对称性的学习感受

第一篇：对称性的学习感受

对称性的学习感受

对称性在我们生活中无处不在，物体的对称、镜面对称等都是显而易见的；然而在我们观察到的物理现象中却忽略了对称性的重要存在。并且，目前为止，我们学习动量定理、角动量定律、能量守恒定律时都是先入为主，书上先告诉我们科学家们总结和证明出的结论，然后再加以部分文字说明来诱导学生掌握这三大定律。虽说如此，我们能学会做书上的题目，但是我们对三大定律所需满足的条件的正确性和必然性却是不知如何深刻地理解和记忆。

对称性的一章虽说只有一小部分篇幅的讲解，但却让我更加明白了三大定律守恒时所需满足的条件的充分性和必然性。在我看来，空间中没有绝对的、只有相对的位置坐标便是物理中对称性的核心所在，因为只有这样我们才能解释日常生活中的物理现象。在我看来，如

1.在地球上同一纬度不同的地方所测的重力加速度大小相同便可用对称性来解释：不妨设任选的两处地方分别为甲地和乙地，因为两地只有相对的空间坐标，则总是存在一个平面（即当选择通过地球两极和甲乙两地连线的中点的平面）为甲乙两地的空间坐标的参考系时，甲乙两地关于该平面成镜面对称，则只在地球的作用下，它们的物理原因和物理结果也即应该相同，所以两者的重力加速度大小应该相同，即得证。2.关于通电直导线对称的两个小磁针受到的力大小相等方向相反也可由对称性解释：因为两小磁针关于通电直导线成镜像对称，则通电直导线对两小磁针的原因和结果也应镜像对称，即两小磁针受到通电直导线的作用力应大小相等方向相反。

三大定律成立所需满足的条件的充分性也可由对称性定律来解释，在此仅以证明动量守恒定律为例：设空间中有两个质点A和B，相互作用势能为Ep，如果A相对B从a点平移到a’点，则两质点的相互作用势能的改变是Ep=—Fab*s；同理，当B相对于A从b点反向移动到b’点时，两质点的相互作用势能的改变为Ep’=—Fba*（—s）。由于a’b=ab’，则两种情况A和B的相对位置不变，即两种情况下的相对势能的该变量大小应相等，则由上述两式易得：Fab=—Fba，即作用力与反作用力大小相等方向相反，从而得出质点系内力矢量和为零，继而得出“质点系所受外力矢量和为零时，质点系动量守恒”。

对称性一章的学习不仅让我了解到了三大定律与空间或时间对称性的联系，从而让我能够更好地记忆和理解三大守恒定律成立时所需满足的条件；也让我发现了物理中的对称美，了解到对称性原理和方法在物理学的创新和发展中举足轻重的地位。

第二篇：小结函数对称性

小 结 函 数 对 称 性

数学组

刘宏博

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础.函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美.本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来小结与函数对称有关的性质.一、函数自身的对称性

定理1.函数 y = f(x)的图像关于点A(a ,b)对称的充要条件是

f(x)+ f(2a－x)= 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f(x)图像上任一点，∵点P(x ,y)关于点A(a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f(x)图像上，∴ 2b－y = f(2a－x)即y + f(2a－x)=2b故f(x)+ f(2a－x)= 2b，必要性得证.（充分性）设点P(x0,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)∵ f(x)+ f(2a－x)=2b∴f(x0)+ f(2a－x0)=2b，即2b－y0 = f(2a－x0).故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f(x)图像上，而点P与点P‘关于点A(a ,b)对称，充分性得征.推论：函数 y = f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+ f(－x)= 0 定理2.函数 y = f(x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

f(a +x)= f(a－x)即f(x)= f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数 y = f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)= f(－x)定理3.①若函数y = f(x)图像同时关于点A(a ,c)和点B(b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期.②若函数y = f(x)图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期.③若函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期.①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称，∴f(x)+ f(2a－x)=2c，用2b－x代x得： f(2b－x)+ f [2a－(2b－x)] =2c………………（*）又∵函数y = f(x)图像直线x =b成轴对称，∴ f(2b－x)= f(x)代入（*）得：

f(x)= 2c－f [2(a－b)+ x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 f [2(a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b)+ x]代入（**）得：

f(x)= f [4(a－b)+ x],故y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期.二、不同函数之间的对称性

