[初中数学 证明试题

第一篇：[初中数学 证明试题

九年级(上)单元测试卷

第一章证明(二)

(时间90分钟满分100分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、两个直角三角形全等的条件是（）

A、一锐角对应相等B、两锐角对应相等C、一条边对应相等D、两条边对应相等

2、如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是（）

A、SASB、ASAC、AASD、SSS3、等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（）

A、4B、10C、4或10D、以上答案都不对

4、如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：

(1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。其中结论正确的是（）

A、(1)，(3)B、(2)，(3)C、(3)，(4)D、(1)，(2)，(4)

5、如图，△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交CB边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数为（）

A、2B、3C、4D、5(第2题图)(第4题图)(第5题图)

6、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示他们之间关系的是（）

7、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）

A、4cmB、6cmC、8 cmD、10cm8、如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）

A、30°B、36°C、45°D、70°

9、如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′，那么该条件可以是（）

A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′D、∠ABC=∠AB′C

(第7题图)(第8题图)(第9题图)(第10题图)

10、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则

九年级(上)数学单元测试卷[1]第 1 页(共四页)

ABC的大小是（）

A、40°B、45°C、50°D、60°

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是度.12、如图，点F、C在线段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还须补充一个条件.(第12题图)(第13题图)(第15题图)

13、如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE，AB=AC。若∠B=20°，则∠C=°.14、在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC边上的中线AD=4cm，则∠ADC的度数是.15、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，则∠BCD的度数为.16、如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于点D，BD∶DC=2∶1，BC=7.8cm，则D到AB的距离为cm.17、如图，在等腰直角三角形ABC中，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，则△DEF是三角形.18、如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C．AE＝AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。其中正确的结论是（注：将你认为正确的结论都填上．）

(第16题图)(第17题图)(第18题图)

三、(每小题6分，共12分)

19、如图，在四个正方形拼接成的图形中，以A1、A2、A3、…、A10这十个点中任意三点为顶点，共能组成多少个等腰直角三角形？你愿意把得到上述结论的探究方法与他人交流吗?若愿意，请简要写出你的探究过程

20、已知：菱形ABCD中（如图），∠A＝72°，请设计三种不同的分法，将菱形ABCD分割成四个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形．（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明分法所得三角形内角的度数，没有标出能够说明分法所得三角形内角度数不给分；不要求写出画法，不要求证明．）

注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．

分法一：分法二：分法三：

四、(每小题6分，共18分)

21、已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC22、已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数.23、已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E为梯形外一点，且AE=DE.求证：BE=CE．

五、(每小题8分，共16分)

24、阅读下题及其证明过程：

已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE.证明：在△AEB和△AEC中，EBECABEACE

AEAE

∴△AEB≌△AEC(第一步)

∴∠BAE=∠CAE(第二步)

问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程。

25、如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN，MC交于点F。

(1)求证：AN=BM；

(2)求证： △CEF为等边三角形；

(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转900，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）

