圆的对称性说课稿

第一篇：圆的对称性说课稿

《圆的对称性》说课稿

彬县公刘中学

段海锋

尊敬的各位领导、老师：

大家好！今天我说课的题目是义务教育课程北师大版数学九年级上册《圆的对称性》，下面我按教材分析、教材处理、教法的选择与应用、教学模式和教学过程五部分来谈谈本节课的设计思路。

一、教材分析：

（一）教材的地位与作用

本节课是圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段等、角等、弧等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于举足轻重的位置。

另外，本节课通过“实验--观察--猜想——合作交流——证明”的途径，进一步培养学生的动手能力，观察能力，分析、联想能力、与人合作交流的能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育。

因此，掌握垂径定理对学生更好地认识现实世界，建立空间观念、培养推理论证能力具有十分重要的作用。

（二）教学目标

根据《数学课程标准》对这部分知识的要求及本课的特点，结合学生的实情，本节课的教学目标确定为：

（1）知识与技能目标

使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。

（2）过程与方法目标

在实验过程中，培养学生观察、联想、猜测、推理、探索发现新知识的能力和创新思维、创新想象的能力。通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。

（3）情感与态度目标

在解决问题过程中，培养学生敢于面对挑战和善于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，勇于探索，从中获得成功的经验，充分享受数学之美，从而体验学习数学的乐趣。

知识与技能目标固然重要，对于本节课：过程与方法和情感与态度更重要，因为这部分是几何教学的重点，是由实验几何向论证几何的过渡，过程与方法可以帮助学生学会认识事物、分析问题的方法；有良好的情感态度能培养好的学习兴趣，养成好的学习习惯。

（三）教学重点和难点

教学重点：垂径定理及其应用。

（由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏，所以，对垂径定理的题设与结论区分是难点之一，同时，对定理的证明方法“叠合法”学生不常用到，是本节的又一难点。）

教学难点：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。

突出重点、突破难点的关键：创设具有启发性的问题情境，通过学生动手操作，多媒体生动直观地演示，让学生经历“提出问题——探究讨论——归纳发现”的过程，在这个过程中，要给学生在充足的活动时间，使学生在积极思维的状态下参与探究性学习。

而理解垂径定理的关键是圆的轴对称性。

二、教学方法的选择与应用

本节课我采用实验操作，直观演示，合作交流等方法指导学生动眼观察、动手操作、动脑思考、动口表述，让学生从实践中获取知识，并通过讨论来深化对知识的理解。

同时采用多媒体辅助教学和实物演示，直观生动地反映图形特点。

三、教学模式

为了实现教学目标，优化教学过程，本节课设计了六个教学环节：课前准备（制作实验器材、完成预习提纲）、创设问题情境引入新课、讲授新课、课堂小结、创新探究、课后作业。

四、教学过程

第一环节

课前准备

活动内容：（提前一天布置）

1.每人制作两张圆纸片（最好用16K打印纸）2.预习课本P88~P92内容

设计意图：通过第1个活动，希望学生能利用身边的工具去画图，并制作图纸片，培养学生的动手能力；在第2个活动中，主要指导学生开展自学，培养良好的学习习惯。预期存在的问题：

学生在制作图纸片时，有时可能没有将圆心标出来，老师要对其进行启发引导，找出圆心。

第二环节

创设问题情境，引入新课

活动内容：

教师提出问题：轴对称图形的定义是什么？我们是用什么方法研究了轴对称图形？学生回忆并回答。

活动目的：通过教师与学生的互动，一方面使学生能较快进入新课的学习状态，另一方面也提高学生的学习的兴趣，让他们带着问题去学习，揭开了探究该节课内容的序幕。预期存在的问题：

由于学生在七年级学习了轴对称图形的内容。部分学生可能遗忘了定义，因此教师要通过一些学生熟悉的轴对称图形来引导同学正确叙述其定义，比如通过矩形。教师作出演示，学生会更容易表达。第三环节

讲授新课

活动内容：

（一）想一想圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你是用什么方法解决上述问题的？

（二）认识弧、弦、直径这些与圆有关的概念。

（三）探索垂径定理。

做一做

1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分重合．

2．得到一条折痕CD．

3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．

4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图

问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。

总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

（四）讲解例题及完成随堂练习。

[例1]如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)，其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．

