全等三角形知识点总结及复习[全文5篇]

第一篇：全等三角形知识点总结及复习

全等三角形知识点总结及复习 一、知识网络 二、基础知识梳理（一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；

（2）大小相等的图形；

即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

(3)有公共边的，公共边一定是对应边；

(4)有公共角的，角一定是对应角；

(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；

2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；

（2）全等三角形对应角相等；

3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：

①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)（三）经典例题 例1.已知：如图所示，AB=AC，求证：.例2.如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF与DE交于点B。求证：。

例3.如图所示，AC=BD，AB=DC，求证：。

例4.如图所示，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且 求证：BD=CE。

例5：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD、CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°。

求证：AE=AD+BE 分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC是角平分线，所以在AE上截AF=AD，连结FC，可证出DADC≌DAFC，问题就可以得到解决。

证明（一）：

在AE上截取AF=AD，连结FC。

在DAFC和DADC中 ∴DAFC≌DADC（边角边）∴∠AFC=∠D（全等三角形对应角相等）∵∠B+∠D=180°（已知）∴∠B=∠EFC（等角的补角相等）在DCEB和DCEF中 ∴DCEB≌DCEF（角角边）∴BE=EF ∵AE=AF+EF ∴AE=AD+BE（等量代换）证明（二）：

在线段EA上截EF=BE，连结FC（如右图）。

小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。

（四）全等三角形复习练习题 一、选择题 1．如图，给出下列四组条件：

①；

②；

③；

④． 其中，能使的条件共有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 2.如图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折叠，使点落在边上的点处．若，则等于（）3.如图（四），点是上任意一点，还应补充一个条件，才能推出．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（）A． B． C． D． C A D P B 图（四）A． B． C ． D． 1题图 2题图 4.如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是()(A)∠B=∠E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF(C)∠A=∠D，∠B=∠E（D）∠A=∠D，BC=EF 5．如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AC = 10cm，则△DBE的周长等于()A．10cm B．8cm C．6cm D．9cm 6． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处 ④ ① ② ③ 6题图 4题图 5题图 7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那 么最省事的方法是（）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去 8．如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交 于点．已知，则的度数为（）A． B． C． D． 9．如图，=30°，则的度数为（）A．20° B．30° C．35° D．40° 10．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C A B 1题图C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB A D C E B 8题图 7题图 8题图 10题图 11．尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（）A．SAS B．ASA C．AASD．SSS 12.如图, ∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为()A.5cm B.3cm C.2cm D.不能确定 13．如图，OP平分，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A． B．平分 C． D．垂直平分 14.如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）A．　 B． C． D． O D P C A B A B C D 14题图 O 13题图 B A P 11题图 12题图 二、填空题 1.如图，已知，要使 ≌，可补充的条件是（写出一个即可）_______________． 2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=5cm,则△DEB的周长为 ________ 3.如图，请你添加一个条件：

，使（只添一个即可）． 4.如图，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D到直线AB的距离是__________厘米。

D O C B AB A C E B D 1题图 2题图 3题图 4题图 5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形 有 个 ． 6.已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度.7如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；

②PQ∥AE；

③AP=BQ；

④DE=DP；

⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。

8.如图所示，AB = AD，∠1 = ∠2，添加一个适当的条件，使△ABC ≌ △ADE，则需要添加的条件是________.O A B C D E 6题图 7 题图 8 题图 A B D E C 三、解答题 1.如图，已知AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE.2.如图，在中，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使．（1）求的度数；

（2）求证：． 3.如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O.求证：(1)△ABC≌△AED；

(2)OB＝OE.E D C B A 4.如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由． 5.如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M． B C A D M N（1）求证：△ABC≌△DCB ；

（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段 BN与CN的数量关系，并证明你的结论． 6.如图，四边形的对角线与相交于点，． 求证：（1）；