第二篇：初中数学-几何证明经典试题及答案

初中几何证明题

经典题（一）

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．

求证：CD＝GF．（初二）

A

F

G

C

E

B

O

D2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．

A

P

C

D

B

求证：△PBC是正三角形．（初二）

D2

C2

B2

A2

D1

C1

B1

C

B

D

A

A13、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．

求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）

A

N

F

E

C

D

M

B4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

求证：∠DEN＝∠F．

经典题（二）

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．

·

A

D

H

E

M

C

B

O

（1）求证：AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）

·

G

A

O

D

B

E

C

Q

P

N

M2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．

求证：AP＝AQ．（初二）

3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：

·

O

Q

P

B

D

E

C

N

M

·

A

设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．

求证：AP＝AQ．（初二）

4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．

P

C

G

F

B

Q

A

D

E

求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）

经典题（三）

1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．

A

F

D

E

C

B

求证：CE＝CF．（初二）

2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．

E

D

A

C

B

F

求证：AE＝AF．（初二）

3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．

D

F

E

P

C

B

A

求证：PA＝PF．（初二）

O

D

B

F

A

E

C

P4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）

经典题（四）

A

P

C

B1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．

求：∠APB的度数．（初二）

2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．

求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）

P

A

D

C

B3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）

C

B

D

A4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且

AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）

F

P

D

E

C

B

A

A

P

C

B

经典难题（五）

1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：≤L＜2．

A

C

B

P

D2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．

A

C

B

P

D3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．

E

D

C

B

A4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．

经典题（一）

1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得==,又CO=EO，所以CD=GF得证。

2.如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得

△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150

所以∠DCP=300，从而得出△PBC是正三角形

3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点，连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由A2E=A1B1=B1C1=

FB2，EB2=AB=BC=FC1，又∠GFQ+∠Q=900和

∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,从而可得∠A2B2

C2=900，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。

4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。

经典题（二）

1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD，可得BH=BF,从而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，从而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证。

3.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。

由于，由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE。

又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，∠AOP=∠AOQ，从而可得AP=AQ。

4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=。

由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。

从而可得PQ=

=，从而得证。

经典题（三）

1.顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350

从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。

推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。

∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A

EC=750。

又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可证：CE=CF。

2.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH，可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，又∠FAE=900+450+150=1500，从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。

3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。

令AB=Y，BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。

tan∠BAP=tan∠EPF==，可得YZ=XY-X2+XZ，即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，得到PA＝PF，得证。

经典难题（四）

1.顺时针旋转△ABP

600，连接PQ，则△PBQ是正三角形。

可得△PQC是直角三角形。

所以∠APB=1500。

2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：

AEBP共圆（一边所对两角相等）。

可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。

3.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：

=，即AD•BC=BE•AC，①

又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得

=，即AB•CD=DE•AC，②

由①+②可得:

AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)=

AC·BD，得证。

4.过D作AQ⊥AE，AG⊥CF，由==，可得：

=，由AE=FC。

可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分线逆定理）。

经典题（五）

1.（1）顺时针旋转△BPC

600，可得△PBE为等边三角形。

既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小L=；

（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D，F。

由于∠APD>∠ATP=∠ADP，推出AD>AP

①

又BP+DP>BP

②

和PF+FC>PC

③

又DF=AF

④

由①②③④可得：最大L<

2；

由（1）和（2）既得：≤L＜2。

2.顺时针旋转△BPC

600，可得△PBE为等边三角形。

既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。

既得AF=

=

=

=

=

=。

3.顺时针旋转△ABP

900，可得如下图：

既得正方形边长L

=

=。

4.在AB上找一点F，使∠BCF=600，连接EF，DG，既得△BGC为等边三角形，可得∠DCF=100,∠FCE=200,推出△ABE≌△ACF，得到BE=CF，FG=GE。

推出

：

△FGE为等边三角形，可得∠AFE=800，既得：∠DFG=400

①

又BD=BC=BG，既得∠BGD=800，既得∠DGF=400

②

推得：DF=DG,得到：△DFE≌△DGE，从而推得：∠FED=∠BED=300。

第三篇：初中数学证明(二)

《证明(二)》单元测试卷

一、选择题（每小题3分）、如图，在△ABC中，C90，EF//AB,150，则B的度数为（）A．50B.60C.30D.402、两个直角三角形全等的条件是（）

A、一锐角对应相等B、两锐角对应相等C、一条边对应相等D、两条边对应相等

3、等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（）

A、4B、10C、4或10D、以上答案都不对

4、如图，已知ABAD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）

A．CBCDB．∠BAC∠DAC

C．∠BCA∠DCAD．∠B∠D90。。。

5、如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（）

A．AB中点B．BC中点

C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点

6、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示他们之间关系的是（）

7．下列命题是假命题的是（）

A．有两个内角分别为70°和40°的三角形是等腰三角形

B．有两边长分别为3，4且三边长均为整数的三角形一定是等腰三角形

C．任意两个内角不相等的三角形不是等腰三角形

D．有两个外角相等的三角形是等腰三角形

8、如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别

为A，B．下列结论中不一定成立的是（）

A．PAPBB．PO平分APB

O

C．OAOBD．AB垂直平分OPB9、等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则顶角的度数是()