练习：完成课本P92随堂练习：1

（五）探索垂径定理逆定理并完成随堂练习。想一想：

如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．

同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）上图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。

总结得出垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

练习：完成课本P92随堂练习：2

活动目的：内容

（一）的主要目的就是通过学生动手实验，采用折叠的方法认识圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；内容

（二）的主要目的就是让学生弄清和圆有关的这些概念，便于以后内容的学习研究；内容

（三）的主要目的就是通过学生做一做，观察，猜想，验证等的过程得到新知，同时也培养学生合作交流的能力，以及再次体会研究图形的多种方法。内容

（四）的主要目的让学生应用新知识构造直角三角形，并通过方程的方法去解决几何问题。内容

（五）的主要目的与内容

（三）相似。第四环节

课堂小结

活动内容：师生互相交流总结：

1.本节课我们探索了圆的轴对称性；

2.利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；

3.垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。

活动目的：通过回顾本节课经历的各个环节，鼓励学生畅谈自己的收获和感想，培养学生良好的学习习惯。第五环节

课后作业

1.课本习题3.2，1，2。试一试1 2.预习课本P94~97内容。

以上就是我对本节课的想法与设计，有不到之处敬请指正，谢谢大家！

彬县公刘中学

段

海 锋

第二篇：《圆的对称性》教案

《圆的对称性》教案

教学目标

1．知识与技能

（1）理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心；（2）掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题． 2．过程与方法

（1）通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高；

（2）通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧． 3．情感、态度与价值观

经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣．

教学重难点

重点：对圆心角、弧和弦之间的关系的理解．

难点：能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题．

教学过程

一、创设情境，导入新课

问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？

（如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）．

问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？ 生：折叠．

今天我们继续来探究圆的对称性．

问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？ 生：圆心和半径．

问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗？ 忆一忆：

1．圆：平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆，其中______为圆心，定长为________． 2．弧：圆上_____叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条____的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做圆的半径．__________称为优弧，_____________称为劣弧．

3．___________叫做等圆，_________叫做等弧． 4．圆心角：顶点在_____的角叫做圆心角．

二、探究交流，获取新知 知识点一：圆的对称性

1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？

动手操作：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心？

学生讨论得出结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条．

知识点二：圆的中心对称性．

问：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？

让学生得出结论：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

做一做：

在等圆⊙O和⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB和AOB（如图3-8），将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得OA与OA重合．你能发现哪些等量关系吗？说一说你的理由．

小红认为AB=AB，AB=AB，她是这样想的： ∵半径OA重合，AOB=AOB，∴半径OB与OB重合，∵点A与点A重合，点B与点B重合，∴AB与AB重合，弦AB与弦AB重合，∴AB=AB，AB=AB．

生：小红的想法正确吗？同学们交流自己想法，然后得出结论，教师点拨． 结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 知识点三：圆心角、弧、弦之间的关系．

问：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？

学生之间交流，谈谈各自想法，教师点拨．

结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

三、例题讲解

例：如图3-9，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且AD=CE，BE与CE的大小有什么关系？为什么？

解：BE=CE，理由是： ∵∠AOD=∠BOE，∴AD=BE，又∵AD=CEa2+b2 ∴BE=CE，∴BE=CE． 议一议

在得出本结论的过程中，你用到了哪些方法？与同伴进行交流．

四、随堂练习

1．日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关，试举几例． 2．利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：（1）是轴对称图形但不是中心对称图形；（2）是中心对称图形但不是轴对称图形；（3）既是轴对称图形又是中心对称图形．

3．已知，A，B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是AB的中点，试确定四边形OACB的形状，并说明理由．

五、知识拓展

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，以点C为圆心，AC为半径的圆交AB于点D，求»AD所对的圆心角的度数．

六、自我小结，获取感悟

1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？ 2．对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？ 3．对老师说，你还有哪些困惑？

七、布置作业

P72-73习题1-3题．

第三篇：圆的对称性教案

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圆的对称性

教学目标(一)教学知识点 1．圆的轴对称性． 2．垂径定理及其逆定理．

3．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．(二)能力训练要求

1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．

2．培养学生独立探索、相互合作交流的精神．(三)情感与价值观要求

通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．

垂径定理及其逆定理． 垂径定理及其逆定理的证明． 指导探索和自主探索相结合． 投影片两张：

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条对称轴？

[生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． [师]是吗？你是用什么方法解决上述问题的？大家互相讨论一下．

