高中数学函数对称性和周期性小结

第一篇：高中数学函数对称性和周期性小结

高中数学函数对称性和周期性小结

一、函数对称性：

1.2.3.4.5.6.7.8.f(a+x)= f(a-x)==> f(x)关于x=a对称

f(a+x)= f(b-x)==> f(x)关于 x=(a+b)/2 对称 f(a+x)=-f(a-x)==> f(x)关于点（a，0）对称 f(a+x)=-f(a-x)+ 2b ==> f(x)关于点（a，b）对称

f(a+x)=-f(b-x)+ c ==> f(x)关于点 [（a+b）/2，c/2] 对称 y = f(x)与 y = f(-x)关于 x=0 对称 y = f(x)与 y =-f(x)关于 y=0 对称 y =f(x)与 y=-f(-x)关于点(0,0)对称

例1：证明函数 y = f(a+x)与 y = f(b-x)关于 x=(b-a)/2 对称。

【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a+x)上，令关于 x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a+m)= f[ b –(2t – m)] ∴ b – 2t =a，==> t =(b-a)/2，即证得对称轴为 x=(b-a)/2.例2：证明函数 y = f(ax)上，令关于 x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a-m)= f[(2t – m)– b] ∴ 2ta)= 1 – 2/[f(x)+1]，等式右边通分得f(xa)= [1 + f(x)]/[f(x)– 1]，即

/[f(xf(x)] ∴

/[f(x1/f(x)= f(x2a)==> f(x)= f(x + 4a)∴

函数最小正周期 T=|4a|

第二篇：小结函数对称性

小 结 函 数 对 称 性

数学组

刘宏博

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础.函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美.本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来小结与函数对称有关的性质.一、函数自身的对称性

定理1.函数 y = f(x)的图像关于点A(a ,b)对称的充要条件是

f(x)+ f(2a－x)= 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f(x)图像上任一点，∵点P(x ,y)关于点A(a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f(x)图像上，∴ 2b－y = f(2a－x)即y + f(2a－x)=2b故f(x)+ f(2a－x)= 2b，必要性得证.（充分性）设点P(x0,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)∵ f(x)+ f(2a－x)=2b∴f(x0)+ f(2a－x0)=2b，即2b－y0 = f(2a－x0).故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f(x)图像上，而点P与点P‘关于点A(a ,b)对称，充分性得征.推论：函数 y = f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+ f(－x)= 0 定理2.函数 y = f(x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

f(a +x)= f(a－x)即f(x)= f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数 y = f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)= f(－x)定理3.①若函数y = f(x)图像同时关于点A(a ,c)和点B(b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期.②若函数y = f(x)图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期.③若函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期.①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称，∴f(x)+ f(2a－x)=2c，用2b－x代x得： f(2b－x)+ f [2a－(2b－x)] =2c………………（*）又∵函数y = f(x)图像直线x =b成轴对称，∴ f(2b－x)= f(x)代入（*）得：

f(x)= 2c－f [2(a－b)+ x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 f [2(a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b)+ x]代入（**）得：

f(x)= f [4(a－b)+ x],故y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期.二、不同函数之间的对称性

定理4.函数y = f(x)与y = 2b－f(2a－x)的图像关于点A(a ,b)成中心对称.定理5.①函数y = f(x)与y = f(2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称.②函数y = f(x)与a－x = f(a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称.③函数y = f(x)与x－a = f(y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称.定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(x0 ,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)。记点P(x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1，y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f(x0)之中得x1－a = f(a + y1)∴点P‘（x1，y1）在函数x－a = f(y + a)的图像上.同理可证：函数x－a = f(y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f(x)的图像上。故定理5中的③成立.推论：函数y = f(x)的图像与x = f(y)的图像关于直线x = y 成轴对称.三、函数对称性应用举例 例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)= f(5+x),则f(x)一定是（）

(B)是偶函数，但不是周期函数

(D)是奇函数，但不是周期函数(A)是偶函数，也是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数

解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)= f(10－x).∴f(x)有两条对称轴 x = 5与x =10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数.故选(A)

例2.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，f(x)= －1x，则f(8.6)= _________

2解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

又∵f(1+x)= f(1－x)∴x = 1也是y = f(x)对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)= f(8+0.6)= f(0.6)= f(－0.6)= 0.3 例3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，f(x)= x，则f(7.5)=（）

(A)

0.5(B)－0.5

(C)1.5

(D)－1.5 解：∵y = f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f(x+2)= －f(x)= f(－x)，即f(1+ x)= f(1－x)，∴直线x = 1是y = f(x)对称轴，故y = f(x)是周期为2的周期函数.∴f(7.5)= f(8－0.5)= f(－0.5)= －f(0.5)=－0.5 故选(B)