D C B A O 1 2 3 4（2）． 7．如图，在和中，现给出如下三个论断：①；

②；

③．请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题． 2 1 Ａ Ｃ Ｄ Ｂ（1）写出所有的真命题（写成“”形式，用序号表示）：

．（2）请选择一个真命题加以证明． 　 你选择的真命题是：． 证明：

8.已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C．求证：OA＝OD． 9．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F． 求证：BD=2CE． B D C F A　郜 E 10.如图，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明． 11．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角 形．（直接写出结果，不要求证明）：

12．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；

若不成立请说明理由． 13已知：如图A、D、C、B在同一直线上，AC=BD，AE=BF，CE=DF 求证：（1）DF∥CE（2）DE=CF A D F E C E B 14.如图，已知在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，在BE上截取BD = AC，在CF的延长线上截取CG = AB，连结AD、AG，则AG与AD有何关系？试证明你的结论 15.如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC． 16.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB． 17.如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB =∠DBC = 90º，E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB = DE． １8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于G，AD与EG垂直吗？证明你的结论。

19．如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O．试说明AE+CD=AC．．如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O．试说明AE+CD=AC． 20.如图，已知E是正方形ABCD的边CD 的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE.求证：AF=AD+CF。

A B F C E D １４．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,AE是过点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于E,(1)当直线AE处于如图①的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由；

（2）当直线AE处于如图②的位置时，则BD,DE,CE的关系如何？请说明理由；

（3）归纳（1）（2），请用简洁的语言表达BD,DE,CE之间的关系。

B A D E C B C E A D

第二篇：全等三角形单元复习教案

知识点一：全等三角形

1、全等三角形的定义

能够完全重合的两个图形叫做_______。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。要点诠释：（1）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做________，重合的边叫做_________，重合的角叫做_________。（2）记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在______的位置上。例如，△ABC与△DEF全等，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点，记作△ABC≌△DEF，而不写作△ABC≌△EFD等其他形式。

2、全等三角形的性质

全等三角形的__________、_______________． 要点诠释：找对应边、对应角通常有下面两种方法：

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。

3、三角形全等的判定

（1）三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成）。

（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成）。（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成）。（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成）。（5）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成）。要点诠释：

（1）没有“SSA”、“AAA”这样的判定定理。（2）“HL”定理是直角三角形

，对于一般三角形不成立。

（3）判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找另两个条件即可，而这两个条件中必须有一边对应相等。能够完全

的两个图形叫做全等形．

知识点二：角平分线的性质

（1）角的平分线的性质定理

角的平分线上的点到这个

。（2）角的平分线的判定定理

角的内部到的点在角的平分线上。要点诠释：

三角形的三条角平分线交于一点。

注意在证明中用到这两个定理，如何把文字叙述转化成数学符号：例：如图

怎么运用角的平分线的性质定理：

∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD=PE

怎么运用角的平分线的判定定理：

∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上

类型一：全等三角形的性质

例1．如图，△ABC≌DEF，DF和AC，FE和CB是对应边。若∠A=100°，∠F=47°，则∠DEF等于（）

A.100°

B.53°

C.47°

D.33°

类型二：全等三角形的证明

例2．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：BC∥EF．

类型三：角平分线的性质与判定

例3．已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．

【变式】如图，直线l1,l2,l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到

三条公路的距离相等，试问： 可选择的地点有几处？ 你能画出塔台的位置吗？

【变式2】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180º

AP

N 2 BFC

类型四：利用三角形全等知识解决实际问题 例4．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=•BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以证明△EDC•≌△ABC，•得到ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长（如图），判定△EDC≌△ABC的理由是（）

