全等三角形总结与复习练习题概要

第一篇：全等三角形总结与复习练习题概要

八年级数学全等三角形总结与复习练习题

【同步教育信息】

一.本周教学内容：

全等三角形复习与小结

二.教学目标：

1.回顾思考本章内容，会灵活运用本章知识进行计算和证明。

2.进一步巩固三角形全等的性质及判定三角形全等的方法，培养和提高学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

3.进一步掌握数学几何问题的解法，拓展学生的发散思维能力。

三.教学重点和难点：

重点：全等三角形的概念和性质，三角形全等的判定方法和直角三角形的性质和判定。

难点：三角形全等的判定与性质的综合应用，灵活选用判定三角形全等的方法解决问题，并能用基本尺规作图进行综合作图。

四.本章知识网络图：

五.本章知识要点总结：

1.旋转的定义：

将一个平面图形F上的每一个点，绕这个平面内一定点旋转同一个角α，得到图形F'，图形的这种变换叫旋转。

2.旋转的性质：

性质1：对应点到旋转中心的距离相等。

性质2：对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等，且等于旋转角。

性质3：旋转不改变图形的形状和大小。

3.全等三角形及其性质：

（1）全等形：能够完全重合的图形叫做全等形。

（2）全等三角形：能够完全重合的三角形叫做全等三角形。

（3）全等三角形的表示方法：比如△BCD≌△AEF（4）全等三角形的性质：

①全等三角形的对应边相等；

②全等三角形的对应角相等； ③全等三角形周长、面积相等。

4.三角形全等的判定定理

（1）一般三角形：SAS，ASA，AAS，SSS。

（2）直角三角形：HL，SAS，ASA，AAS，SSS。

5.直角三角形：

（1）直角三角形的性质：

①直角三角形中两锐角互余。

②如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

④在直角三角形中，有一个角为90°。

⑤在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°⑥在直角三角形中，两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2。

（2）直角三角形的判定：

①有一个角为90°的三角形为直角三角形。

②有两个角互余的三角形为直角三角形。

③如果三角形的三边长a、b、c，有下面关系：

a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

6.作三角形

（1）已知三边作三角形。

（2）已知两边及其夹角作三角形

（3）已知两角及其夹边作三角形

六、规律与方法

1.三角形的边角关系：

（1）三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

（2）三角形内角和等于180°。

（3）三角形的任一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

2.三角形的分类：

3.证明线段相等的方法：

（1）可证明它们所在的两个三角形全等。

（2）角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。

（3）等角对等边。

（4）等腰三角形的三线合一的性质。

（5）垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

（6）等式的性质。

（7）中点的定义。

4.证明角相等的方法：

（1）同角（等角）的余角相等。

（2）同角（等角）的补角相等。

（3）平行线的性质：

①两直线平行，同位角相等。②两直线平行，内错角相等。

（4）全等三角形的对应角相等。

（5）等边对等角。

（6）角平分线的定义。

（7）等式的性质。

（8）对顶角相等。

5.证明垂直的方法

（1）证邻补角相等。

（2）证和已知直角三角形全等。

（3）勾股定理的逆定理。

6.常见辅助线的作法：

（1）在△ABC中，如AD是中线，常采用的作法是：

①延长AD到E，使DE＝AD，连结BE（或过B作BE∥AC，交AD的延长线于E），如图甲。

②取AC的中点E，连结DE（或过D作DE∥BA，交AC于E），如图乙。

③延长BA至E，使AE＝AB，连结CE（或过C作CE∥AD交BA的延长线于E），如图丙。

（2）在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，常采用的作法是：

①延长BA至E，使AE＝AC，连结CE（或过C作CE∥AD，交BA的延长线于E），如图甲。

②在较长边AB上截取AE＝AC，连结DE，如图乙。

③过C作CE∥AB，交AD的延长线于E，如图丙。

④过D作DE∥AB，交AC于E，如图丁。

（3）在△ABC中，若D是AB的中点，常采用的作法是：

①过D作DE∥BC，交AC于E。

②取AC的中点E，连结DE。

③连结CD，用中线的性质。

④若已知△ABC为特殊三角形，可利用特殊三角形的性质：如为等腰三角形，考虑顶点平分线；若为直角三角形，考虑斜边中线；若为有一个角是30°的直角三角形，考虑斜边中线及30°角所对边之间的关系，常可作出中线。

