全等三角形单元复习教案

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第一篇:全等三角形单元复习教案

知识点一:全等三角形

1、全等三角形的定义

能够完全重合的两个图形叫做_______。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。要点诠释:(1)把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做________,重合的边叫做_________,重合的角叫做_________。(2)记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在______的位置上。例如,△ABC与△DEF全等,点A与点D,点B与点E,点C与点F是对应顶点,记作△ABC≌△DEF,而不写作△ABC≌△EFD等其他形式。

2、全等三角形的性质

全等三角形的__________、_______________. 要点诠释:找对应边、对应角通常有下面两种方法:

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角。

3、三角形全等的判定

(1)三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成)。

(2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成)。(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成)。(4)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成)。(5)在两个直角三角形中,有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成)。要点诠释:

(1)没有“SSA”、“AAA”这样的判定定理。(2)“HL”定理是直角三角形

,对于一般三角形不成立。

(3)判定两个直角三角形全等时,这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件,只需找另两个条件即可,而这两个条件中必须有一边对应相等。能够完全

的两个图形叫做全等形.

知识点二:角平分线的性质

(1)角的平分线的性质定理

角的平分线上的点到这个

。(2)角的平分线的判定定理

角的内部到的点在角的平分线上。要点诠释:

三角形的三条角平分线交于一点。

注意在证明中用到这两个定理,如何把文字叙述转化成数学符号:例:如图

怎么运用角的平分线的性质定理:

∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,∴PD=PE

怎么运用角的平分线的判定定理:

∵PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上

类型一:全等三角形的性质

例1.如图,△ABC≌DEF,DF和AC,FE和CB是对应边。若∠A=100°,∠F=47°,则∠DEF等于()

A.100°

B.53°

C.47°

D.33°

类型二:全等三角形的证明

例2.如图,点A、F、C、D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.求证:BC∥EF.

类型三:角平分线的性质与判定

例3.已知:如图所示,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE、CD交于点O,且AO平分∠BAC,求证:OB=OC.

【变式】如图,直线l1,l2,l3表示三条互相交叉的公路,现要建一个塔台,若要求它到

三条公路的距离相等,试问: 可选择的地点有几处? 你能画出塔台的位置吗?

【变式2】如图,已知∠1=∠2,P为BN上的一点,PF⊥BC于F,PA=PC,求证:∠PCB+∠BAP=180º

AP

N 2 BFC

类型四:利用三角形全等知识解决实际问题 例4.要测量河两岸相对的两点A、B的距离,先在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=•BC,再定出BF的垂线DE,使A、C、E在一条直线上,可以证明△EDC•≌△ABC,•得到ED=AB,因此测得ED的长就是AB的长(如图),判定△EDC≌△ABC的理由是()

A.边角边公理

B.角边角公理;

C.边边边公理

D.斜边直角边公理

【变式】如图,工人师傅要检查模型中的∠A和∠B是否相等,但他手边没有量角器,只有一把刻度尺,请你设计一个方案来说明∠A和∠B是否相等。

1、总结寻找对应边、角的规律:

(1)有公共边的,公共边一定是对应边;(2)有公共角的,公共角一定是对应角;(3)有对顶角的,对顶角一定是对应角;

(4)两个全等三角形中一对最长的边(或最大的角)是对应边(或角),一对最短的边(或最小的角)是对应边(或角),等等。

2、证明三角形全等的一般步骤及注意的问题

(1)先指明在哪两个三角形中研究问题;

(2)按边、角的顺序列出全等的三个条件,并用大括号括起来;

(3)写出结论,让两个全等三角形中表示对应顶点的字母顺序对齐;

(4)在证明中每一步推理都要有根据,不能想当然。

3、常用添加辅助线的方法

(1)作公共边构造全等三角形;

(2)有中点倍长构造全等三角形(中线法);

(3)有角平分线,向角两边引垂线或通过翻折构造全等三角形(截长补短);(4)利用平移、轴对称、旋转变换构造全等。

第二篇:“全等三角形”单元小结与复习

“全等三角形”单元小结与复习

一、选择题(每题3分,共30分)

1、在△ABC与△DEF中,已知AB=DE,∠B=∠E,增加下列条件后,还不能断定△ABC≌△DEF的是()

A.BC=EF

B.AC=DF

C.∠A=∠D

D.∠C=∠F

2、如图,△ABC≌△ADE,BC的延长线交DE于F,∠B=∠D=30°,∠ACB=∠AED=110°,∠DAC=10°,则∠DFB等于()

A.50°

B.55°

C.60°

D.65°

3、如图,已知在△ABC中,AB=AC,D是BC中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则图中共有全等三角形()

A.2对

B.3对

C.4对

D.5对

4、如图,AB=AC,BE⊥AC,CF⊥AB于F,BE、CF相交于D,则①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③点D在∠BAC的平分线上.以上结论正确的是()

A.只有①

B.只有②

C.只有①和②

D.①②③

5、如图,△ABC≌△A′B′C′,且∠A︰∠ABC︰∠ACB=1︰3︰5,则∠BCA与∠BCB′的比等于()

A.1︰2

B.1︰3 C.5︰4

6、下列四种说法中,不正确的是()

D.2︰3 A.在两个直角三角形中,若两直角边对应相等,则斜边上的中线也对应相等

B.在两个直角三角形中,若斜边和一直角边对应相等,则这两个三角形的面积也相等

C.在两个直角三角形中,若斜边对应相等,则这两个直角三角形的周长也相等

D.在两个直角三角形中,若斜边和其中一个锐角对应相等,则这两个直角三角形斜边上的高也对应相等

7、AD是△ABC的角平分线,自D向AB、AC两边作垂线,垂足为E、F,那么下列结论中错误的是()

A.DE=DF

B.AE=AF

C.BD=CD D.∠ADE=∠ADF

8、如图,点E在△ABC外部,点D在BC边上,DE交AC于F,若∠1=∠2=∠3,AC=AE,则()

A.△ABD≌△AFD

B.△AFE≌△ADC

C.△AFE≌△DFC D.△ABC≌△ADE

9、如图,AB//CD,AC//BD,AD、BC相交于O,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,那么图中全等的三角形有()

A.5对

B.6对

C.7对

D.8对

10、如图,D为BC的中点,DE⊥DF,E、F分别在AB、AC边上,则BE+CF()

A.大于EF

B.小于EF

C.等于EF

二、填空题(每题3分,共18分)

D.与EF的大小无法比较

11、已知△ABC≌△DEF,A与D是对应顶点,B与E是对应顶点,△ABC的周长为18cm,AB=5cm,BC=6cm,则DE=________cm,EF=________cm,DF=________cm.

12、已知△ABC≌△DEF,BC=EF=6cm,△ABC的面积为18cm,则EF边上的高为________.

