2012中考数学专题：几何图形证明与计算题分析（推荐阅读）

第一篇：2012中考数学专题：几何图形证明与计算题分析

2012中考数学专题复习：几何图形证明与计算题分析

人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

几何图形线段长度计算三大方法： “勾股定理” “相似比例计算” “直角三角形中的三角函数计算”（2011深圳20题）如图9，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE。

（1）求证：AE是⊙O的直径；（2）如图10，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和。（结果保留π与根号）=-

D

D

A

图10

A

C

（2011深圳中考21题）如图11，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G。（1）求证：AG＝C′G；（2）如图12，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长。【典型例题分析】

1.（2011四川凉山）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则

B

A

图1

1图1

2图9

MC的值是.AM

D

A

B

E

D

C

图1

B

E

图2C

图

4B

2.（2011重庆江津区）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B（8，0），D（0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是 错误！未找到引用源。．

3.如图，在边长为8的正方形ABCD中，P为AD上一点，且AP5,BP的垂直平分线分别交正方形的边于点E，F，Q为垂足，则EQ：EF的值是（）A、5:8 B、5:13C、5:16D、3:84.（2011•泰安）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点

O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A、B、C、D、6

5.（2011•潍坊）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为．

6.如图，在RtABC中，ACB90，ACBC1。将ABC绕点C逆时针旋转30°得到A1B1C1，CB1与AB相交于点D。求BD的长。

7.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结CE，若AFCE于点F，且AF平分DAE,CD

2,求sinCAF的值。

AE

5B

E

8.如图，把一副三角板如图（1）放置，其中ACBDEC90，A45,D30，斜边

AB6cm,DC7cm,把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到D'CE'如图（2），这时AB与CD'相交于点O，D'E'与AB相交于点F。（1）求OFE'的度数；（2）求线段AD'的长；

（3）若把三角形D'CE'绕着点C顺时针再旋转30°得到D''CE''，这时点B在D''CE''的内部，外部，还是边上？证明你的判断。

F

B

C

9.（2009年清远）如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC．

（1）求证：△ABC∽△POA；（2）若OB2，OP

7，求BC的长． 2

10．（2010河南）（1）操作发现 ：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求

AD的值； AB

AD的值． AB

11.如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．..如图，已知△ABC，以BC为

A

OA 直径，A 为圆心的半圆交AC于点F，点E为弧CF的中点，连接BE交AC于点M，AD为△

ABC的角平分线，且ADBE，垂足为点H.（1）求证：AB是半圆O的切线；（2）若AB3，BC4，求BE的长.13．（2011成都）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB．⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．（1）求证：AE＝CK；

（2）如果AB＝a，AD＝错误！未找到引用源。（a为大于零的常数），求BK的长：

（3）若F是EG的中点，且DE＝6，求⊙O的半径和GH的长． 14.（2011•綦江县）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）

延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．

15.(2010湖北省荆门)如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点(1)求证：AC·CD＝PC·BC；(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．

⌒上一点，过点M作⊙O的切16．（2010 安徽芜湖）如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB,M是劣弧AB线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于点N。（1）求证：PM=PN；

（2）若BD=4,PA=2AO,过B点作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．

AD

第15题图

BC

17．（2010福建宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴ 求证：△AMB≌△ENB；

⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为31时，求正方形的边长.24．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2。

(1）若CE=1，求BC的长；(2）求证AM=DF+ME。

C

M

E

D

第二篇：中考数学几何证明、计算题及解析

1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1)求证：DC=BC;

(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；

(3)在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值.AB[解析]（1）过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以DM

(2)等腰三角形.21.即DC=BC.2F

D

C证明：因为DEDF,EDCFBC,DCBC.所以，△DEC≌△BFC

所以，CECF,ECDBCF.所以，ECFBCFBCEECDBCEBCD90

即△ECF是等腰直角三角形.（3）设BEk,则CECF

2k，所以EF.因为BEC135，又CEF45，所以BEF90.所以BF3k 所以sinBFEk1.3k32、已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

