怎样证明一个四边形是梯形

第一篇：怎样证明一个四边形是梯形

怎样证明一个四边形是梯形？

答：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，梯形的定义明确指出，作为一种特殊四边形的梯形，必须具备两个条件，即“一组对边平行”和“另一组对边不平行”，因此判定一个四边形是否是梯形，也必须以是否满足这两个条件为依据，二者缺一不可．

证明两线平行的方法比较多，难点是如何判定两线不平行．

【例1】已知：如图1在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，A′、B′、C′、D′分别为AO、BO、CO、DO的中点．

求证：四边形A′B′C′D′是梯形．

分析一：由A′、D′分别是AD、DO的中点，易知A′D′∥AD．由B′、C′分别是BO、CO的中点，易知B′C′∥BC．

又AD∥BC，∴A′D′∥B′C′，由A′、B′分别是AO、BO的中点，得A′B′∥AB，由C′、D′分别是CO、DO的中点，得C′D′∥CD，又AB与CD不平行，∴A′B′与C′D′也不平行．

综上所述，四边形A′B′C′D是梯形．

分析二：本题还可以通过证明A′D′∥B′C′且A′D′≠B′C′来判定四边形A′B′C′D′是梯形，即

由A′、D′分别为AO、DO的中点，得

由B′，C′分别为BO、CO的中点，得

∵AD∥BC且AD≠BC，∴A′D′∥B′C′且A′D′≠B′C′，∴四边形A′B′C′D′是梯形．

证明：略．

从以上分析中不难看出，证明一个四边形是梯形有两种方法，一种方法是证明四边形的一组对边平行而另一组对边不平行；另一种方法是证明四边形的一组对边平行且不相等，如果在证题过程中忽视了“一组对边不平行”的条件，只由“一组对边平行”来判定四边形是梯形显然是错误的．

【例2】 已知：如图2，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E、F分别为OA、OD的中点．

求证：四边形EBCF是等腰梯形．

证明：∵E、F分别是OA、OD的中点，∴EF∥AD，又四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴EF∥BC，∵E、F分别为OA、OD的中点，又 AD=BC，∴ EF≠BC

由 EF∥BC，EF≠BC．得

四边形EBCF是梯形，∴ EO=FO，又 ∠1=∠2，BO=OC，∴ △EBO≌△FCO

∴ EB=FC，∴ 四边形EBCF是等腰梯形．

分析：如果只证明了EF∥BC就判定四边形EBCF是梯形，不符合梯形的定义，应继续证明另一组对边EB与CF不平行，或继续证明EF≠BC都可以判定四边形EBCF是梯形，即

证明：略．

第二篇：四边形证明

1.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．

（1）求证：BE = DF；

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四

边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

B

M D

2．已知：如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC，BD于F，G，点H为EF的中点．

求证：⑴ ∠DAG＝∠DCG；

⑵ GC⊥CH．(6分)

AD

B C E

3．小明在研究正方形的有关问题时发现有这样一道题：“如图①，在正方形ABCD中，点E

是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE＝∠EAD．你能够得出什么样的正确的结论？”

⑴ 小明经过研究发现：EF⊥AE．请你对小明所发现的结论加以证明；

B F 图① D E C

⑵ 小明之后又继续对问题进行研究，将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”(如图②、图③、图④)，其它条件均不变，认为仍然有“EF⊥AE”．你同意小明的观点吗？若你同意小明的观点，请取图③为例加以证明；若你不同意小明的观点，请说明理由．(7分)

B 图②E F C 图③B F C

图④

4．如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，(1)试说明：BD=ED=EG=BG；

(2)若矩形ABCD面积为2，求四边形BDEG的面积。(本题6分)

5如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110º，∠BOC＝a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60º得△ADC，连结OD．

(1)求证：△COD是等边三角形；

(2)当a＝150º时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

(3)探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

第三篇：怎样证明根号2是一个无理数

怎样证明2是一个无理数

第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的2是一个非常著名的无理数，代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点.证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=a.b其中(a,b)=1，且a与b都是正整数.则a22b2.由于完全平方数b2的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此2b2的尾数只能是0、2、8中的一个.因为a22b2，所以a2与2b2的尾数都是0，因此b2的尾数只能是0或5，因此a与b有公因数5，与(a,b)=1矛盾！因此2是无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数.a证法2：奇偶分析法.假设2=.其中(a,b)=1，且a与b都是正整数.则a22b2.可知ab