213、△ABC中,AD⊥BC于D,要使△ABD≌△ACD,若根据“HL”判定,还需要加条件________,若加条件∠B=∠C,则可用________判定.

14、BM为△ABC中AC边上的中线,若AB=2,BC=4,则中线BM的取值范围是________.

15、(2004·绍兴)如图,在△ABC中,CD⊥AB,请你添加一个条件,写出一个正确的结论(不要在图中添加辅助线,字母)

条件:________________________________ 结论:________________________________

16、在△ABC中,∠C=90°,BC=16cm,∠A的平分线AD交BC于D.且CD︰DB=3︰5,则D到AB的距离为________.

三、解答题(共72分)

17、(8分)如图,已知D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC//AB.求证:AE=CE.

18、(10分)如图,已知点D、E在△ABC的边BC上,AD=AE,BD=EC,求证:AB=AC.

19、(10分)如图,要测量河两岸相对的两点A、B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A、C、E在一条直线上,这时测得的DE的长就是AB的长,请说明理由.

20、(10分)小明在墙上钉了一根木条,想检验木条是否是水平的?聪明的小华想出了这样的一个办法:如图,做一个三角架使AB=AC,并在BC的中点D处挂一重锤,自然下垂,调整架身,使A点恰好在重锤线上.那么BC就处于水平位置,你能说明理由吗?

21、(12分)如图,AC//BD,EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E,求证:AB=AC+BD.

22(10分)如图,在△ABE和△ACD中,得出以下四个论断:(1)AB=AC;(2)AD=AE;(3)AM=AN;(4)AD⊥DC,AE⊥BE,以其中三个论断为题设,填入下面的“已知”栏中,以一个论断为结论,填入下面的“求证”栏中,使之组成一个真命题,并写出证明过程.

已知:________________________________.

求证:________________________________ .

23、(12分)如图四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,∠D+∠B=180°,求证:AD+AB=2AE.

答案:

一、选择题

1~

5、BADDC

6~

10、CCDCA

提示:

2、∵∠ACB=110°,∠B=30°,∴∠CAB=180°-110°-30°=40°.

又∵∠DAC=10°,∴∠DAB=50°,∴∠DOB=∠DAB+∠B=80°,∴∠DFB=∠DOB-∠D=80°-30°=50°.

5、设∠A=x°,则∠ABC=3x°,∠ACB=5x°.

∵△ABC≌△A′B′C′,∴∠ACB=∠A′CB′,∴∠BCB′=∠ACA′.

又∵∠ACA′=∠B+∠A=4x°,∴∠BCB′=4x°,∴∠BCA︰∠BCB′=5︰4.

8、∵∠ADC=∠1+∠B,∠3=∠1,∴∠ADE=∠B.

又∵∠1=∠2,∴∠BAC=∠DAE.

又∵AC=AE,∴△ABC≌△ADE.

10、延长FD到G,使DG=DF,连结BG、EG.

先证△BDG≌△CDF,得BG=CF.

再证△EDG≌△EDF,得EG=EF,则△BEG中,BE+BG>EG,∴填A.

二、填空题 11、5,6,712、6cm

13、AB=AC,AAS 14、1

15、AD=DB,AC=BC.

16、6cm 提示:

12、设EF边上的高为xcm,则×6x=18,∴x=6cm.

14、延长BM到N,使MN=BM,连结CN,则△CMN≌△AMB,∴CN=AB=2,∴△BCN中,4-2

即2<2BM<6,∴1

16、过D作DE⊥AB于E,则易证DE=DC.

设CD=3x,DB=5x,则3x+5x=16,∴x=2,∴DE=3x=6(cm).

三、解答题

17、证明:

∵FC//AB,∴∠F=∠3.

在△AED和△CEF中

∴△AED≌△CEF,∴AE=CE.

18、证明:

过A作AF⊥BC于F,∴∠AFD=∠AFE=90°.

在Rt△AFD和Rt△AFE中

∴Rt△AFD≌Rt△AFE,∴DF=EF.

又∵BD=CE,∴BF=CF.

在△ABF和△ACF中

∴△ABF≌△ACF,∴AB=AC.

19、已知:AB⊥BF于B,ED⊥BF于D,AE、BF交于点C,且CD=BC. 求证:DE=AB.

证明:在△DEC和△BAC中

∴△DEC≌△BAC,∴DE=AB. 20、已知:△ABC中,AB=AC,BD=CD,DA是铅锤线.

求证:BC处于水平位置. 证明:在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD,∴∠1=∠2.

又∵∠1+∠2=180°,∴∠1=90°,∴DA⊥BC.

又∵DA是铅锤线,∴BC处于水平位置.

21、证明:在AB上截取AF=AC,连结EF.

在△ACE和△AFE中

∴△ACE≌△AFE,∴∠3=∠C.

又∵AC//BD,∴∠C+∠D=180°.

又∵∠3+∠4=180°,∴∠4=∠D.

在△BEF和△BED中

∴△BEF≌△BED,∴BF=BD.

又∵AB=AF+BF,22、已知:如图,在△ABE和△ACD中,AB=AC,AD=AE,AD⊥DC,AE⊥BE.

求证:AM=AN.

证明:∵AD⊥DC,AE⊥BE,∴∠D=∠E=90°.

在Rt△ADC和Rt△AEB中

∴Rt△ADC≌Rt△AEB,∴∠DAC=∠EAB,∴∠1=∠2.

在△ADM和△AEN中

∴△ADM≌△AEN,∴AM=AN. ∴AB=AC+BD.

23、证明:延长EB到F,使EF=EA,连结CF. 在△ACE和△FCE中

∴△ACE≌△FCE,∴∠3=∠F,AC=CF.

又∵∠3=∠4,∴∠4=∠F.

又∵∠1+∠2=180°,∠D+∠1=180°,∴∠D=∠2.

在△ADC和△FBC中

∴△ADC≌△FBC,∴AD=FB.

又∵AF=2AE,∴AD+AB=2AE.

