数学f1初中数学3.2 圆的对称性教案一

第一篇：数学f1初中数学3.2 圆的对称性教案一

知识决定命运 百度提升自我

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圆的对称性

教学目标(一)教学知识点 1．圆的轴对称性． 2．垂径定理及其逆定理．

3．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．(二)能力训练要求

1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．

2．培养学生独立探索、相互合作交流的精神．(三)情感与价值观要求

通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．

垂径定理及其逆定理． 垂径定理及其逆定理的证明． 指导探索和自主探索相结合． 投影片两张：

第一张：做一做(记作§3．2．1A)第二张：想一想(记作§3．2．1B)教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？

[生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．

[师]我们是用什么方法研究了轴对称图形？ [生]折叠．

[师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性．

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Ⅱ．讲授新课

[师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

[生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． [师]是吗？你是用什么方法解决上述问题的？大家互相讨论一下． [生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．

[师]很好． 教师板书：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． 下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念． 1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)． 2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)． 3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)．

如下图，以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径．

注意：

1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作ACD)，劣弧ABD(记作AD)．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．

2．直径是弦，但弦不一定是直径．

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下面我们一起来做一做：(出示投影片§3．2．1A)按下面的步骤做一做：

1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．

2．得到一条折痕CD．

3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．

4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图． [师]老师和大家一起动手．(教师叙述步骤，师生共同操作)[师]通过第一步，我们可以得到什么？

[生齐声]可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴． [师]很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？

． ，[生]我发现了，AM＝BM，ADBDACBC[师]为什么呢？

[生]因为折痕AM与BM互相重合，A点与B点重合．

[师]还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？ [师生共析]如下图示，连接OA、OB得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，此AM＝BM，=，=

．

与

重合，与

重合．因

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[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论？

[生]垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

[师]同学们总结得很好．这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意；①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．

下面，我们一起看一下定理的证明：(教师边板书，边叙述)如上图，连结OA、OB，则OA＝OB． 在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA＝OB，OM＝OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM，∴AM＝BM．

∴点A和点B关于CD对称． ∵⊙O关于直径CD对称，∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，重合．

∴=，=

．

与

重合，与[师]为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．

即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为： 如图3－7，在⊙O中，知识决定命运 百度提升自我

AMBM，CD是直径ADBD，CDAB于MACBC．下面，我们通过求解例1，来熟悉垂径定理：

[例1]如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m，圆心)，其中CD＝600m，E为CD求这段弯路的半径．

[师生共析]要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC的长便可以了．因为已知OE⊥CD，所以CF＝

1CD＝300cm，OF＝OE－EF，此时就得到了一个Rt2△CFO，哪位同学能口述一下如何求解？

[生]连结OC，设弯路的半径为R m，则 OF＝(R－90)m，∵OE⊥CD，∴CF＝11CD＝×600＝300(m)． 22据勾股定理，得 OC2＝CF2＋OF2，即R2＝3002＋(R－90)2 解这个方程，得R＝545． ∴这段弯路的半径为545m．

[师]在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用．

随堂练习：P92．1．略

下面我们来想一想(出示投影片§3．2．1B)如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．

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[师]上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ [生]它是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线．

[师]很好．你是用什么方法验证上述结论的？大家互相交流讨论一下，你还有什么发现？

[生]通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个⊙O，作一条不是直径的弦AB，将圆对折，使点A与点B重合，便得到一条折痕CD与弦AB交于点M．CD就是⊙O的对称轴，A点、B点关于直径CD对称．由轴对称可知，AB⊥CD，=，=

．

[师]大家想想还有别的方法吗？互相讨论一下．

[生]如上图．连接OA、OB便可得到一个等腰△OAB，即OA＝OB，又AM＝MB，即M点为等腰△OAB底边上的中线．由等腰三角形三线合一的性质可知CD⊥AB，又CD是⊙O的对称轴，当圆沿CD对折时，点A与点B重合，重合，与重合．

与[师]在上述的探讨中，你会得出什么结论？

[生]平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． [师]为什么上述条件要强调“弦不是直径”？

[生]因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的． [师]我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理． [师]同学们，你能写出它的证明过程吗？ [生]如上图，连结OA、OB，则OA＝OB． 在等腰△OAB中，∵AM＝MB，∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一)． ∵⊙O关于直径CD对称．

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∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，重合．

