全等三角形总结与复习好

第一篇：全等三角形总结与复习好

全等三角形总结与复习好

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)

总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线 合一”的性质解题

2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

3.角平分线在三种添辅助线

4.垂直平分线联结线段两端

5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形

7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可 以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或 40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变

换中的“对折”法构造全等三角形．

2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的

思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．

3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平

移”或“翻转折叠”

5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条

线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连

线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

第二篇：全等三角形

复习提问 通过前两个问题复习巩固上一节所讲的知识，通过问题3引导学生认识到三角形全等是证明角相等、线段相等的重要方法，然后设疑，如何证明两个三角形全等？从而引出课题。

活动二：讲授新课 全等三角形的判定条件的探究 首先提出

问题1：两个三角形三条边相等、三个角相等，这两个三角形全等吗？学生通过观察图形和课件演示，会很容易作出恳定的回答。

问题2：两个三角形全等是不是一定要六个条件呢？若满足这六个条件中的一个、两个或三个条件它们是否全等呢？然后教师引导学生分别从“角”和“边”的角度分析一个条件、两个条件各有几种情形。引导全班同学首先共同完成满足一个条件的情况的探究，然后指导学生分组讨论，对满足两个条件的 情况进行探究，并在组内交流，教师深入小组参与活动，倾听学生交流，并帮助学生比较各种情况。最后由教师在投影上给出满足一个条件和两个条件的几组三角形，学生通过观察图形就会得到一结论：两个三角形若满足这六个条件中的一个或两个条件是不能保证两个三角形一定全等的。

问题3：两个三角形若满足这六个条件中的三个条件能保证它们全等吗？满足三个条件有几种情形呢？由学生分组讨论、交流，最后教师总结，得出可分为四种情况，即三边对应相等、三角对应相等、两边一角对应相等、两角一边对应相等。告诉学生这一节先探究两个三角形满足三条边相等时，两个三角形是否全等？对于此问题我是这样引导学生探究的，先让学生在练习本上各画一个边长分别为2、3、4的三角形（当然在这里要先给学生讲清楚已知三边如何画三角形，并且让学生牢记此种画三角形的方法），学生画好之后剪下来，同桌之间进行比较、验证，看它们是否重合。同时教师在投影上给出两个边长为2、3、4的三角形，通过课件演示，学生会看到两个三角形的三边对应相等，它们是全等的。从而得到全等三角形的判定方法，即：有三条边对应相等的两个三角形是全等三角形。得到全等三角形的判定条件之后，还要给学生讲清楚证明三角形全等的书写格式，即：先要写出在那两个三角形中，然后用大括号把全等的三个条件括住，最后写出全等的结论。由于学生刚开始学习全等三角形的证明，对三角形全等的书写格式还不熟悉，所以教师在此要强调三角形全等的书写格式以及应注意的问题。

活动三：题例训练 例1是两道填空题，需要补全三角形全等的条件，在讲解此题时关键是让学生看清图中两个三角形全等已具备哪些条件，还缺什么条件，把所缺的条件补上即可。通过此题要使学生进一步掌握三角形全等的判定条件及证明三角形全等的书写格式和应注意的问题。

第三篇：全等三角形 总结

全等三角形 知识点梳理

一基本概念

1、全等的理解： 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形（2）大小相等的图形;即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形

2、全等三角形的性质

（1）全等三角形对应边相等（2）全等三角形对应角相等

3、全等三角形的判定方法

（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)（边边边）

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）（角边角）

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)（角角边）

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)（边角边）

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

4、角平分线的性质及判定

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

二、灵活运用定理

1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找（边）

@ 夹边相等（ASA）@ 任一组等角的对边相等(AAS)

（2）已知条件中两边对应相等，可找（角或边）

@夹角相等（SAS）@第三组边也相等（SSS）

（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找（角或边）

@任一组角相等(AAS或ASA)@夹等角的另一组边相等(SAS)

第四篇：全等三角形经典模型总结（定稿）

全等三角形相关模型总结

一、角平分线模型

(一）角平分线的性质模型

辅助线：过点G作GE⊥射线AC

A、例题

1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是cm.2、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC.B、模型巩固

1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.（二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现 A、例题

辅助线：延长ED交射线OB于F

辅助线：过点E作EF∥射线OB 例

1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F.求证：BE1(ACAB).2

例

2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M.求证：AM1(ABAC).2

（三）角分线，分两边，对称全等要记全

两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC.A、例题

1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由.B、模型巩固

1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）.求证：AB－AC＞PB－PC.2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC.3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB.二、等腰直角三角形模型

（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：

操作过程：

（1）将△ABD逆时针旋转90°，得△ACM ≌ △ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.（2）辅助线作法：过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：

操作过程：连结AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），导出△BDF ≌ △ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，导出△BDF ≌ △ADE.A、例题

1、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN＝45°，试探究 BM、MN、CN之间的数量关系.2、两个全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.试判断△EMC的形状，并证明你的结论.B、模型巩固

1、已知，如图所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN＝CM.（1）试判断△OMN的形状，并证明你的结论.（2）当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？

2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF为多少度.（三）构造等腰直角三角形

（1）利用以上

（一）和

（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：

A、例题应用

1、如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P为三角形ABC内部一点，满足PB＝PC，AP＝AC，求证：∠BCP＝15°.三、三垂直模型（弦图模型）