七、数学思想方法

1.通过学习，逐步学会运用分析、综合、归纳、概括及类比的方法，逐步发展有条理的思考和表达能力。

2.转化的思想：将复杂问题转化，分解，将实际问题转化成几何问题解决。

3.图形处理方法：

（1）分解图形法：

复杂图形都是由较简单的基本图形组成，故可将复杂图形分解成基本图形。

（2）构造图形的方法：

当直接说明问题有困难时，常添加辅助线，构造图形达到解题目的。

八、掌握以下8类问题及其解法，并领会其中的数学思想：

1.能够利用三角形全等的判定及其性质，证明线段或角相等，领会全等形的思想。

2.能够利用等腰三角形和直角三角形的特殊性质解题，领会一般与特殊的关系。

3.能够理解旋转，角平分线的概念及其性质，领会对称思想。

4.能够理解逆命题与逆定理的概念，领会对立统一的思想。

5.通过几何问题一题多解的研究和推理论证分析综合的训练，渗透转化思想和辨证唯物主义观点。

6.通过对实际问题的研究体现理论联系实际的思想。

7.通过用代数方法解决几何问题又体现了数形结合的思想和方程的思想。

8.能够运用尺规作图，将作图问题转化为基本作图，领会化归思想。

【典型例题】

（一）构造全等三角形法：

例1.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，证明：AB＝DC，AD＝BC

分析：需得到AB＝DC，AD＝BC，需构造三角形，因此可添加辅助线：连结AC。

证明：连结AC ∵AB∥CD ∴∠1＝∠2 又∵AD∥BC ∴∠3＝∠4 在△ADC和△CBA中

∴△ADC≌△CBA（ASA）

∴AB＝DC，AD＝BC（全等三角形的对应边相等）例2.如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，CE⊥BD的延长线于E，求证：BD＝2CE。

分析： 和CE⊥BD”，想到延长CE、BA相交于F，因此先证明CF＝2CE，再证明BD＝CF。由此知需要证明△ABD≌△ACF。

证明：延长CE、BA相交于F 在△FBE和△CBE中

∴△BEF≌△BEC

∴CF＝2CE 在Rt△BEF中，∠2＝90°－∠F 同理∠1＝90°－∠F ∴∠1＝∠2 在△ABD和△ACF中

∴△ABD≌△ACF ∴BD＝CF ∴BD＝2CE 小结：①在题目中如果含有角平分线且含有和这条角平分线垂直的条件时，要想到翻折图形，此题所作的辅助线，实质上是将Rt△BCE以BE所在的直线为轴翻折过去得Rt△BFE。

②此题图中，可以把BE、CA看成是△FBC的两条高，注意“∠1＝∠2”这个结论。

（二）巧用勾股定理

例3.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，求证：AB2－AD2＝BD·DC（AB＞AD）

分析：此题的求证中出现了AB和AD，由此可联想到把它们放到两个直角三角形中，利用勾股定理可得有AB2和AD2的式子，因此想到作辅助线AE⊥BC于E。

证明：过A作AE⊥BC于E ∵AB＝AC，AE⊥BC ∴BE＝CE，∠AEB＝∠AEC＝90°

在Rt△AEB和Rt△AED中，由勾股定理得：

例4.如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为AB的中点，点F在AD边上，且AF

求证：EF⊥CE

分析：此题中的已知条件告诉了我们边之间的关系，若设AF＝a，则可得正方形边长为4a，AE＝BE＝2a，DF＝3a，由直角三角形和这些边的关系，我们很容易想到勾股定理和其逆定理来证明两条直线互相垂直。

证明：连结FC，设AF＝a，则正方形边长为4a，AE＝BE＝2a，DF＝3a 由勾股定理得：

在Rt△AEF中，在Rt△BCE中，在Rt△CDF中，由勾股定理的逆定理知△EFC为直角三角形

且CF为斜边

∴EF⊥EC

（三）截长补短法：

例5.如图甲，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD

分析：此题是证两条线段的和等于第三边，这类型的题我们通常采用截长补短法，①截长法即为在这三条最长的线段截取一段使它等于较短线段中的一条，然后证明剩下的一段等于另一条较短的线段。②补短法即为在较短的一条线段上延长一段，使它们等于最长的线段，然后证明延长的这一线段等于另一条较短的线段。