∴=，=

．

与重合，与[师]接下来，做随堂练习：P92．

2．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？ 答：相等．

理由：如下图示，过圆心O作垂直于弦的直径EF，由垂径定理设=成立．，用等量减等量差相等，得

－

=

－，即

=

=，故结论

符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同．

Ⅲ．课时小结

1．本节课我们探索了圆的对称性．

2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理．

3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．

Ⅳ．课后作业

(一)课本P93，习题3．2，1、2(二)1．预习内容：P94～97 2．预习提纲：(1)圆是中心对称图形．

(2)圆心角、弧、弦之间相等关系定理． Ⅴ．活动与探究

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1．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道？

[过程]让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理基本结构图，进而发展学生的思维．

[结果]

如下图示，连结OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，则AE＝

1AB2＝30cm．令⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝OF－EF＝R－10．在Rt△AEO中，OA2＝AE2＋OE2，即R2＝302＋(R－10)2．解得R＝50cm．修理人员应准备内径为100cm的管道．

板书设计

§3．2．1 圆的对称性

一、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直径．

二、与圆有关的概念：

1．圆弧 2．弦 3．直径

注意：弧包括优弧、劣弧、半圆．

三、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

例1：略

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四、垂径定理逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

注意；弦不是直径．

五、课堂练习

六、课时小结

七、课后作业

第二篇：数学f1初中数学【教案一】6.5垂直[范文]

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6.5垂直

教学目标：

1、在具体情境中进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，并会用符号表示两条直线互相垂直。

2、会画垂线，并在操作活动中探索、掌握垂线的性质。

3、从生活实际中感知“垂线段最短”，并能运用到生活中解决实际问题。教学重点：会使用工具按要求画垂线，掌握垂线（段）的性质。教学难点：从生活实际中感知“垂线段最短” 教学方法与手段：

1、方法：使学生从生活中垂直入手，通过“画画、议议、想想、试试”实现教学目标。

2、手段：课件一套，投影仪，实物展示台，三角板。教学过程：

一、说一说，做一做（使学生感受具体情境中的垂直）

1、观察润扬大桥图片，说说哪些是互相垂直？

2、说说扬州市区的哪些道路是互相垂直的？

3、在看看周围（教室、书本等）哪些线是互相垂直的？

4、请同学们和老师一块折叠长方形的纸（横竖各叠一次）同学们量一量折痕与折痕、折痕与边所成的角的度数。

你是怎样理解垂直的？教师根据学生回答画出图形，并规定表示方法。

另外，强调直线与线段（射线）垂直就是与线段（射线）所在直线垂直，并画图说明。

二、画一画，议一议（使学生再操作活动中探索、体验经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直）

画一画

1、画直线与已知直线垂直；

2、过直线外一点画直线与已知直线垂直；

3、过直线上一点画直线与已知直线垂直。

议一议

1、你是用何工具如何画垂线的？

2、你画出的垂线有何特点？

3、经过石塔寺且与淮海路垂直的是哪条路？你还能再设计一条吗？经过四望亭且与汶河路垂直的路是？

三、想一想、议一议（使学生从生活中感知“垂线段最短”，并了解点到直线的距离）

1、如何测量跳远成绩？

2、过马路怎样走最短？

3、测量图形中PA、PB、PC、PD的长，比较哪条线段最短？（其中PA是垂线段）

4、你得到什么启发？

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

5、你觉得如何规定点到直线的距离比较合理？

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

教师根据学生回答适当点拔，并且让学生比较垂线、垂线段、点到直线的距离

四、试一试

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1、如图，已知直线AB、CD和AB上一点M，过点M分别画直线AB、CD的垂线。

2、如图，污水处理厂A要把处理过的水引入排水沟PQ，应如何铺设排水管道，才能使用料最短，试画出铺设管道路线，并说明理由。

3、如图，P是∠AOB的边OB上的一点。

（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C（2）过点P画OA的垂线，垂足为H 比较PH与PC、PC与CO的长短，并说明理由。