A.30°B.60°;C.30°或150°D.不能确定

10、下列说法错误的是（）

A.任何命题都有逆命题B.定理都有逆定理

C.命题的逆命题不一定是正确的D.定理的逆定理一定是正确的二、填空题（每小题3分）

11、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，则∠BCD的度数为.12、如图，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，则点D到直线AB的距离是__________厘米。

3，用经过A，B，C三点的平面截这个正方体，所得截面的周长是cm．

14、我们来探究 “雪花曲线”的有关问题：图7（1）是边长为1的正三角形，将此正三角形的每条边三等分，而以居中的那一条线段为底边再作正三角形，然后以其两腰代替底边，得到第二个图形如图7（2）；再将图7（2）的每条边三等分，并重复上述的作法，得到第三个图形如图7（3），如此继续下去，得到的第五个图形的周长应等于．

B C

D15、如图，△ABC的周长为32，且ABAC，ADBC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为．

16、如图5，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A等于．

17、如图，点F、C在线段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还须补充一个条件

.18、三角形两边的长分别为5和7,则最短边长的取值范围是_________.19、命题“如果一个四边形的四边都相等,那么这个四边形是菱形”的逆命题是_________________________________________________.20、用反证法证明“三角形钝角至多有一个”首先假设

三、解答题：（21题4分，其余每小题8分）

21、如图，三条公路两两相交，有关部门要在此“三角形”区域内修建一个转运站，使转运站到三条公路的距离相等，如何确定转运站位置。（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写已知、求作和作法）

C

22．如图9是一副三角板拼成的四边形，含45°角那一块的斜边恰好等于另一块60°角的对边，试比较这两块三角板面积的大小，并说明理由．

23．如图1

2，ABCD是一张长方形的纸片，折叠它的一边AD，使点D落在BC边上的F点处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，那么EC等于多少？你能证明你的结论吗？

24、已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC25、已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数.26、已知D是Rt△ABC斜边AC的中点，DE⊥AC交BC于E，且∠EAB∶∠BAC＝2∶5，求∠ACB的度数.27、已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使 CE ＝ CD．求证：BD ＝ DE．

28、已知：如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE＝CD，连结AD、BE交于点P，作BQ⊥AD，垂足为Q．求

证：BP＝2PQ.

第四篇：初中数学三角形证明（范文）

1.如图△ABC，∠AFD＝

158°，求∠EDF的度数。

2.如图，∠C

＝48°，∠E＝25°，∠BDF＝140°，求∠A与∠EFD的度数。

3.如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC

4.如图，在△ABC中，已知AD是△

ABC角平分线，DE是△ADC的高线，∠B＝60，∠C＝45，求∠ADB和∠ADE的度数．

5.如图△ABC的周长为18

cm，BE、CF

分别为AC、AB边上的中线，BE、CF相交于点O，AO的延长线交BC于D，且AF=3 cm,AE=2 cm，求BD的长.解题思路：

（1）求角度问题要考虑：角平分线、三角形内角和定理、两内角之和等于第三角的外角

（2）先列等式，然后根据题目要求去掉无关信息，最后采用“消元法”的思路转换解决，求出未知

（3）对于某些题要结合外围图形和条件，比如四边形、三角形全等、直线关系（平行、相交）来解答。

00第八讲三角形证明

（一）6.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADEC DAB7.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，F 求证：∠1=∠2E A8.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C AB A9.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：EAE=AD+BEBDC10如图所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M，求证：2∠M=（∠ACB-∠B）解题思路：(1)三角形的证明一般思路是证全等和相似（八年级）（2）分析题目先看求什么？然后考虑求未知必须先求什么？需证明那些量相等，或哪个三角形相等然后找出已知条件所能得出的结论，然后看它们能不能证出所要的关系（3）如果不能证出数量关系要考虑添加辅助线来“凑出”条件，然后在证明