证明一：截长法：

如图乙，在AB上截取AE＝AC，连结DE

在△ADE和△ADC中

∴△ADE≌△ADC（SAS）

∴DE＝DC，∠AED＝∠C ∵∠C＝∠AED＝∠B＋∠BDE＝2∠B ∴∠EBD＝∠EDB ∴BE＝DE ∴BE＝DC ∴AB＝AE＋EB＝AC＋DC 即AB＝AC＋DC 证明二：补短法

如图丙，延长AC至E，使AE＝AB，连结DE

在△ABD和△AED中

∴△ABD≌△AED ∴∠B＝∠E ∵∠ACB＝2∠B＝∠E＋∠EDC ＝∠B＋∠EDC ∴∠E＝∠EDC ∴CD＝CE ∴AB＝AE＝AC＋CE＝AC＋CD 即AB＝AC＋CD

【模拟试题】（答题时间：50分钟）

（一）填空题：

1.已知一个等腰三角形的一个外角是120°，腰长是a，则它腰上的高是___________。

2.一直角三角形的两边长是12，5，则第三边长是___________。

3.AB是Rt△ABC的斜边，中线AD＝7，中线BE＝4，则AB＝___________。

4.已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周长为13，若AB＝4，BC＝6，则DF的长是___________。

5.如图1，已知△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝8cm，CD是AB边上的高，则AD＝___________，BD＝___________。

图1 6.如图2，已知AB＝AC＝10cm，AB∥CD，CD⊥AD，若∠B＝75°，则∠DAC＝___________，AD＝___________cm。

图2 7.等边三角形绕它的三条高线的交点旋转120°，240°，…，都能与自己重合，它的旋转中心是___________，对应线段是___________。

8.若图形甲按顺时针方向旋转30°得到图形乙，那么图形乙按顺时针方向旋转___________就得到图形甲。

9.正五角星绕着它的中心至少旋转___________可以与原图重合。

10.已知线段a，求作等边三角形，使其边长为a，其作法是

（1）作线段AB＝___________。

（2）分别以A、B为圆心，以___________为半径作弧，两弧交于点C。

（3）连结___________和___________。

则△ABC为所求的等边三角形。

（二）选择题：

1.下列作图语言，叙述正确的是（）

A.以A、B为端点，作直线AB B.以B为端点，作射线AB C.作线段AB，使AB＝a D.连结AB，使AB⊥a 2.已知直角三角形的一直角边为2，一锐角为60°，则这个直角三角形的周长为（）

A.B.C.D.3.如图3，AB⊥CD，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，若CD＝8，BE＝3，则AC为（）

图3 A.8 B.5 C.3 D.4.下列现象属于旋转的是（）

A.摩托车在急刹车时向前滑动

B.空中飞舞的雪花

C.拧开自来水龙头的过程

D.飞机起飞冲向空中的过程

5.某三角形三边长分别是整数，周长是11，一边长是4，则这个三角形可能的最大边长是（）

A.7 B.6 C.5 D.4 6.有六根细木棒，它们的长度分别是2，4，6，8，10，12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的比度分别为（）

A.2，4，8 B.4，8，10 C.6，8，10 D.8，10，12 7.下列条件中，能判定△ABC≌△A'B'C'的是（）

①∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C' ②AB＝A'B'，∠A＝∠A'，∠C＝∠C' ③AB＝A'B'，AC＝A'C'，BC＝B'C' ④BC＝B'C'，AC＝A'C'，∠C＝∠A' A.只有③ B.只有②③

C.只有②③④ D.只有①③

8.如图5，将△BAC绕点A旋转60°至△DAE位置，若∠BAC＝120°，则△ABD是_______________三角形。

图5 A.等边三角形 B.等腰三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形

9.如图6，AD⊥AB，AE⊥AC，AD＝AB，AE＝AC，则下列各式中正确的是（）

图6 A.△ABD≌△ACE B.△ADF≌△AEG C.△BMF≌△CMG D.△ADC≌△ABE

（三）已知：在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

求证：。

（四）如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是△ABC内一点，将△ADB绕A点旋转至△AD'C，△AD'C与△ADB能完全重合，求∠DAD'的度数。

图7

（五）已知：如图8△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，点M、N分别在AB、AC上，且∠MDN＝60°

