABCACB90 ADBCADB90ABCBAD90 ACBBAD ∠BAD=∠ABFAE=BE． ABAFACBABF 23．证明：（1）连结OD，AO是直径ADO90 AOCOAD=DC． （2）连结O1D，O1DO1AAADO1 OAOCAC CADO1 DECECCDE90 ADO1CDE90O1DE90 D在ODE是切线． 1上 24．解：（1）连结BC，AB是直径ACB90 A28∠B=62°． MN是切线∠ACM=∠B=62°． （2）过点B作BD⊥MN，则 BDC190ACB MN是切线BCNA△ACB∽△CNB ACABCD·CD1=AC·BC． BC AB过点A作AD2⊥MN，则 AD1C90ACB MN是切线MCACBA△ABC∽△ACD2 ACD2AB CCB CD2·AB=AC·CB 25．解：（1）过点C作CH⊥AB于H，由三角形的面积公式得AB·CH=AC·BC，-4- 《圆相关的证明》 ∴CH=ACBCAB = 606013，即圆心到直线的距离d= ． ∵d= 6013 >3，∴⊙O与AB相离． （2）过点O作OE⊥AB于E，则OE=3． ∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，∴△AOE∽△ABC，∵OA= OEABBC = 31312 134 ∴OC=AC-OA=5-1374 =4 ． ∴当OC= 时，⊙O与AB相切． 与圆有关的证明问题 一、选择题 1．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（） A．等腰梯形B．正方形C．菱形D．矩形 2．如图1，DE是⊙O的直径，弦AB⊥ED于C，连结AE、BE、AO、BO，则图中全等三角形有（） A．3对B．2对C．1对D．0对 （1）(2)(3)(4) 3．垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，假命题是（） A．①②③④B．①③②④ C．①④②③D．②③①④ 4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心，•2.3cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2.4cm长为半径的圆与AB相切；•③以点C为圆心，2.5cm长为半径的圆与AB相交，则上述结论正确的有（） A．0个B．1个C．2个D．3个 5．在⊙O中，C是AB的中点，D是AC上的任意一点（与A、C不重合），则（） A．AC+CB=AD+DBB．AC+CB C．AC+CB>AD+DBD．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定 6．如图2，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，EF切⊙O于点C，则图中与∠ACB相等的角（不包括∠ACB）共有（）． A．1个B．2个C．3个D．4个 7．如图3，在△ABC中，AD是高，AE是直径，AE交BC于G，有下列四个结论：•①AD2=BD·CD；②BE2=EG·AE；③AE·AD=AB·AC；④AG·EG=BG·CG．其中正确结论的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 8．如图4，AB是⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，交⊙O于G．•下面的结论：①EC=DF；②AE+BF=AB；③AE=GF；④FG·FB=EC·ED．其中正确的有（） A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④ 9．如图5，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，•垂足是P，DH⊥ ；③AP=BH；④DH为圆的切线，其中ADBDBH，垂足是H，下列结论：①CH=CP；② 一定成立的是（） A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③ (5)(6)(7)(8)10．如图6，在⊙O中，AB=2CD，那么（） ;B．;A．AB2CDAB2CD ;D．AD与2CD的大小关系可能不确定C．AB2CD 二、填空题 11．在⊙O中，若AB⊥MN于C，AB为直径，MN•为弦，•试写出一个你认为正确的结论：_________． 12．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为10cm，6cm，OO的长为3cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________． 13．