全等三角形 总结（五篇范文）

第一篇：全等三角形 总结

全等三角形 知识点梳理

一基本概念

1、全等的理解： 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形（2）大小相等的图形;即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形

2、全等三角形的性质

（1）全等三角形对应边相等（2）全等三角形对应角相等

3、全等三角形的判定方法

（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)（边边边）

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）（角边角）

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)（角角边）

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)（边角边）

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

4、角平分线的性质及判定

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

二、灵活运用定理

1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找（边）

@ 夹边相等（ASA）@ 任一组等角的对边相等(AAS)

（2）已知条件中两边对应相等，可找（角或边）

@夹角相等（SAS）@第三组边也相等（SSS）

（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找（角或边）

@任一组角相等(AAS或ASA)@夹等角的另一组边相等(SAS)

第二篇：全等三角形

复习提问 通过前两个问题复习巩固上一节所讲的知识，通过问题3引导学生认识到三角形全等是证明角相等、线段相等的重要方法，然后设疑，如何证明两个三角形全等？从而引出课题。

活动二：讲授新课 全等三角形的判定条件的探究 首先提出

问题1：两个三角形三条边相等、三个角相等，这两个三角形全等吗？学生通过观察图形和课件演示，会很容易作出恳定的回答。

问题2：两个三角形全等是不是一定要六个条件呢？若满足这六个条件中的一个、两个或三个条件它们是否全等呢？然后教师引导学生分别从“角”和“边”的角度分析一个条件、两个条件各有几种情形。引导全班同学首先共同完成满足一个条件的情况的探究，然后指导学生分组讨论，对满足两个条件的 情况进行探究，并在组内交流，教师深入小组参与活动，倾听学生交流，并帮助学生比较各种情况。最后由教师在投影上给出满足一个条件和两个条件的几组三角形，学生通过观察图形就会得到一结论：两个三角形若满足这六个条件中的一个或两个条件是不能保证两个三角形一定全等的。

问题3：两个三角形若满足这六个条件中的三个条件能保证它们全等吗？满足三个条件有几种情形呢？由学生分组讨论、交流，最后教师总结，得出可分为四种情况，即三边对应相等、三角对应相等、两边一角对应相等、两角一边对应相等。告诉学生这一节先探究两个三角形满足三条边相等时，两个三角形是否全等？对于此问题我是这样引导学生探究的，先让学生在练习本上各画一个边长分别为2、3、4的三角形（当然在这里要先给学生讲清楚已知三边如何画三角形，并且让学生牢记此种画三角形的方法），学生画好之后剪下来，同桌之间进行比较、验证，看它们是否重合。同时教师在投影上给出两个边长为2、3、4的三角形，通过课件演示，学生会看到两个三角形的三边对应相等，它们是全等的。从而得到全等三角形的判定方法，即：有三条边对应相等的两个三角形是全等三角形。得到全等三角形的判定条件之后，还要给学生讲清楚证明三角形全等的书写格式，即：先要写出在那两个三角形中，然后用大括号把全等的三个条件括住，最后写出全等的结论。由于学生刚开始学习全等三角形的证明，对三角形全等的书写格式还不熟悉，所以教师在此要强调三角形全等的书写格式以及应注意的问题。

活动三：题例训练 例1是两道填空题，需要补全三角形全等的条件，在讲解此题时关键是让学生看清图中两个三角形全等已具备哪些条件，还缺什么条件，把所缺的条件补上即可。通过此题要使学生进一步掌握三角形全等的判定条件及证明三角形全等的书写格式和应注意的问题。

第三篇：全等三角形总结

全等三角形总结

A．考点精析、重点突破、学法点拨 “全等四解”

全等三角形是初中平面几何的重要内容，它为解决线段以及角的相等问题提供了重要工具，也为以后的学习奠定了必要的基础，因此要学好平面几何，必须重视全等三角形的学习．那么怎样才能学好它呢？本文谈四点意见，供同学们学习时参考．

组成全等三角形的基本图形大致有以下几种：

①平移型，如图中的两种图形属于平移型，它们可看成是由图形随某一组对应边在同一直线上移动所构成的，故该对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段之和或差得到；

②对称型，如下图中的四种图形属于对称型，它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点；

③旋转型．如图中的两种图形属于旋转型，它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转而构成的，故一般有一对相等的角隐含在对顶角或某些角的和或差中．

一、从“对应”看全等三角形

在说明三角形全等时，需要找出它们的对应边和对应角，那么，如何正确地找到全等三角形的对应边和对应角呢？下面介绍三种方法，希望对同学们有所帮助．(1)字母顺序确定法

由于在表示两个全等三角形时，通常是把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，所以可以利用字母的顺序确定对应元素．(2)图形特征确定法