第三篇:全等三角形教案

教学目标 :

1、知识目标:

(1)熟记边角边公理的内容;

(2)能应用边角边公理证明两个三角形全等.2、能力目标:

(1)通过“边角边”公理的运用,提高学生的逻辑思维能力;

(2)通过观察几何图形,培养学生的识图能力.3、情感目标:

(1)通过几何证明的教学,使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯;

(2)通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受,培养学生勇于创新,多方位审视问题的创造技巧.教学重点:学会运用公理证明两个三角形全等.教学难点 :在较复杂的图形中,找出证明两个三角形全等的条件.教学用具:直尺、微机

教学方法:自学辅导式

教学过程 :

1、公理的发现

(1)画图:(投影显示)

教师点拨,学生边学边画图.(2)实验

让学生把所画的 剪下,放在原三角形上,发现什么情况?(两个三角形重合)

这里一定要让学生动手操作.(3)公理

启发学生发现、总结边角边公理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)

作用:是证明两个三角形全等的依据之一.应用格式:

强调:

1、格式要求:先指出在哪两个三角形中证全等;再按公理顺序列出三个条件,并用括号把它们括在一起;写出结论.2、在应用时,怎样寻找已知条件:已知条件包含两部分,一是已知中给出的,二时图形中隐含的(如公共边,公共角、对顶角、邻补角、外角、平角等)所以找条件归结成两句话:已知中找,图形中看.3、平面几何中常要证明角相等和线段相等,其证明常用方法:

证角相等――对顶角相等;同角(或等角)的余角(或补角)相等;两直线平行,同位角相等,内错角相等;角平分线定义;等式性质;全等三角形的对应角相等地.证线段相等的方法――中点定义;全等三角形的对应边相等;等式性质.2、公理的应用

(1)讲解例1.学生分析完成,教师注重完成后的总结.分析:(设问程序)

“SAS”的三个条件是什么?

已知条件给出了几个?

由图形可以得到几个条件?

解:(略)

(2)讲解例2

投影例2:

例2如图2,AE=CF,AD∥BC,AD=CB,求证:

学生思考、分析,适当点拨,找学生代表口述证明思路

让学生在练习本上定出证明,一名学生板书.教师强调

证明格式:用大括号写出公理的三个条件,最后写出

结论.(3)讲解例3(投影)

证明:(略)

学生分析思路,写出证明过程.(投影展示学生的作业,教师点评)

(4)讲解例4(投影)

证明:(略)

学生口述过程.投影展示证明过程.教师强调证明线段相等的几种常见方法.(5)讲解例5(投影)

证明:(略)

学生思考、分析、讨论,教师巡视,适当参与讨论.师生共同讨论后,让学生口述证明思路.教师强调解题格式:在“证明”二字的后面,先将所作的辅助线写出,再证明.3、课堂小结:

(1)判定三角形全等的方法:SAS

(2)公理应用的书写格式

(3)证明线段、角相等常见的方法有哪些?

让学生自由表述,其它学生补充,自己将知识系统化,以自己的方式进行建构.6、布置作业

a书面作业 P56#

6、7

b上交作业 P57B组1

思考题:

板书设计 :

第四篇:全等三角形教案

11.1全等三角形

教学目标:1了解全等形及全等三角形的的概念; 2 理解全等三角形的性质

在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念,培养学生的几何直觉,学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣

重点:探究全等三角形的性质

难点:掌握两个全等三角形的对应边,对应角 教学过程:

观察下列图案,指出这些图案中中形状与大小相同的图形

问题:你还能举出生活中一些实际例子吗?

这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 思考:

一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等。

“全等”用表示,读作“全等于”

两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,如ABC和DEF全等时,点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点,记作ABCDEF

把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合 的角叫做对应角

思考:如上图,11-1ABCDEF,对应边有什么关系?对应角呢? 全等三角形性质:

全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等。

思考:(1)下面是两个全等的三角形,按下列图形的位置摆放,指出它们的对应顶点、对应边、对应角

BCAoOADBDCACDBCDAB

(2)将ABC沿直线BC平移,得到DEF,说出你得到的结论,说明理由?

AADDEBECFBC

DC(3)如图,ABEACD,AB与AC,AD与AE是对应边,已知:A43,B30,求A的大小。

小结:

作业:P4—1,2,3

课题:11.2 三角形全等的条件(1)

教学目标

①经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程. ②掌握三角形全等的“边边边”条件,了解三角形的稳定性. ③通过对问题的共同探讨,培养学生的协作精神. 教学难点

3

三角形全等条件的探索过程.

一、复习过程,引入新知

多媒体显示,带领学生复习全等三角形的定义及其性质,从而得出结论:全等三角形三条边对应相等,三个角分别对应相等.反之,这六个元素分别相等,这样的两个三角形一定全等.

二、创设情境,提出问题

根据上面的结论,提出问题:两个三角形全等,是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分,是否也能保证两个三角形全等呢? 组织学生进行讨论交流,经过学生逐步分析,各种情况逐渐明朗,进行交流予以汇总归纳.

三、建立模型,探索发现

出示探究1,先任意画一个△ABC,再画一个△A'B'C',使△ABC与△A'B'C',满足上述条件中的一个或两个.你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗? 让学生按照下面给出的条件作出三角形.(1)三角形的两个角分别是30°、50°.(2)三角形的两条边分别是4cm,6cm.(3)三角形的一个角为30°,—条边为3cm.

再通过画一画,剪一剪,比一比的方式,得出结论:只给出一个或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.

出示探究2,先任意画出一个△A'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA,把画好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它们全等吗? 让学生充分交流后,在教师的引导下作出△A'B'C',并通过比较得出结论:三边对应相等的两个三角形全等.

四、应用新知,体验成功

实物演示:由三根木条钉成的一个三角形的框架,它的大小和形状是固定不变的. 鼓励学生举出生活中的实例.

给出例l,如下图△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架,求证△ABD≌△ACD.

AB

让学生独立思考后口头表达理由,由教师板演推理过程. 例2 如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图,作法如下: DC

①以A为圆心画弧,分别交角的两边于点B和点C;

②分别以点B、C为圆心,相同长度为半径画两条弧,两弧交于点D; ③画射线AD.

AD就是∠BAC的平分线.你能说明该画法正确的理由吗? 例3 如图四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?你有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试.

ABDC

五、巩固练习

教科书第6页的思考及练习.

六、反思小结

回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论,提炼数学思想,掌握数学规律.

七、布置作业

1.必做题:教科书第15页习题11.2中的第1、2题. 2.选做题:教科书第16页第9题.

课题:11.2 三角形全等的条件(2)教学目标

①经历探索三角形全等条件的过程,培养学生观察分析图形能力、动手能力.

②在探索三角形全等条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单的推理. ③通过对问题的共同探讨,培养学生的协作精神. 教学难点

指导学生分析问题,寻找判定三角形全等的条件. 知识重点

应用“边角边”证明两个三角形全等,进而得出线段或角相等. 教学过程(师生活动)

一、创设情境,引入课题

多媒体出示探究3:已知任意△ABC,画△A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,∠A'=∠A.

教帅点拨,学生边学边画图,再让学生把画好的△A'B'C',剪下放在△ABC上,观察这两个三角形是否全等.

二、交流对话,探求新知

根据前面的操作,鼓励学生用自己的语言来总结规律:

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(SAS)补充强调:角必须是两条相等的对应边的夹角,边必须是夹相等角的两对边.

三、应用新知,体验成功

出示例2,如图,有—池塘,要测池塘两端A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A、B的距离,为什么?