4、如图射线OC是∠AOB的角平分线，M是OC上任意一点。

（1）画MP⊥OA，垂足为P（2）画MQ⊥OB，垂足为Q（3）度量点M到OA、OB的距离，你发现什么？

5、如图，已知∠AOB，画射线OC⊥OA，射线OD⊥OB；你能画出几种？观察图形你发现了什么？

学生在教师提供的练习纸上独立画图，然后利用实物展示台汇报，知识决定命运 百度提升自我

2、如图，某长方形木板在运输过程中不慎折断，请在剩余的板材上画一直线，以便截出一块面积最大的长方形木板。

第三篇：数学f1初中数学【教案一】3.5去括号

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3.5 去括号（知识决定命运 百度提升自我

（1）求多项式2x-3y +7与6x-5y-2的和.提问：你有哪些计算方法？

（可引导学生进行竖式计算，并在练习中注意竖式计算过程中需要注意什么？）（2）（-3x –x +2）+（4x+3x-5）（3）（4a2-3a）+（2a2 +a-1）（4）（x +5xy –y）-（x +3x y-2y）（5）2（1-a +a2）-3（2-a –a2）4.教学例3 先化简下式，再求值：

（做此类题目应先与学生一起探讨一般步骤：（1）去括号。（2）合并同类项。（3）代值）解：5（3ab –ab）-4（-ab +3ab），其中=-2，=3

=15ab –5ab+4ab-12ab）

=3ab –ab 2222

2222

2222

三、小结

1.进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项。2.进行化简求值计算时（1）去括号。（2）合并同类项。（3）代值 3.通过本节课的学习你还有哪些疑问？

四、布置作业

习题4.5 2.（3）；4.（2）；5.。

五、课后反思

第四篇：数学f1初中数学1.3

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1．3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定

课型：新授课课时：8课时

第一课时

教学目标

1、能证明平行四边形的性质。

2、经历探索、猜想、证明的过程，从中体会探索结论的思考方法，理解对猜想进行证明的必要性，不断感受合情推理和演绎推理是人们正确认识事物的重要途径。

3、逐步学会分析和综合的思考方法，发展演绎推理的能力。教学重点

1、证明平行四边形的性质。

2、经历探索、猜想、证明的过程，从中体会探索结论的思考方法，理解对猜想进行证明的必要性，不断感受合情推理和演绎推理是人们正确认识事物的重要途径。教学难点

学习探索问题的思考方法，理角对猜想进行证明的必要性。教学方法

自主学习、合作探究

教学过程设计

一、创设情境

回忆已探索过的平行四边形以及各种特殊的平行四边形的性质。在下表相应的空格内打“√”

二、探索活动

问题一：你能证明平行四边形的哪些性质？可以考虑先证哪个性质？尝试说明证明思路。平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。问题二：证明平行四边形的对角线互相平分

你能说说这几种特殊的四边形的性质之间有哪些联系和区别吗？

知识决定命运 百度提升自我引导学生画图，写已知求证

已知：如图，在ABCD中，AC、BD相交于点O.求证：AO=CO，BO=DO

C

引导学生学习思考与表达方法

三、例题教学

例1 已知如图，在ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点.求证：BE=DF

四、巩固训练

课本P15练习1，2题

1、证明：夹在两条平行线间的平行线段相等。

2、已知：如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线与AD、BC分

别相交于点E、F.求证：OE=OF.C

五、体会与交流

我们利用三角形全等，证明了平行四边形的性质定理，这是研究四边形问题中常用的一种思考方法即把四边形的问题转化为三角形的问题。

六、作业

课堂作业：课本P25习题1.3第1，2题

课外作业：补充习题和学习指导书相应的练习

第五篇：数学f1初中数学【教案】2.3绝对值与相反数

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2.3绝对值与相反数（1）

【教学目标】

1．理解有理数的绝对值和相反数的意义．

2．会求已知数的相反数和绝对值．

3．会用绝对值比较两个负数的大小．

4．经历将实际问题数学化的过程，感受数学与生活的关系．

【教学过程设计建议（知识决定命运 百度提升自我

此外，还可以设计一些距离相同但方向相反的实际问题，引入互为相反数的概念．

2．探索活动

(1)给出相反数的描述性定义后，要让学生大量举例以巩固概念．

(2)围绕“只有符号不同”展开讨论，让学生充分发表看法．搞清它的意义是判断两个数是否互为相反数的需要，要及时肯定学生中的较好的解释，如：

“两个数的符号不同，绝对值相等．”

“除0以外，绝对值相等的数有两个，一个是正数，一个是负数，它们仅仅是符号不同．”

“写已知数的相反数，只要在这个数的前面添一个负号．”

“有理数由符号和绝对值两部分组成，如果改变有理数的符号，那么数轴上表示有理数的点就从原点的一侧变到另一侧．”

(3)通过“议一议”，归纳出一个数的绝对值与这个数本身或它的相反数的关系．需要注意的是，在写一个数的绝对值时，要紧扣课本