如图7，C是⊙O的直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，连结AD、OD、BD，请你根据图中所给的条件（不再标字母或添辅助线），写出一个你认为正确的结论____________． 14．已知⊙O的直径为10，P为直线L上一点，OP=5，那么直线L与⊙O•的位置关系是_______． 15．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点O是△ABC的外心，现以O为圆心，•分别以2，2．5，3为半径作⊙O，则点C与⊙O的位置关系分别是________． 16．以等腰△ABC的一腰AB为直径作圆，交底边BC于D，则∠BAD与∠CAD•的大小关系是∠BAD________∠CAD． 17．在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以C为圆心，以 AB•的位置关系是____________． 18．如图8所示，A、B、C是⊙O上的三点，当BC平分∠ABO时得结论_________． 三、解答题19．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD． 20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形． 21．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD． 22．如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，ABAF，BF和AD交于E，求证：AE=BE． 23．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E． （1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线． 24．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°． （1）求∠ACM的度数．（2）在MN上是否存在一点D，使AB·CD=AC·BC，说明理由． 25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．（1）若圆心O与C重合时，⊙O与AB有怎样的位置关系？（2）若点O沿CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切？ 答案： 一、选择题 1．D2．A3．B4．D5．C6．D7．B8．B9．D10．A 二、填空题 11．BM=BN等12．内含13．∠ADO=∠BDC等14．相交或相切15．在圆外、•在圆上、在圆内16．=17．相交18．OC∥AB等 三、解答题 19．证明：过点O作OE∥AB于E，则AE=BE．在△OCD中，OE⊥CD，OC=OD，∴CE=•DE．•∴AC=BD． 20．证明：∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠DEC=∠B．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=CD．∴△DEC为等腰三角形． 21．证明：连结BC，由AB是直径可知，ACB90∠ABC=60°． A30 CD是切线∠BCD=∠A=30°∠D=30°=∠AAC=CD． 22．证明：连结AB，AC，BC是直径BAC90ABCACB90 ADBCADB90ABCBAD90 ACBBAD ∠BAD=∠ABFAE=BE． ABAFACBABF 23．证明：（1）连结OD，AO是直径（2）连结O1D，ADO90 AD=DC． AOCO O1DO1AAADO1 OAOCACCADO1 DECECCDE90 ADO1CDE90O1DE90 DE是切线． D在O1上 24．解：（1）连结BC，AB是直径ACB90 ∠B=62°． A28 MN是切线∠ACM=∠B=62°． （2）过点B作BD⊥MN，则 BDC190ACB △ACB∽△CNB MN是切线BCNA ACAB AB·CD1=AC·BC． CD1BC 过点A作AD2⊥MN，则 AD1C90ACB △ABC∽△ACD2 MN是切线MCACBA ACCD2 CD2·AB=AC·CB ABCB 25．解：（1）过点C作CH⊥AB于H，由三角形的面积公式得AB·CH=AC·BC，ACBC6060 =，即圆心到直线的距离d=． AB131360 ∵d=>3，∴⊙O与AB相离． ∴CH= （2）过点O作OE⊥AB于E，则OE=3． ∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，∴△AOE∽△ABC，OEAB31313 = BC124 137 ∴OC=AC-OA=5-=． 447 ∴当OC=时，⊙O与AB相切． ∵OA= 中考数学专题1 线段角的计算证明问题 第一部分 真题精讲，AD3，BC8．