让学生充分思考后,书写推理过程,并说明每一步的依据.(若学生不能顺利得到证明思路,教师也可作如下分析:

要想证AB=DE,只需证△ABC≌△DEC △ABC与△DEC全等的条件现有„„还需要„„)明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决. 补充例题:

1、已知:如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE

ABCDE5

求证: △ABD≌△ACE 证明:∵∠BAC=∠DAE(已知)

∠ BAC+ ∠ CAD= ∠DAE+ ∠ CAD ∴∠BAD=∠CAE 在△ABD与△ACE AB=AC(已知)

∠BAD= ∠CAE(已证)AD=AE(已知)

∴△ABD≌△ACE(SAS)思考: 求证:1.BD=CE 2.∠B= ∠C 3.∠ADB= ∠AEC 变式1:已知:如图,AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE.求证: ⑴ △DAC≌△EAB 1.BE=DC 2.∠B= ∠ C 3.∠ D= ∠ E 4.BE⊥CD

四、再次探究,释解疑惑

出示探究4,我们知道,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么? 让学生模仿前面的探究方法,得出结论:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.

教师演示:方法(一)教科书98页图13.2-7.

方法(二)通过画图,让学生更直观地获得结论.

五、巩固练习

教科书第9页,练习(1)(2).

六、小结提高

1.判定三角形全等的方法;

2.证明线段、角相等常见的方法有哪些?让学生自由表述,其他学生补充,让学生自己将知识系统化,以自己的方式进行建构.

七、布置作业

1.必做题:教科书第15页,习题13.2第3、4题. 2.选做题:教科书第16页第10题. 3.备选题:

(1)小明做了一个如图所示的风筝,测得DE=DF,EH=FH,你能发现哪些结沦?并说明理由.(2)如图,∠1=∠2,AB=AD,AE=AC,求证BC=DE.

B

AMDFCE

课题: 11.2 三角形全等的条件(3)

教学目标

①探索并掌握两个三角形全等的条件:“ASA”“AAS”,并能应用它们判别两个三角形是否全等.

②经历作图、比较、证明等探究过程,提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力;并通过对知识方法的总结,培养反思的习惯,培养理性思维.

③敢于面对教学活动中的困难,能通过合作交流解决遇到的困难. 教学重点

理解,掌握三角形全等的条件:“ASA”“AAS”. 教学难点

探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用. 教学过程(师生活动)创设情境 复习:

师:我们已经知道,三角形全等的判定条件有哪些? 生:“SSS”“SAS”

师:那除了这两个条件,满足另一些条件的两个三角形是否 也可能全等呢?今天我们就来探究三角形全等的另一些条件。探究新知:

一张教学用的三角形硬纸板不小心 被撕坏了,如图,你能制作一张与原来 同样大小的新教具?能恢复原来三角形 的原貌吗?

1.师:我们先来探究第一种情况.(课件出示“探究5„„”)(1)探究5 先任意画出一个△ABC,再画一个△A'B'C',使A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B(即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它们全等吗? 师:怎样画出△A'B'C'?先自己独立思考,动手画一画。

在画的过程中若遇到不能解决的问题.可小组合作交流解决.

生:独立探究,试着画△A'B'C',(有问题的,可以小组内交流解决„„)„„(2)全班讨论交流

师:画好之后,我们看这儿有一种画法:(课件出示画法,出现一步,画一步)你是这样画的吗? 师:把画好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,看看它们是否全等. 生:(剪△A'B'C',与△ABC作比较„„)师:全等吗? 生:全等.

师:这个探究结果反映了什么规律?试着说说你的发现. 生1:我发现„„ 生2:„„

生3:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 师:这条件可以简写成“角边角”或“ASA”.至此,我们又增加了—种判别三角形全等的方法.特别应

AA'

EBDC7

注意,“边”必须是“两角的夹边”.

练习:已知:如图,AB=A’C,∠A=∠A’,∠B=∠C 求证:△ABE≌ △A’CD

例1.已知:点D在AB上,点E在AC上,BE和CD

ADOBCE相交于点O,AB=AC,∠B=∠C。求证:BD=CE

2.探究6 师:我们再看看下面的条件:

在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗? ABCEDF

师:看已知条什,能否用“角边角”条件证明. 生独立思考,探究„„再小组合作完成. 师:你是怎么证明的?(让小组派代表上台汇报)小组1:„.

小组2:„„投影仪展示学生证明过程(根据学生的不同探究结果,进行不同的引导)师:从这可以看出,从这些已知条件中能得出两个三角形全等.这又反映了一个什么规律? 生l:两个角和其中一条边对应相等的两个三角形全等.

生2:在"ASA”中,“边”必须是“两角的夹边”,而这里,“边”可以是“其中一个角的对边”.

师:非常好,这里的“边”是“其中一个角的对边”.那怎样更完整的表述这一规律? 生1:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

师:生1很好,这条件我们可以简写成“角角边”或“AAS”,又增加了判定两个三角形全等的一个条件.

强调“AAS”中的边是“其中一个角的对边”.

多让几个学生描述,进一步培养归纳、表达的能力.

例2.教材11页1题。

师:从这道例题中,我们又得出了证明线段相等的又一方法,先证两线段所在的三角形全等,这样,对应边也就相等了. 探究7:

(1)三角对应相等的两个三角形全等吗?(课件出示题目)师:想想,怎样来探究这个问题? 生1:„„

生2:„.

引导学生通过“画两个三角对应相等的三角形”,看是否一定全等,或“用两个同一形状但大小不同的三角板”等等方法来探究说明.

师:这一规律我们可以怎样表达? 生1:„.

生2:三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

(2)师:说得非常好.现在我们来小结一下;判定两个三角形全等我们已有了哪些方法?

生:SSS SAS ASA AAS 小结提高

师:这节课通过对两个三角形全等条件的进一步探究,你有什么收获? 巩固练习

教科书第11页,练习2. 布置作业

1。必做题:教科书第13页习题11.2第6、11题

2.如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具呢?如果可以,带哪块去合适?为什么? ⑵⑴

课题: 11.2 三角形全等的条件(4)

教学目标

①探索并掌握两个直角三角形全等的条件:HL,并能应用它判别两个直角三角形是否全等.

②经历作图、比较、证明等探究过程,提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力;并通过对知识方法的总结,培养反思的习惯,培养理性思维. ③提高应用数学的意识. 教学重点

理解,掌握三角形全等的条件:HL. 教学过程: 提问:

1、判定两个三角形全等方法有:,。创设情境:

(显示图片),舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.(1)你能帮他想个办法吗?

方法一:测量斜边和一个对应的锐角.(AAS)方法二:测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.(ASA)或(AAS)⑵ 如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗?