定理4.函数y = f(x)与y = 2b－f(2a－x)的图像关于点A(a ,b)成中心对称.定理5.①函数y = f(x)与y = f(2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称.②函数y = f(x)与a－x = f(a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称.③函数y = f(x)与x－a = f(y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称.定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(x0 ,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)。记点P(x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1，y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f(x0)之中得x1－a = f(a + y1)∴点P‘（x1，y1）在函数x－a = f(y + a)的图像上.同理可证：函数x－a = f(y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f(x)的图像上。故定理5中的③成立.推论：函数y = f(x)的图像与x = f(y)的图像关于直线x = y 成轴对称.三、函数对称性应用举例 例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)= f(5+x),则f(x)一定是（）

(B)是偶函数，但不是周期函数

(D)是奇函数，但不是周期函数(A)是偶函数，也是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数

解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)= f(10－x).∴f(x)有两条对称轴 x = 5与x =10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数.故选(A)

例2.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，f(x)= －1x，则f(8.6)= _________

2解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

又∵f(1+x)= f(1－x)∴x = 1也是y = f(x)对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)= f(8+0.6)= f(0.6)= f(－0.6)= 0.3 例3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，f(x)= x，则f(7.5)=（）

(A)

0.5(B)－0.5

(C)1.5

(D)－1.5 解：∵y = f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f(x+2)= －f(x)= f(－x)，即f(1+ x)= f(1－x)，∴直线x = 1是y = f(x)对称轴，故y = f(x)是周期为2的周期函数.∴f(7.5)= f(8－0.5)= f(－0.5)= －f(0.5)=－0.5 故选(B)

第三篇：《圆的对称性》教案

《圆的对称性》教案

教学目标

1．知识与技能

（1）理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心；（2）掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题． 2．过程与方法

（1）通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高；

（2）通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧． 3．情感、态度与价值观

经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣．

教学重难点

重点：对圆心角、弧和弦之间的关系的理解．

难点：能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题．

教学过程

一、创设情境，导入新课

问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？

（如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）．

问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？ 生：折叠．

今天我们继续来探究圆的对称性．

问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？ 生：圆心和半径．

问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗？ 忆一忆：

1．圆：平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆，其中______为圆心，定长为________． 2．弧：圆上_____叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条____的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做圆的半径．__________称为优弧，_____________称为劣弧．

3．___________叫做等圆，_________叫做等弧． 4．圆心角：顶点在_____的角叫做圆心角．

二、探究交流，获取新知 知识点一：圆的对称性

1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？

动手操作：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心？

学生讨论得出结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条．

知识点二：圆的中心对称性．

问：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？

让学生得出结论：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

做一做：

在等圆⊙O和⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB和AOB（如图3-8），将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得OA与OA重合．你能发现哪些等量关系吗？说一说你的理由．

小红认为AB=AB，AB=AB，她是这样想的： ∵半径OA重合，AOB=AOB，∴半径OB与OB重合，∵点A与点A重合，点B与点B重合，∴AB与AB重合，弦AB与弦AB重合，∴AB=AB，AB=AB．

生：小红的想法正确吗？同学们交流自己想法，然后得出结论，教师点拨． 结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 知识点三：圆心角、弧、弦之间的关系．

问：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？

学生之间交流，谈谈各自想法，教师点拨．

结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

三、例题讲解

例：如图3-9，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且AD=CE，BE与CE的大小有什么关系？为什么？