求证：△AMN的周长l＝2

图8

【试题答案】

（一）1.2.3.4.3 5.2，6 6.60°，5 7.三条高线交点，三边

8.330°

9.72°

10.a，a，AC，BC

（二）1.C 2.D 3.D 4.C 5.C 解析：设最大边长为x，则另一边长为7－x，根据三角形三边关系得：4＋7－x＞x，解得，因为x是整数，所以x＝5。

6.C 7.B 8.A 9.D

（三）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°

∵DE⊥AB，∴DE ∵DF⊥AC，∴ ∴DE＋DF

（四）∵△AD'C与△ADB完全重合∴△AD'C≌△ADB ∴∠BAD＝∠CAD' ∵∠BAC＝90°

∴∠BAD＋∠DAC＝90°

∴∠CAD'＋∠DAC＝90°

即∠DAD'＝90°

（五）证明：∵∠ABC＝∠ACB＝60°

∠DBC＝∠DCB＝30°

∴∠DBA＝∠ACD＝90°

∵DC＝DB

∴可将△DBM绕点D顺时针旋转120°得△DCE 即△DCE≌△DBM ∴MD＝ED，∠MDB＝∠EDC，∠MDE＝120°

又∠MDN＝60°

∴∠NDE＝60°

∴△DEN是将△DMN沿DN翻折过来的∴△MDN≌△EDN ∴MN＝EN 即l＝MA＋MN＋AN ＝AM＋AN＋NE ＝（AB－BM）＋（AC＋CE）

＝AB＋AC

＝2 【励志故事】

云在低处飞

姐姐家在福建山区，那一年，她在家对面的半山腰上办了一个黑木茸种植园。在几万截朽木段里挖孔填菌，让它们自然生发。一年下来，姐姐培植的黑木茸，产量并不高，辛辛苦苦360天，保本都有点困难。

后来，姐姐请了一个林科所的专家来把脉，才知症结之所在。原来，黑木茸培植基地处在半山腰上，这里经常飘浮着山云，湿气大，对黑木茸最初的生长不利。专家给姐姐提了个建议，云只在低处飞，只要把基地搬到山顶上去，问题就能得到解决。

姐姐在专家的指导下，把基地上移，当年就喜获丰收。人生何尝不是如此？云只在低处飞，它遮住的只是在底层徘徊的人的去路。若要获得人生的晴空，路径只有一条，就是拼命地向上，向上！

第二篇：全等三角形练习题(证明)

全等三角形练习题（8）

一、认认真真选，沉着应战！

1．下列命题中正确的是（）

A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中线相等

C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形对应角的平分线相等 2． 下列各条件中，不能做出惟一三角形的是（）

A．已知两边和夹角B．已知两角和夹边

C．已知两边和其中一边的对角D．已知三边

4．下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是()

A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D

B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF

C．AB=DE，BC=EF，△ABC的周长= △DEF的周长

D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F

5．如图，在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（）

A．1:2B．1:3C．2:3D．1:

46．如图，∠AOB和一条定长线段A，在∠AOB内找一点P，使P到OA、OB的距离都等于A，做法如下：（1）作OB的垂线NH，使NH=A，H为垂足．（2）过N作NM∥OB．（3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于P．（4）点P即为所求．

其中（3）的依据是（）

A．平行线之间的距离处处相等

B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上

C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等

D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上

7． 如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条 角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（）

A．1︰1︰1B．1︰2︰3C．2︰3︰4D．3︰4︰

58．如图，从下列四个条件：①BC＝B′C，②AC＝A′C，③∠A′CB＝∠B′CB，④AB＝A′B′中，任取三个为条件，ANCA

C F 余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

9．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上 取两点C，D，使CD=BC,再定出BF的垂线DE，使A，C，E在同 一条直线上，如图，可以得到EDCABC，所以ED=AB，因

E

此测得ED的长就是AB的长，判定EDCABC的理由是（）A．SASB．ASAC．SSSD．HL

10．如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边 翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（）

A．80°B．100°C．60°D．45°．

二、仔仔细细填，记录自信！

11．如图，在△ABC中，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠CED=_____．

12．已知△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC的周长为23cm，BC=4 cm，则△DEF的边中必有一条边等于______．

13． 在△ABC中，∠C=90°，BC=4CM，∠BAC的平分线交BC于D，且BD︰DC=5︰3，则D到AB的距离为_____________．

14． 如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出_____个．

BE

BCDE

分别是锐角三角形ABC和锐角三角形ABC中BC,BC边上的高，且15． 如图，AD，ADB，ABAAD

D若使△ABC≌△ABC，请你补充条件___________．(填写一个你认为适A．

当的条件即可)

C

'

'

B D D

17． 如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关

'

C

'