[生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．

[师]很好． 教师板书：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． 下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念． 1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)． 2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)． 3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)．

如下图，以A、B为端点的弧记作；线段AB是⊙O的AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”一条弦，弧CD是⊙O的一条直径．

注意：

1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作ACD)，劣弧ABD(记作AD)．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．

2．直径是弦，但弦不一定是直径．

下面我们一起来做一做：(出示投影片§3．2．1A)按下面的步骤做一做：

1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重北京今日学易科技有限公司

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合．

2．得到一条折痕CD．

3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．

4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图． [师]老师和大家一起动手．(教师叙述步骤，师生共同操作)[师]通过

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[生]垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

[师]同学们总结得很好．这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意；①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．

下面，我们一起看一下定理的证明：(教师边板书，边叙述)如上图，连结OA、OB，则OA＝OB． 在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA＝OB，OM＝OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM，∴AM＝BM．

∴点A和点B关于CD对称． ∵⊙O关于直径CD对称，∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，∴=，=

．

与

重合，与

重合．

[师]为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．

即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为： 如图3－7，在⊙O中，AMBM，CD是直径ADBD，CDAB于MACBC．下面，我们通过求解例1，来熟悉垂径定理：

[例1]如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心)，上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m，求这段弯路的半径． 其中CD＝600m，E为CD北京今日学易科技有限公司

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[师生共析]要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC的长便可以了．因为已知OE⊥CD，所以CF＝何求解？

[生]连结OC，设弯路的半径为R m，则 1CD＝300cm，OF＝OE－EF，此时就得到了一个Rt△CFO，哪位同学能口述一下如2OF＝(R－90)m，∵OE⊥CD，∴CF＝11CD＝×600＝300(m)． 22据勾股定理，得

OC2＝CF2＋OF2，即R＝300＋(R－90)解这个方程，得R＝545． ∴这段弯路的半径为545m．

[师]在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用．

随堂练习：P92．1．略

下面我们来想一想(出示投影片§3．2．1B)如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M． 2

22[师]上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ [生]它是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线．

[师]很好．你是用什么方法验证上述结论的？大家互相交流讨论一下，你还有什么发现？

[生]通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个⊙O，作一北京今日学易科技有限公司

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条不是直径的弦AB，将圆对折，使点A与点B重合，便得到一条折痕CD与弦AB交于点M．CD就是⊙O的对称轴，A点、B点关于直径CD对称．由轴对称可知，AB⊥CD，[师]大家想想还有别的方法吗？互相讨论一下．

[生]如上图．连接OA、OB便可得到一个等腰△OAB，即OA＝OB，又AM＝MB，即M点为等腰△OAB底边上的中线．由等腰三角形三线合一的性质可知CD⊥AB，又CD是⊙O的对称轴，当圆沿CD对折时，点A与点B重合，与

重合，与

重合． =，=

．

[师]在上述的探讨中，你会得出什么结论？

[生]平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． [师]为什么上述条件要强调“弦不是直径”？

[生]因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的． [师]我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理． [师]同学们，你能写出它的证明过程吗？ [生]如上图，连结OA、OB，则OA＝OB． 在等腰△OAB中，∵AM＝MB，∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一)． ∵⊙O关于直径CD对称．

∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，∴=，=

．

与

重合，与

重合．

[师]接下来，做随堂练习：P92．

2．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？ 答：相等．

理由：如下图示，过圆心O作垂直于弦的直径EF，由垂径定理设用等量减等量差相等，得

－

=

－，即

=

=，=，故结论成立．

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符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同．

Ⅲ．课时小结

1．本节课我们探索了圆的对称性．

2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理．

3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．

Ⅳ．课后作业

(一)课本P93，习题3．2，1、2(二)1．预习内容：P94～97 2．预习提纲：(1)圆是中心对称图形．

(2)圆心角、弧、弦之间相等关系定理． Ⅴ．活动与探究

1．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道？

[过程]让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理基本结构图，进而发展学生的思维．

[结果]