A．边角边公理

B．角边角公理；

C．边边边公理

D．斜边直角边公理

【变式】如图,工人师傅要检查模型中的∠A和∠B是否相等,但他手边没有量角器,只有一把刻度尺,请你设计一个方案来说明∠A和∠B是否相等。

1、总结寻找对应边、角的规律：

（1）有公共边的，公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；

（4）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等。

2、证明三角形全等的一般步骤及注意的问题

（1）先指明在哪两个三角形中研究问题；

（2）按边、角的顺序列出全等的三个条件，并用大括号括起来；

（3）写出结论，让两个全等三角形中表示对应顶点的字母顺序对齐；

（4）在证明中每一步推理都要有根据，不能想当然。

3、常用添加辅助线的方法

（1）作公共边构造全等三角形；

（2）有中点倍长构造全等三角形（中线法）；

（3）有角平分线，向角两边引垂线或通过翻折构造全等三角形（截长补短）；（4）利用平移、轴对称、旋转变换构造全等。

第三篇：全等三角形总结与复习练习题概要

八年级数学全等三角形总结与复习练习题

【同步教育信息】

一.本周教学内容：

全等三角形复习与小结

二.教学目标：

1.回顾思考本章内容，会灵活运用本章知识进行计算和证明。

2.进一步巩固三角形全等的性质及判定三角形全等的方法，培养和提高学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

3.进一步掌握数学几何问题的解法，拓展学生的发散思维能力。

三.教学重点和难点：

重点：全等三角形的概念和性质，三角形全等的判定方法和直角三角形的性质和判定。

难点：三角形全等的判定与性质的综合应用，灵活选用判定三角形全等的方法解决问题，并能用基本尺规作图进行综合作图。

四.本章知识网络图：

五.本章知识要点总结：

1.旋转的定义：

将一个平面图形F上的每一个点，绕这个平面内一定点旋转同一个角α，得到图形F'，图形的这种变换叫旋转。

2.旋转的性质：

性质1：对应点到旋转中心的距离相等。

性质2：对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等，且等于旋转角。

性质3：旋转不改变图形的形状和大小。

3.全等三角形及其性质：

（1）全等形：能够完全重合的图形叫做全等形。

（2）全等三角形：能够完全重合的三角形叫做全等三角形。

（3）全等三角形的表示方法：比如△BCD≌△AEF（4）全等三角形的性质：

①全等三角形的对应边相等；

②全等三角形的对应角相等； ③全等三角形周长、面积相等。

4.三角形全等的判定定理

（1）一般三角形：SAS，ASA，AAS，SSS。

（2）直角三角形：HL，SAS，ASA，AAS，SSS。

5.直角三角形：

（1）直角三角形的性质：

①直角三角形中两锐角互余。

②如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

④在直角三角形中，有一个角为90°。

⑤在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°⑥在直角三角形中，两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2。