第三篇：函数的对称性和周期性复习教案

函数的对称性和周期性

株洲家教：***

函数的对称性和周期性

一.明确复习目标

1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；

2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。3.掌握常见的函数对称问题

二、建构知识网络

一、两个函数的图象对称性

yf(x)与yf(x)关于x轴对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于y0对称。

2、yf(x)与yf(x)关于Y轴对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于x0对称。

1、yf(x)与yf(2ax)关于直线xa对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)，即它们关于xa对称。

4、yf(x)与y2af(x)关于直线ya对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)2a，即它们关于ya对称。

5、yf(x)与y2bf(2ax)关于点(a,b)对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)2b，即它们关于点(a,b)对称。

ab6、yf(ax)与y(xb)关于直线x对称。

23、二、单个函数的对称性 性质1：函数证明：在函数yf(x)满足f(ax)f(bx)时，函数yf(x)的图象关于直线xyf(x)上任取一点(x1,y1)，则y1f(x1)，点(x1,y1)关于直线

ab对称。2xab的对称点(abx1,y1)，当xabx1时 2f(abx1)f[a(bx1)]f[b(bx1)]f(x1)y1

yf(x)图象上。故点(abx1,y1)也在函数由于点(x1,y1)是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线x（注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。）

性质2：函数证明：在函数（ab对称。2abc，）对称。22yf(x)满足f(ax)f(bx)c时，函数yf(x)的图象关于点（yf(x)上任取一点(x1,y1)，则y1f(x1)，点(x1,y1)关于点

abc，）的对称点（abx1，c－y1），当xabx1时，22f(abx1)cf[b(bx1)]cf(x1)cy1 即点（abx1，c－y1）在函数yf(x)的图象上。

由于点(x1,y1)为函数函数yf(x)图象上的任意一点可知

abc，）对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。）22ba性质3：函数yf(ax)的图象与yf(bx)的图象关于直线x对称。

2yf(x)的图象关于点（证明：在函数y1）。yf(ax)上任取一点(x1,y1)，则y1f(ax1)，点(x1,y1)关于直线xba对称点（bax1，2f[b(bax1)]f[bbax1]f(ax1)y1 故点（bax1，y1）在函数yf(bx)上。由于

函数的对称性和周期性

株洲家教：*** 由点(x1,y1)是函数因此yf(ax)图象上任一点

yf(ax)与yf(bx)关于直线xba对称。

2三、周期性

1、一般地，对于函数么函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。说明：周期函数定义域必是无界的。

推广：若f(xa)f(xb)，则f(x)是周期函数，ba是它的一个周期

0,kZ)也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小2.若T是周期，则kT(k正周期。

说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数

3、对于非零常数证明：

f(x)C；

A，若函数yf(x)满足f(xA)f(x)，则函数yf(x)必有一个周期为2A。

f(x2A)f[x(xA)]f(xA)[f(x)]f(x)∴函数yf(x)的一个周期为2A。

14、对于非零常数A，函数yf(x)满足f(xA)，则函数yf(x)的一个周期为2A。

f(x)证明：f(x2A)f(xAA)1f(x)。

f(xA)1，则函数yf(x)的一个周期为2A。f(x)

5、对于非零常数A，函数yf(x)满足f(xA)证明：f(x2A)f(xAA)A，函数yf(x)满足

6、对于非零常数

1f(x)。

f(xA)A1f(x)A1f(x)f(x)或f(x)21f(x)21f(x)则函数

yf(x)的一个周期为2A。

证明：先看第一个关系式

3A)3AAf(x2A)f(x )3A221f(x)2A11f(xA)1f(xA)1f(xA)2f(xA)A1f(xA)1f(xA)121f(xA)f(x2A)f(xA)f(xA)f(x)f(x)f(x2A)

1f(x第二个式子与第一的证明方法相同

f(x)的定义域为N，且对任意正整数x

都有f(x)f(xa)f(xa)(a0)则函数的一个周期为6a 证明：f(x)f(xa)f(xa)

（1）

f(xa)f(x)f(x2a)

（2）两式相加得：f(xa)f(x2a)

f(x)f(x3a)f(x6a)

四、对称性和周期性之间的联系

7、已知函数性质1：函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)(ab)，求证：函数yf(x)是周期函数。

函数的对称性和周期性

株洲家教：***

f(ax)f(ax)得f(x)f(2ax)

f(bx)f(bx)得f(x)f(2bx)∴f(2ax)f(2bx)∴f(x)f(2b2ax)

