小结函数对称性

第一篇：小结函数对称性

小 结 函 数 对 称 性

数学组

刘宏博

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础.函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美.本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来小结与函数对称有关的性质.一、函数自身的对称性

定理1.函数 y = f(x)的图像关于点A(a ,b)对称的充要条件是

f(x)+ f(2a－x)= 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f(x)图像上任一点，∵点P(x ,y)关于点A(a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f(x)图像上，∴ 2b－y = f(2a－x)即y + f(2a－x)=2b故f(x)+ f(2a－x)= 2b，必要性得证.（充分性）设点P(x0,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)∵ f(x)+ f(2a－x)=2b∴f(x0)+ f(2a－x0)=2b，即2b－y0 = f(2a－x0).故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f(x)图像上，而点P与点P‘关于点A(a ,b)对称，充分性得征.推论：函数 y = f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+ f(－x)= 0 定理2.函数 y = f(x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

f(a +x)= f(a－x)即f(x)= f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数 y = f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)= f(－x)定理3.①若函数y = f(x)图像同时关于点A(a ,c)和点B(b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期.②若函数y = f(x)图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期.③若函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期.①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称，∴f(x)+ f(2a－x)=2c，用2b－x代x得： f(2b－x)+ f [2a－(2b－x)] =2c………………（*）又∵函数y = f(x)图像直线x =b成轴对称，∴ f(2b－x)= f(x)代入（*）得：

f(x)= 2c－f [2(a－b)+ x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 f [2(a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b)+ x]代入（**）得：

f(x)= f [4(a－b)+ x],故y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期.二、不同函数之间的对称性

定理4.函数y = f(x)与y = 2b－f(2a－x)的图像关于点A(a ,b)成中心对称.定理5.①函数y = f(x)与y = f(2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称.②函数y = f(x)与a－x = f(a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称.③函数y = f(x)与x－a = f(y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称.定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(x0 ,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)。记点P(x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1，y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f(x0)之中得x1－a = f(a + y1)∴点P‘（x1，y1）在函数x－a = f(y + a)的图像上.同理可证：函数x－a = f(y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f(x)的图像上。故定理5中的③成立.推论：函数y = f(x)的图像与x = f(y)的图像关于直线x = y 成轴对称.三、函数对称性应用举例 例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)= f(5+x),则f(x)一定是（）

(B)是偶函数，但不是周期函数

(D)是奇函数，但不是周期函数(A)是偶函数，也是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数

解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)= f(10－x).∴f(x)有两条对称轴 x = 5与x =10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数.故选(A)

例2.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，f(x)= －1x，则f(8.6)= _________

2解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

又∵f(1+x)= f(1－x)∴x = 1也是y = f(x)对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)= f(8+0.6)= f(0.6)= f(－0.6)= 0.3 例3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，f(x)= x，则f(7.5)=（）

(A)

0.5(B)－0.5

(C)1.5

(D)－1.5 解：∵y = f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f(x+2)= －f(x)= f(－x)，即f(1+ x)= f(1－x)，∴直线x = 1是y = f(x)对称轴，故y = f(x)是周期为2的周期函数.∴f(7.5)= f(8－0.5)= f(－0.5)= －f(0.5)=－0.5 故选(B)

第二篇：高中数学函数对称性和周期性小结

高中数学函数对称性和周期性小结

一、函数对称性：

1.2.3.4.5.6.7.8.f(a+x)= f(a-x)==> f(x)关于x=a对称

f(a+x)= f(b-x)==> f(x)关于 x=(a+b)/2 对称 f(a+x)=-f(a-x)==> f(x)关于点（a，0）对称 f(a+x)=-f(a-x)+ 2b ==> f(x)关于点（a，b）对称

f(a+x)=-f(b-x)+ c ==> f(x)关于点 [（a+b）/2，c/2] 对称 y = f(x)与 y = f(-x)关于 x=0 对称 y = f(x)与 y =-f(x)关于 y=0 对称 y =f(x)与 y=-f(-x)关于点(0,0)对称