（2）直角三角形的判定：

①有一个角为90°的三角形为直角三角形。

②有两个角互余的三角形为直角三角形。

③如果三角形的三边长a、b、c，有下面关系：

a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

6.作三角形

（1）已知三边作三角形。

（2）已知两边及其夹角作三角形

（3）已知两角及其夹边作三角形

六、规律与方法

1.三角形的边角关系：

（1）三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

（2）三角形内角和等于180°。

（3）三角形的任一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

2.三角形的分类：

3.证明线段相等的方法：

（1）可证明它们所在的两个三角形全等。

（2）角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。

（3）等角对等边。

（4）等腰三角形的三线合一的性质。

（5）垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

（6）等式的性质。

（7）中点的定义。

4.证明角相等的方法：

（1）同角（等角）的余角相等。

（2）同角（等角）的补角相等。

（3）平行线的性质：

①两直线平行，同位角相等。②两直线平行，内错角相等。

（4）全等三角形的对应角相等。

（5）等边对等角。

（6）角平分线的定义。

（7）等式的性质。

（8）对顶角相等。

5.证明垂直的方法

（1）证邻补角相等。

（2）证和已知直角三角形全等。

（3）勾股定理的逆定理。

6.常见辅助线的作法：

（1）在△ABC中，如AD是中线，常采用的作法是：

①延长AD到E，使DE＝AD，连结BE（或过B作BE∥AC，交AD的延长线于E），如图甲。

②取AC的中点E，连结DE（或过D作DE∥BA，交AC于E），如图乙。

③延长BA至E，使AE＝AB，连结CE（或过C作CE∥AD交BA的延长线于E），如图丙。

（2）在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，常采用的作法是：

①延长BA至E，使AE＝AC，连结CE（或过C作CE∥AD，交BA的延长线于E），如图甲。

②在较长边AB上截取AE＝AC，连结DE，如图乙。

③过C作CE∥AB，交AD的延长线于E，如图丙。

④过D作DE∥AB，交AC于E，如图丁。

（3）在△ABC中，若D是AB的中点，常采用的作法是：

①过D作DE∥BC，交AC于E。

②取AC的中点E，连结DE。

③连结CD，用中线的性质。

④若已知△ABC为特殊三角形，可利用特殊三角形的性质：如为等腰三角形，考虑顶点平分线；若为直角三角形，考虑斜边中线；若为有一个角是30°的直角三角形，考虑斜边中线及30°角所对边之间的关系，常可作出中线。

七、数学思想方法

1.通过学习，逐步学会运用分析、综合、归纳、概括及类比的方法，逐步发展有条理的思考和表达能力。

2.转化的思想：将复杂问题转化，分解，将实际问题转化成几何问题解决。

3.图形处理方法：

（1）分解图形法：

复杂图形都是由较简单的基本图形组成，故可将复杂图形分解成基本图形。

（2）构造图形的方法：

当直接说明问题有困难时，常添加辅助线，构造图形达到解题目的。

八、掌握以下8类问题及其解法，并领会其中的数学思想：

1.能够利用三角形全等的判定及其性质，证明线段或角相等，领会全等形的思想。

2.能够利用等腰三角形和直角三角形的特殊性质解题，领会一般与特殊的关系。

3.能够理解旋转，角平分线的概念及其性质，领会对称思想。

4.能够理解逆命题与逆定理的概念，领会对立统一的思想。

5.通过几何问题一题多解的研究和推理论证分析综合的训练，渗透转化思想和辨证唯物主义观点。

6.通过对实际问题的研究体现理论联系实际的思想。

7.通过用代数方法解决几何问题又体现了数形结合的思想和方程的思想。

8.能够运用尺规作图，将作图问题转化为基本作图，领会化归思想。

【典型例题】

（一）构造全等三角形法：

例1.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，证明：AB＝DC，AD＝BC

分析：需得到AB＝DC，AD＝BC，需构造三角形，因此可添加辅助线：连结AC。

证明：连结AC ∵AB∥CD ∴∠1＝∠2 又∵AD∥BC ∴∠3＝∠4 在△ADC和△CBA中

∴△ADC≌△CBA（ASA）

∴AB＝DC，AD＝BC（全等三角形的对应边相等）例2.如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，CE⊥BD的延长线于E，求证：BD＝2CE。

分析： 和CE⊥BD”，想到延长CE、BA相交于F，因此先证明CF＝2CE，再证明BD＝CF。由此知需要证明△ABD≌△ACF。

证明：延长CE、BA相交于F 在△FBE和△CBE中

∴△BEF≌△BEC

∴CF＝2CE 在Rt△BEF中，∠2＝90°－∠F 同理∠1＝90°－∠F ∴∠1＝∠2 在△ABD和△ACF中

∴△ABD≌△ACF ∴BD＝CF ∴BD＝2CE 小结：①在题目中如果含有角平分线且含有和这条角平分线垂直的条件时，要想到翻折图形，此题所作的辅助线，实质上是将Rt△BCE以BE所在的直线为轴翻折过去得Rt△BFE。