∴函数yf(x)是周期函数，且2b2a是一个周期。

性质2：函数yf(x)满足f(ax)f(ax)c和f(bx)f(bx)c(ab)时，函数yf(x)是周期函证明：∵数。（函数yf(x)图象有两个对称中心（a，cc）、（b，）时，函数yf(x)是周期函数，且对称中心距离的两倍，22是函数的一个周期）

证明：由f(ax)f(ax)cf(x)f(2ax)c)f(bx)cf(x)f(2bx) c

f(bx

得f(2ax)f(2bx)

得f(x)f(2b2ax)

∴函数yf(x)是以2b2a为周期的函数。性质3：函数yf(x)有一个对称中心（a，c）和一个对称轴xb（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4(ba)。

f(ax)f(ax)2cf(x)f(2ax)2c

f(bx)f(bx)f(x)f(2bx)

f(4(ba)x)f(2b(4a2bx))

f(4a2bx)f(2a(2b2ax))2cf(2b2ax)

2cf(2b(2ax))2cf(2ax)

2c(2cf(x))2c2cf(x)f(x)

推论：若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线xa和点(b,0)(ab)对称，则f(x)是周期函数，4(ba)是证明：它的一个周期

证明：由已知f(x)f(2ax),f(x)f(2bx).f(x)f(2ax)f[2b(2ax)]f[2(ba)x] f[2a2(ba)x]f[2(2ab)x]f[2b2(2ab)x]f[4(ba)x],周期为4(ba).举例:ysinx等.性质4：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(xa)f(xa),则2a为函数f(x)的周期。（若f(x)满足f(xa)f(xa)则f(x)的图象以xa为图象的对称轴，应注意二者的区别)证明：f(xa)f(xa)f(x)f(x2a)

性质5：已知函数yfx对任意实数x,都有faxfxb，则yfx是以

2a为周期的函数 证明：f(ax)bf(x)

f(x2a)f((xa)a)bf(xa)b(bf(x))f(x)

五、典型例题

例1（2005·福建理）f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)0，则方程f(x)0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A．2

B．3 解：

C．4

D．5)f(x)是R上的奇函数，则f(0)0，由f(x3f(2)0f(1)0f(1)0

∴f(4)0 ∴x=1，2，3，4，5时，f(x)0

这是答案中的五个解。

但是

f(15)f(f(x得)f(3)0，f(2)0f(5)0

153)f(1 )f(1 5)f(15)0 又

f(15知5)f(153)f( 4而

0f(1知 x1.5,x4.5,f(x)0也成立，可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为7。例3 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为（）(A)－1

(B)0

(C)

(D)2

函数的对称性和周期性

株洲家教：*** 解：因为所以所以f(x)是定义在R上的奇函数

f(0)0，又f(x4)f(x2)f(x)，故函数，f(x)的周期为4 f(6)f(2)f(0)0，选B

f(x)满足f(x2)f(x),且x(0,1)时,f(x)2x,则f(log118)的值为。

2例4．已知奇函数解：f(x2)f(x)fxf(x2)f(x4)

89f(log118)f(log218)f(4log218)f(log2)f(log2)

9829log299f(log2)28

88例5 已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x(0,1)时，f(x)x1.求f(x)在(1,2)上的解析式。

解法1：

从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上

∵x(1,2), 则x(2,1)

∴2x(0,1), ∵ T2，是偶函数

∴ f(x)f(x)f(2x)2x13x

x(1,2)

解法2：

f(x)f(x2)

如图：x(0,1), f(x)x1.∵是偶函数 ∴x(1,0)时f(x)f(x)x1

又周期为2，x(1,2)时x2(1,0)∴f(x)f(x2)(x2)13x

例6 f(x)的定义域是R，且f(x2)[1f(x)]1f(x),若f(0)2008（从图象入手也可解决，且较直观）求 f(2008)的值。

f(x4)11f(x2)1f(x4)11f(x8)解：f(x)f(x2)1f(x4)11f(x4)f(x4)1周期为8，f(2008)f(0)2008

1例7 函数fx对于任意实数x满足条件fx2，若f15,则ff5

fx_______________。解：由fx21fx得

fx41f(x)fx2，所以

f(5)f(1)5，则

11

f(12)5例8 若函数f(x)在R上是奇函数，且在1，0上是增函数，且f(x2)f(x).①求f(x)的周期；

②证明f(x)的图象关于点(2k,0)中心对称;关于直线x2k1轴对称,(kZ);③讨论f(x)在(1,2)上的单调性； ff5f(5)f(1)

解: ①由已知f(x)f(x2)f(x22)f(x4)，故周期T4.②设P(x,y)是图象上任意一点,则yf(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4kx,y).P关于直线x2k1对称的点为P2(4k2x,y)