[解析]（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．

∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝11AB，CF＝CD ． 2

2∴AE＝CF

∴△ADE≌△CBF ．

（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形 AGBD是矩形．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC ．

∵AG∥BD，∴四边形 AGBD 是平行四边形．

∵四边形 BEDF 是菱形，∴DE＝BE ． ∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE ．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB＝90°．∴四边形AGBD是矩形

3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段

BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

A(B(E)

图13－1 图13－

2图13－

3[解析]（1）BM=FN．

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF． 又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．

（2）BM=FN仍然成立．

（3）证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF． ∴∠MBO=∠NFO=135°．

又∵∠MOB=∠NOF，∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．

4、如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。

（1）若sin∠BAD，求CD的长；

5（2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）。

[解析]（1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5

所以∠ADB＝90°，AB＝10

BD

AB

3BD

3，所以BD6 又sin∠BAD，所以

5105

在Rt△ABD中，sin∠BAD

AD

AB2BD22628

因为∠ADB＝90°，AB⊥CD

所以DE·ABAD·BD，CEDE 所以DE1086 所以DE5

485

所以CD2DE

（2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD

所以CBBD，ACAD

所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD 因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO 所以∠CDB＝∠ADO

设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x

由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝x 因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90° 所以4x4xx90 所以x＝10°

所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100° 所以∠AOC＝∠AOD＝100°

⌒⌒⌒⌒

S扇形OAC

100125

52360185、如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.

（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

[解析](1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF

∴

EHAECE，∵HE＝EC，∴BF＝FD



BFAFFD

(2)方法一：连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵F是BD中点，∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线---------6′

方法二：可证明△OCF≌△OBF(参照方法一标准得分)(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC可证得：FA＝FG，且AB＝BG由切割线定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2○2 在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2 ○

1、○2得：FG2-4FG-12=0 由○

解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去）

∴AB＝BG＝42 ∴⊙O半径为226、如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3），⊙A的半径为2．过A作直线l平行于x轴，点P在直线l上运动．（１）当点P在⊙O上时，请你直接写出它的坐标；

（２）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由.[解析]

解: ⑴点P的坐标是（2,3）或（6,3）

⑵作AC⊥OP,C为垂足.∵∠ACP=∠OBP=90,∠1=∠

1∴△ACP∽△OBP



ACAP

OBOP

AC 在RtOBP中,OP又AP=12-4=8,∴ 3∴

∴

AC=241.9

4∵1.94<

2∴OP与⊙A相交.7、如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C.求证：∠ACB=

∠OAC.3O

A

B

[解析]

证明：连结OE、AE，并过点A作AF⊥DE于点F，（3分）

∵DE是圆的一条切线，E是切点，∴OE⊥DC，又∵BC⊥DE,∴OE∥AF∥BC.∴∠1=∠ACB，∠2=∠

3.∵OA=OE，∴∠4=∠3.∴∠4=∠2.又∵点A是OB的中点，∴点F是EC的中点.∴AE=AC.∴∠1=∠2.∴∠4=∠2=∠1.即∠ACB=

∠OAC.3



8、如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为60． ⑴求AO与BO的长；

⑵若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；

②如图３，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点．若∠POP’＝ 15，试求AA’的长．



[解析]

⑴RtAOB中,∠O=90,∠α=60 ∴,∠OAB=30，又ＡＢ＝4米，





AB2米

.2

OAABsin604.--------------(3分)

∴OB

⑵设AC2x,BD3x,在RtCOD中,OC2x,OD23x,CD4

根据勾股定理:OC2OD2CD2

∴2x



23x2

42-------------(5分)

∴13x2

12x0 ∵x0∴13x12830

∴x-------------(7分)

即梯子顶端A沿NO

.----(8分)

⑶∵点P和点P分别是RtAOB的斜边AB与RtA'OB'的斜边A'B'的中点∴PAPO，P'