是偶数，设a=2c,则4c22b2，b22c2，可知b也是偶数，因此a、b都是偶数，这与(a,b)=1矛盾！因此2是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法3：仿上，得到a22b2，易见b>1，否则b=1，则2=a是一个整数,这是不行

aaa.因为b>1，因此b有素因子p，因此p整除或a，总之，p整除2

2a，因此p同时整除a与b，这与(a,b)=1矛盾.的.a22b2改写成b2

证法4：仿上，得到a22b2，等式变形为b2a2b2(ab)(ab)，因为b>1，因此存在素因子p，p整除a+b或a-b之一，则同时整除a+b与a-b，因此p整除a，因此p是a、b的公因数，与(a,b)=1矛盾.证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此ap11p22pmm，bq11q22qnn，其中p1,,pm与q1,,qn都是素数，r1,,rm与s1,sn都是正整数，因此p11p22r2r2rrrssspm2rm=2q11q22s2s2qn2sn，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.aa证法6：假设2=，其中右边是最简分数，即在所有等于的分数中，a是最小的正bb

整数分子，在a22b2的两边减去ab有a2ab2b2ab，a(ab)b(2ba)，即2a2ba，右边的分子2b-a

证法7：连分数法.因为(21)(21)=1，因此21

12112112，12

11221，将分母中的2用1代替，有21，不断重复这

个过程，得2=11

2

211

2，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是

1分母为正整数的有限连分数，因此2是无理数.证法8：构图法。以上诸多证法的关键之处在于，证明a22b2没有正整数解。若不然，可以b、a为边构造正方形(b

第四篇：证明四边形

证明直角三角形全等

三组对应边相等的两个三角形全等（SSS）

两组对应边和一组对应的夹角相等的两个三角形全等（SAS）

两组对应角和一组对应的对边相等的两个三角形全等（AAS）

直角三角形中一组斜边和一组直角边相等的三角形全等（HL）

证明三角形相似

两三角形的对应边要的比例，所以“边边边”就是三条对应边的比例都相等“边角边”就是夹角相等的两边比例相等。

证明平行四边形

连结一条对角线，得到两个三角形，可证明它们全等，从而得到内错角相等，进而得到平行，由定义知是平行四边形

⑵由四边形内角和等于360°，而两组对角相等，因此四个内角的和变成一组邻角的和的两倍，即一组邻角的和是180°，得到一组对边平行，类似地可得另一组对边平行，从而得证

⑶由SAS可证全等，进而得到内错角相等，得到两组对边平行，问题得证证明菱形

1、一组邻边相等的平行四边形是菱形

2、四边相等的四边形是菱形

3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。

证明矩形

1.一个角是直角的平行四边形是矩形

2.对角线相等的平行四边形是矩形

3.有三个角是直角的四边形是矩形。

证明正方形

1：对角线相等的菱形是正方形。

2：有一个角为直角的菱形是正方形。

3：对角线互相垂直的矩形是正方形。

4：一组邻边相等的矩形是正方形。

5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

7：对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。

8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。

9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

第五篇：我是一个怎样的人

我是一个怎样的人？也许很难回答。选择某一个角度写一写，因为写的过程是对思维进行整理的过程。（以下活动可自由选择）

1.我的个性

用幽默的笔调介绍自己的个性特点，幽默可是最受欢迎的哦。

2.我的兴趣爱好

把自己的兴趣和爱好向老师和同学作一个介绍，注意要尽可能说明理由，同时要尽可能引起别人的共鸣。3我为自己喝彩

用欣赏的笔调充分肯定自我。注意扬长避短，同时也要实事求是，真我才能赢得别人的欣赏。

4我的苦乐年华

说说自己学习和生活中的烦恼与快乐，你能自己分析一下产生的原因吗？试一试。请相信一个真实的自我一定能赢得同学和老师的肯定。

5我这样设计自己

自己对未来的设想 告诉同学和老师，以取得同学和老师的理解和帮助。