如下图示，连结OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，则AE＝

1AB＝30cm．令⊙2O的半径为R，则OA＝R，OE＝OF－EF＝R－10．在Rt△AEO中，OA2＝AE2＋OE2，即R2＝302＋(R－10)．解得R＝50cm．修理人员应准备内径为100cm的管道． 2北京今日学易科技有限公司

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板书设计

§3．2．1 圆的对称性

一、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直径．

二、与圆有关的概念：

1．圆弧 2．弦 3．直径

注意：弧包括优弧、劣弧、半圆．

三、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

例1：略

四、垂径定理逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． 注意；弦不是直径．

五、课堂练习

六、课时小结

七、课后作业

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第四篇：圆的对称性教学设计

《圆的对称性（1）》教学设计

江苏省蓝天杯教学设计评比获奖作品

一、课题

《圆的对称性（1）》是苏教版教科书九年级上册第五章第二节的第一课时内容。

二、教材分析

《圆的对称性（1）》是学生在学习了有关中心对称图形的知识，圆的相关概念（包括弦、弧、圆心角、同圆、等圆、等弧等）后所学习的一节重要内容。本节课主要是在理解了圆的中心对称性与旋转不变性的基础上，通过学生自主探究，掌握在同圆或等圆中，圆心角和它所对的弧、弦三者之间的关系。它为后续学生进一步学习圆的其它知识以及解决与圆有关的问题提供了重要基础。

三、教学目标

1、知识技能

（1）经历圆绕圆心旋转，理解圆的中心对称性以及圆的旋转不变性；（2）经历操作、猜想、说理、归纳等数学活动，理解并掌握在同圆或等圆中，圆心角和它所对弧、弦三者之间的关系，并能应用其解决相关问题；（3）掌握弧的度数概念，并会计算弧的度数。

2、数学思考

（1）在参与操作、观察、猜想、说理、归纳等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法；

（2）通过数学活动培养学生数学基本活动经验。

3、问题解决

（1）通过问题解决的过程让学生学会从数学的角度发现问题；

（2）通过对问题的解决，让学生获得分析问题和解决问题的一些基本方法，发展创新意识；

（3）进一步培养学生解决问题时的合作意识。

4、情感态度

在解决问题的过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志。

四、教学重、难点

1、重点：在同圆或等圆中，圆心角和它所对弧、弦三者之间的关系及其应用

2、难点：从感性认识到理性认识，从直观到抽象的数学知识探索过程以及归纳能力的培养。

五、设计理念

1、注重学生的自主动手实践，体现学生的主体地位

数学教学活动，特别是教学活动应激发学生兴趣，调动学生学习积极性，而重视了学生的动手实践，自主活动，能够很好的达到这个效果。

2、注重“数学基本活动经验”，体现数学知识的形成的过程

“操作、猜想、说理、归纳总结”是一个较完整的探索数学知识的过程，让学生亲自体验数学知识探索的全过程，有助于学生形成良好的数学思维方式，有助于学生对数学知识的理解，有助于培养学生“数学基本活动经验”。

3、注重归纳总结，体现理性思维

归纳总结是从感性到理性，从特殊到一般的质的飞跃，体现了数学的特点。

六、设计思路

本节课中，探索新知由若干个活动组成，通过学生操作、观察、猜想、说理、归纳总结等一系列活动获得新知，最后通过对若干条题目的解决来到达巩固新知的作用。

七、教学过程

1、创设情境，引入新课

活动一：欣赏图片和动画，感知圆的对称性

（1）通过多媒体课件，向学生展示生活中关于圆对称性的一些实例，例如：正在旋转的摩天轮，缓慢旋转的车轮，剪纸时将圆沿着直径翻折等，学生欣赏动画，并思考它们的共性，很容易发现圆具有对称性。

教师板书本节课课题。

【设计意图】圆的对称性在学生已有的生活经验中是大量存在的，展示的动画，贴近学生生活实际，容易激发学生的学习兴趣，创设这个情景，还能增加学生的联想思维能力，为下面的探究活动打下基础。