②此题图中，可以把BE、CA看成是△FBC的两条高，注意“∠1＝∠2”这个结论。

（二）巧用勾股定理

例3.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，求证：AB2－AD2＝BD·DC（AB＞AD）

分析：此题的求证中出现了AB和AD，由此可联想到把它们放到两个直角三角形中，利用勾股定理可得有AB2和AD2的式子，因此想到作辅助线AE⊥BC于E。

证明：过A作AE⊥BC于E ∵AB＝AC，AE⊥BC ∴BE＝CE，∠AEB＝∠AEC＝90°

在Rt△AEB和Rt△AED中，由勾股定理得：

例4.如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为AB的中点，点F在AD边上，且AF

求证：EF⊥CE

分析：此题中的已知条件告诉了我们边之间的关系，若设AF＝a，则可得正方形边长为4a，AE＝BE＝2a，DF＝3a，由直角三角形和这些边的关系，我们很容易想到勾股定理和其逆定理来证明两条直线互相垂直。

证明：连结FC，设AF＝a，则正方形边长为4a，AE＝BE＝2a，DF＝3a 由勾股定理得：

在Rt△AEF中，在Rt△BCE中，在Rt△CDF中，由勾股定理的逆定理知△EFC为直角三角形

且CF为斜边

∴EF⊥EC

（三）截长补短法：

例5.如图甲，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD

分析：此题是证两条线段的和等于第三边，这类型的题我们通常采用截长补短法，①截长法即为在这三条最长的线段截取一段使它等于较短线段中的一条，然后证明剩下的一段等于另一条较短的线段。②补短法即为在较短的一条线段上延长一段，使它们等于最长的线段，然后证明延长的这一线段等于另一条较短的线段。

证明一：截长法：

如图乙，在AB上截取AE＝AC，连结DE

在△ADE和△ADC中

∴△ADE≌△ADC（SAS）

∴DE＝DC，∠AED＝∠C ∵∠C＝∠AED＝∠B＋∠BDE＝2∠B ∴∠EBD＝∠EDB ∴BE＝DE ∴BE＝DC ∴AB＝AE＋EB＝AC＋DC 即AB＝AC＋DC 证明二：补短法

如图丙，延长AC至E，使AE＝AB，连结DE

在△ABD和△AED中

∴△ABD≌△AED ∴∠B＝∠E ∵∠ACB＝2∠B＝∠E＋∠EDC ＝∠B＋∠EDC ∴∠E＝∠EDC ∴CD＝CE ∴AB＝AE＝AC＋CE＝AC＋CD 即AB＝AC＋CD

【模拟试题】（答题时间：50分钟）

（一）填空题：

1.已知一个等腰三角形的一个外角是120°，腰长是a，则它腰上的高是___________。

2.一直角三角形的两边长是12，5，则第三边长是___________。

3.AB是Rt△ABC的斜边，中线AD＝7，中线BE＝4，则AB＝___________。

4.已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周长为13，若AB＝4，BC＝6，则DF的长是___________。

5.如图1，已知△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝8cm，CD是AB边上的高，则AD＝___________，BD＝___________。

图1 6.如图2，已知AB＝AC＝10cm，AB∥CD，CD⊥AD，若∠B＝75°，则∠DAC＝___________，AD＝___________cm。

图2 7.等边三角形绕它的三条高线的交点旋转120°，240°，…，都能与自己重合，它的旋转中心是___________，对应线段是___________。

8.若图形甲按顺时针方向旋转30°得到图形乙，那么图形乙按顺时针方向旋转___________就得到图形甲。

9.正五角星绕着它的中心至少旋转___________可以与原图重合。

10.已知线段a，求作等边三角形，使其边长为a，其作法是

（1）作线段AB＝___________。

（2）分别以A、B为圆心，以___________为半径作弧，两弧交于点C。

（3）连结___________和___________。

则△ABC为所求的等边三角形。

（二）选择题：

1.下列作图语言，叙述正确的是（）

A.以A、B为端点，作直线AB B.以B为端点，作射线AB C.作线段AB，使AB＝a D.连结AB，使AB⊥a 2.已知直角三角形的一直角边为2，一锐角为60°，则这个直角三角形的周长为（）