①有公共边的，公共边一定是对应边．

如下左图，△ADB和△ADC全等，则AD一定是两个三角形的对应边．

②有公共角的，公共角一定是对应角，如上中图，△ABD和△ACE全等，∠DAB和∠EAC是对应角． ③有对顶角的，对顶角是对应角．

如上右图，△ABE和△CDF全等，则∠1和∠2是对应角． ④两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角）；最小的边（角）是对应边（角）．(3)图形分离法

从复杂的图形中，找出全等三角形的对应部分是较困难的，这时可把要证全等的两个三角形从图形中分离出来，用不同颜色标出或另画，图形简单了就容易找出对应元素． 例 如图，点C是线段AB上一点，AC=MC=AM，BC=NC=BN，∠ACM=∠NCB=60°，请说明：BM=AN.B．中考常考题型与解题方法技巧

一、证明三角形全等的思路

常用三角形全等证明线段、角相等，判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.可以看出，判定三角形全等一般需要三个条件，为了让你掌握这种思路，请结合口诀学习：

读已知，做标记，分析起来省力气；寻隐含，看仔细，发现图中隐藏点； 想欠缺，要联系，五个判定需牢记．(1)已知两边对应相等

思路：找已知两边的夹角对应相等，联想到“SAS”

例1 如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD.求证：AB=CD．

(2)已知两角对应相等

思路1：找出已知两角的夹边对应相等，联想“ASA'’ 例2 如图，已知在△ABC中，F是AC的中点，E为AB上一点，D为EF延长线上一点，∠A=∠ACD，CD与AE相等吗？说明理由，思路2：找已知一角的对边对应相等，联想“AAS” 例3 如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，AC与BD相等吗？为什么？

(3)已知一边及某一邻角对应相等

思路1：找已知角的另～邻边对应相等，联想“SAS”．

例4 如图6-32，点A、E、F、C在同一条直线上，AD=CB，∠A=∠C，AE=CF．请问∠B=∠D 吗？为什么？

思路2：找已知边的另一邻角对应相等，联想“ASA”．

例5 如图，AC和BD相交于点E，AB∥CD，BE=DE.AB与CD相等吗？说明理由．

思路3：找已知边的对角对应相等，联想“AAS”．

例6 如图，已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，∠B=∠D，请问AF=CE吗？为什么？

(4)已知一边与其对角对应相等

思路：找另一角对应相等，联想“AAS”． 例7 AD与BC相交于O，构成如图所示图形，已知∠C=∠D，AO=BO，请问△AOC≌△BOD吗？为什么？

二、谈“截长”论“补短”

常利用三角形全等证明两线段相等，在证明一条线段等于另外两条线段的和时，常用到“截长法”与“补短”法．(1)截长法

所谓截长法，就是在长线段上截取一段，使截取的线段等于两条短线段中的一条线段，然后证明剩下的线段等于两条短线段中的另一条线段．

例8 如图，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠CAB.求证：AC+CD=AB.(2)补短法

所谓补短法，就是延长两条短线段中的一条线段，使延长的部分等于两条短线段中的另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段．

仍以上面例题为例．欲证AC+CD=AB，可延长AC到E，使CE=CD，连结DE，设法证明AB=AE 即可．如下图：

注：由以上两种证法不难看出，无论是“截长法”还是“补短法”，都是通过作辅助线构造全等三角形和等腰三角形，并借助它们的相关知识达到证明的目的．希望同学们把这两种方法掌握好．

三、“测量妙法”之“全等”

全等三角形在现实生活中应用十分广泛，下面就如何利用三角形全等解决生活中的测量问题举例说明．

例9 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，由于条件限制无法直接测量，请你用学过的知识设计一种测量方案，并说明这样做的道理．

用同样的方法可以测量底部不可以直接测量的小山的宽度、古塔的底面直径等．

例10 有一河流，河的两岸有两棵树A、B，假设A、B之间的距离即为河宽，现有若干标杆及卷尺，请你设计一个方案测量河宽AB，并说明道理．

例11 拿破仑曾在作战过程中用一种巧妙的方法测量河宽，当时法军和俄军在莱茵河的两岸作战，法军要使炮弹准确地落到对面的河岸上，就必须知道河有多宽，如何测量呢，要在平时可以过河测量，而当时双方对阵，不可能这样做．拿破仑是这样做的：如图，先站直身体，调整头上的军帽的帽舌，使他的视线最远处恰好落在河对岸C处．然后保持头部的位置不变（即保证人的视角不变），全身向左转或右转或者后转，哪个方向的地面比较平坦，便于测出距离，就转向哪个方向，再找出从帽舌下望去的最远的点D，从测量人站立的位置B到点D的距离就是河宽．你能说明理由吗？