A'P'O-------------(9分)∴PAOAOP,PAOAOP-------(10分)∴PAOPAOAOPAOP

∴PAOPAOPOP15

∵PAO30

∴PAO45

-----------------------(11分)

∴AOABcos45

4

分)

∴AAOAAO米.--------(13分)

第三篇：中考数学专题复习几何证明与计算分析

中考数学专题复习：几何图形证明与计算题分析

【2011中考真题回顾与思考】

如图9，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE。

（1）求证：AE是⊙O的直径；

（2）如图10，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和。（结果保留π与根号）

A A

图图9

（2011深圳中考21题）如图11，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G。

（1）求证：AG＝C′G；

（2）如图12，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长。

D [来源学科网]D

B C 图1

1图1

2【典型例题分析】

1.已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则

.2.（2011重庆江津区）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B（8，0），D（0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是错误！未找到引用源。．

MC的值是AM1

3.如图，在边长为8的正方形ABCD中，P为AD上一点，且AP5,BP的垂直平分线分别交正方形的边于点E，F，Q为垂足，则EQ：EF的值是（）A、5:8B、5:13 C、5:16D、3:8

C

E

B

4.（2011•泰安）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）

A、B、C、D、6

5.（2011•潍坊）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为．

6.如图，在RtABC中，ACB90，ACBC1。将ABC绕点C逆时针旋转30°得到A1B1C1，CB1与AB相交于点D。求BD的长。

7.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结CE，若AFCE于点F，且AF平分

DAE,CD

2,求sinCAF的值。AE

5E

8.如图，把一副三角板如图（1）放置，其中ACBDEC90，A45,D30，斜边AB6cm,DC7cm,把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到D'CE'如图（2），这时AB与CD'相交于点O，D'E'与AB相交于点F。（1）求OFE'的度数；（2）求线段AD'的长；

（3）若把三角形D'CE'绕着点C顺时针再旋转30°得到D''CE''，这时点B在D''CE''的内部，外部，还是边上？证明你的判断。

9.（2009年清远）如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC．（1）求证：△ABC∽△POA；（2）若OB2，OP

10．（2010河南）（1）操作发现 ：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求

7，求BC的长． 2

AD的值； AB

AD的值． AB

F

（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求

11.如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

O为圆心的半圆交AC于点F，12..如图，已知△ABC，以BC为直径，点E为弧CF的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且ADBE，垂足为点H.（1）求证：AB是半圆O的切线；（2）若AB3，BC4，求BE的长.A

B

A A

13．（2011成都）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB．⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．

（1）求证：AE＝CK；

（2）如果AB＝a，AD＝错误！未找到引用源。（a为大于零的常数），求BK的长：

（3）若F

是EG的中点，且DE＝6，求⊙O的半径和GH的长．

第四篇：2012年中考数学二轮复习讲义专题几何图形的归纳,猜想,证明(精)

飘蓝工作室出品 版权所有 @Peuland.com 精英数学(www.xiexiebang.com 2012年中考数学二轮专题几何图形的归纳 , 猜想 , 证明问题 第一部分 真题精讲 【例 1】 2011,海淀,一模

如图, n +1个边长为 2的等边三角形有一条边在同一直线上,设 211B D C ∆的面积为 1S , 322B D C ∆的面 积为 2S , … , 1n n n B D C +∆的面积为 n S ,则 2S n S n 的式子表示.C 5C 4 C 3 C 2 C 1 B B B 2B A 【思路分析】 拿到这种题型,第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好,将阴影部分标 出,不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是 22B AC ∆, 33B AC ∆这种的 , 第二步就是看这

些图形之间有什么共性和联系.首先 2S 所代表的三角形的底边 2C 2D 是三角形 2AC 2D 的底边 , 而这个三角 形和△ 3AC 3B 是相似的.所以边长的比例就是 2AC 与 3AC 的比值.于是