例1：证明函数 y = f(a+x)与 y = f(b-x)关于 x=(b-a)/2 对称。

【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a+x)上，令关于 x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a+m)= f[ b –(2t – m)] ∴ b – 2t =a，==> t =(b-a)/2，即证得对称轴为 x=(b-a)/2.例2：证明函数 y = f(ax)上，令关于 x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a-m)= f[(2t – m)– b] ∴ 2ta)= 1 – 2/[f(x)+1]，等式右边通分得f(xa)= [1 + f(x)]/[f(x)– 1]，即

/[f(xf(x)] ∴

/[f(x1/f(x)= f(x2a)==> f(x)= f(x + 4a)∴

函数最小正周期 T=|4a|

第三篇：函数的对称性和周期性复习教案

函数的对称性和周期性

株洲家教：***

函数的对称性和周期性

一.明确复习目标

1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；

2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。3.掌握常见的函数对称问题

二、建构知识网络

一、两个函数的图象对称性

yf(x)与yf(x)关于x轴对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于y0对称。

2、yf(x)与yf(x)关于Y轴对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于x0对称。

1、yf(x)与yf(2ax)关于直线xa对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)，即它们关于xa对称。

4、yf(x)与y2af(x)关于直线ya对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)2a，即它们关于ya对称。

5、yf(x)与y2bf(2ax)关于点(a,b)对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)2b，即它们关于点(a,b)对称。

ab6、yf(ax)与y(xb)关于直线x对称。

23、二、单个函数的对称性 性质1：函数证明：在函数yf(x)满足f(ax)f(bx)时，函数yf(x)的图象关于直线xyf(x)上任取一点(x1,y1)，则y1f(x1)，点(x1,y1)关于直线

ab对称。2xab的对称点(abx1,y1)，当xabx1时 2f(abx1)f[a(bx1)]f[b(bx1)]f(x1)y1

yf(x)图象上。故点(abx1,y1)也在函数由于点(x1,y1)是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线x（注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。）

性质2：函数证明：在函数（ab对称。2abc，）对称。22yf(x)满足f(ax)f(bx)c时，函数yf(x)的图象关于点（yf(x)上任取一点(x1,y1)，则y1f(x1)，点(x1,y1)关于点

abc，）的对称点（abx1，c－y1），当xabx1时，22f(abx1)cf[b(bx1)]cf(x1)cy1 即点（abx1，c－y1）在函数yf(x)的图象上。

由于点(x1,y1)为函数函数yf(x)图象上的任意一点可知

abc，）对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。）22ba性质3：函数yf(ax)的图象与yf(bx)的图象关于直线x对称。

2yf(x)的图象关于点（证明：在函数y1）。yf(ax)上任取一点(x1,y1)，则y1f(ax1)，点(x1,y1)关于直线xba对称点（bax1，2f[b(bax1)]f[bbax1]f(ax1)y1 故点（bax1，y1）在函数yf(bx)上。由于

函数的对称性和周期性

株洲家教：*** 由点(x1,y1)是函数因此yf(ax)图象上任一点

yf(ax)与yf(bx)关于直线xba对称。

2三、周期性

1、一般地，对于函数么函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。说明：周期函数定义域必是无界的。

推广：若f(xa)f(xb)，则f(x)是周期函数，ba是它的一个周期

0,kZ)也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小2.若T是周期，则kT(k正周期。

说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数

3、对于非零常数证明：

f(x)C；

A，若函数yf(x)满足f(xA)f(x)，则函数yf(x)必有一个周期为2A。

f(x2A)f[x(xA)]f(xA)[f(x)]f(x)∴函数yf(x)的一个周期为2A。

14、对于非零常数A，函数yf(x)满足f(xA)，则函数yf(x)的一个周期为2A。

f(x)证明：f(x2A)f(xAA)1f(x)。

f(xA)1，则函数yf(x)的一个周期为2A。f(x)

5、对于非零常数A，函数yf(x)满足f(xA)证明：f(x2A)f(xAA)A，函数yf(x)满足

6、对于非零常数

1f(x)。

f(xA)A1f(x)A1f(x)f(x)或f(x)21f(x)21f(x)则函数

yf(x)的一个周期为2A。

证明：先看第一个关系式

3A)3AAf(x2A)f(x )3A221f(x)2A11f(xA)1f(xA)1f(xA)2f(xA)A1f(xA)1f(xA)121f(xA)f(x2A)f(xA)f(xA)f(x)f(x)f(x2A)