（2）关于对称，我们学到今天主要学习了轴对称和中心对称，那么什么是中心对称图形？

学生很容易能够回答出：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点是它的对称中心。

【设计意图】复习旧知，同时也指明了本节课的学习重点是在圆的中心对称性上面。

（3）我们采用什么方法研究中心对称图形？

根据中心对称图形的定义，学生易回答出：采用旋转的方法研究中心对称图形。

【设计意图】为本节课研究圆的中心对称性提供了方法，即，利用旋转来研究。

2、活动、思考，探索新知

活动二：动手操作，感受圆的中心对称性

（1）圆是中心对称图形吗？请同学们拿出事先准备好的圆（圆心处被大头针戳在一张硬纸板上，圆可以绕着圆心自由旋转）按照中心对称图形的定义转一转圆。

根据前面的复习，学生很快根据自己的操作，发现：将圆绕圆心旋转180°后，能够和原来的图形重合，从而得到圆是中心对称图形，它的对称中心就是圆心。

这里，教师可以让学生自己发现并总结本节课的第一个知识点：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

【设计意图】让学生通过活动，亲身体验“圆的中心对称性”，既强化了对中心对称图形概念的理解，又实实在在的看到了圆是中心对称图形。

（2）请同学们将你们手上的圆绕圆心任意转动一定的角度，你们能发现什么？自己做一做，互相讨论下！

学生会发现，无论将圆绕圆心怎样转动，所得的圆还和原来的圆重合。教师进一步总结：其实圆具有旋转不变性，即，一个圆绕着它的圆心旋转任何一个角度后，都能与原来的图形重合。

【设计意图】圆的旋转不变性的研究是为进一步研究圆的性质打下基础。活动三：操作、观察、猜想、说理，初步探索（1）请同学们利用量角器在你们刚才准备的圆上画出两个相等且互不重叠的圆心角，分别记作∠AOB和∠A1OB1，并连接弦AB、A1B1。（提醒学生注意：画∠AOB和∠A1OB1时，要使OB相对于OA的方向与OB1相对于OA1的方向一致）

（2）将扇形OAB剪下，将它绕着圆心O旋转，使得OA与OA1重合。（3）在操作中，仔细观察，你发现了什么？互相讨论一下！

如上图，通过操作、观察，讨论，学生很容易发现，剪下来的部分绕着圆心旋转，当OA与OA1重合时，OB与OB1也重合，整个扇形OAB与扇形OA1B1完全重合，⌒AB 与A⌒1 B1重合,弦AB与弦A1B1重合。

（4）根据对刚才的操作、观察以及你们所发现的情况，你们能从数学的角度猜想出一个数学结论吗？

引导学生得到：在⊙O中，如果∠AOB＝∠A1OB1,则⌒AB ＝A⌒1 B1,AB＝A1B1。这里，学生很容易把“在⊙O中”给遗漏掉，教师要注意提醒。

（5）这个猜想出来的结论对吗？如果正确，你能根据前面所学习的数学知识，对你的这个猜想进行证明吗？请同学们互相讨论，然后尝试着写一写。

在思考证明的方法时，大部分学生都会想到利用△AOB≌△A1OB1这样的常规方法来证明AB＝A1B1，这里教师要加以肯定，但是对于证明⌒AB ＝A⌒1 B1,却会显得束手无策，因为在这节课前，并没有学习过关于证明弧相等的方法。这里，教师可以引导学生回忆等弧的概念，即，能够互相重合的弧叫做等弧，而在刚才的操作过程中，最后确实出现了两弧重合的现象，进一步引导学生发现：只要能说明到A与A1重合，B与B1重合即可证明到⌒AB ＝A⌒1 B1，同时也可证明到AB＝A1B1，这样也不需要用全等的方式来证明了。

（6）我们一起来把这个证明过程写一写。【设计意图】通过操作、观察、猜想、说理这一系列的数学活动，让学生亲身体验了数学知识产生的全过程，感受了研究数学的科学方法，培养了学生的动手能力、数学观察能力、数学猜想能力、逻辑推理能力以及数学语言表达能力，同时也为本节课的重点难点部分的提出打下基础，最后让学生自己写出证明过程可以使学生对证明过程更加理解，思路更加清晰。

（7）通过证明，我们发现，“在⊙O中，如果∠AOB＝∠A1OB1,则⌒AB ＝A⌒1 B1,AB＝A1B1。”但这个是针对在⊙O中的结论，那现在不给我们一个具体的图形，你能直接用一句文字语言来描述一下上面的这种性质吗？讨论一下，然后告诉我。