11.如图，A,F,E,B四点共线，ACCE，BDDF，AEBF，A

17.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求ACBD。求证：ACFBDE。较难

12.如图，在ABC中，BE是∠ABC的平分线，ADBE，垂足为D。求证：21C

13.已知如图，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE，求证：DE=BD+CE.14.在△ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E求证：ADC≌CEB

15.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由

16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

证：∠C=2∠BCD

BF

18.如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平

A

E

分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交 D

BA的延长线于F．BC

求证：BD=2CE．Q

A

E

19.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定 P

AP与AQ的数量关系和位置关系B

C

20.△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点，E、F分别在 AC、AB上，且DE⊥DF，试判断DE、DF的数量关系，并说明 理由．

(附加题)如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥ AC于E，BF⊥AC于F，若AB=

CD，AF=CE，BD交AC于点 M．

（1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上 述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

第五篇：初中数学定理证明

初中数学定理证明

数学定理

三角形三条边的关系

定理：三角形两边的和大于第三边

推论：三角形两边的差小于第三边

三角形内角和

三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

推论1直角三角形的两个锐角互余

推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和

推论3三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的内角

角的平分线

性质定理在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

几何语言：

∵OC是∠AOB的角平分线(或者∠AOC=∠BOC)

pE⊥OA，pF⊥OB

点p在OC上

∴pE=pF(角平分线性质定理)

判定定理到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上

几何语言：

∵pE⊥OA，pF⊥OB

pE=pF

∴点p在∠AOB的角平分线上(角平分线判定定理)

等腰三角形的性质

等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等

几何语言：

∵AB=AC

∴∠B=∠C(等边对等角)

推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

几何语言：

(1)∵AB=AC，BD=DC

∴∠1=∠2，AD⊥BC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

(2)∵AB=AC，∠1=∠

2∴AD⊥BC，BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

(3)∵AB=AC，AD⊥BC

∴∠1=∠2，BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

推论2等边三角形的各角都相等，并且每一个角等于60°

几何语言：

∵AB=AC=BC

∴∠A=∠B=∠C=60°(等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°)

等腰三角形的判定

判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等

几何语言：

∵∠B=∠C

∴AB=AC(等角对等边)

推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

几何语言：

∵∠A=∠B=∠C

∴AB=AC=BC(三个角都相等的三角形是等边三角形)

推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

几何语言：

∵AB=AC，∠A=60°(∠B=60°或者∠C=60°)

∴AB=AC=BC(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)

推论3在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

几何语言：

∵∠C=90°，∠B=30°

∴BC=AB或者AB=2BC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)

线段的垂直平分线

定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

几何语言：

∵MN⊥AB于C，AB=BC，(MN垂直平分AB)

点p为MN上任一点

∴pA=pB(线段垂直平分线性质)

逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

几何语言：

∵pA=pB

∴点p在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线判定)

轴对称和轴对称图形

定理1关于某条之间对称的两个图形是全等形

定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

定理3两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

逆定理若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那这两个图形关于这条直线对称

勾股定理

勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方，即

a2+b2=c

2勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形

四边形

定理任意四边形的内角和等于360°

多边形内角和

定理多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)·180°

推论任意多边形的外角和等于360°

平行四边形及其性质

性质定理1平行四边形的对角相等

性质定理2平行四边形的对边相等

推论夹在两条平行线间的平行线段相等

性质定理3平行四边形的对角线互相平分

几何语言：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD‖BC，AB‖CD(平行四边形的对角相等)

∠A=∠C，∠B=∠D(平行四边形的对边相等)

AO=CO，BO=DO(平行四边形的对角线互相平分)

平行四边形的判定

判定定理1两组对边分别平行的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD‖BC，AB‖CD

∴四边形ABCD是平行四边形

(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)

判定定理2两组对角分别相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵∠A=∠C，∠B=∠D

∴四边形ABCD是平行四边形

(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)

判定定理3两组对边分别相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD=BC，AB=CD

∴四边形ABCD是平行四边形

(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)