212223S = 接下来通过

总结 , 我们发现所求的三角形有一个最大的共性就是高相等 ，B 点,将阴影部分放在 反过来的等边三角形中看。那么既然是求面积,高相等,剩下的自然就是底边的问题了。我们发现所有 的 B,C 点连线的边都是平行的, 于是自然可以得出 n D 自然是所在边上的 n+1等分点.例如 2D 就是 2B 2C 的 一个三等分点.于是 1121n n n D C n +-=⋅+(n+1-1是什么意思 ? 为什么要减

1? 11122n n n B D C n n S D C +∆= = 【例 2】 2011,山西,一模

在平面直角坐标系中,我们称边长为 1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形,如 图,菱形 ABCD 的四个顶点坐标分别是(80-, ,(04 , ,(80 , ,(04-, ,则菱形 ABCD 能覆盖的单位 格点正方形的个数是 _______个;若菱形 n n n n A B C D 的四个顶点坐标分别为(20-, n ,(0 , n ,(20 , n ,(0-, n(n 为正整数 ,则菱形 n n n n A B C D 能覆盖的单位格点正方形的个数为 _________(用含有 n 的式子 表示.飘蓝工作室出品 版权所有 @Peuland.com 精英数学(www.xiexiebang.com

【思路分析】 此题方法比较多,例如第一空直接数格子都可以数出是 48(笑。这里笔者提供一种方 法,其他方法大家可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数,所以只需求出被 X,Y 轴所分的 四个三角形包涵的个数, 再乘以 4即可。比如我们来看第二象限那个三角形。第二象限菱形那条边过(-2n,0(0,n,自然可以写出直线解析式为

12y x n = +, 斜率 1 2 意味着什么 ? 看上图 , 注意箭头标注的那些空白三角形 , 这些 RT 三角形一共有 2n/2=n个 , 他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是 12 ? 而且这些直角三角形都是

全等的 , 面积均为两个单位格点正方形的一半.那么整个的△ AOB 的面积自然就是 1 n n ⋅⋅, 所有 n 个空白小 三角形的面积之和为 1212 n ⋅⋅⋅, 相减之后自然就是所有格点正方形的面积 2 n n-, 也就是数量了.所以整个 菱形的正方形格点就是 2 44n n-.【例 3】 2011,平谷,一模

如图, 45AOB ∠=︒,过 OA 上到点 O 的距离分别为 1357911...，，, 的点作 OA 的垂线与 OB 相交,得 到 并 标 出 一 组 黑 色 梯 形 , 它 们 的 面 积 分 别 为 1234S S S S , , , ,.则 第 一 个 黑 色 梯 形 的 面 积

1S =;观察图中的规律,第 n(n 为 正 整 数 个 黑 色 梯 形 的 面 积 n S = 飘蓝工作室出品 版权所有 @Peuland.com 精英数学

(www.xiexiebang.com A...1311975310 【思路分析】 本题方法也比较多样。所有阴影部分都是一个直角梯形,而因为 45AOB ∠=︒,所以梯 形的上下底长度分别都对应了垂足到 0点的距离 , 而高则是固定的 2。第一个梯形上底是 1,下底是 3,所 以(1113242 S =⋅+⋅=.第二个梯形面积(21572122S =⋅+⋅=, 第三个是(319112202S =⋅+⋅=, 至此 , 我们发 现本题中梯形面积数值上其实就是上下底的和.而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上 4。于是第 n 个梯形的上底就是 1+4(n-1=4n-3,(第一个梯形的上底 1加上(n-1个 4.下底自然就是 4n-1, 于是 n S 就是 8n-4.【例 4】 2011,丰台,一模

在平面直角坐标系中, 横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.请你观察图中正方形 A 1B 1C 1D 1, A 2B 2C 2D 2, A 3B 3C 3D 3…… 每个正方形四条边上的整点的个数.按此规律推算出正方形 A 10B 10C 10D 10四条边上的整点共有 个.【思路分析】此题看似麻烦,但是只要把握住“正方形”这个关键就可以了。对于 n n n n A B C D 来说 , 每