工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗? 下面让我们一起来验证这个结论。新课:

已知线段a、c(a﹤c)和一个直角α,利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C= ∠ α,CB=a,AB=c.想一想,怎样画呢? 按照下面的步骤做一做: ⑴ 作∠MCN=∠α=90°;⑵ 在射线CM上截取线段CB=a ⑶ 以B为圆心,C为半径画弧,交射线CN于点A;⑷ 连接AB.⑴ △ABC就是所求作的三角形吗?

⑵ 剪下这个三角形,和其他同学所作的三角形进行比较,它们能重合吗?

直角三角形全等的条件

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.想一想

你能够用几种方法说明两个直角三角形全等? 直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一般 三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS,还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.练一练:

1.如图,两根长度为12米的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗 杆底部的距离相等吗?请说明你的理由。

2.如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾 斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系? 解:∠ABC+∠DFE=90°.理由如下: 在Rt△ABC和Rt△DEF中, 则 BC=EF, AC=DF.∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠ABC=∠DEF(全等三角形对应角相等).又 ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°.小结:这节课你有什么收获呢?与你的同伴进行交流 作业:14页7、8。

§11.3.1 角的平分线的性质

(一)教学目标

(一)教学知识点

角平分线的画法.

(二)能力训练要求

1.应用三角形全等的知识,解释角平分线的原理. 2.会用尺规作一个已知角的平分线.

(三)情感与价值观要求

在利用尺规作图的过程中,培养学生动手操作能力与探索精神. 例如图,ACBC,BDAD,ACBD求证:BCAD.10

教学重点

利用尺规作已知角的平分线.

教学难点

角的平分线的作图方法的提炼.

教学方法

讲练结合法.

教具准备

多媒体课件(或投影).

教学过程

Ⅰ.提出问题,创设情境

问题1:三角形中有哪些重要线段.

问题2:你能作出这些线段吗?

[生甲]三角形中有三条重要线段,它们分别是:三角形的高,三角形的中线,三角形的角的平分线.

过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线,交对边于一点,顶点与垂足的连线就是这个三角形的高.

取三角形一边的中点,此中点与这个边对应顶点的连线就是这条边的中线.

用量角器量出三角形的角的大小,量角器零度线与这个角的一边重合,这个角一半所对应的线就是这个角的角平分线.

[生乙]我不同意你对角平分线的描述,三角形的角平分线是一条线段,而一个已知角的平分线是一条射线,这两个概念是有区别的.

[师]你补充得很好.数学是一门严密性很强的学科,你的这种精神值得我们学习.

如果老师手里只有直尺和圆规,你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗?

Ⅱ.导入新课

[生]我记得在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题:

在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON,MC⊥OA,NC⊥OB.MC与NC交于C点.

求证:∠MOC=∠NOC.

通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC,即可证明∠MOC=∠NOC,所以射线OC就是∠AOB的平分线.

受这个题的启示,我们能不能这样做:

在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON,再分别过M、N作MC⊥OA,NC⊥OB,MC•与NC交于C点,连接OC,那么OC就是∠AOB的平分线了. [师]他这个方案可行吗?

(学生思考、讨论后,统一思想,认为可行)

[师]这位同学不仅给了操作方法,而且还讲明了操作原理.这种学以致用,•联想迁移的学习方法值得大家借鉴.

议一议:下图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?

教师活动:

播放多媒体课件,演示角平分仪器的操作过程,使学生直观了解得到射线AC的方法.

学生活动:

观看多媒体课件,讨论操作原理.

[生1]要说明AC是∠DAC的平分线,其实就是证明∠CAD=∠CAB. [生2]∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中,那么证明这两个三角形

全等就可以了.

[生3]我们看看条件够不够.

ABAD BCDC

ACAC 所以△ABC≌△ADC(SSS).

所以∠CAD=∠CAB.

即射线AC就是∠DAB的平分线.

[生4]原来用三角形全等,就可以解决角相等.线段相等的一些问题.看来温故是可以知新的.

老师再提出问题:

通过上述探究,能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法.自己动手做做看.然后与同伴交流操作心得.

(分小组完成这项活动,教师可参与到学生活动中,及时发现问题,给予启发和指导,使讲评更具有针对性)

讨论结果展示:

作已知角的平分线的方法:

已知:∠AOB.

求作:∠AOB的平分线.

作法:

(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA、OB于M、N.

(2)分别以M、N为圆心,大于

12MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C.

(3)作射线OC,射线OC即为所求.

(教师根据学生的叙述,作多媒体课件演示,使学生能更直观地理解画法,提高学习数学的兴趣).

议一议:

1.在上面作法的第二步中,去掉“大于

12MN的长”这个条件行吗?

2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗?

(设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解,培养数学严密性的良好学习习惯)

学生讨论结果总结: 1.去掉“大于12MN的长”这个条件,所作的两弧可能没有交点,所以就找不到角的平分线.

2.若分别以M、N为圆心,大于

12MN的长为半径画两弧,两弧的交点可能在∠AOB•的内部,也可能在∠AOB的外部,而我们要找的是∠AOB内部的交点,•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了.

3.角的平分线是一条射线.它不是线段,也不是直线,•所以第二步中的两个限制缺一不可.

4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.

练一练:

任意画一角∠AOB,作它的平分线.

Ⅲ.随堂练习

课本P16练习.

练后总结:

平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直.将OC反向延长得到直线CD,直线CD与AB•也垂直.

Ⅳ.课时小结

本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识,•探究得到了角平分线仪器的操作原理,由此归纳出角的平分线的尺规画法,进一步体会温故而知新是一种很好的学习方法.

Ⅴ.课后作业

1.课本P18习题11.2─1、2. 2.预习课本P16~18内容.

第五篇:全等三角形教案

第十一章 全等三角形

11.1全等三角形

教学目标:1了解全等形及全等三角形的的概念;

理解全等三角形的性质

在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念,培养学生的几何直觉,学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣 重点:探究全等三角形的性质

难点:掌握两个全等三角形的对应边,对应角

教学过程:观察下列图案,指出这些图案中中形状与大小相同的图形

问题:你还能举出生活中一些实际例子吗?

这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 思考:

一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等。

“全等”用表示,读作“全等于”

两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,如ABC和DEF全等时,点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点,记作ABCDEF

把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合 的角叫做对应角

思考:如上图,13。1-1ABCDEF,对应边有什么关系?对应角呢? 全等三角形性质:

全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等。思考:

(1)下面是两个全等的三角形,按下列图形的位置摆放,指出它们的对应顶点、对应边、对应角

BCAoOADBDCACDBCDA

(2)将ABC沿直线BC平移,得到DEF,说出你得到的结论,说明理由?