从上述几何题可以得出，当我们遇到不能直接测量某条线段长度的问题时，可以利用全等三角形，把需要测量的线段转换成为可以测量的线段，再进行测量，从而解决问题．

四、“全等三角形”用武之地

全等三角形的性质作用巨大，应用广泛．下面分类说明“全等三角形”之“用武之地”．(1)证明线段或角相等

基本思路：先根据已知条件证明线段或角所在的两个三角形全等，然后再利用全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等和全等三角形的对应角相等”证明线段或角相等． 例12 已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE=FE．求证：AE=CE．

例13 如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．

(2)证明两线段的和差等于另一条线段

基本思路：证明两线段和或差等于另一条线段，常利用全等等“手段”将要证明的两线段转化到同一线段上，然后再根据具体情况确定和或差，例14 如图，已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧．BD⊥AE于D，CE⊥AE于E求证：BD=DE+CE．

例15 如图，已知：AD∥BC，∠1=2，∠3=∠4，直线DC过点E交AD于D，交BC于点C． 求证：AD+BC=AB．

(3)证明线段的不等

基本思路：利用已知条件中的角平分线、中线可以构造全等三角形，从而将相关线段转移到一个三角形里面，进而利用“三角形两边之和大于第三边”使问题获得解决． 例16 如图，点P是△ABC的角平分线AD上任意一点，AB>AC．求证:AB-AC>PB-PC.(4)证明面积相等

基本思路：由于全等三角形面积相等，因此可先我出图中的全等三角形的面积，再确定要求的三角形面积和已求出的全等三角形的面积之间的关系即可．

例17 已知：如图,∠CAB =∠DBA，AC=BD.求证：(1)AD=BC；(2)SAOCSBOD．

五、全等变换话全等

我们把只改变图形的位置，而不改变其形状、大小的图形变换叫做全等变换．全等变换包括平移变换、翻折变换、旋转变换三种方式．全等变换前后的两个图形全等，具有全等图形的所有性质．利用全等变换，可以为研究几何图形提供思路．(1)判断图形变换方式

例18 如图ABC≌ABC，通过怎样的全等变换，可以使它们重合？

(2)判断线段的数量和位置关系

例19 如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=1AB．已知△ABE≌

2△ADF，指出图中线段BE和DF的数量和位置关系，并说明理由．

(3)求角的大小

例20 如图，把长方形ABCD沿AE翻折，使点D落在BC边上的点F处，如果∠BAF=60°，则∠DAE为多少度？

例21 如图，△ABC绕顶点A顺时针旋转，若∠B=30°，∠C＝40°． 问：(1)顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB'C'的顶点B'与原△ABC的顶点C和A在同一直线上？

(2)再继续旋转多少度时，C、A、C在同一直线上？（原△ABC是指开始时的位置）六、三角形中添加辅助线的技巧 ⑴倍长中线法

本法常用于题目条件中有中线，且结论不易直接证明的题目． 例22 如图，已知AD为△ABC的中线，试说明AB+AC>2AD.⑵翻折、旋转法

例23 如图D是等边△ABC外一点，且∠ADB= 60°．试说明AD= BD+DC．

⑶添线构成特殊三角形法（等腰三角形、等边三角形、直角三角形、全等三角形）

例24 如图，在△ABC中,∠B=60°，AD、CE分别为∠BAC、∠ACB的角平分线．试说明AE+CD=AC．

七、“慧眼识图形”

一般来说，两个全等三角形的相互位置关系无论怎样变化，总离不开“转、移、翻”这 三种基本形式，如图所示：

旋转型：

平移型：

翻转型：

1．熟悉判断两个三角形全等的基本思路

例25 如图，已知AB=AC，∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，请你说明BD=CE的道理．

2．构造基本图形

同学们在解题时，常遇到已知条件与结论无法直接联系的情况，这就需要构造出基本图形来创造条件，为说明结论服务．

例26 如图，已知AB=CD，AC=DB，试说明∠B=∠C的理由． C．数学思想方法与中考能力要求

一、方程思想

例1 如图，若等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15 cm和6 cm的两部分，求该三角形各边的长．

例2 已知从多边形一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成三角形的个数恰好等于该多边形所有对角线条数，求多边形内角和．例3 如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC边上盼一点，∠BAD=20°，E是AC边上一点，连结DE，且∠ADE=∠AED，求∠EDC的度数．