条边的长度是 2n, 那么自然整点个数就是 2n+1, 所以四条边上整点一共有(2n+1x4-4=8n(个(要减去四个 被重复算的顶点 , 于是 10101010A B C D 就是 80个.【例 5】 2011,河北,一模 如图, △

ABC 中,∠ ACB=90°, AC=BC=1,取斜边的中点,向斜边做垂线,画 出一个新的等腰直角三角形,如此继续下去,直到所画直角三角形的斜边与 △

ABC 的 BC 边重叠为止,此时

飘蓝工作室出品 版权所有 @Peuland.com 精英数学(www.xiexiebang.com 这个三角形的斜边长为 _____.【思路分析】 本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之间的规律联系。关键词 “中点” “垂线” “等 腰直角”。这就意味着每个三角形的锐角都是 45度,并且直角边都是上一个三角形直角边的一半。绕一圈 是 360度,包涵了 8个 45°。于是绕到第八次就可以和 BC 重叠了,此时边长为△ ABC 的 1 ,故而得解。【例 6】 2010,上海,二模

如图,以等腰三角形 AOB 的斜边为直角边向外作第 2个等腰直角三角形 1 ABA ,再以等腰直角三角形

1ABA 的斜边为直角边向外作第个等腰直角三角形 11A BB ,„„,如此作下去,若 1OA OB ==,则第 n 个等

腰直角三角形的面积 n S = ________(n 为正整数.B 2 B 1 A 1 B O A 【思路分析】和上题很类似的几何图形外延拓展问题。还是一样慢慢找小三角形面积的规律。由题可 得

123124...222S S S ===, , , 分子就是 1,2,4,8,16这样的数列。于是 22 n n S = 【总结】 几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方面的数列问题,只不过需要考生自己找出图形 与图形之间的联系而已。对于这类问题,首先就是要仔细读题,看清楚题目所求的未知量是什么,然后找 出各个未知量之间的联系,这其中就包括了寻找未知量的拓展过程中,哪些变了,哪些没有变。最后根据 这些联系列出通项去求解。在遇到具体关系很难找的问题时,不妨先写出第一项,第二项,第三项然后去 找数式上的规律,如上面例 6就是一例,如果纠结于几何图形当中等腰三角形直角边的平方,反而会使问 题复杂化,直接列出前几项的面积就可以大胆的猜测出来结果了。这类题目计算量往往不大,重在思考和 分析的方法,还请考生细心掌握。

第二部分 发散思考

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(www.xiexiebang.com 【思考 1】 2011,浙江,二模

如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 1B(0,1, 2B(0,3, 3 B(0,6, 4B(0,10,„,以 12B B 为对角线作第一个正方形 1112A B C B ,以 23B B 为对角线作第二个正方形 2223A B C B ,以 34B B 为对角线作第

三个正方形 3334A B C B ,„,如果所作正方形的对角线 1n n B B +都在 y 轴上,且 1n n B B +的长度依次增加 1个单位,顶点 n A 都在第一象 限内(n ≥ 1,且 n 为整数.那么 1

A 的纵坐标为;用 n 的代数式表示 n A 的纵坐标:.【思考 2】 2011,朝阳,一模

如图,在平面直角坐标系中,一颗棋子从点 P 处开始跳动,第一 次跳到点 P 关于 x 轴的对称点 1 P 处,接着跳到点 1 P 关于 y 轴 的对称点 2P 处,第三次再跳到点 2P 关于原点的对称点处, … , 如此循环下去.当跳动第 2009次时,棋子落点处的坐标是.【思考 3】 2011,昌平, 一模