系是__________．

19． 如右图，已知在ABC中，A90,ABAC,CD平

分ACB，DEBC于E，若BC15cm，则△DEB 的周长为cm．

E

C

20．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=900，E是

BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=350，如图，则∠EAB是多少 度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______．

三、平心静气做，展示智慧！

21．如图，公园有一条“Z”字形道路ABCD，其中

AB∥CD，在E,M,F处各有一个小石凳，且BECF，M为BC的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？说出你推断的理由．

22．如图，给出五个等量关系：①ADBC ②ACBD ③CEDE ④DC⑤DABCBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确 的结论（只需写出一种情况），并加以证明．

已知：

求证：

证明：

23．如图，在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C． 求证：点C在∠AOB的平分线上．

A

B

B

如图，已知△ABC和△DEC都是等边三角形，∠ACB=∠DCE=60°，B、C、E在同一直线上，连结BD和AE.求证：BD=AE.2．已知：如图点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE.求证：∠D=∠E.3．已知：E、F是AB上的两点，AE=BF，又AC∥DB，且AC=DB.求证：CF=DE。

4．如图，D、E、F、B在一条直线上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE。求证：⑴AE=CF；⑵AE∥CF；⑶∠AFE=∠CEF。

1、已知：如图，∠1＝∠2，∠B＝∠D。求证：△AFC≌△DEB4、已知：AD为△ABC中BC边上的中线，CE∥AB交AD的延长线于E。

求证：（1）AB＝CE； ５、已知：AB＝AC，BD＝CD

求证：（1）∠B＝∠C

（2）DE＝DF

６．已知：AD为△ABC中BC边上的中线，CE∥AB交AD的延长线于E。７．已知：如图，AB=CD，DA⊥CA，AC⊥BC。

求证：△ADC≌△CBA

求证：（1）AB＝CE；

参考答案

一、1—5：DCDCD6—10：BCBBA

二、11．100° 12．4cm或9．5cm 13．1．5cm 14．4 15．略

16．1AD5 17． 互补或相等 18． 180 19．15 20．350

三、21．在一条直线上．连结EM并延长交CD于F' 证CFCF'． 22．情况一：已知：ADBC，ACBD

求证：CEDE（或DC或DABCBA）

证明：在△ABD和△BAC中 ∵ADBC，ACBD

ABBA

∴△ABD≌△BAC

∴CABDBA∴AEBE

∴ACAEBDBE

即CEED

情况二：已知：DC，DABCBA

求证：ADBC（或ACBD或CEDE）证明：在△ABD和△BAC中DC，DABCBA∵ABA B

∴△ABD≌△BAC

∴ADB C

23．提示：OM=ON，OE=OD，∠MOE=∠NOD，∴△MOE≌△NOD，∴∠OME=∠OND，又DM=EN，∠DCM=∠ECN，∴△MDC≌△NEC，∴MC=NC，易得△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC，∴点C在∠AOB的平分线上．

四、24．(1)解：△ABC与△AEG面积相等

过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，则

AMCANG90

四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形

BAECAG90，ABAE，ACAGBACEAG180



EAGGAN180BACGAN△ACM≌△AGN



D

CMGNS△ABC

ABCM，S△AEG

12AEGN

S△ABCS△AEG

(2)解：由(1)知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和

这条小路的面积为(a2b)平方米．

第三篇：全等三角形的判定复习与总结

全等三角形的判定

一、知识点梳理

注意：判定两个三角形全等必须具备的三个条件中“边”是不可缺少的，边边角（SSA）和角角角（AAA）不能作为判定两个三角形全等的方法。

技巧平台：

证明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观察图形，明确已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法。根据三角形全等的条件来选择判定三角形全等的方法，常用的证题思路如下表：

ABAD

解：相等。理由：连接AC，在△ABC和△ADC中，CBCD

ACAC，∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）△ABC≌△ADC（SSS）

点评：证明两个角相等或两条线段相等，往往利用全等三角形的性质求解。有时根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形。

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例2.（SSS）如图，△ABC是一个风筝架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，证明：AD⊥BC.分析：要证AD⊥BC，根据垂直定义，需证∠ADB=∠ABD≌△ACD求得。

证明：D是BC的中点，BD=CD

ABAC



在△ABD与△ACD中，BDCD

ADAD

BDC

△ABD≌△ACD(SSS)，∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）∠ADB+∠ADC=180（平角的定义）