二、转化思想

例4 一个零件的形状如图所示，规定∠A=90°，∠B和∠C分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC=149°，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的原因，三、分类讨论思想

例5 已知等腰三角形的两边长分别为5 cm和10 cm，求此三角形的周长．

例6 已知等腰三角形周长为21 cm，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为3 cm的两个三角形，求等腰三角形各边的长．

例 在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB于点F，DF的延长线交AC于点G，试问：

A

E ⑴DF与BC有何位置关系？请说明理由． ⑵FG与FE有何数量关系？请证明你的结论．

G

F

C

B

D 9

第四篇：全等三角形说课稿

《全等三角形（第一课时）》说课稿

一、教材简介：

义务教育课程标准实验教科书鲁教版五四学制初中数学七年级下册第十章第一节《全等三角形》第一课时。

二、教学目标：

1、课程标准的要求：

本节课是关于全等三角形的证明的相关知识，需要从全等三角形的三个基本事实出发，利用它们的结论进行一些相关的几何结论。通过本节课的学习，要使学生能够掌握证明的基本步骤和书写格式，能灵活地运用三个基本事实和一个定理来判定两个三角形全等，并得到相关结论。课标要求尽可能地降低学生的学习难度。对于定理的证明，应该让学生进行，以便于学生熟悉证明的基本要求和步骤，为今后的做题做准备。

2、对教材的进一步研究：

本节课的教材内容共分三部分：一是有关全等三角形的三个基本事实。这一部分内容在初二上册的内容中已经接触过，学生完成的难度不是太大，基本上都能掌握。在教学过程中教师在引导学生掌握内容的同时可以根据学生的实际情况，复习一下这三个基本事实在运用的过程中的一般思路，为下面定理的证明以及运用定理解题打下基础。二是AAS定理的证明过程，定理的证明过程虽然比较简单，也应让学生进行证明，以熟悉证明的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。本章课本的证明过程没有标注理由，在实际的教学过程中，教师可以根据学生的实际情况，让学生有选择性地对一些步骤加上理由。三是运用有关全等三角形的基本事实和定理来解决相关的问题。在这一部分中，教师的主要职责是帮助学生学习解题思路，交给学生去寻找判定两个三角形全等的条件，并进一步规范学生的证明过程，让学生养成良好的学习习惯。

3、学情分析：

在初二上学期时已经学过了关于全等三角形的几个基本事实，并能运用这几个事实来说明两个三角形全等。本节课实在前面学习过的基础上进一步学习AAS定理并能加以运用。本节课学生学习的重点是熟悉证明的基本要求和步骤，掌握证明线段相等或角相等的一般思路。学生在掌握证明的基本要求和步骤时难度较大，很多学生不能准确、清晰、简洁地组织证明步骤。教师在教学过程中可以让学生先自己写出AAS定理的证明过程，然后对照课本的步骤，查漏补缺，找到自己存在的不足，然后加以改正，从而提升学生的写步骤的能力。同时可以通过本节课的内容帮助学生养成严谨的学习习惯。

4、自我背景性经验剖析：

本节课的内容难度不大，但是是今后解决几何问题的重要依据和方法，在一些实际问题中也经常需要用到全等三角形的模型，在教学过程中可以加入适当的情景导入，激发学生的学习兴趣，通过一些小的例子，使学生明白养成严谨的做题习惯的必要性，努力地使学生乐于接受本节课的相关内容。

5、制定本节课具体的课时目标：

（1）全体学生都能说出证明三角形全等的三条基本事实，60%的学生能写出AAS命题的证明，49&的学生能灵活应用SAS,ASA，SSS和AAS来判定两个三角形全等。

（2）三分之二的学生能掌握命题证明的基本步骤和格式，会根据命题写出已知、求证和证明，并画出图形。

（3）30%的学生能认识部分和全等三角形有关的基本图形，掌握分析法解题的思路。

（4）全体学生养成规范、严谨的解题习惯。

三、教材重整：

本节课的内容是在原有的证明三角形全等的基本事实的基础之上，进一步来证明“AAS”定理，并能加以运用，之后可以综合运用相关的定理进行全等的证明，并掌握证明的基本步骤和书写格式。为了培养学生的解题思路，为下面命题的证明做准备，我对三条基本事实进行了深加工，用视频演示的方法对“重叠法”证明全等进行了讲解，并让学生进行模仿，对另外的基本事实进行了简单的证明，重点培养了 部分学优生的解题思路。这一部分对中等生和学困生的完成情况不做进一步的追究，体现出了差异性。