1f(x第二个式子与第一的证明方法相同

f(x)的定义域为N，且对任意正整数x

都有f(x)f(xa)f(xa)(a0)则函数的一个周期为6a 证明：f(x)f(xa)f(xa)

（1）

f(xa)f(x)f(x2a)

（2）两式相加得：f(xa)f(x2a)

f(x)f(x3a)f(x6a)

四、对称性和周期性之间的联系

7、已知函数性质1：函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)(ab)，求证：函数yf(x)是周期函数。

函数的对称性和周期性

株洲家教：***

f(ax)f(ax)得f(x)f(2ax)

f(bx)f(bx)得f(x)f(2bx)∴f(2ax)f(2bx)∴f(x)f(2b2ax)

∴函数yf(x)是周期函数，且2b2a是一个周期。

性质2：函数yf(x)满足f(ax)f(ax)c和f(bx)f(bx)c(ab)时，函数yf(x)是周期函证明：∵数。（函数yf(x)图象有两个对称中心（a，cc）、（b，）时，函数yf(x)是周期函数，且对称中心距离的两倍，22是函数的一个周期）

证明：由f(ax)f(ax)cf(x)f(2ax)c)f(bx)cf(x)f(2bx) c

f(bx

得f(2ax)f(2bx)

得f(x)f(2b2ax)

∴函数yf(x)是以2b2a为周期的函数。性质3：函数yf(x)有一个对称中心（a，c）和一个对称轴xb（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4(ba)。

f(ax)f(ax)2cf(x)f(2ax)2c

f(bx)f(bx)f(x)f(2bx)

f(4(ba)x)f(2b(4a2bx))

f(4a2bx)f(2a(2b2ax))2cf(2b2ax)

2cf(2b(2ax))2cf(2ax)

2c(2cf(x))2c2cf(x)f(x)

推论：若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线xa和点(b,0)(ab)对称，则f(x)是周期函数，4(ba)是证明：它的一个周期

证明：由已知f(x)f(2ax),f(x)f(2bx).f(x)f(2ax)f[2b(2ax)]f[2(ba)x] f[2a2(ba)x]f[2(2ab)x]f[2b2(2ab)x]f[4(ba)x],周期为4(ba).举例:ysinx等.性质4：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(xa)f(xa),则2a为函数f(x)的周期。（若f(x)满足f(xa)f(xa)则f(x)的图象以xa为图象的对称轴，应注意二者的区别)证明：f(xa)f(xa)f(x)f(x2a)

性质5：已知函数yfx对任意实数x,都有faxfxb，则yfx是以

2a为周期的函数 证明：f(ax)bf(x)

f(x2a)f((xa)a)bf(xa)b(bf(x))f(x)

五、典型例题

例1（2005·福建理）f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)0，则方程f(x)0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A．2

B．3 解：

C．4

D．5)f(x)是R上的奇函数，则f(0)0，由f(x3f(2)0f(1)0f(1)0

∴f(4)0 ∴x=1，2，3，4，5时，f(x)0

这是答案中的五个解。

但是

f(15)f(f(x得)f(3)0，f(2)0f(5)0

153)f(1 )f(1 5)f(15)0 又

f(15知5)f(153)f( 4而

0f(1知 x1.5,x4.5,f(x)0也成立，可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为7。例3 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为（）(A)－1

(B)0

(C)

(D)2

函数的对称性和周期性

株洲家教：*** 解：因为所以所以f(x)是定义在R上的奇函数

f(0)0，又f(x4)f(x2)f(x)，故函数，f(x)的周期为4 f(6)f(2)f(0)0，选B

f(x)满足f(x2)f(x),且x(0,1)时,f(x)2x,则f(log118)的值为。

2例4．已知奇函数解：f(x2)f(x)fxf(x2)f(x4)

89f(log118)f(log218)f(4log218)f(log2)f(log2)

9829log299f(log2)28

88例5 已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x(0,1)时，f(x)x1.求f(x)在(1,2)上的解析式。

解法1：

从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上

∵x(1,2), 则x(2,1)