∠ADB=∠ADC=90，AD⊥BC（垂直的定义）

例3.（SAS）如图，AB=AC,AD=AE,求证：∠B=∠C.分析：利用SAS证明两个三角形全等，∠A是公共角。

ABAC

AA

证明：在△ABE与△ACD中,

AEAD

△ABE≌△ACD(SAS),∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）

例4.（SAS）如图，已知E,F是线段AB上的两点，且AE=BF,AD=BC,∠A=∠B,求证：DF=CE.分析：先证明AF=BE，再用SAS证明两个三角形全等。证明：AE=BF(已知)

AE+EF=BF+FE,即

AF=BE

ADBC



在△DAF与△CBE中,AB

AFBE

△DAF≌△CBE(SAS),DF=CE（全等三角形的对应角相等）

点评：本题直接给出了一边一角对应相等，因此根据SAS再证出另一边（即AF=BE）相等即可，进而推出对应边相等。

练习、如图，AB,CD互相平分于点O，请尽可能地说出你从图中获得的信息（不需添加辅助线）。

例5.（ASA）如图，已知点E,C在线段BF上，BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F,求证：AB=DE.龙文教育东晓南分校电话：020-62769991

分析：要证AB=DE，结合BE=CF，即BC=EF，∠ACB=∠F逆推，即要找到证△ABC≌△DEF的条件。

证明:AB∥DE,∠B=∠DEF.又BE=CF，BE+EC=CF+EC,即BC=EF.BDEF

在△ABC与△DEF中,BCEF

ACBF

△ABC≌△DEF(ASA),AB=DE.例6.（AAS）如图，已知B,C,E三点在同一条直线上，AC∥△ABC≌△CDE.分析：在△ABC与△CDE中，条件只有AC=CE,由AC∥DE，可知∠B=∠D,于是△ABC≌△CDE的条件就有了。证明：AC∥DE，∠ACB=∠E,且∠ACD=∠D.又∠ACD=∠B,∠B=∠D.BD

在△ABC与△CDE中,ACBE,ACCE

△ABC≌△CDE(AAS).解题规律：通过两直线平行，得角相等时一种常见的证角相等的方法，也是本题的解题关键。

例7.（HL）如图，在Rt△ABC中，∠A=90,点D为斜边BC上一点，且BD=BA,过点D作BC得垂线，交AC于点E，求证：AE=ED.分析：要证AE=ED，可考虑通过证相应的三角形全等来解决，但图中没有现成的三角形，因此要考虑添加辅助线构造出两线段所在的三角形，结合已知条件，运用“三点定形法”知，连接BE即可。证明：连接BE.ED⊥BC

于D,∠EDB=90.BABDBEBE

在Rt△ABE与Rt△DBE中，

Rt△ABE≌Rt△DBE(HL),AE=ED.解题规律：连接BE构造两个直角三角形是本题的解题关键。特别提醒：连公共边是常作得辅助线之一。

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三、课堂同步练习

1.如图，AB=AD,CB=CD,△ABC与△ADC

2.如图，C是AB的中点，AD=CE,CD=BE,3.如图，△ABC中，AB=AC,AD是高，求证：(1)BD=CD;(2)∠BAD=∠CAD.4.如图，AC⊥CB,DB⊥CB,AB=DC,求证∠ABD=∠

5.如图，点B,E,C,F在一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证∠A=∠D.龙文教育东晓南分校电话：020-62769991

6.如图，AC和BD相交于点O，OA=OC,OB=OD.求证DC∥AB.7.如图，点B,E,C,F在一条直线上，FB=CE,AB∥

8.如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB。求证：AB=DC。

EED，129.已知B,求证： ABECDE

BC

A

D

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第四篇：“全等三角形”单元小结与复习

“全等三角形”单元小结与复习

一、选择题（每题3分，共30分）

1、在△ABC与△DEF中，已知AB=DE，∠B=∠E，增加下列条件后，还不能断定△ABC≌△DEF的是（）

A．BC=EF

B．AC=DF

C．∠A=∠D

D．∠C=∠F

2、如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B=∠D=30°，∠ACB=∠AED=110°，∠DAC=10°，则∠DFB等于（）