ADBBECF

(3)如图,ABEACD,AB与AC,AD与AE是对应边,已知:A43,B30,求ADC的大小。

ADEBC

随堂练习注:检查学生对本节课的掌握情况.1.全等用符号__表示.读作__.2.△ABC全等于三角形△DEF,用式子表示为__.3.△ABC≌△DEF,∠A的对应角是∠D,∠B的对应角∠E,则∠C与__是对应角;AB与__是对应边,BC与__是对应边,AC与__是对应边.4.判断题:

(1)全等三角形的对应边相等,对应角相等.()(2)全等三角形的周长相等.()(3)面积相等的三角形是全等三角形.()(4)全等三角形的面积相等.()

11.2 三角形全等的条件(1)教学目标

①经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程. ②掌握三角形全等的“边边边”条件,了解三角形的稳定性. ③通过对问题的共同探讨,培养学生的协作精神. 教学难点

三角形全等条件的探索过程.

一、复习过程,引入新知

多媒体显示,带领学生复习全等三角形的定义及其性质,从而得出结论:全等三角形三条边对应相等,三个角分别对应相等.反之,这六个元素分别相等,这样的两个三角形一定全等.

二、创设情境,提出问题

根据上面的结论,提出问题:两个三角形全等,是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分,是否也能保证两个三角形全等呢? 组织学生进行讨论交流,经过学生逐步分析,各种情况逐渐明朗,进行交流予以汇总归纳.

三、建立模型,探索发现

出示探究1,先任意画一个△ABC,再画一个△A'B'C',使△ABC与△A'B'C',满足上述条件中的一个或两个.你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗? 让学生按照下面给出的条件作出三角形.(1)三角形的两个角分别是30°、50°.(2)三角形的两条边分别是4cm,6cm.

(3)三角形的一个角为30°,—条边为3cm.

再通过画一画,剪一剪,比一比的方式,得出结论:只给出一个或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.

出示探究2,先任意画出一个△A'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA,把画好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它们全等吗? 让学生充分交流后,在教师的引导下作出△A'B'C',并通过比较得出结论:三边对应相等的两个三角形全等.

四、应用新知,体验成功

实物演示:由三根木条钉成的一个三角形的框架,它的大小和形状是固定不变的. 鼓励学生举出生活中的实例.

给出例l,如下图△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架,求证△ABD≌△ACD.

A

让学生独立思考后口头表达理由,由教师板演推理过程.

例2 如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图,作法如下: BDC

①以A为圆心画弧,分别交角的两边于点B和点C;

②分别以点B、C为圆心,相同长度为半径画两条弧,两弧交于点D; ③画射线AD.

AD就是∠BAC的平分线.你能说明该画法正确的理由吗?

例3 如图四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?你有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试.

ABDC

五、巩固练习

教科书第96页的思考及练习.

六、反思小结

回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论,提炼数学思想,掌握数学规律.

七、布置作业

1.必做题:教科书第103页习题13.2中的第1、2题. 2.选做题:教科书第104页第9题.

11.2 三角形全等的条件(2)教学目标

①经历探索三角形全等条件的过程,培养学生观察分析图形能力、动手能力.

②在探索三角形全等条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单的推理.

③通过对问题的共同探讨,培养学生的协作精神. 教学难点

指导学生分析问题,寻找判定三角形全等的条件. 知识重点 应用“边角边”证明两个三角形全等,进而得出线段或角相等. 教学过程(师生活动)

一、创设情境,引入课题

多媒体出示探究3:已知任意△ABC,画△A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,∠A'=∠A.

教帅点拨,学生边学边画图,再让学生把画好的△A'B'C',剪下放在△ABC上,观察这两个三角形是否全等.

二、交流对话,探求新知

根据前面的操作,鼓励学生用自己的语言来总结规律:

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(SAS)补充强调:角必须是两条相等的对应边的夹角,边必须是夹相等角的两对边.

三、应用新知,体验成功

出示例2,如图,有—池塘,要测池塘两端A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A、B的距离,为什么?

让学生充分思考后,书写推理过程,并说明每一步的依据.(若学生不能顺利得到证明思路,教师也可作如下分析:

要想证AB=DE,只需证△ABC≌△DEC

△ABC与△DEC全等的条件现有„„还需要„„)

明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决. 补充例题:

A1、已知:如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE

求证: △ABD≌△ACE 证明:∵∠BAC=∠DAE(已知)

B ∠ BAC+ ∠ CAD= ∠DAE+ ∠ CAD

∴∠BAD=∠CAE

在△ABD与△ACE

EC AB=AC(已知)D ∠BAD= ∠CAE(已证)AD=AE(已知)

∴△ABD≌△ACE(SAS)B思考:

求证:1.BD=CE 2.∠B= ∠C A3.∠ADB= ∠AEC

变式1:已知:如图,AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE.M 求证: ⑴ △DAC≌△EAB

DCFE1.BE=DC 2.∠B= ∠ C 3.∠ D= ∠ E 4.BE⊥CD

四、再次探究,释解疑惑

出示探究4,我们知道,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么? 让学生模仿前面的探究方法,得出结论:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.

教师演示:方法(一)教科书98页图13.2-7.

方法(二)通过画图,让学生更直观地获得结论.

五、巩固练习

教科书第99页,练习(1)(2).

六、小结提高

1.判定三角形全等的方法;

2.证明线段、角相等常见的方法有哪些?让学生自由表述,其他学生补充,让学生自己将知识系统化,以自己的方式进行建构.

七、布置作业

1.必做题:教科书第104页,习题13.2第3、4题. 2.选做题:教科书第105页第10题. 3.备选题:

(1)小明做了一个如图所示的风筝,测得DE=DF,EH=FH,你能发现哪些结沦?并说明理由.

(2)如图,∠1=∠2,AB=AD,AE=AC,求证BC=DE.

11.2 三角形全等的条件(3)

教学目标

①探索并掌握两个三角形全等的条件:“ASA”“AAS”,并能应用它们判别两个三角形是否全等.

②经历作图、比较、证明等探究过程,提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力;并通过对知识方法的总结,培养反思的习惯,培养理性思维.

③敢于面对教学活动中的困难,能通过合作交流解决遇到的困难. 教学重点 理解,掌握三角形全等的条件:“ASA”“AAS”. 教学难点

探究出“ASA”“AAS”以及它们的应用. 教学过程(师生活动)创设情境 复习:

师:我们已经知道,三角形全等的判定条件有哪些? 生:“SSS”“SAS”

师:那除了这两个条件,满足另一些条件的两个三角形是否 也可能全等呢?今天我们就来探究三角形全等的另一些条件。探究新知:

一张教学用的三角形硬纸板不小心 被撕坏了,如图,你能制作一张与原来 同样大小的新教具?能恢复原来三角形 的原貌吗?

1.师:我们先来探究第一种情况.(课件出示“探究5„„”)(1)探究5 先任意画出一个△ABC,再画一个△A'B'C',使A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B(即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它们全等吗? 师:怎样画出△A'B'C'?先自己独立思考,动手画一画。

在画的过程中若遇到不能解决的问题.可小组合作交流解决.