判定定理4对角线互相平分的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AO=CO，BO=DO

∴四边形ABCD是平行四边形

(对角线互相平分的四边形是平行四边形)

判定定理5一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD‖BC，AD=BC

∴四边形ABCD是平行四边形

(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

矩形

性质定理1矩形的四个角都是直角

性质定理2矩形的对角线相等

几何语言：

∵四边形ABCD是矩形

∴AC=BD(矩形的对角线相等)

∠A=∠B=∠C=∠D=90°(矩形的四个角都是直角)

推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

几何语言：

∵△ABC为直角三角形，AO=OC

∴BO=AC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

几何语言：

∵∠A=∠B=∠C=90°

∴四边形ABCD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)

判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

几何语言：

∵AC=BD

∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)

菱形

性质定理1菱形的四条边都相等

性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

几何语言：

∵四边形ABCD是菱形

∴AB=BC=CD=AD(菱形的四条边都相等)

AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC

(菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角)

判定定理1四边都相等的四边形是菱形

几何语言：

∵AB=BC=CD=AD

∴四边形ABCD是菱形(四边都相等的四边形是菱形)

判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

几何语言：

∵AC⊥BD，AO=CO，BO=DO

∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)

正方形

性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

中心对称和中心对称图形

定理1关于中心对称的两个图形是全等形

定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

梯形

等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

几何语言：

∵四边形ABCD是等腰梯形

∴∠A=∠B，∠C=∠D(等腰梯形在同一底上的两个角相等)

等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

几何语言：

∵∠A=∠B，∠C=∠D

∴四边形ABCD是等腰梯形(在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形)

三角形、梯形中位线

三角形中位线定理三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半

几何语言：

∵EF是三角形的中位线

∴EF=AB(三角形中位线定理)

梯形中位线定理梯形的中位线平行与两底，并且等于两底和的一半

几何语言：

∵EF是梯形的中位线

∴EF=(AB+CD)(梯形中位线定理)

比例线段

1、比例的基本性质

如果a∶b=c∶d，那么ad=bc2、合比性质

3、等比性质

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

几何语言：

∵l‖p‖a

(三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例)

推论平行与三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例

定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行与三角形的第三边

垂直于弦的直径

垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

∵OC⊥AB，OC过圆心

(垂径定理)

推论

1(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

∵OC⊥AB，AC=BC，AB不是直径

(平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧)

(2)弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

∵AC=BC，OC过圆心

(弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧)

(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

几何语言：

(平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧)

推论2圆的两条平分弦所夹的弧相等

几何语言：∵AB‖CD

圆心角、虎弦、弦心距之间的关系

定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条虎两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等

圆周角

定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直角

推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

圆的内接四边形

定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

几何语言：

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形

∴∠A+∠C=180°，∠B+∠ADB=180°，∠B=∠ADE

切线的判定和性质

切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

几何语言：∵l⊥OA，点A在⊙O上

∴直线l是⊙O的切线(切线判定定理)

切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点半径

几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A

∴l⊥OA(切线性质定理)

推论1经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点

推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线长定理

定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

几何语言：∵弦pB、pD切⊙O于A、C两点

∴pA=pC，∠ApO=∠CpO(切线长定理)

弦切角

弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

几何语言：∵∠BCN所夹的是，∠A所对的是

∴∠BCN=∠A

推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

几何语言：∵∠BCN所夹的是，∠ACM所对的是，=

∴∠BCN=∠ACM

和圆有关的比例线段

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被焦点分成的两条线段长的积相等

几何语言：∵弦AB、CD交于点p

∴pA·pB=pC·pD(相交弦定理)

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

几何语言：∵AB是直径，CD⊥AB于点p

∴pC2=pA·pB(相交弦定理推论)

切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项

几何语言：∵pT切⊙O于点T，pBA是⊙O的割线

∴pT2=pA·pB(切割线定理)

推论从圆外一点因圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等

几何语言：∵pBA、pDC是⊙O的割线

∴pT2=pA·pB(切割线定理推论)。