∴2x(0,1), ∵ T2，是偶函数

∴ f(x)f(x)f(2x)2x13x

x(1,2)

解法2：

f(x)f(x2)

如图：x(0,1), f(x)x1.∵是偶函数 ∴x(1,0)时f(x)f(x)x1

又周期为2，x(1,2)时x2(1,0)∴f(x)f(x2)(x2)13x

例6 f(x)的定义域是R，且f(x2)[1f(x)]1f(x),若f(0)2008（从图象入手也可解决，且较直观）求 f(2008)的值。

f(x4)11f(x2)1f(x4)11f(x8)解：f(x)f(x2)1f(x4)11f(x4)f(x4)1周期为8，f(2008)f(0)2008

1例7 函数fx对于任意实数x满足条件fx2，若f15,则ff5

fx_______________。解：由fx21fx得

fx41f(x)fx2，所以

f(5)f(1)5，则

11

f(12)5例8 若函数f(x)在R上是奇函数，且在1，0上是增函数，且f(x2)f(x).①求f(x)的周期；

②证明f(x)的图象关于点(2k,0)中心对称;关于直线x2k1轴对称,(kZ);③讨论f(x)在(1,2)上的单调性； ff5f(5)f(1)

解: ①由已知f(x)f(x2)f(x22)f(x4)，故周期T4.②设P(x,y)是图象上任意一点,则yf(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4kx,y).P关于直线x2k1对称的点为P2(4k2x,y)

函数的对称性和周期性

株洲家教：***

f(4kx)f(x)f(x)y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称.又f(x)是奇函数,f(x2)f(x)f(x)∴f(4k2x)f(2x)f(x)y

x2k1对称.∴点P2在图象上,图象关于直线∵x1x22，则2x2x11，02x22x11

∵f(x)在(1,0)上递增, ∴f(2x1)f(2x2)……(*)又f(x2)f(x)f(x)

∴f(2x1)f(x1),f(2x2)f(x2).所以：f(x2)f(x1)，f(x)在(1,2)上是减函数.例9 已知函数yf(x)是定义在R上的周期函数，周期T5，函数yf(x)(1x1)是奇函数.又知yf(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x2时函数取得最小值5.（1）证明：f(1)f(4)0；

（2）求yf(x),x[1,4]的解析式；（3）求yf(x)在[4,9]上的解析式.解：∵f(x)是以5为周期的周期函数，且在[1,1]上是奇函数，∴f(1)f(1)f(51)f(4)，∴f(1)f(4)0.2②当x[1,4]时，由题意可设f(x)a(x2)5(a0)，22由f(1)f(4)0得a(12)5a(42)50，∴a2，f(x)2(x2)25(1x4).③∵yf(x)(1x1)是奇函数，∴f(0)0，又知yf(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x)kx(0x1)∴③设1f(1)2(12)253，∴k3，∴当0x1时，f(x)3x，从而1x0时，f(x)f(x)3x，故1x1时，f(x)3x.∴当4x6时，有1x51，∴f(x)f(x5)3(x5)3x15.当6x9时，1x54，22∴f(x)f(x5)2[(x5)2]52(x7)5

3x15,4x6∴f(x).22(x7)5,6x9而

第四篇：复变函数小结

复变函数小结 第一章 复变函数

1)掌握复数的定义(引入),知道复数的几何意义(即复数可看成复数平面的一个点也可以表示为复数平面上的向量)2)掌握 复数的直角坐标表示与三角表示式及指数表示式的关系.3)掌握复数的几种运算:(1)相等;(2)加法;(3)减法;(4)乘法;(5)除法;(6)开方;(7)共轭.需要注意的是开方 : 开n次有n个根.例题

nz1n1ei02kn1ei02kn,k0,1,2,n1

4)掌握复变函数的定义,知道复变函数的极限与连续的定义.5)熟悉几个常用的基本初等函数及性质:(1)多项式;(2)有理分式;(3)根式;(4)指数;(5)三角函数.6)掌握复变函数导数的定义, 因复变函数导数的定义在形式上跟实变函数的导数定义一样,故实变函数中关于导数的规则和公式在复变函数情况仍适用.7)复变函数可导的充要条件是:(1)函数f(z)的实部u 与虚部的偏导数存在,且连续.uuvv，,xyxy(2)满足 C-R条件

uvuv,.xyyx8)知道复变函数解析的定义,复变函数解析,可导及连续的关系.9)解析函数的性质:

(1)若f(z)在区域B上解析,则f(z)的实部u与虚部v的等值(势)线互相正交.(2)若f(z)在区域B上解析,则f(z)的实部u与虚部v均为调和函数.(3)若f(z)在区域B上解析,则f(z)的实部u与虚部v 不是独立的,可由己知解析函数的实部u(或v)求出解析函数f(z).具体求法有3种

:1.直接积分法;2.凑全微分法;3.路径积分法.10)解析函数性质的应用:

平面标量场.11)知道复变函数中多值性的起源在于幅角,只需对幅角作限定(一般限定在主值范围,且一般把幅角作限定的复变平面称为黎曼面.),多值函数就退化为单值函数.第二章 复变函数的积分

1)知道复变函数积分的定义,以及它与实变函数的路径的关系.2)掌握单连通区域与复连通区域上Cauchy定理及数学表示式:fzdz0(1)其中l为区域的所有边界线.l

对单连通区域(1)可表示为

lfzdzn0,(2)对复连通区域(1)也可表示为:

fzdzfzdzli1ci(3)其中l为区域的外边界线,ci为区域的内边界线.(3)式反映对复连通区域的解析函数沿外边界的积分值与沿内边界积分的关系.作为(3)式一个特例: 包含一个奇点的任意一个闭合曲线积分值相同,它为求积分带来方便.nzadzl0,n1一个重要的积分公式: zandz2i,n1

l其中l 包含a 点.Cauchy定理为本章的重点.3)解析函数的不定积分.fzf'12i12illfdzz),4)Cauchy公式

zz(lfd2, ,fnn!2i(fdz)n1若对复连通区域 l 为区域的所有边界线.第三章 幂级数

1)了解一般的复数项级数,知道级数收敛的Cauchy判据,绝对收敛与一致收敛的概念,掌握外氏定理及运用.2)掌握幂级数的一般形式,收敛半径的计算(Rlimnanan1)，知道幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛，能逐项求导与积分.3)掌握解析函数在单连通区域的Taylor 展开式: fzazzk0k0k,akfkz0k!

知道Taylor 展开式是唯一的,即同一个函数在同一区域的展开式不管用什么方法得出其结果是相同的.熟悉一些基本的Taylor 展开式: 例1ez,2cosz,sinz,311z,4ln1z

知道函数在无穷运点的展开式.4)掌握解析函数在复连通区域的洛朗 展开式: fzazkkz0,其中akk2ic1fdz0k1，c为环域内任一沿逆时针方向的闭合曲线.知道洛朗 展开式是唯一的,即同一个函数在同一环域的展开式不管用什么方法得出其结果是相同的.所以对洛朗展开可利用熟悉的一些基本Taylor展开式来处理,例如对有理分式总可以把它分解为一系列最简单的有理分式（1zz0)之和, 而对1zz0能用等比级数来展开(关键是满足公比的绝对值小11z于1).并与

k0z,z1 比较.知道在什么情况下洛

k朗展开就退化为Taylor展开.5)掌握孤立奇点的分类方法:(1)可去奇点:设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中没有负幂项,就称z0是f(z)的可去奇点.性质limfza

a为常数.zz0(2)m阶极点: 设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中有有限项负幂项,其负幂项的最高幂为m,就称z0是f(z)的m阶极点.性质limfzzz0.(4)本性奇点: 设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中有无穷多项负幂项,就称z0是f(z)的本性奇点.性质limfz不存在zz0

知道函数在无穷运点奇点的分类.第四章 留数定理

1)掌握留数定理及其计算

fzdzl2iResfzi,其中zi为l内的奇点i1n 2)掌握留数计算的两种方法

(1)洛朗展开 : 设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中的负一次幂的系数a-1=Resf(z0).任何情况都适合.(2)对m阶极点Resfz0limmzz01dn1n11!dzzz0fz,作为一个特例,若f(z)=P(z)/ Q(z),当f(z)为一阶极点, Pz00,Qz00,Resfz0 'Qz0Pz0主要处理有理分式中分母为单根情况.3)应用留数定理计算实变函数定积分 •类型一