A.B.C.D.3.如图3，AB⊥CD，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，若CD＝8，BE＝3，则AC为（）

图3 A.8 B.5 C.3 D.4.下列现象属于旋转的是（）

A.摩托车在急刹车时向前滑动

B.空中飞舞的雪花

C.拧开自来水龙头的过程

D.飞机起飞冲向空中的过程

5.某三角形三边长分别是整数，周长是11，一边长是4，则这个三角形可能的最大边长是（）

A.7 B.6 C.5 D.4 6.有六根细木棒，它们的长度分别是2，4，6，8，10，12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的比度分别为（）

A.2，4，8 B.4，8，10 C.6，8，10 D.8，10，12 7.下列条件中，能判定△ABC≌△A'B'C'的是（）

①∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C' ②AB＝A'B'，∠A＝∠A'，∠C＝∠C' ③AB＝A'B'，AC＝A'C'，BC＝B'C' ④BC＝B'C'，AC＝A'C'，∠C＝∠A' A.只有③ B.只有②③

C.只有②③④ D.只有①③

8.如图5，将△BAC绕点A旋转60°至△DAE位置，若∠BAC＝120°，则△ABD是_______________三角形。

图5 A.等边三角形 B.等腰三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形

9.如图6，AD⊥AB，AE⊥AC，AD＝AB，AE＝AC，则下列各式中正确的是（）

图6 A.△ABD≌△ACE B.△ADF≌△AEG C.△BMF≌△CMG D.△ADC≌△ABE

（三）已知：在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

求证：。

（四）如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是△ABC内一点，将△ADB绕A点旋转至△AD'C，△AD'C与△ADB能完全重合，求∠DAD'的度数。

图7

（五）已知：如图8△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，点M、N分别在AB、AC上，且∠MDN＝60°

求证：△AMN的周长l＝2

图8

【试题答案】

（一）1.2.3.4.3 5.2，6 6.60°，5 7.三条高线交点，三边

8.330°

9.72°

10.a，a，AC，BC

（二）1.C 2.D 3.D 4.C 5.C 解析：设最大边长为x，则另一边长为7－x，根据三角形三边关系得：4＋7－x＞x，解得，因为x是整数，所以x＝5。

6.C 7.B 8.A 9.D

（三）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°

∵DE⊥AB，∴DE ∵DF⊥AC，∴ ∴DE＋DF

（四）∵△AD'C与△ADB完全重合∴△AD'C≌△ADB ∴∠BAD＝∠CAD' ∵∠BAC＝90°

∴∠BAD＋∠DAC＝90°

∴∠CAD'＋∠DAC＝90°

即∠DAD'＝90°

（五）证明：∵∠ABC＝∠ACB＝60°

∠DBC＝∠DCB＝30°

∴∠DBA＝∠ACD＝90°

∵DC＝DB

∴可将△DBM绕点D顺时针旋转120°得△DCE 即△DCE≌△DBM ∴MD＝ED，∠MDB＝∠EDC，∠MDE＝120°

又∠MDN＝60°

∴∠NDE＝60°

∴△DEN是将△DMN沿DN翻折过来的∴△MDN≌△EDN ∴MN＝EN 即l＝MA＋MN＋AN ＝AM＋AN＋NE ＝（AB－BM）＋（AC＋CE）

＝AB＋AC

＝2 【励志故事】

云在低处飞

姐姐家在福建山区，那一年，她在家对面的半山腰上办了一个黑木茸种植园。在几万截朽木段里挖孔填菌，让它们自然生发。一年下来，姐姐培植的黑木茸，产量并不高，辛辛苦苦360天，保本都有点困难。

后来，姐姐请了一个林科所的专家来把脉，才知症结之所在。原来，黑木茸培植基地处在半山腰上，这里经常飘浮着山云，湿气大，对黑木茸最初的生长不利。专家给姐姐提了个建议，云只在低处飞，只要把基地搬到山顶上去，问题就能得到解决。