教师要引导学生首先找到，前面操作过程中的，圆心角、弧、弦之间的关系，即，弧与弦都是相等的圆心角所对的，这样，学生很快就能总结出“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。”，但学生在总结的时候容易漏掉“在同圆中”这个前提。无论学生是否出现这个问题，教师都要加以强调“在同圆中”这个条件，这时教师在多媒体课件上展示两组圆，一组是不等的两个圆，另一组是两个等圆，通过动画直观展示给学生看，第一组在不等的两个圆中，虽然圆心角是相等的，但是所对的弧与弦确实不相等，而另一组在两个等圆中，圆心角相等，所对的弧与弦是相等的。从而让学生进一步发现，不仅不能把“在同圆中”这个条件前提漏掉，还要把它改一改，改成“在同圆或等圆中”。

【设计意图】通过具体实物的操作，猜想以及证明后，最为重要的一步就是将猜想的结论进一步一般化、数学化，在这一过程中，需要教师加以引导，这样既能让学生从中感悟到各个相关量之间的具体联系，又能让学生更深的理解其中的真正内涵所在，为将来能够更好的应用结论提高良好的基础。

教师将结论板书在黑板上。活动四：思考、探索，形成知识升华

（1）在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？为什么？在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弦相等，那么它们所对的弧相等吗？这两个圆心角相等吗？为什么？

对于这两个问题，教师鼓励学生用刚才前面的研究方法，猜一猜，证一证。由前面活动三的基础，这个两个问题都不会太困难，教师要把时间完全的交由学生自主探索，自主证明，并模仿活动三，将两个结论得出。（2）我们上面所涉及的问题都是在同圆或等圆中，都是针对的关于圆心角、圆心角所对的弧与弦直接的关系，我们发现，它们三者直接，只要有一组量是相等的，其余两个量就都相等了，那能不能用一句话总结一下？

学生非常容易就可以得出：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组两都分别相等。这里教师还应强调两点，一是“在同圆或等圆中”这个条件不能遗漏，二是在同圆或等圆中，弦相等所对弧相等中的弧必须是同为“优弧”或同为“劣弧”。

【设计意图】通过思考、探索活动三中的逆命题是否成立，进一步让学生独立自主的体验了研究数学的方式方法，同时也进一步培养了学生说理的能力，归纳总结的能力。

（3）教师将结论板书在黑板上，提出，这个结论我们今后在解决问题的时候可以直接使用，但是，我们在做题目的时候通常都需要用数学符号语言来描述，能不能请同学们根据老师所画的图，用数学符号语言把这个结论描述出来？

教师请三位学生到黑板上把三个结论分别用数学符号语言写出来，其他学生在下面写，教师加以适当的修改和总结。

【设计意图】数学符号语言是解决数学问题尤其是说理证明时重要的表达方式，学生必须能够熟练的将文字语言和数学符号语言进行转化，同时在书写数学符号语言的同时也再一次的让学生感受了在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对弧与弦三者之间的联系，进一步加深了对概念的理解和记忆。

（4）教师指出，今后，在圆中，若要证明圆心角相等、弦相等、弧相等就要想到我们刚刚学习过的知识，即利用圆心角和它所对的弧、弦之间的关系。【设计意图】教师帮助学生进一步凝练总结，形成新的数学解题技能。活动五：关于“弧度”的概念

（1）将顶点在圆心的圆周角等分成360份时，每一份的圆心角是多少度？为什么？

学生小学时就已经知道圆一周角等于360°，基本都能回答出是1°的角。（2）那这360个1°的圆心角所对的弧有什么关系？

这个在活动三和活动四中已经具体总结过了，学以致用，学生很快可回答出，它们都是等弧。（3）教师提出，通常，我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°弧。（4）请问，n°圆心角所对的弧度数是多少？ 学生不难回答，n°圆心角所对的弧度数是n°。（5）那n°弧所对的圆心角度数是多少？ 学生不难回答，n°弧所对的圆心角度数是n°。

（6）哪个同学能把刚才我们一起叙述的结论用一句话总结一下吗？ 对学生来说，这个问题也不难回答，圆心角的度数与它多对的弧的度数相等。【设计意图】设计一系列简单的问题，层层深入，让对学生而言非常陌生的概念“弧的度数”与学生非常熟悉的知识和本节课刚学习过的知识联系起来，顺利得到结论。