求1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BDCD，BDC90° AB的长． 2.已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DCB90，ACBD于点O，DC2,BC4，求AD的长.A D BC AD∥BC，B90，AD=2，BC5，3.如图，在梯形ABCD中，tanCE为DC中点，4．求 3AE的长度 AD E BC ． 【总结】 以上三道真题,都是在梯形中求线段长度的问题.这些问题一般都是要靠做出精妙的辅助线来解决.辅助线的总体思路就是将梯形拆分或者填充成矩形+三角形的组合,从而达到利用已知求未知的目的.一般来说,梯形的辅助线主要有以下5类 : 1、过一底的两端做另一底的垂线，拆梯形为两直角三角形+ 一矩形 2、平移一腰，分梯形为平行四边形+ 三角形 3、延长梯形两腰交于一点构造三角形 4、平移对角线，转化为平行四边形+三角形 5、连接顶点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全等三角形或者过中点做底边垂线 构筑两个全等的直角三角形 以上五种方法就是梯形内线段问题的一般辅助线做法。对于角度问题，其实思路也是一样的。通过做辅助线使得已知角度通过平行，全等方式转移到未知量附近。之前三道例题主要是和线段有关的计算。我们接下来看看和角度有关的计算与证明问题。 3.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且C2E，BDC30，AD3，求CD的长． AB ED 5.已知：PAPB4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长； 第二部分 发散思考 通过以上的一模真题，我们对线段角的相关问题解题思路有了一些认识。接下来我们自己动手做一些题目。希望考生先做题，没有思路了看分析，再没思路了再看答案。 【思考1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABCD．若AC⊥BD，AD+BC=10，且ABC60，求CD的长． 【思考2】如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠B=30°，∠C=60°，E，M，F，N分别是AB，BC，CD，DA的中点，已知BC=7，MN=3，求EF 【思考3】已知ABC，延长BC到D，使CDBC．取AB的中点F，连结FD交AC于点E． AE⑴ 求的值； AC ⑵ 若ABa，FBEC，求AC的长． B 【思考4】如图3，△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，若BE=3，CF=4，试求EF的长． D 【思考5】 如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，ADE和BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论． 圆 票 证 明 地税局： 兹有 公司在我单位承接消防安装工程，需圆票金额，现由该公司 前来办理圆票手续，请贵局给予办理为谢! 业主单位名称 年 月 日 中考数学23题圆的切线证明及不规则阴影面积问题的解法探究 有关切线证明问题，通常给出直线与圆的交点时，要连半径通过证明半径与直线垂直，解决问题，证垂直的方法：（1）证明三角形全等，得出对应角相等，进而证得垂直；（2）通过证平行得出角相等，推出90度角得垂直；（3）通过角之间的关系，推出两角互余，证垂直。若直线与圆没有交点，可过圆心作直线的垂线，证明垂线段长等于半径即可，这个类型的证明多用全等三角形来解决。 不规则图形面积的求法，通常是转化为三角形的面积与扇形面积和差来解决。在具体证明解题时，要根据题中的条件确定解题思路。在解题时注意三角形中位线定理，等腰三角形的性质的运用；圆与平行四边形、菱形、正方形的综合题要学会从整体上着眼，从局部入手，充分运用特殊四边形的性质解题。 在解决这类问题时，经常要运用解直角三角形的知识来建立方程，求相关的量，总而言之，这类题综合性较强，解题时要认真分析，书写要严谨。 典型题解析 1.(2019葫芦岛)如图，点M是矩形ABCD的边AD延长线上一点，以AM为直径的⊙O交矩形对角线AC于点F，在线段CD上取一点E，连接EF，使EC=EF.(1) 求证：EF是⊙O的切线； (2) 若cos∠CAD=，AF=6，MD=2，求FC的长.解析 ：（1）连接OF，∵四边形ABCD是矩形可得∠CDA=900，∴∠DCA+∠DAC=900 ∵EC=EF,OF=OA ∴∠EFC=∠DCA,∠OFA=∠DAC ∴∠EFC+∠OFA=900 ∴∠EFO=1800-(∠EFC+∠OFA)=900 ∴OF⊥EF ∴EF是⊙O的切线 (3) 过点O作OH⊥AF，垂足为H。 ∵AF=6 ∴AH=3 ∵cos∠CAD=，cos∠CAD= ∴AO=5 ∵AM=2AO=10,MD=2 ∴AD=8 ∵cos∠CAD=,cos∠CAD= ∴AC= ∴CF=AC-AF=-6= 2.（2019.铁岭）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，以点A为圆心、AB长为半径的⊙A恰好经过BC的中点E，连接DE,AE,BD,AE与BD交于点F.（1） 求证：DE与⊙A相切 （2） 若AB=6，求BF的长。 解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴BC=AD=2AB.∵点E是BC的中点 ∴BE=AD ∵AE=AB ∴AE=AB=BE ∴∠CBA=∠AEB=600 ∵DC∥AB ∴∠C+∠CBE=1800 ∴∠C=1200 ∵CD=AB,AB=BE=CE ∴CD=CE ∴∠CDE=∠CED=300 ∴∠DEA=1800-(∠CED+∠AEB)=900 ∴AE⊥DE ∴DE与⊙A相切 （3） 过点B作BH⊥AE，垂足为H.则AH=HE,∵AB=6，∴AD=2AB=12,BE=6,AH=EH=3 ∴BH= ∵BE∥AD ∴△FBE∽△FDA ∴ ∴EF=AE=2 ∴FH=EH-EF=1 ∴BF= 3.(2018.抚顺)如图，AB为⊙O直径，AC为⊙O的弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于点H.（1） 判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2） 若HB=2，cos∠D=，请求出AC的长.解析：连接OC.∵OC=OA ∴∠OAC=∠OCA ∴∠COP=∠OAC+∠OCA=2∠OAC ∵∠D=2∠A，∴∠D=∠COP ∵DE⊥OA ∴∠DEP=900 ∴∠D+∠P=900 ∴∠COP+∠P=900 ∴OC⊥DC ∴DC与⊙O相切 （3） ∵cos∠D=，cos∠D= 又OB=OC,BH=2 ∴ 解得：OC=5 ∴OH=3,OC=0A=5 ∴CH=,AH=8 ∴AC= 4.（2020.丹东）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，∠CBD的平分线交⊙O于点E，交AC于点F，且AF=AB.（1） 判断BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由； （2） 若tan∠FBC=，DF=2，求⊙O的半径.解析：（1）∵AB为直径 ∴∠ADB=900 ∴∠DFB+∠DBF=∠ADB=900 ∵BF是∠CBD的平分线,AF=AB.∴∠DBF=∠CBF,∠ABF=∠AFB ∴∠CBF+∠ABF=900 ∴BC⊥AB ∴BC所在直线与⊙O相切 (2) ∵tan∠FBC=，∠DBF=∠CBF,DF=2 ∴tan∠DBF=,∴BD=5 ∵AF=AB ∴AD=AF-BD=AB-2 ∵BD2+AD2=AB2 ∴25+(AB-2)2=AB2 解得 ：AB= 5.（2017.铁岭）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，连接OC，BC，以点C为顶点，CB为边作∠BCF=∠BOC,延长AB交CF于点D.(1) 求证：直线CF是半圆O的切线； (2) 若BD=5，CD=,求弧BC的长.解析 ：（1）∵OC=OB ∴∠OCB=∠OBC ∴∠OBC+∠OCB+∠BOC=1800 ∴∠OCB+∠BOC=900 ∵∠BCF=∠BOC ∴∠OCB+∠BCF =900 ∴OC⊥CF ∴直线CF是半圆O的切线； (2)设半径为r 则有：r2+CD2=(r+BD)2 即 r2+75=(r+5)2 解得，r=5 ∵OB=BD,∠OCD=900 ∴BC=OB=OC=5 ∴∠BOC=600 ∴弧BC= 6.（2020.锦州）平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，以AB为直径的⊙O经过点E，与AD交于点F，G是AD延长线上一点，连接BG，交AC于点H，且∠DBG=∠BAD.（1） 求证：BG是⊙O的切线； （2） 若CH=3,tan∠DBG=，求⊙O的直径.解析:(1)∵AB是直径 ∴∠BEA=900 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴平行四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD ∴∠BAE=∠BAD.∵∠DBG=∠BAD.∴∠DBG=∠BAE ∵∠BAE+∠ABE=900,∴∠DBG +∠ABE=900,∴BG⊥AB (2)设HE=x ∵tan∠DBG= tan∠BAE=，∴BE=2HE=2x,AE=4x ∵CE=AE,CH=3 ∴3+x=4x,解得：x=1，即 AE=4,BE=2 ∴AB= 7.