解：BE=CE，理由是： ∵∠AOD=∠BOE，∴AD=BE，又∵AD=CEa2+b2 ∴BE=CE，∴BE=CE． 议一议

在得出本结论的过程中，你用到了哪些方法？与同伴进行交流．

四、随堂练习

1．日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关，试举几例． 2．利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：（1）是轴对称图形但不是中心对称图形；（2）是中心对称图形但不是轴对称图形；（3）既是轴对称图形又是中心对称图形．

3．已知，A，B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是AB的中点，试确定四边形OACB的形状，并说明理由．

五、知识拓展

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，以点C为圆心，AC为半径的圆交AB于点D，求»AD所对的圆心角的度数．

六、自我小结，获取感悟

1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？ 2．对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？ 3．对老师说，你还有哪些困惑？

七、布置作业

P72-73习题1-3题．

第四篇：圆的对称性说课稿

《圆的对称性》说课稿

彬县公刘中学

段海锋

尊敬的各位领导、老师：

大家好！今天我说课的题目是义务教育课程北师大版数学九年级上册《圆的对称性》，下面我按教材分析、教材处理、教法的选择与应用、教学模式和教学过程五部分来谈谈本节课的设计思路。

一、教材分析：

（一）教材的地位与作用

本节课是圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段等、角等、弧等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于举足轻重的位置。

另外，本节课通过“实验--观察--猜想——合作交流——证明”的途径，进一步培养学生的动手能力，观察能力，分析、联想能力、与人合作交流的能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育。

因此，掌握垂径定理对学生更好地认识现实世界，建立空间观念、培养推理论证能力具有十分重要的作用。

（二）教学目标

根据《数学课程标准》对这部分知识的要求及本课的特点，结合学生的实情，本节课的教学目标确定为：

（1）知识与技能目标

使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。

（2）过程与方法目标

在实验过程中，培养学生观察、联想、猜测、推理、探索发现新知识的能力和创新思维、创新想象的能力。通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。

（3）情感与态度目标

在解决问题过程中，培养学生敢于面对挑战和善于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，勇于探索，从中获得成功的经验，充分享受数学之美，从而体验学习数学的乐趣。

知识与技能目标固然重要，对于本节课：过程与方法和情感与态度更重要，因为这部分是几何教学的重点，是由实验几何向论证几何的过渡，过程与方法可以帮助学生学会认识事物、分析问题的方法；有良好的情感态度能培养好的学习兴趣，养成好的学习习惯。

（三）教学重点和难点

教学重点：垂径定理及其应用。

（由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏，所以，对垂径定理的题设与结论区分是难点之一，同时，对定理的证明方法“叠合法”学生不常用到，是本节的又一难点。）

教学难点：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。

突出重点、突破难点的关键：创设具有启发性的问题情境，通过学生动手操作，多媒体生动直观地演示，让学生经历“提出问题——探究讨论——归纳发现”的过程，在这个过程中，要给学生在充足的活动时间，使学生在积极思维的状态下参与探究性学习。

而理解垂径定理的关键是圆的轴对称性。

二、教学方法的选择与应用

本节课我采用实验操作，直观演示，合作交流等方法指导学生动眼观察、动手操作、动脑思考、动口表述，让学生从实践中获取知识，并通过讨论来深化对知识的理解。

同时采用多媒体辅助教学和实物演示，直观生动地反映图形特点。

三、教学模式

为了实现教学目标，优化教学过程，本节课设计了六个教学环节：课前准备（制作实验器材、完成预习提纲）、创设问题情境引入新课、讲授新课、课堂小结、创新探究、课后作业。

四、教学过程

第一环节

课前准备

活动内容：（提前一天布置）

1.每人制作两张圆纸片（最好用16K打印纸）2.预习课本P88~P92内容

设计意图：通过第1个活动，希望学生能利用身边的工具去画图，并制作图纸片，培养学生的动手能力；在第2个活动中，主要指导学生开展自学，培养良好的学习习惯。预期存在的问题：