四、教学过程：

（一）教学范型：本节课是初二数学差异教学的课程，这是根据我校的数学成绩较为落后，学困生较多、学习积极性不高的现状，所采取的促进不同水平的学生共同发展的一种举措，倡导差异合作来促进学生的差异化发展，属于分组共建的模式。

（二）课堂的整体架构：本节课的内容分为四大部分：自主探究、合作交流、巩固练习、当堂测评。

（1）自主探究：

在这一环节中，先让学生通过一个知识链接对以前学过的知识做一个简单的回顾，并为后面的学习进行一些知识储备。这一环节内容难度不大，需要让全体同学都参与进去，让全班同学都掌握这一部分。然后进入到本节的探究题目中。

探究分为两大部分，第一部分是对三条基本事实的证明过程的探究，学生利用自己制作的全等三角形的纸片，结合视频教学的内容，探讨基本事实的证明过程，这一部分的难度较大，在学法指导上明确学生的分工，对于优等生尝试去解决证明方法的问题，并努力用语言进行交流展示，中等生大致上可以了解证明的一般思路即可，而对于学困生，只需要利用手中的纸片，能进行两个三角形的重叠，明确两个三角形全等即可。

【细节一】学生通过观看视频，学习基本事实的证明过程，观看较为认真，为下面的问题解决提供了思路。

设计理念：关注学生在自学能力方面的差异，让学生通过本环节，学会用模仿的方式来解决数学问题，进一步理解证明两个三角形全等的几种方法，为下面定理的证明做准备，同时通过让学生交流，初步了解证明的一般思路和过程，明确应该从哪些方面来说明两个三角形全等。

第二部分是探究“AAS”定理的证明过程。这一部分需要学生首先明确对于命题的证明的一般步骤，这一内容对学生思维能力的要求不高，全体学生基本上都能完成，学困生能明确这一点就可视为合格；中等生在小组合作的前提下能找到相应的证明思路即可，由优等生进行评价、补充；学优生在完成前面内容的基础上能规范、完整地写出解题步骤，并能类比这一步骤进行相关的证明方可达标。

【细节二】学生在完成探究二的题目时，由于对以前的知识点不够熟悉，在不同水平的学生之间存在较大的差异，在小组合作学习时采取一对一的方式，让学优生帮忙解决。

设计理念：关注学生的基础差异，防止学生不参与小组合作学习或者直接照抄学优生的答案，努力提升学生的学习积极性。（2）合作交流：

在这一环节中，学生交流展示在上一环节中的学习成果，在展示的过程中，首先教师依据小组合作情况点名展示，主要是对中等生的成果展示，学生的展示重点是对定理证明过程中的操作演示，展示后由其他同学进行补充，补充的内容仍然是以操作为主，优等生可以对证明的思路进行讲解。这一环节关注的是不同层次的学生在小组合作学习中的参与度，让不同水平的学生都能得到参与课堂、展示自我的机会。学生的总体表现较为理想，主动交流的效果比较显著。

【细节三】学生交流基本事实的证明过程，第一名同学的思路出现较大的问题，由其他同学加以补充，尽管都不是很理想，但是对不同水平的学生的表现都给予肯定。

设计理念：关注学生的思维能力差异和语言表达能力的差异，尽量使全体同学都能参与到课堂中来，提升学生的自信心。多给学困生展示 自我的机会。

【细节四】学生交流探究二的问题的答案，学困生答案很疑惑，通过同学的补充才得以完成。

设计理念：关注班内差异。点名让学生回答，找出学生容易出现的问题，学生可以主动加以改正。

（3）巩固练习：

在这一环节中设置的是和本节课内容关系紧密的练习题，让学生通过解题的形式对本节课的相关知识点加以巩固。练习题的设置紧扣本节课的知识点，以A、B、C的标记作为题目分层设计的依据，让不同层次的学生选择适合自己的学习水平和认知结果的题目。题目的设计做到了分类、分层，使学优生有选择地多做练习，认识不同的题目类型，中等生有自己的选择目标和上升的空间，给他们努力地动力，学困生有题可做，能找到自己会做的题目，在掌握基础知识的同时给自己学习的信心。

（4）当堂检测：

这一环节是对本堂课学生对知识的掌握情况的一个反馈，检测题的设置仍然贯彻分类、分层的原则，不同的学生有选择性地进行测试。在题目上有清晰地分类标志，满足不同学生的需要。检测的时间大约为5分钟，检测完成后集体批改，把测试的结果进行小组合作学习的量化。在量化的过程中不是单纯地以做对题目的数量来进行加减分，而是以不同层次的学生的总体表现来进行小组考核。比如说每组5/6号同学能完成A组题目即可得到满分，中等生完成A、B组题目也可得到满分的形式进行，在很大程度上也保存了学困生的学习兴趣。