姐姐在专家的指导下，把基地上移，当年就喜获丰收。人生何尝不是如此？云只在低处飞，它遮住的只是在底层徘徊的人的去路。若要获得人生的晴空，路径只有一条，就是拼命地向上，向上！

第四篇：全等三角形的判定复习与总结

全等三角形的判定

一、知识点梳理

注意：判定两个三角形全等必须具备的三个条件中“边”是不可缺少的，边边角（SSA）和角角角（AAA）不能作为判定两个三角形全等的方法。

技巧平台：

证明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观察图形，明确已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法。根据三角形全等的条件来选择判定三角形全等的方法，常用的证题思路如下表：

ABAD

解：相等。理由：连接AC，在△ABC和△ADC中，CBCD

ACAC，∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）△ABC≌△ADC（SSS）

点评：证明两个角相等或两条线段相等，往往利用全等三角形的性质求解。有时根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形。

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例2.（SSS）如图，△ABC是一个风筝架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，证明：AD⊥BC.分析：要证AD⊥BC，根据垂直定义，需证∠ADB=∠ABD≌△ACD求得。

证明：D是BC的中点，BD=CD

ABAC



在△ABD与△ACD中，BDCD

ADAD

BDC

△ABD≌△ACD(SSS)，∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）∠ADB+∠ADC=180（平角的定义）

∠ADB=∠ADC=90，AD⊥BC（垂直的定义）

例3.（SAS）如图，AB=AC,AD=AE,求证：∠B=∠C.分析：利用SAS证明两个三角形全等，∠A是公共角。

ABAC

AA

证明：在△ABE与△ACD中,

AEAD

△ABE≌△ACD(SAS),∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）

例4.（SAS）如图，已知E,F是线段AB上的两点，且AE=BF,AD=BC,∠A=∠B,求证：DF=CE.分析：先证明AF=BE，再用SAS证明两个三角形全等。证明：AE=BF(已知)

AE+EF=BF+FE,即

AF=BE

ADBC



在△DAF与△CBE中,AB

AFBE

△DAF≌△CBE(SAS),DF=CE（全等三角形的对应角相等）

点评：本题直接给出了一边一角对应相等，因此根据SAS再证出另一边（即AF=BE）相等即可，进而推出对应边相等。

练习、如图，AB,CD互相平分于点O，请尽可能地说出你从图中获得的信息（不需添加辅助线）。

例5.（ASA）如图，已知点E,C在线段BF上，BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F,求证：AB=DE.龙文教育东晓南分校电话：020-62769991

分析：要证AB=DE，结合BE=CF，即BC=EF，∠ACB=∠F逆推，即要找到证△ABC≌△DEF的条件。

证明:AB∥DE,∠B=∠DEF.又BE=CF，BE+EC=CF+EC,即BC=EF.BDEF

在△ABC与△DEF中,BCEF

ACBF

△ABC≌△DEF(ASA),AB=DE.例6.（AAS）如图，已知B,C,E三点在同一条直线上，AC∥△ABC≌△CDE.分析：在△ABC与△CDE中，条件只有AC=CE,由AC∥DE，可知∠B=∠D,于是△ABC≌△CDE的条件就有了。证明：AC∥DE，∠ACB=∠E,且∠ACD=∠D.又∠ACD=∠B,∠B=∠D.BD

在△ABC与△CDE中,ACBE,ACCE

△ABC≌△CDE(AAS).解题规律：通过两直线平行，得角相等时一种常见的证角相等的方法，也是本题的解题关键。

例7.（HL）如图，在Rt△ABC中，∠A=90,点D为斜边BC上一点，且BD=BA,过点D作BC得垂线，交AC于点E，求证：AE=ED.分析：要证AE=ED，可考虑通过证相应的三角形全等来解决，但图中没有现成的三角形，因此要考虑添加辅助线构造出两线段所在的三角形，结合已知条件，运用“三点定形法”知，连接BE即可。证明：连接BE.ED⊥BC