（7）请同学们思考一个问题，弧的度数相等与等弧是一个意思吗？ 引导学生根据弧的度数的概念与等弧的概念，画一画、想一想、讨论一下。为了能让学生能够理解，教师可以通过多媒体展示出两个例子。

图1 图2 如图1所示，⌒AB 与⌒CD 的所对圆心角是相等的，因此，它们两个弧的度数是相等的，但是，很显然，⌒AB ≠⌒CD，它们并不能重合，但是由图2所示，由于是⌒、⌒在同圆中，EFGH 的度数是相等的，也是等弧，原因就在于本节课刚学过的知识，在同圆或等圆中，圆心角相等，它所对的弧也相等，而圆心角相等，也意味着圆心角所对的弧的度数是相等的。让学生从直观的角度和逻辑关系上认识到：第一、两条弧，弧的度数相等时，两条弧不一定是等弧，除非这两条弧是在同圆或等圆中；第二、两条弧是等弧，那它们的度数肯定相等。因此只有在等弧时才能用等号把两条弧连起来，而弧的度数相等，就不能这样。

【设计意图】弧的度数相等和等弧历来是学生最容易搞混淆的知识，因此本节课讲到这里必须要引导学生加以区别，同时由对弧的度数相等和等弧这两个概念的区别和联系，让学生进一步加强了对弧的度数和等弧概念的理解，也复习了本节课刚刚学过的两个知识点。

3、例题教学、巩固新知

例

1、如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOB＝∠BOC。∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？

学生由于刚接触圆心角和它所对的弧、弦之间的关系，比较陌生，还不善于利用这个关系来解决问题，因此要引导学生从本节课刚讲的知识点入手解决。采取师生一起分析，学生自主写过程，师生共同对典型的错误进行纠正的模式完成对本例题的讲解。

【设计意图】本题涉及到本节课的知识点主要是：在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等。通过对本题的解决，让学生再次体验同圆或等圆中，圆心角和它所对的弧、弦之间的关系。

4、课堂练习，强化应用

1、如图，在⊙O中，⌒AC ＝⌒BD，∠AOB＝50°，求∠COD的度数。

2、如图，在⊙O中，⌒AB ＝⌒AC，∠A＝40°，求∠ABC的度数。

3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，求⌒AD、⌒DE 的度数。

【设计意图】根据本节课所涉及的主要内容，层层深入、由易到难的设置了课堂习题，既能增强后进生的学习信心，也能达到强化学生对本节课的理解。

5、回顾、小结

本节课你学到了哪些知识，有哪些收获？

学生归纳，梳理本节课所学习的知识，整理出要点。

【设计意图】通过学生自己小结，有利于培养学生的概括能力，使学生自主构建知识体系，养成良好的学习习惯。

6、作业布置

1、完成补充习题第83页5.2圆的对称性（1），其中1至5题为必做题，第6题学有余力的学生完成。

【设计意图】作业分层布置，让不同层次的学生得到不同的发展，而选做题并不是难题，这样可以让学生增强学习数学的自信心。

2、课后思考：圆除了中心对称性还有怎样的对称性，自己研究研究，并预习下一课内容。

【设计意图】设置疑问，激发学生的求知欲，鼓励学生课后独立思考，自主预习。

八、教学反思

本节课的设计理念在第五部分已经提及，纵观整个教学过程，教者深深地感到：一节数学课，能否上好，探究是否到位，很大程度上取决于教师的教学观念、方式方法。新课程标准指出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。因此，在数学教学中，要充分发挥学生的主体地位，让学生在动手实践、自主探索与合作交流中发现方法、获得技能、培养思维、发展能力，做学习数学的主人，教师则是对学生的发言多做点评、总结、启发与引导，发挥教师应有的主导作用，从而彻底摒弃教师“一言堂”，实现高效教学。

第五篇：3.2 圆的对称性教案二

圆的对称性

教学目标

(一)教学知识点(二)1．圆的旋转不变性．

2．圆心角、弧、弦之间相等关系定理．(二)能力训练要求

1．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力．

2．利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理．(三)情感与价值观要求

培养学生积极探索数学问题的态度及方法． 教学重点

圆心角、弧、弦之间关系定理． 教学难点

“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．

教学方法 指导探索法． 教具准备 投影片两张

第一张：做一做(记作§3．2．2A)第二张：举反例图(记作§3．2．2B)教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么？哪位同学知道？