【细节五】布置作业。

设计理念：正视学生的差异，关注差异。给学习程度不同的学生布置不同的作业，让其都能在不同层面上得到发展。

五、自我反思：

本节课上完以后，发现了不少存在的问题，下面对比较突出的问题进行一个总结反思，以便于今后加以改进。

1、本节课的课堂内容设计较为合理，但是课前对学生的基础与能力预估不够，对学生有较为严重的高估，导致学生不能按时、顺利地完成每一环节的要求和内容，从而导致课堂教学时间的安排不够合理，最后时间较为仓促、紧张，教学内容没能全部完成。

2、在关注学生的差异性方面，能够力求关注全体学生，不让学生有无从下手的感觉，使学困生有事做、有收获，但是在实际的操作过程中，过于紧张课堂时间，在很多环节上，给学困生的发挥展示空间和时间不足，学生的整体差异体现不够清楚。

3、课堂气氛的调度不够，学生的参与积极性不够高，小组合作学习时，不能很好地进行交流，课堂不够活跃。

4、对于学生解题步骤的规范性要求不到位，对于几何语言的表述强调不够，会影响今后学生的证明思路。

第五篇：全等三角形教案

11．1全等三角形

教学目标：1了解全等形及全等三角形的的概念； 2 理解全等三角形的性质

在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉，学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣

重点：探究全等三角形的性质

难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角 教学过程：

观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形

问题：你还能举出生活中一些实际例子吗？

这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 思考：

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。

“全等”用表示，读作“全等于”

两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如ABC和DEF全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作ABCDEF

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合 的角叫做对应角

思考：如上图，11-1ABCDEF，对应边有什么关系？对应角呢？ 全等三角形性质：

全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等。

思考：（1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角

BCAoOADBDCACDBCDAB

（2）将ABC沿直线BC平移，得到DEF，说出你得到的结论，说明理由？

AADDEBECFBC

DC（3）如图，ABEACD,AB与AC，AD与AE是对应边，已知：A43,B30，求A的大小。

小结：

作业：P4—1，2，3

课题：11．2 三角形全等的条件(1)

教学目标

①经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程． ②掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性． ③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神． 教学难点

3

三角形全等条件的探索过程．

一、复习过程，引入新知

多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．

二、创设情境，提出问题

根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢? 组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳．

三、建立模型，探索发现

出示探究1，先任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'，满足上述条件中的一个或两个．你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗? 让学生按照下面给出的条件作出三角形．(1)三角形的两个角分别是30°、50°．(2)三角形的两条边分别是4cm，6cm．(3)三角形的一个角为30°，—条边为3cm．

再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．

出示探究2，先任意画出一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝CA，把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗? 让学生充分交流后，在教师的引导下作出△A'B'C'，并通过比较得出结论：三边对应相等的两个三角形全等．

四、应用新知，体验成功

实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的． 鼓励学生举出生活中的实例．

给出例l，如下图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD．

AB

让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程． 例2 如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下： DC

①以A为圆心画弧，分别交角的两边于点B和点C；

②分别以点B、C为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点D； ③画射线AD．

AD就是∠BAC的平分线．你能说明该画法正确的理由吗? 例3 如图四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?你有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试．

ABDC

五、巩固练习

教科书第6页的思考及练习．

六、反思小结

回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．

七、布置作业

1．必做题：教科书第15页习题11．2中的第1、2题． 2．选做题：教科书第16页第9题．

课题：11.2 三角形全等的条件(2)教学目标

①经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力．

②在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理． ③通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神． 教学难点

指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件． 知识重点

应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等． 教学过程（师生活动）

一、创设情境，引入课题

多媒体出示探究3：已知任意△ABC，画△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠A'＝∠A．

教帅点拨，学生边学边画图，再让学生把画好的△A'B'C'，剪下放在△ABC上，观察这两个三角形是否全等．

二、交流对话，探求新知

根据前面的操作，鼓励学生用自己的语言来总结规律：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS)补充强调：角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对边．

三、应用新知，体验成功

出示例2，如图，有—池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?