于D,∠EDB=90.BABDBEBE

在Rt△ABE与Rt△DBE中，

Rt△ABE≌Rt△DBE(HL),AE=ED.解题规律：连接BE构造两个直角三角形是本题的解题关键。特别提醒：连公共边是常作得辅助线之一。

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三、课堂同步练习

1.如图，AB=AD,CB=CD,△ABC与△ADC

2.如图，C是AB的中点，AD=CE,CD=BE,3.如图，△ABC中，AB=AC,AD是高，求证：(1)BD=CD;(2)∠BAD=∠CAD.4.如图，AC⊥CB,DB⊥CB,AB=DC,求证∠ABD=∠

5.如图，点B,E,C,F在一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证∠A=∠D.龙文教育东晓南分校电话：020-62769991

6.如图，AC和BD相交于点O，OA=OC,OB=OD.求证DC∥AB.7.如图，点B,E,C,F在一条直线上，FB=CE,AB∥

8.如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB。求证：AB=DC。

EED，129.已知B,求证： ABECDE

BC

A

D

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第五篇：全等三角形

复习提问 通过前两个问题复习巩固上一节所讲的知识，通过问题3引导学生认识到三角形全等是证明角相等、线段相等的重要方法，然后设疑，如何证明两个三角形全等？从而引出课题。

活动二：讲授新课 全等三角形的判定条件的探究 首先提出

问题1：两个三角形三条边相等、三个角相等，这两个三角形全等吗？学生通过观察图形和课件演示，会很容易作出恳定的回答。

问题2：两个三角形全等是不是一定要六个条件呢？若满足这六个条件中的一个、两个或三个条件它们是否全等呢？然后教师引导学生分别从“角”和“边”的角度分析一个条件、两个条件各有几种情形。引导全班同学首先共同完成满足一个条件的情况的探究，然后指导学生分组讨论，对满足两个条件的 情况进行探究，并在组内交流，教师深入小组参与活动，倾听学生交流，并帮助学生比较各种情况。最后由教师在投影上给出满足一个条件和两个条件的几组三角形，学生通过观察图形就会得到一结论：两个三角形若满足这六个条件中的一个或两个条件是不能保证两个三角形一定全等的。

问题3：两个三角形若满足这六个条件中的三个条件能保证它们全等吗？满足三个条件有几种情形呢？由学生分组讨论、交流，最后教师总结，得出可分为四种情况，即三边对应相等、三角对应相等、两边一角对应相等、两角一边对应相等。告诉学生这一节先探究两个三角形满足三条边相等时，两个三角形是否全等？对于此问题我是这样引导学生探究的，先让学生在练习本上各画一个边长分别为2、3、4的三角形（当然在这里要先给学生讲清楚已知三边如何画三角形，并且让学生牢记此种画三角形的方法），学生画好之后剪下来，同桌之间进行比较、验证，看它们是否重合。同时教师在投影上给出两个边长为2、3、4的三角形，通过课件演示，学生会看到两个三角形的三边对应相等，它们是全等的。从而得到全等三角形的判定方法，即：有三条边对应相等的两个三角形是全等三角形。得到全等三角形的判定条件之后，还要给学生讲清楚证明三角形全等的书写格式，即：先要写出在那两个三角形中，然后用大括号把全等的三个条件括住，最后写出全等的结论。由于学生刚开始学习全等三角形的证明，对三角形全等的书写格式还不熟悉，所以教师在此要强调三角形全等的书写格式以及应注意的问题。

活动三：题例训练 例1是两道填空题，需要补全三角形全等的条件，在讲解此题时关键是让学生看清图中两个三角形全等已具备哪些条件，还缺什么条件，把所缺的条件补上即可。通过此题要使学生进一步掌握三角形全等的判定条件及证明三角形全等的书写格式和应注意的问题。