A．50°

B．55°

C．60°

D．65°

3、如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中共有全等三角形（）

A．2对

B．3对

C．4对

D．5对

4、如图，AB=AC，BE⊥AC，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（）

A．只有①

B．只有②

C．只有①和②

D．①②③

5、如图，△ABC≌△A′B′C′，且∠A︰∠ABC︰∠ACB=1︰3︰5，则∠BCA与∠BCB′的比等于（）

A．1︰2

B．1︰3 C．5︰4

6、下列四种说法中，不正确的是（）

D．2︰3 A．在两个直角三角形中，若两直角边对应相等，则斜边上的中线也对应相等

B．在两个直角三角形中，若斜边和一直角边对应相等，则这两个三角形的面积也相等

C．在两个直角三角形中，若斜边对应相等，则这两个直角三角形的周长也相等

D．在两个直角三角形中，若斜边和其中一个锐角对应相等，则这两个直角三角形斜边上的高也对应相等

7、AD是△ABC的角平分线，自D向AB、AC两边作垂线，垂足为E、F，那么下列结论中错误的是（）

A．DE=DF

B．AE=AF

C．BD=CD D．∠ADE=∠ADF

8、如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，则（）

A．△ABD≌△AFD

B．△AFE≌△ADC

C．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE

9、如图，AB//CD，AC//BD，AD、BC相交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的三角形有（）

A．5对

B．6对

C．7对

D．8对

10、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF（）

A．大于EF

B．小于EF

C．等于EF

二、填空题（每题3分，共18分）

D．与EF的大小无法比较

11、已知△ABC≌△DEF，A与D是对应顶点，B与E是对应顶点，△ABC的周长为18cm，AB=5cm，BC=6cm，则DE=________cm，EF=________cm，DF=________cm．

12、已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为18cm，则EF边上的高为________．

213、△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件________，若加条件∠B=∠C，则可用________判定．

14、BM为△ABC中AC边上的中线，若AB=2，BC=4，则中线BM的取值范围是________．

15、（2004·绍兴）如图，在△ABC中，CD⊥AB，请你添加一个条件，写出一个正确的结论（不要在图中添加辅助线，字母）

条件：________________________________ 结论：________________________________

16、在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，∠A的平分线AD交BC于D．且CD︰DB=3︰5，则D到AB的距离为________．

三、解答题（共72分）

17、（8分）如图，已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC//AB．求证：AE=CE．

18、（10分）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=EC，求证：AB=AC．

19、（10分）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长，请说明理由．

20、（10分）小明在墙上钉了一根木条，想检验木条是否是水平的？聪明的小华想出了这样的一个办法：如图，做一个三角架使AB=AC，并在BC的中点D处挂一重锤，自然下垂，调整架身，使A点恰好在重锤线上．那么BC就处于水平位置，你能说明理由吗？

21、（12分）如图，AC//BD，EA，EB分别平分∠CAB，∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC＋BD．

22（10分）如图，在△ABE和△ACD中，得出以下四个论断：（1）AB=AC；（2）AD=AE；（3）AM=AN；（4）AD⊥DC，AE⊥BE，以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，以一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．

已知：________________________________．

求证：________________________________ ．

23、（12分）如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠D＋∠B=180°，求证：AD＋AB=2AE．