让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据．(若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析：

要想证AB＝DE，只需证△ABC≌△DEC △ABC与△DEC全等的条件现有„„还需要„„)明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决． 补充例题：

1、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE

ABCDE5

求证： △ABD≌△ACE 证明:∵∠BAC=∠DAE（已知）

∠ BAC+ ∠ CAD= ∠DAE+ ∠ CAD ∴∠BAD=∠CAE 在△ABD与△ACE AB=AC（已知）

∠BAD= ∠CAE（已证）AD=AE（已知）

∴△ABD≌△ACE（SAS)思考： 求证：1.BD=CE 2.∠B= ∠C 3.∠ADB= ∠AEC 变式1：已知：如图，AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE.求证： ⑴ △DAC≌△EAB 1.BE=DC 2.∠B= ∠ C 3.∠ D= ∠ E 4.BE⊥CD

四、再次探究，释解疑惑

出示探究4，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么? 让学生模仿前面的探究方法，得出结论：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．

教师演示：方法(一)教科书98页图13.2-7．

方法(二)通过画图，让学生更直观地获得结论．

五、巩固练习

教科书第9页，练习(1)(2)．

六、小结提高

1．判定三角形全等的方法；

2．证明线段、角相等常见的方法有哪些?让学生自由表述，其他学生补充，让学生自己将知识系统化，以自己的方式进行建构．

七、布置作业

1．必做题：教科书第15页，习题13．2第3、4题． 2．选做题：教科书第16页第10题． 3．备选题：

(1)小明做了一个如图所示的风筝，测得DE＝DF，EH＝FH，你能发现哪些结沦?并说明理由．(2)如图，∠1＝∠2，AB＝AD，AE＝AC，求证BC＝DE．

B

AMDFCE

课题： 11.2 三角形全等的条件(3)

教学目标

①探索并掌握两个三角形全等的条件：“ASA”“AAS”，并能应用它们判别两个三角形是否全等．

②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维．

③敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难． 教学重点

理解，掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”． 教学难点

探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用． 教学过程（师生活动）创设情境 复习：

师：我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些? 生：“SSS”“SAS”

师：那除了这两个条件，满足另一些条件的两个三角形是否 也可能全等呢?今天我们就来探究三角形全等的另一些条件。探究新知：

一张教学用的三角形硬纸板不小心 被撕坏了，如图，你能制作一张与原来 同样大小的新教具？能恢复原来三角形 的原貌吗？

1．师：我们先来探究第一种情况．(课件出示“探究5„„”)(1)探究5 先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，∠A'＝∠A，∠B'＝∠B(即使两角和它们的夹边对应相等)．把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗? 师：怎样画出△A'B'C'?先自己独立思考，动手画一画。

在画的过程中若遇到不能解决的问题．可小组合作交流解决．

生：独立探究，试着画△A'B'C'，(有问题的，可以小组内交流解决„„)„„(2)全班讨论交流

师：画好之后，我们看这儿有一种画法：(课件出示画法，出现一步，画一步)你是这样画的吗? 师：把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，看看它们是否全等． 生：(剪△A'B'C'，与△ABC作比较„„)师：全等吗? 生：全等．

师：这个探究结果反映了什么规律?试着说说你的发现． 生1：我发现„„ 生2：„„

生3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． 师：这条件可以简写成“角边角”或“ASA”．至此，我们又增加了—种判别三角形全等的方法．特别应

AA'

EBDC7

注意，“边”必须是“两角的夹边”．

练习：已知：如图，AB=A’C，∠A=∠A’，∠B=∠C 求证：△ABE≌ △A’CD

例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD

ADOBCE相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。求证：BD=CE

2．探究6 师：我们再看看下面的条件：

在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，△ABC与△DEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗? ABCEDF

师：看已知条什，能否用“角边角”条件证明． 生独立思考，探究„„再小组合作完成． 师：你是怎么证明的?(让小组派代表上台汇报)小组1：„．

小组2：„„投影仪展示学生证明过程(根据学生的不同探究结果，进行不同的引导)师：从这可以看出，从这些已知条件中能得出两个三角形全等．这又反映了一个什么规律? 生l：两个角和其中一条边对应相等的两个三角形全等．

生2：在"ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”，而这里，“边”可以是“其中一个角的对边”．

师：非常好，这里的“边”是“其中一个角的对边”．那怎样更完整的表述这一规律? 生1：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

师：生1很好，这条件我们可以简写成“角角边”或“AAS”，又增加了判定两个三角形全等的一个条件．

强调“AAS”中的边是“其中一个角的对边”．

多让几个学生描述，进一步培养归纳、表达的能力．

例2．教材11页1题。

师：从这道例题中，我们又得出了证明线段相等的又一方法，先证两线段所在的三角形全等，这样，对应边也就相等了． 探究7：

(1)三角对应相等的两个三角形全等吗?(课件出示题目)师：想想，怎样来探究这个问题? 生1：„„

生2：„．

引导学生通过“画两个三角对应相等的三角形”，看是否一定全等，或“用两个同一形状但大小不同的三角板”等等方法来探究说明．

师：这一规律我们可以怎样表达? 生1：„．

生2：三个角对应相等的两个三角形不一定全等．

(2)师：说得非常好．现在我们来小结一下；判定两个三角形全等我们已有了哪些方法?