（2019.本溪）如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP.（1） 求证：DP是⊙O的切线； （2） 若tan∠PDC=，正方形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的长.7.解析：（1）连接OD.∵四边形ABCD是正方形 ∴CD=CB,∠DCP=∠BCP=450 ∵CP=CP ∴△DCP≌△BCP ∴∠CDP=∠CBP ∵∠DCB=900 ∴∠CEB+∠CBE=900 ∵OD=OE,∠OED=∠CEB ∴∠ODE=∠OED=CEB ∴∠ODE+∠CDP=900 ∴OD⊥DP ∴DP是⊙O的切线 (2)∵tan∠PDC=tan∠CBE=,BC=4 ∴DE=CE=2 ∵BC∥AF ∴∠EFA=∠CBE ∴tan∠DFE= ∴DF=4 ∴FE= ∴OD= 过点P作PH⊥DC垂足为H.∵tan∠PDC== ∴DH=2PH ∵∠PCH=∠CPH=4500 ∴PH=CH ∵DH+CH=4 ∴DH=,PH=CH= ∴DP= ∴OP= 8.（2018.抚顺）如图，Rt△ABC中，∠ABC=900，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E.（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由： （2）若BE=4,DE=8,求AC的长.解析：理由如下： 连接OC.∵CB=CD,OB=OD,OC=OC ∴△OBC≌△ODC ∴∠ODB=∠OBC=900 ∴OD⊥DC ∴直线CD与⊙O相切 （2）设半径 为r，则OE=DE-OD=8-r,OB=r ∵OB2+BE2=OE2 ∴r2+16=(8-r)2 解得：r=3 即OB=3,AB=6,OE=5 ∵∠OEB=∠CED,∠EBO=∠EDC=900 ∴△OEB∽△CED ∴ ∴EC= ∴BC=CE-BE=10-4=6 ∴AC= 9.(2020。辽阳)如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB=900,以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE.（1）求证：DE与⊙A相切； （2）若∠ABC=600，AB=4，求阴影部分的面积.解析 ：连接AE.∵四边形ABCD是平行四边形 ∴BA=DC,∠B=∠ADC ∵AE=AB,∴∠ABE=∠AEB,DC=AE ∵BC∥AD ∴∠EAD=∠AEB=∠CDA ∵DA=AD ∴△DAC≌△ADE ∴∠DEA=∠ACD ∵CD∥AB ∴∠DCA=∠BAC=900 ∴∠DEA=∠ACD=900 ∴AE⊥DE ∴DE与⊙A相切 (2)过点E作EH⊥AC垂足为H.∵∠ABC=600，AE=AB=4 ∴∠EAB=600,AC= ∴∠CAE=300 ∴FE=1 ∴阴影部分的面积=S△AEC-S扇形FAE= 10.（2018.葫芦岛）如图AB是⊙O的直径弧AC=弧BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE,连接AF交⊙O于点D，连接BD，BE.(1)求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若OB=2，求BD的长。 解析：（1）连接OC.∵B是⊙O的直径弧AC=弧BC ∴∠COA=∠COB=900 ∵E是OB的中点 ∴CE=FE ∵EF=CE,∠CEO=∠FEB ∴△CEO≌△FEB ∴∠FBA=∠COB=900 ∴AB⊥BF ∴直线BF是⊙O的切线 (2)∵△CEO≌△FEB ∴BF=OC=OB=2 又∵AB=2OB=4 ∴AF= 由AB∙BF=AF∙DB得 DB= 11.（2020.葫芦岛）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G.（1） 求证：DF是⊙O的切线； （2） 若CF=1,DF=,求图中阴影部分的面积。 解析：（1）证明 ：连接OD，AD.∵AB是⊙O直径 ∴∠ADB=900 ∵AB=AC，OD=OA ∴∠BAD=∠CAD，∠OAD=∠ODA ∴∠CAD=∠ODA ∴OD∥AC ∴∠AFG=∠ODG ∵DF⊥AC ∴∠ODG=∠AFG=900 ∴OD⊥FD ∴DF是⊙O的切线 （2）∵CF=1,DF=，∠DFC=900 ∴∠C=600，CD=2 ∵AB=AC，∠ADB=900 ∴∠OBD=∠C=600,DB=DC=2 ∵OD=OB ∴△ODB是等边三角形 ∴∠BOD=600,OD=2 ∴∠OCG=300 ∴DG= ∴图中阴影部分的面积=S△ODC-S扇形DOB= 12.（2017.本溪）如图，△PAB内接于⊙O，平行四边形ABCD的边AD是⊙O的直径，且∠C=∠APB，连接BD.(1) 求证：BC是⊙O的切线。 (2) 若BC=2，∠PBD=600，求AP与弦AP围成的阴影部分的面积。 解析 ：（1）连接OB.∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠C=∠DAB ∵∠C=∠APB ∴∠DAB=∠APB ∴弧BD=弧AB ∵AB是直径 ∴∠AOB=∠BOD=900 ∵AD∥BC ∴∠OBC=∠AOB==900 ∴OB⊥BC ∴BC是⊙O的切线。 （2）连接OP.∵∠PBD=600 ∴∠PAD=∠PBD=600 ∵OP=OA ∴△OAP是等边三角形 ∴∠AOP=600,OH= ∵AD=BC=2 ∴OA=1 ∴AP与弦AP围成的阴影部分的面积=S扇形OAP-S△OAP= 13.（2017.铁岭）如图，四边形ABCD中，连接AC，AC=AD，以AC为直径的⊙O过点B，交CD于点E，过点E作EF⊥AD于点F.（1） 求证：EF是⊙O的切线； （2） 若∠BAC=∠DAC=300,BC=2,求弧BCE的长。（结果保留） 解析：（1）证明：连接OE,AE.∵AC为直径 ∴∠AEC=∠AED=900 ∵AC=AD ∴CE=DE ∵OA=OC ∴OE∥AD ∴∠OEF=∠EFD ∵EF⊥AD ∴∠OEF=∠EFD=900 ∴OE⊥EF ∴EF是⊙O的切线； （2）连接OB.∵∠BAC=∠DAC=300,∠CAE=∠CAD ∴∠BAE=∠CAE+∠BAC=450 ∴∠BOE=2∠BAE=900 ∵AC是直径 ∴∠ABC=900 ∴AC=2BC=4 ∴弧BCE的长= 14.（2017.抚顺）如图，在△ABC中，∠ACB=900，AC=CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作GDEC.（1） 判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由。 （2） 若点B是弧DBC的中点，⊙O的半径为2，求弧BC的长。 解析：（1）DE与⊙O的位置相切，理由如下： 连接OD.∵∠ACB=900，AC=CB ∴∠B=∠A=450 ∴∠DOC=2∠B=900 ∵四边形DECB是平行四边形 ∴ED∥CG ∴∠EDO+∠DOC=1800 ∴∠EDO=900 ∴OD⊥DE ∴DE与⊙O的位置相切 （2）∵点B是弧DBC的中点 ∴弧CB=弧DB ∴∠DOB=∠COB ∵∠DOB+∠COB+∠DOC=3600，∠DOC=900 ∴∠COB=1350 ∵⊙O的半径为2 ∴弧CB= 15.（2017.营口）如图，△ABC中，∠ACB=900,BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D.（1） 求证：AB为⊙O的切线； （2） 若tan∠A=，AD=2,求BO的长.解析：（1）证明：过点O作OH⊥AB，垂足为H.则∠OHB=900 ∵BO为△ABC的角平分线，∴∠HBO=∠CBO ∵∠ACB=900,∴∠OHB=∠ACB，又BO=BO ∴△BOH≌△BOC ∴OH=OC=R ∴AB为⊙O的切线 （2）设OH=3k，由tan∠A=得，AH=4K,根据勾股定理 得，AO=5k。 ∵AD=2，AO=AD+OD,OD=OH=3k.∴5k=2+3k，解得：k=1 ∴OC=3，AC=8 在Rt△ACB中 tan∠A= ∴BC=6 ∴OB= 16.（2018.本溪）如图，在Rt△ABC中，∠C=900，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF=DO，连接DF.（1） 判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2） 当∠A=300，CF=时，求⊙O的半径。 解析：（1）直线DF与⊙O的位置相切，理由如下： 连接OE,过点O作OH⊥DF，垂足为H.∵⊙O与AC相切于点E,∴OE⊥AB ∵点O，D分别为AB，BC的中点 ∴OD∥AC ∴∠ODC+∠C=1800,又∠C=900，∴∠ODC=∠OEC=∠C=900 ∴四边形DCEO是矩形 ∴DC=OE=R ∵∠ODH=∠CFD,DF=DO,∠OHD=∠DCF=900 ∴△OHD≌△DCF ∴OH=DC=OE=R ∴直线DF与⊙O的位置相切 （2）∵OD是△ABC的中位线 ∴OD=AC,∵四边形DCEO是矩形 ∴OD=CE ∴OD=AE 在Rt△OEA中，∠A=300，∠OEA=900 ∴OD=AE=OE=R ∵△OHD≌△DCF ∴DH=CF= 在Rt△OHD中，OH2+DH2=OD2 ∴R2+2=3R2,解得：R=1第二篇：中考数学与圆有关的证明问题
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第四篇：圆票证明
第五篇：2021年中考数学复习练习圆切线证明方法
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