答案：

一、选择题

1～

5、ＢＡＤＤＣ

6～

10、ＣＣＤＣＡ

提示：

2、∵∠ACB=110°，∠B=30°，∴∠CAB=180°－110°－30°=40°．

又∵∠DAC=10°，∴∠DAB=50°，∴∠DOB=∠DAB＋∠B=80°，∴∠DFB=∠DOB－∠D=80°－30°=50°．

5、设∠A=x°，则∠ABC=3x°，∠ACB=5x°．

∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠BCB′=∠ACA′．

又∵∠ACA′=∠B＋∠A=4x°，∴∠BCB′=4x°，∴∠BCA︰∠BCB′=5︰4．

8、∵∠ADC=∠1＋∠B，∠3=∠1，∴∠ADE=∠B．

又∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE．

又∵AC=AE，∴△ABC≌△ADE．

10、延长FD到G，使DG=DF，连结BG、EG．

先证△BDG≌△CDF，得BG=CF．

再证△EDG≌△EDF，得EG=EF，则△BEG中，BE＋BG>EG，∴填A．

二、填空题 11、5，6，712、6cm

13、AB=AC，AAS 14、1

15、AD=DB，AC=BC．

16、6cm 提示：

12、设EF边上的高为xcm，则×6x=18，∴x=6cm．

14、延长BM到N，使MN=BM，连结CN，则△CMN≌△AMB，∴CN=AB=2，∴△BCN中，4－2

即2<2BM<6，∴1

16、过D作DE⊥AB于E，则易证DE=DC．

设CD=3x，DB=5x，则3x＋5x=16，∴x=2，∴DE=3x=6(cm)．

三、解答题

17、证明：

∵FC//AB，∴∠F=∠3．

在△AED和△CEF中

∴△AED≌△CEF，∴AE=CE．

18、证明：

过A作AF⊥BC于F，∴∠AFD=∠AFE=90°．

在Rt△AFD和Rt△AFE中

∴Rt△AFD≌Rt△AFE，∴DF=EF．

又∵BD=CE，∴BF=CF．

在△ABF和△ACF中

‘

∴△ABF≌△ACF，∴AB=AC．

19、已知：AB⊥BF于B，ED⊥BF于D，AE、BF交于点C，且CD=BC． 求证：DE=AB．

证明：在△DEC和△BAC中

∴△DEC≌△BAC，∴DE=AB． 20、已知：△ABC中，AB=AC，BD=CD，DA是铅锤线．

求证：BC处于水平位置． 证明：在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD，∴∠1=∠2．

又∵∠1＋∠2=180°，∴∠1=90°，∴DA⊥BC．

又∵DA是铅锤线，∴BC处于水平位置．

21、证明：在AB上截取AF=AC，连结EF．

在△ACE和△AFE中

∴△ACE≌△AFE，∴∠3=∠C．

又∵AC//BD，∴∠C＋∠D=180°．

又∵∠3＋∠4=180°，∴∠4=∠D．

在△BEF和△BED中

∴△BEF≌△BED，∴BF=BD．

又∵AB=AF＋BF，22、已知：如图，在△ABE和△ACD中，AB=AC，AD=AE，AD⊥DC，AE⊥BE．

求证：AM=AN．

证明：∵AD⊥DC，AE⊥BE，∴∠D=∠E=90°．

在Rt△ADC和Rt△AEB中

∴Rt△ADC≌Rt△AEB，∴∠DAC=∠EAB，∴∠1=∠2．

在△ADM和△AEN中

∴△ADM≌△AEN，∴AM=AN． ∴AB=AC＋BD．

23、证明：延长EB到F，使EF=EA，连结CF． 在△ACE和△FCE中

∴△ACE≌△FCE，∴∠3=∠F，AC=CF．

又∵∠3=∠4，∴∠4=∠F．

又∵∠1＋∠2=180°，∠D＋∠1=180°，∴∠D=∠2．

在△ADC和△FBC中

∴△ADC≌△FBC，∴AD=FB．

又∵AF=2AE，∴AD＋AB=2AE．

第五篇：平行线和全等三角形练习题

初一数学 姓名：

1、已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AC=DF，AB//DE，EF//BC，（1）试说明 ⊿ABC≌⊿DEF（2）∠CBF=∠FEC

2、如果两个三角形有两个角和这两个角夹边的高对应相等，那么这两个三角形全等。已知：在和中

于D，于D’，且

求证：

3、如图⊿ABC和⊿ECD都是等腰直角三角形，点C在AD上，AE的延长线交BD于点F，求证：AF⊥BD

4、如图(1)⊿ABC中, ∠ABC=45.,H是高AD和BE的交点,(1)请你猜想BH和AC的关系,并说明理由

(2)若将图(1)中的∠A改成钝角，请你在图（2）中画出该题的图形，此时（1）中的结论还成立吗？请说明理由。

5、已知，如图AB//CD，BE、CE分别是、的平分线，点E在AD上，求证：

6、如图⊿ ABC中，∠ACB=900，AC=AB，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D，求证 ：AE=CD

7、如图所示，CF、BE是⊿ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，（1）AP与AQ的关系

QA

F

E

P CB

（2）题中的⊿ABC改为钝角三角形，其它条件不变，上述结论还正确吗？请画图并证明你的结论。

A

BC

8、以知∠AOB=900，OM平分∠AOB，将一块直角三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA、OB交于点C、D，则线段PC与PD相等吗？为什么？

9、如图（1）A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC若AB=CD，G是EF的中点吗？请证明你的结论。若将 ⊿ABC的边EC经AC方向移动变为图（2）时，其余条件不变，上述结论还成立吗？为什么？

10、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2•是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连结DC．

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：•结论中不得含有未标识的字母）．（2）证明：DC⊥BE．

答：

2、证明：在和中

在（全等三角形对应边相等）和中

5、证明：

AB//CD

又BE、CE平分

（三角形内角和定理）

在BC上取BF＝BA，连结EF 在和中

在

（全等三角形对应角相等）

（等量代换）和中

（全等三角形对应边相等）