生：SSS SAS ASA AAS 小结提高

师：这节课通过对两个三角形全等条件的进一步探究，你有什么收获? 巩固练习

教科书第11页，练习2． 布置作业

1。必做题：教科书第13页习题11.2第6、11题

2．如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢?如果可以，带哪块去合适?为什么? ⑵⑴

课题： 11.2 三角形全等的条件(4)

教学目标

①探索并掌握两个直角三角形全等的条件：HL，并能应用它判别两个直角三角形是否全等．

②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维． ③提高应用数学的意识． 教学重点

理解，掌握三角形全等的条件：HL． 教学过程: 提问：

1、判定两个三角形全等方法有：，。创设情境：

（显示图片），舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.（1）你能帮他想个办法吗？

方法一：测量斜边和一个对应的锐角.(AAS)方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.(ASA)或(AAS)⑵ 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？

工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？ 下面让我们一起来验证这个结论。新课：

已知线段a、c(a﹤c)和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C= ∠ α，CB=a，AB=c.想一想，怎样画呢？ 按照下面的步骤做一做： ⑴ 作∠MCN=∠α=90°;⑵ 在射线CM上截取线段CB=a ⑶ 以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A;⑷ 连接AB.⑴ △ABC就是所求作的三角形吗？

⑵ 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？

直角三角形全等的条件

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.想一想

你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般 三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.练一练：

1.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗 杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。

2.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾 斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？ 解：∠ABC+∠DFE=90°.理由如下： 在Rt△ABC和Rt△DEF中, 则 BC=EF, AC=DF.∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠ABC=∠DEF(全等三角形对应角相等).又 ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°.小结：这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流 作业：14页7、8。

§11．3．1 角的平分线的性质

（一）教学目标

（一）教学知识点

角平分线的画法．

（二）能力训练要求

1．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理． 2．会用尺规作一个已知角的平分线．

（三）情感与价值观要求

在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神． 例如图，ACBC,BDAD,ACBD求证：BCAD.10

教学重点

利用尺规作已知角的平分线．

教学难点

角的平分线的作图方法的提炼．

教学方法

讲练结合法．

教具准备

多媒体课件（或投影）．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

问题1：三角形中有哪些重要线段．

问题2：你能作出这些线段吗？

[生甲]三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．

过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线，交对边于一点，顶点与垂足的连线就是这个三角形的高．

取三角形一边的中点，此中点与这个边对应顶点的连线就是这条边的中线．

用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度线与这个角的一边重合，这个角一半所对应的线就是这个角的角平分线．

[生乙]我不同意你对角平分线的描述，三角形的角平分线是一条线段，而一个已知角的平分线是一条射线，这两个概念是有区别的．

[师]你补充得很好．数学是一门严密性很强的学科，你的这种精神值得我们学习．

如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？

Ⅱ．导入新课

[生]我记得在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：

在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．

求证：∠MOC=∠NOC．

通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线．

受这个题的启示，我们能不能这样做：

在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC•与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了． [师]他这个方案可行吗？

（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）

[师]这位同学不仅给了操作方法，而且还讲明了操作原理．这种学以致用，•联想迁移的学习方法值得大家借鉴．

议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？

教师活动：

播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC的方法．

学生活动：

观看多媒体课件，讨论操作原理．

[生1]要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB． [生2]∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形

全等就可以了．

[生3]我们看看条件够不够．

ABAD BCDC

ACAC 所以△ABC≌△ADC（SSS）．

所以∠CAD=∠CAB．

即射线AC就是∠DAB的平分线．

[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．

老师再提出问题：

通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．

（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）

讨论结果展示：

作已知角的平分线的方法：

已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分线．

作法：

（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．

（2）分别以M、N为圆心，大于

12MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．

（3）作射线OC，射线OC即为所求．

（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．

议一议：

1．在上面作法的第二步中，去掉“大于

12MN的长”这个条件行吗？

2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？

（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）

学生讨论结果总结： 1．去掉“大于12MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．

2．若分别以M、N为圆心，大于

12MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．

3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．

4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．

练一练：

任意画一角∠AOB，作它的平分线．

Ⅲ．随堂练习

课本P16练习．

练后总结：

平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直．将OC反向延长得到直线CD，直线CD与AB•也垂直．

Ⅳ．课时小结

本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，•探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，进一步体会温故而知新是一种很好的学习方法．

Ⅴ．课后作业

1．课本P18习题11．2─1、2． 2．预习课本P16～18内容．