对于大于或等于 2的自然数 n 的平方进行如下“分裂” ,分裂成 n 个连续奇数的和,则自然数 72 的分

裂数中最大的数是 ,自然数 n 的分裂数中最大的数是.【思考 4】 2011,湖北,一模

一个质点在第一象限及 x 轴、y 轴上运动,在第一秒钟,它从原点运动到(01 , ,然后接着按图中箭头 所示方向运动 , 即(00(01(11(10 →→→→, , , , … ,且每秒移动一个单位,那么第 35秒时质点所在位 置的坐标是 _______ 1 3 1 3 5 本站部分资源网友上传，来源于网络，如果涉及版权问题，请及时联系我站，我们会第一时间删除，精英部落 QQ 群： 172077288 y 3 2 1 0 1 2 3 „ x 【思考 5】2011，海淀，二模 如图，将边长为 其对应的正方形的中心依 的正方形纸片从左到右顺次摆放，次为 A1, A2, A3, „.①若摆放前 6 个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为 ；②若摆放前 n（n 为大于 1 的正.A1 A2 A3 A4 整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为 第三部分 思考题解析 【思考 1 答案】2；

【思考 2 答案】（3，－2）

【思考 4 答案】（5，0）【思考 3 答案】13；2n-1 【思考 5 答案】10，飘蓝工作室出品 版权所有@Peuland.com 精英数学(www.xiexiebang.com

第五篇：几何证明计算题

几何证明与综合应用

1、如图1，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，2、CF∥AE交DG于F.（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；

（2）求证：AE=FC+EF.2、如图2，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G.（1）求证：ADE≌CDE；

（2）过点C作CHCE，交FG于点H，求证：FHGH；

（3）设AD1，DFx，试问是否存在x的值，使ECG为等腰三角形，若存在，请求出x的A

D

值；若不存在，请说明理由.E

F

B

C

H

G

图

23、如图3，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线

BC上，且PE=PB.（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；（2）设AP=x, △PBE的面积为y.① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.4、如图4-1,在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, △ABD是等边三角形，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F.（1）求证：① △AEF≌△BEC；② 四边形BCFD是平行四边形；

（2）如图4-2，将四边形ACBD折叠,使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值.F

30°

D

B E 图

3C

D D

B

H

B5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形． D A（1）AD与BC有何等量关系？请说明理由；（2）当ABDC时，求证:□ABCD是矩形．C B

图4-1 图4-

26、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F．

（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；

（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；

（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？ A

E FM N

B DC

7、如图-1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC

边上的点，且AEEF，BE2.（1）求EC∶CF的值；

（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图-2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理

由；

（3）在图-2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证

明；若不存在，请说明理由．

P F

B E C B E C8、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BDDF，G为DF中图-1 交BC于F，连接图-2 点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）

中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论

是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

D D

图②

图③ 图①

9、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于

点N．

（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN．①求证：△ABN≌△ADN；

②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =，求点M到AD的距离及tan的值；

（2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．

试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．

M（图25-1）B B（图25-2）A10、已知△ABC中，ABAC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD，连

结DE．

（1）如图1，当BAC120，DAE60时，求证：DEDE．

（2）如图2，当DEDE时，DAE与BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．

（3）如图3，在（2）的结论下，当BAC90，BD与DE满足怎样的数量关系时，△DEC

是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必说明理由）．

DD D

B DC B B E D E D E 图3 图1 图

211、正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M 点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置

D 时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；

（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求x的值．

N

C M第22题

12、图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A=30o，∠E= 45o，∠EDF=∠ACB=90 o，DE交AC于点G，GM⊥AB于M．

（1）如图①，当DF经过点C 时，作CN⊥AB于N，求证：AM=DN．

（2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理

由．

EB B①

②

13、（1）观察与发现:小明将三角形纸片ABC(ABAC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． A A

F

图① 图②

（2）实践与运用

将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D处，折痕为EG（如图 ④）； 再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中的大小．

E D A DA D A

DC C B B C F  F图③ 图④ 图⑤

14、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB4，BC6，∠B60.（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EPx.MN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；①当点N在线段AD上时（如图2），△P

若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.A A A D D DNF F F

B C B C B C MM 图1 图2 图

3D A D（第25题）A

F F

B C B C图5（备用）图4（备用）

15、如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点

F.（1）求证：DE－BF = EF．

（2）当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．

（3）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

A D

A D

E

FB C CG G B

图①

图②