20zz1zz1Rcos,sindR,22iz1dziz2iResfzi,11izzi为fz在单单位圆的奇点zz1zz1,fzR,22i

•1)被积函数为三角函数的有理分式.2)积分区域为[0,2π] 作变换z=eiθ,当θ从变到2π时,复变数z恰好在单位圆上走一圈.类型二

积分条件: 1)积分区域为(-∞,∞)

2)f(z)在实轴有一价极点bk,且在上半平面除有限个奇点ak外是解析的，3)当z→∞时,zf(z)→0 fxdx2iResfakiResfbk.(2)

k1k1mp

类型三

(m>0)fxeimxdx,令Fzfzeimz

积分条件: 1)积分区域为(-∞,∞)

2)f(z)在实轴有一价极点bk,且在上半平面除有限个奇点ak外是解析的，3)当z→∞时,f(z)→0, fxeimxdx2iResFakiResFbkk1k1mp

(3)当f(x)为奇函数时(3)为fxsin0mxdx[ResFakk1m1pRe2k1sFbk]当fx为偶函数时,mfxeimxdx2fxcosmxdx,0

fxcosmxdx0i[ResFakk11pRe2k1sFbk]

第五篇：可测函数小结

可测函数

（一）可测函数的定义

1、在可测函数定义的学习过程中，对于可测函数的表示：a∈R, 有{x | > a}可测，则f(x)可测 ；用简单间函数列来表示：有简单函数列{φn},f(x)满足limφn = f(x), 则f(x)可测；由鲁津定理得用连续函数逼近可测函数；n通过本章可测函数的学习，要把这三种关系透彻理解、掌握。

2、简单函数的引入对于学习讨论可测函数、L积分都有重要的意义。简单函数是常量函数、分段函数的进一步扩展。通过简单函数，对可测函数及L积分的讨论从简到繁、从特殊到一般过渡；要证明某个命题对于可测函数（或其一部分）成立，可先证明该命题对简单函数成立，再由极限过程过渡到一般可测函数。

3、可测函数列的等价条件。

（二）可测函数列的收敛性

由L测度建立的L积分理论中，零测度集不影响函数的可积性和积分值。实变函数中的L积分与数学分析中的R积分，有一个很重要的不同点，就是命题的成立引入了“几乎处处”的概念。

对于可测函数列的三种强度不等的收敛定义：几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛，要理解其意义与作用及相互关系。

可测函数列{fn(x)}处处收敛与依测度收敛虽然有很大区别，但仍有密切联系，主要表现在于：

（1）处收敛的函数列可能不是依测度收敛，依测度收敛的函数列仍右能不是处处收敛。（2）若{fn(x)}依测度收敛f(x)，则必有子列{fn i(x)}几乎处处收敛

于f(x)。

（3）几乎一致收敛函数列{fn(x)}一定依测度收敛于同一函数 ；反之，若{fn(x)}依测度收敛于f(x)，则存在子列几乎一致收敛函数f(x)。

（三）函数可测与连续的关系——鲁津定理

区间上的连续函数、单调函数、简单函数都是可测函数，所以可测函数类比连续函数类更广。鲁津定理给出了连续函数与可测函数的关系，表明用连续函数可以“逼近”可测函数，从而用我们比较熟悉的连续函数去把握比较抽象的可测函数，在某些情况下可以适当地把可测函数转换为连续函数。

函数可测与连续关系的主要结论有：（1）闭集上的连续函数可测；（2）任一可测集上的连续函数可测；

（3）f于E几乎处处有限可测，则存在闭集FE，m(E-F)< ε，有连续函数g, 在F上有 f(x)= g(x).上述结论揭示了连续函数与可测函数的密切联系，这种关系让我们对于可测函数的了解更加深入，也是研究可测函数的有效手段。

鲁津定理给出了可测函数的一种构造，定理所述的结论是使函数为可测的一个充分条件。鲁津定理的结论可作为可测函数的定义，由此可建立可测函数的另一种观点。