生:独立探究,试着画△A'B'C',(有问题的,可以小组内交流解决„„)„„(2)全班讨论交流

师:画好之后,我们看这儿有一种画法:(课件出示画法,出现一步,画一步)你是这样画的吗? AA'师:把画好的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,看看它们是否全等. 生:(剪△A'B'C',与△ABC作比较„„)师:全等吗? 生:全等.

ED师:这个探究结果反映了什么规律?试着说说你的发现.

B生1:我发现„„ 生2:„„

A生3:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.

师:这条件可以简写成“角边角”或“ASA”.至此,ED我们又增加了—种判别三角形全等的方法.特别应

注意,“边”必须是“两角的夹边”.

O练习:已知:如图,AB=A’C,∠A=∠A’,∠B=∠C

求证:△ABE≌ △A’CD BC

例1.已知:点D在AB上,点E在AC上,BE和CD 相交于点O,AB=AC,∠B=∠C。求证:BD=CE

C

2.探究6 师:我们再看看下面的条件:

在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗? ABCEDF

师:看已知条什,能否用“角边角”条件证明. 生独立思考,探究„„再小组合作完成.

师:你是怎么证明的?(让小组派代表上台汇报)小组1:„.

小组2:„„投影仪展示学生证明过程

(根据学生的不同探究结果,进行不同的引导)师:从这可以看出,从这些已知条件中能得出两个三角形全等.这又反映了一个什么规律? 生l:两个角和其中一条边对应相等的两个三角形全等.

生2:在"ASA”中,“边”必须是“两角的夹边”,而这里,“边”可以是“其中一个角的对边”.

师:非常好,这里的“边”是“其中一个角的对边”.那怎样更完整的表述这一规律? 生1:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

师:生1很好,这条件我们可以简写成“角角边”或“AAS”,又增加了判定两个三角形全等的一个条件.

强调“AAS”中的边是“其中一个角的对边”.

多让几个学生描述,进一步培养归纳、表达的能力.

例2.教材101页1题。

师:从这道例题中,我们又得出了证明线段相等的又一方法,先证两线段所在的三角形全等,这样,对应边也就相等了. 探究7:

(1)三角对应相等的两个三角形全等吗?(课件出示题目)师:想想,怎样来探究这个问题? 生1:„„

生2:„.

引导学生通过“画两个三角对应相等的三角形”,看是否一定全等,或“用两个同一形状但大小不同的三角板”等等方法来探究说明.

师:这一规律我们可以怎样表达? 生1:„.

生2:三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

(2)师:说得非常好.现在我们来小结一下;判定两个三角形全等我们已有了哪些方法? 生:SSS SAS ASA AAS 小结提高

师:这节课通过对两个三角形全等条件的进一步探究,你有什么收获? 巩固练习

教科书第101页,练习2. 布置作业

1。必做题:教科书第103页习题13.2第6、11题

2.如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具呢?如果可以,带哪块去合适?为什么? ⑵⑴

11.2 三角形全等的条件(4)

教学目标

①探索并掌握两个直角三角形全等的条件:HL,并能应用它判别两个直角三角形是否全等.

②经历作图、比较、证明等探究过程,提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力;并通过对知识方法的总结,培养反思的习惯,培养理性思维. ③提高应用数学的意识. 教学重点

理解,掌握三角形全等的条件:HL. 教学过程: 提问:

1、判定两个三角形全等方法有:,。创设情境:(显示图片),舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.(1)你能帮他想个办法吗?

方法一:测量斜边和一个对应的锐角.(AAS)方法二:测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.(ASA)或(AAS)⑵ 如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗?

工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗? 下面让我们一起来验证这个结论。新课:

已知线段a、c(a﹤c)和一个直角α,利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C= ∠ α,CB=a,AB=c.想一想,怎样画呢? 按照下面的步骤做一做: ⑴ 作∠MCN=∠α=90°;

⑵ 在射线CM上截取线段CB=a ⑶ 以B为圆心,C为半径画弧,交射线CN于点A;⑷ 连接AB.⑴ △ABC就是所求作的三角形吗?

⑵ 剪下这个三角形,和其他同学所作的三角形进行比较,它们能重合吗? 直角三角形全等的条件

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.想一想

你能够用几种方法说明两个直角三角形全等? 直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一般 三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS,还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.例如图,ACBC,BDAD,ACBD

求证:BCAD.练一练:

1.如图,两根长度为12米的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗 杆底部的距离相等吗?请说明你的理由。

2.如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾 斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系?

解:∠ABC+∠DFE=90°.理由如下: 在Rt△ABC和Rt△DEF中, 则

BC=EF, AC=DF.∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠ABC=∠DEF

(全等三角形对应角相等).又 ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°.小结:这节课你有什么收获呢?与你的同伴进行交流 作业:104页7、8。

§11.3 角的平分线的性质 §11.3.1 角的平分线的性质

(一)教学目标

(一)教学知识点

角平分线的画法.

(二)能力训练要求

1.应用三角形全等的知识,解释角平分线的原理. 2.会用尺规作一个已知角的平分线.

(三)情感与价值观要求

在利用尺规作图的过程中,培养学生动手操作能力与探索精神.

教学重点

利用尺规作已知角的平分线.

教学难点

角的平分线的作图方法的提炼.

教学方法

讲练结合法.

教具准备

多媒体课件(或投影).

教学过程

Ⅰ.提出问题,创设情境

问题1:三角形中有哪些重要线段.

问题2:你能作出这些线段吗?

[生甲]三角形中有三条重要线段,它们分别是:三角形的高,三角形的中线,三角形的角的平分线. 过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线,交对边于一点,顶点与垂足的连线就是这个三角形的高.

取三角形一边的中点,此中点与这个边对应顶点的连线就是这条边的中线.

用量角器量出三角形的角的大小,量角器零度线与这个角的一边重合,这个角一半所对应的线就是这个角的角平分线.

[生乙]我不同意你对角平分线的描述,三角形的角平分线是一条线段,而一个已知角的平分线是一条射线,这两个概念是有区别的.

[师]你补充得很好.数学是一门严密性很强的学科,你的这种精神值得我们学习.

如果老师手里只有直尺和圆规,你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗?

Ⅱ.导入新课

[生]我记得在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题:

在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON,MC⊥OA,NC⊥OB.MC与NC交于C点.

求证:∠MOC=∠NOC.

通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC,即可证明∠MOC=∠NOC,所以射线OC就是∠AOB的平分线.

受这个题的启示,我们能不能这样做:

在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON,再分别过M、N作MC⊥OA,NC⊥OB,MC•与NC交于C点,连接OC,那么OC就是∠AOB的平分线了. [师]他这个方案可行吗?

(学生思考、讨论后,统一思想,认为可行)

[师]这位同学不仅给了操作方法,而且还讲明了操作原理.这种学以致用,•联想迁移的学习方法值得大家借鉴.