A、例题

已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC中点，AF⊥BD于点E，交BC于F，连接DF.求证：∠ADB＝∠CDF.变式

1、已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF.求证：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN.变式

2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，求证：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF.四、手拉手模型

1、△ABE和△ACF均为等边三角形

结论：（1）△ABF≌△AEC.（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF.（四点共圆证）

拓展：△ABC和△CDE均为等边三角形

结论：（1）AD＝BE；

（2）∠ACB＝∠AOB；

（3）△PCQ为等边三角形；

（4）PQ∥AE；

（5）AP＝BQ；

（6）CO平分∠AOE；（四点共圆证）

（7）OA＝OB＋OC；

（8）OE＝OC＋OD.（（7），（8）需构造等边三角形证明）例、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；

（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；

（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．

2、△ABD和△ACE均为等腰直角三角形 结论：（1）BE＝CD；（2）BE⊥CD.3、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形 结论：（1）BD＝CF；（2）BD⊥CF.变式

1、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，AS⊥BC交FD于T，求证：（1）T为FD中点；（2）SABCSADF.变式

2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S，求证：AS⊥BC.4、如图，以△ABC的边AB、AC为边构造正多边形时，总有：12180360 n

五、半角模型 条件：1,且+=180，两边相等.2思路：

1、旋转

辅助线：①延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF ②将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABF，注意：旋转需证F、B、M三点共线

结论：（1）MN＝BM＋DN；

（2）CCMN=2AB；

（3）AM、AN分别平分∠BMN、∠MND.2、翻折（对称）

辅助线：①作AP⊥MN交MN于点P ②将△ADN、△ABM分别沿AN、AM翻折，但一定要证明M、P、N三点共线.A、例题

例

1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN＝BM＋DN，求证：（1）∠MAN＝45°；

（2）CCMN=2AB；

（3）AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.变式：在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，AH⊥MN，垂足为H，（1）试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系；（2）求证：AB＝AH 例

2、在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且满足EF＝BE＋DF，求证：EAF1BAD.2

变式：在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且EAF1BAD，求证：EF＝BE＋DF.2

第五篇：全等三角形定义与证明

全等三角形

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。

三边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“SSS”

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“AAS” 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可以简写成“HL”

角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等，角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上。

轴对称

一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，我们也说这个图形关于这条直线成轴对称。

能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重叠的点是对应点，叫做对称点。

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

与一条线短两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

点（X,Y）关于X轴对称的点的坐标为（X,-Y）

点（X,Y）关于Y轴对称的点的坐标为（-X,Y）

两条边是相等的三角形是等腰三角形。

等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°，三个角都是相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

实数

如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为a,读作“根号a”，a叫做被开方数。

规定，0的算术平方根是0。

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方跟。这就是说如果x的平方等于a，那么x叫做a的平方根。求一个数a平方根的运算叫做开平方。

正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，这就是说，如果x³=a，那么x叫做a的立方根。求一个数的立方根运算，叫做开立方。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.类似于平方根，一个数的a的立方根，用符号“3a”表示，读作“三次根号a”。其中a是开方数，3是根指数。

很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫做无理数。有理数和无理数统称实数。

实数有理数有限小数或无限循环小

无理数无限不循环小数数

数a的相反数是-a，一个正实数的绝对值是本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.一次函数

我们称数值发生变化的量为变量，有些量的数值是始终不变的，我们称它们为常量。

在一个变化对象中，如果有两个变量x和y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说a是自变量，y是x的函数。当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a是的函数值。

对于一个函数，如果把自变量与函数的每队对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。

正比例函数

形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一条经过原点的直线，我们称它为y=kx。当k＞0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随着X的增大y也增大，当k＜0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

一次函数

形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b，即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。当k＞0时,y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小。

函数解析式ykxb选取

解出满足条件的两定点（x1，y1）与（x2，y2）画出取数一次函数的图像

任何一元一次方程都可以转化成ax+b=0(a,b为常数，a≠0)的形式，所以借一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。

由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b＞0或ax+b＜0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当函数值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围。每个二元一次方程都对应两个一次函数，于是也就对应两条直线。从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程相当于确定两条直线交点的坐标。

整式的乘法

am

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

幂的乘方，底数不变，指数相乘。乘anamn（m，n都是正整数）amnamn（m，n都是正整数）

n积的乘方，等于我们把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。abanbn（n为

正整数）

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加。两个数的和与这两个数差的积，等与这两个数的平方差。ababab 22

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加，（或减）它们的积的2倍。ab2

2aaba22abb2abb222

添括号时，如果括号前面是正号，扩到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，扩到括号里的各项都改变符号。

同底数幂相除，底数不变，指数相减。aamnamn(a≠0，m，n都是正整数，并且m

＞n)

任何不等于0的数的0次幂都等于一。a1(a0)

单项式相除，把系数与同底数分别相乘作为商的因式，对于只在被除数里含有的之母，则连同它的指数作为商的一个因式。

多项式除以多项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

因式分解

我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。即整式乘法的逆运算。两个数的平方差，等于这个数的和与这个数的差的积。ababab

两个数的平方加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。220ab2

2aaba22abb2abb222