[生]用旋转的方法．中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形．这个点就是它的对称中心．

[师]圆是一个特殊的圆形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．那么，圆还有其他特性吗？下面我们继续来探讨．

Ⅱ．讲授新课

[师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点？ [生]大小一样．

[师]现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定．

将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗？ [生]重合．

[师]通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

[师]我们一起来做一做．(出示投影片§3．2．2A)按下面的步骤做一做：

1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下．

2．在⊙O和⊙O＇上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A＇O＇B＇(如下图示)，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A＇O＇B＇时，要使OB相对于OA的方向与O＇B＇相对于O＇A＇的方向一致，否则当OA与OA＇重合时，OB与O＇B＇不能重合．

3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O＇A＇重合．

[生]教师叙述步骤，同学们一起动手操作．

[师]通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系？同学们互相交流一下，说一说你的理由．

[生甲]由已知条件可知∠AOB＝∠A＇O＇B＇．

[生乙]由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O＇A＇B＇＝∠O＇B＇A＇．

[生丙]由△AOB≌△A＇O＇B＇，可得到AB＝A＇B＇． [生丁]由旋转法可知ABAB． „„

[师]很好．大家说得思路很清晰，其实刚才丁同学说到一种新的证明弧相等的方法——叠合法．

[师生共析]我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O＇A＇重合时，由于∠AOB＝∠A＇O＇B＇．这样便得到半径OB与O＇B＇重合．因为点A和点A＇重合，点B和点B＇重合，所以和重合，弦AB与弦A＇B＇重合，即，AB＝A＇B＇． 的理由是[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论？

[生]在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

[师]同学做得很好，这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理．

下面，我们一起来看一看命题的证明．(学生互相讨论交流，学生口述，教师板书)如上图所示，已知：⊙O和⊙O＇是两个半径相等的圆，∠AOB＝∠A＇O＇B＇． 求证：，AB＝A＇B＇．

证明：将⊙O和⊙O＇叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转，一个角度，使得半径OA与O＇A＇重合，∵∠AOB＝∠A＇O＇B＇，∴半径OB与O＇B＇重合．

∵点A与点A＇重合，点B与点B＇重合，∴∴与重合，弦AB与弦A＇B＇重合．，AB＝A＇B＇．

上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．

[师](通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．(出示投影片§3．2．2B)

[生]如下图示，虽然∠AOB＝∠A＇O＇B＇，但AB≠A＇B＇，下面我们共同想一想．

[师]如果我们把两个圆心角用①表示；两条弧用②表示；两条弦用③表示．我们就可以得出这样的结论：

在同圆或等圆中②也相等

①相等③如果在同圆或等圆这个前提下．将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗？你是怎么想的？请你说一说．(同学们互相交流、讨论)

[生甲]如果将上述题设①和结论②换一下，结论仍正确．可以通过旋转法或叠合法得到证明．

[生乙]如果将上述题设①和结论③互换一下，结论也正确，可以通过证明全等或叠合法得到．

[师]好，通过上面的探索，你得到了什么结论？

[生]在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

注意：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等．

(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．

(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．

(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”“在等圆中，弦心距相等的弦相等”等等．

例如，下图中的∠1＝∠2，有的同学认为∠1对AD，∠2对BC，就推出了AD＝BC，显然这是错误的，因为AD、BC不是“等圆心角对等弦”的弦．

[师]下面我们通过练习巩固本节课的所学内容． 课本P97

随堂练习1、2、3 Ⅲ．课时小结

[师]通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法？(同学们之间相互讨论、归纳)

[生]本节采用的方法有多种，利用折叠法研究了圆是轴对称图形；利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、孤、弦、弦心距之间相等关系定理„„

Ⅳ．课后作业

课本P98

习题3．3：

1、2 Ⅴ．活动与探究(略)板书设计

§3．2．2 圆的对称性

一、圆的旋转不变性

圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

二、圆心角、弧、弦之间相等关系定理． 证明：略

三、随堂练习

四、课时小结

五、课后作业