议一议:下图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?

教师活动:

播放多媒体课件,演示角平分仪器的操作过程,使学生直观了解得到射线AC的方法.

学生活动:

观看多媒体课件,讨论操作原理.

[生1]要说明AC是∠DAC的平分线,其实就是证明∠CAD=∠CAB.

[生2]∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中,那么证明这两个三角形全等就可以了.

[生3]我们看看条件够不够.

ABAD BCDC

ACAC 所以△ABC≌△ADC(SSS).

所以∠CAD=∠CAB. 即射线AC就是∠DAB的平分线.

[生4]原来用三角形全等,就可以解决角相等.线段相等的一些问题.看来温故是可以知新的.

老师再提出问题:

通过上述探究,能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法.自己动手做做看.然后与同伴交流操作心得.

(分小组完成这项活动,教师可参与到学生活动中,及时发现问题,给予启发和指导,使讲评更具有针对性)

讨论结果展示:

作已知角的平分线的方法:

已知:∠AOB.

求作:∠AOB的平分线.

作法:

(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA、OB于M、N.

(2)分别以M、N为圆心,大于

1MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C. 2(3)作射线OC,射线OC即为所求.

(教师根据学生的叙述,作多媒体课件演示,使学生能更直观地理解画法,提高学习数学的兴趣).

议一议:

1.在上面作法的第二步中,去掉“大于

1MN的长”这个条件行吗? 2 2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗?

(设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解,培养数学严密性的良好学习习惯)

学生讨论结果总结: 1.去掉“大于的平分线.

2.若分别以M、N为圆心,大于1MN的长”这个条件,所作的两弧可能没有交点,所以就找不到角21MN的长为半径画两弧,两弧的交点可能在∠AOB2的内部,也可能在∠AOB的外部,而我们要找的是∠AOB内部的交点,•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了.

3.角的平分线是一条射线.它不是线段,也不是直线,•所以第二步中的两个限制缺一不可.

4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.

练一练:

任意画一角∠AOB,作它的平分线. Ⅲ.随堂练习

课本P106练习.

练后总结:

平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直.将OC反向延长得到直线CD,直线CD与AB•也垂直.

Ⅳ.课时小结

本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识,•探究得到了角平分线仪器的操作原理,由此归纳出角的平分线的尺规画法,进一步体会温故而知新是一种很好的学习方法.

Ⅴ.课后作业

1.课本P108习题13.2─1、2. 2.预习课本P106~107内容.

§11.3.2 角的平分线的性质

(二)教学目标

(一)教学知识点

角的平分线的性质

(二)能力训练要求

1.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”. 2.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.

(三)情感与价值观要求

通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动,培养学生的联想、探索、概括归纳的能力,激发学生学习数学的兴趣.

教学重点

角平分线的性质及其应用.

教学难点

灵活应用两个性质解决问题.

教学方法

探索、归纳的方法.

教具准备

剪刀、折纸、投影片.

教学过程

Ⅰ.创设情境,引入新课

[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀,自己动手,剪一个角,把剪好的角对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,你看到了什么?把对折的纸片再任意折一次,然后把纸片展开,又看到了什么?

[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次,又会出现两条折痕,而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次,所以这种等长的折痕可以折出无数对.

[师]你的叙述太精彩了.这说明角的平分线除了有平分角的性质,还有其他性质,今天我们就来研究这个问题.

Ⅱ.导入新课 角平分线的性质即已知角的平分线,能推出什么样的结论.

操作:

1.折出如图所示的折痕PD、PE.

2.你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求.

画一画:

按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕,并度量所画PD、PE是否等长?

拿出两名同学的画图,放在投影下,请大家评一评,以达明确概念的目的.

[生]同学乙的画法是正确的.同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线,而不是过角平分线上一点画两边的垂线段,所以同学甲的画法不符合要求. [生甲]噢,对于,我知道了.

[师]同学甲,你再做一遍加深一下印象.

问题1:你能用文字语言叙述所画图形的性质吗? [生]角平分线上的点到角的两边的距离相等.

问题2:(出示投影片)

能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.请填下表:

学生通过讨论作出下列概括:

已知事项:OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,D、E为垂足.

由已知事项推出的事项:PD=PE.

于是我们得角的平分线的性质:

在角的平分线上的点到角的两边的距离相等. [师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢?(出示投影)

问题3:根据下表中的图形和已知事项,猜想由已知事项可推出的事项,并用符号语言填写下表:

[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件,所以Rt△PEO≌△PDO(HL).于是可得∠PDE=∠POD.

由已知推出的事项:点P在∠AOB的平分线上.

[师]这样的话,我们又可以得到一个性质:到角的两边距离相等的点在角的平分线上.同学们思考一下,这两个性质有什么联系吗?

[生]这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换.

[师]对,这是自己的语言,这一点在数学上叫“互逆性”.

下面请同学们思考一个问题.

思考:

如图所示,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路距离相等,•离公路与铁路交叉处500m,这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1:20000)?

1.集贸市场建于何处,和本节学的角平分线性质有关吗?用哪一个性质可以解决这个问题?

2.比例尺为1:20000是什么意思?

(学生以小组为单位讨论,教师可深入到学生中,及时引导)

讨论结果展示: 1.应该是用第二个性质.•这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上,并且要求离角的顶点500米处.

2.在纸上画图时,我们经常在厘米为单位,而题中距离又是以米为单位,•这就涉及一个单位换算问题了.1m=100cm,所以比例尺为1:20000,其实就是图中1cm•表示实际距离200m的意思.作图如下:

第一步:尺规作图法作出∠AOB的平分线OP.

第二步:在射线OP上截取OC=2.5cm,确定C点,C点就是集贸市场所建地了.

总结:应用角平分线的性质,就可以省去证明三角形全等的步骤,•使问题简单化.所以若遇到有关角平分线,又要证线段相等的问题,•我们可以直接利用性质解决问题. [例]如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离,•也就是说要证:PD=PE=PF.而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线,•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.

证明:过点P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足为D、E、F.

因为BM是△ABC的角平分线,点P在BM上.

所以PD=PE.

同理PE=PF.

所以PD=PE=PF.

即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

Ⅲ.随堂练习

1.课本P107练习.

2.课本P108习题13.3─2.

在这里要提醒学生直接利用角平分线的性质,无须再证三角形全等.

Ⅳ.课时小结 今天,我们学习了关于角平分线的两个性质:①角平分线上的点到角的两边的距离相等;②到角的两边距离相等的点在角的平分线上.它们具有互逆性,可以看出,随着研究的深入,解决问题越来越简便了.像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题,我们可以直接利用角平分线的性质,而不必再去证明三角形全等而得出线段相等.

Ⅴ.课后作业

课本习题13.3─3、4、5题.

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