学生在制作图纸片时，有时可能没有将圆心标出来，老师要对其进行启发引导，找出圆心。

第二环节

创设问题情境，引入新课

活动内容：

教师提出问题：轴对称图形的定义是什么？我们是用什么方法研究了轴对称图形？学生回忆并回答。

活动目的：通过教师与学生的互动，一方面使学生能较快进入新课的学习状态，另一方面也提高学生的学习的兴趣，让他们带着问题去学习，揭开了探究该节课内容的序幕。预期存在的问题：

由于学生在七年级学习了轴对称图形的内容。部分学生可能遗忘了定义，因此教师要通过一些学生熟悉的轴对称图形来引导同学正确叙述其定义，比如通过矩形。教师作出演示，学生会更容易表达。第三环节

讲授新课

活动内容：

（一）想一想圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你是用什么方法解决上述问题的？

（二）认识弧、弦、直径这些与圆有关的概念。

（三）探索垂径定理。

做一做

1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分重合．

2．得到一条折痕CD．

3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．

4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图

问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。

总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

（四）讲解例题及完成随堂练习。

[例1]如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)，其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．

练习：完成课本P92随堂练习：1

（五）探索垂径定理逆定理并完成随堂练习。想一想：

如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．

同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）上图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。

总结得出垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

练习：完成课本P92随堂练习：2

活动目的：内容

（一）的主要目的就是通过学生动手实验，采用折叠的方法认识圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；内容

（二）的主要目的就是让学生弄清和圆有关的这些概念，便于以后内容的学习研究；内容

（三）的主要目的就是通过学生做一做，观察，猜想，验证等的过程得到新知，同时也培养学生合作交流的能力，以及再次体会研究图形的多种方法。内容

（四）的主要目的让学生应用新知识构造直角三角形，并通过方程的方法去解决几何问题。内容

（五）的主要目的与内容

（三）相似。第四环节

课堂小结

活动内容：师生互相交流总结：

1.本节课我们探索了圆的轴对称性；

2.利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；

3.垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。

活动目的：通过回顾本节课经历的各个环节，鼓励学生畅谈自己的收获和感想，培养学生良好的学习习惯。第五环节

课后作业

1.课本习题3.2，1，2。试一试1 2.预习课本P94~97内容。

以上就是我对本节课的想法与设计，有不到之处敬请指正，谢谢大家！

彬县公刘中学

段

海 锋

第五篇：学习感受

教学片段: 给一年级学生讲生字时，教师只带领学生读生字的拼音来帮学生识记生字，而忽略了学生的自学能力。其中，有两个生字是“牙”“鸭”。有个一年级小学生说道：“老师，我们在记‘牙’‘鸭’时，看到了这两个生字是拼音一样，只是字形和声调不一样。”一句话说的我茅塞顿开，是呀！孩子是在用比较的方法识记生字。我怎么就一时没想到呢？虽然孩子的语言权威性达不到老师的程度，我用鼓励的语言和眼光肯定了孩子的说法，却收到了意想不到的效果。这时，课堂上顿时人声鼎沸。“老师我也知道‘也’和‘叶’，‘同’和‘童’……”

这下可好了，不仅调动了学生的学习积极性，还复习识记了好多生字，也让一些对这些生字陌生的同学见识了一下。难道这不比教师往学生头脑里硬灌强的多吗？

看来学生的自主学习还真是一门学问，真是不可忽视呀！这次远程培训的学习使我深深体会到以往的教学方法太死板，已不能适应当今社会的发展。学生自学探究是学中有探，探中有学，一般问题均可以在边学边探中自行解决，不理解或解决不了的疑难问题，可通过自己查找资料或合作讨论等形式来自主解决。这就要求我们教师把课堂还给学生，不能一味地给学生“满堂灌”。我们是应该改变我们的教学方法了，要不断加强自己的教学理念，积极培养学生的自主学习习惯。让我们为之而努力吧！