函数的对称性和周期性

株洲家教：***

f(4kx)f(x)f(x)y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称.又f(x)是奇函数,f(x2)f(x)f(x)∴f(4k2x)f(2x)f(x)y

x2k1对称.∴点P2在图象上,图象关于直线∵x1x22，则2x2x11，02x22x11

∵f(x)在(1,0)上递增, ∴f(2x1)f(2x2)……(*)又f(x2)f(x)f(x)

∴f(2x1)f(x1),f(2x2)f(x2).所以：f(x2)f(x1)，f(x)在(1,2)上是减函数.例9 已知函数yf(x)是定义在R上的周期函数，周期T5，函数yf(x)(1x1)是奇函数.又知yf(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x2时函数取得最小值5.（1）证明：f(1)f(4)0；

（2）求yf(x),x[1,4]的解析式；（3）求yf(x)在[4,9]上的解析式.解：∵f(x)是以5为周期的周期函数，且在[1,1]上是奇函数，∴f(1)f(1)f(51)f(4)，∴f(1)f(4)0.2②当x[1,4]时，由题意可设f(x)a(x2)5(a0)，22由f(1)f(4)0得a(12)5a(42)50，∴a2，f(x)2(x2)25(1x4).③∵yf(x)(1x1)是奇函数，∴f(0)0，又知yf(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x)kx(0x1)∴③设1f(1)2(12)253，∴k3，∴当0x1时，f(x)3x，从而1x0时，f(x)f(x)3x，故1x1时，f(x)3x.∴当4x6时，有1x51，∴f(x)f(x5)3(x5)3x15.当6x9时，1x54，22∴f(x)f(x5)2[(x5)2]52(x7)5

3x15,4x6∴f(x).22(x7)5,6x9而

第四篇：高中数学函数单调性周期性宝典

临平三中2013届毕业典礼主持稿开场白

撰稿人：曹嘉懿

男：三年前，当我们踏入学校的时候，就决定了有今天这样一个特殊的日子。

女：此时此刻，我们每个人带着兴奋喜悦的心情，带着丝丝离别的伤感和愁绪，忍着离别的泪水，相聚在这里。

男：如果说我们当初相见是为了寻求知识，积蓄力量。那么我们今天相别则是为了实现理想，大展宏图。

女：学校虽是宁静的港湾，我们终究要驶向广阔的大海，学校虽是安全的机场，我们终究要飞向蓝天。

男：亲爱的老师，谢谢您，为我们插入腾飞的翅膀。

女：可爱的母校，感谢您，为我们扬起远航的风帆。

男：我们无悔于自己的青春年华，我们无愧于三中这个大家庭，我们已经为三年的初中生活画上了圆满的句号。

女：我们就要毕业了，满载多年采撷的累累硕果。我们就要走了，满载着母校师生的切切深情。男：我们即将在人生的征途上跨出新的一步，我们应该为自己而自豪！为母校骄傲！

合：现在我宣布：临平三中2013届初中毕业典礼现在开始。

第五篇：高考数学函数的周期性

函数的周期性与对称性、函数的图象变换、函数应用问题

一.教学内容：

函数的周期性与对称性、函数的图象变换、函数应用问题

二.教学要求：

1.理解周期函数的定义，会求简单周期函数的周期。

2.理解函数图象关于点对称或关于直线对称的定义，会解决一些较简单的对称问题。

3.熟悉常见的抽象函数及其性质。

4.会识图，即通过给定的函数图象分析函数的有关性质（如：范围，对称性，周期性，有界性等）。

5.掌握图象变换的基本方法，会进行较基本的图象变换。

6.熟悉解应用问题的步骤，能建立较简单的数学模型。

三.知识串讲：

1.周期函数：

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的任意一个x，总有f(x+T)=f(x)成立，则称f(x)是周期函数。T叫做这个函数的一个周期，其中最小正数T叫做最小正周期。

（定义的实质，是存在一个常数T，（T≠0），使f(x+T)=f(x)恒成立，即自变量每增加一个T后，函数值就会重复出现一次）

关于函数的周期性，有如下结论：

（1）若T为函数f(x)的一个周期，则kT(kZ且k0)也是f(x)的周期，即

f(xkT)f(x)。

（2）若f(x)是一个以T为周期的函数，则f(axb)(a0)是一个以T为周a期的函数。

证明：（证明的方向f[a(xT)b]f(axb)）a

T)b]f[(axb)T]a

由T是f(x)的周期设uaxbf(uT)f(u)f(axb)

T是函数f(axb)的周期a

f[a(x

如：ysinx的周期为T2，则ysin(x)(0)的周期为2

（3）若f(x)满足f(xa)f(xb)恒成立，a,b为常数且ab，则Tab

是f(x)的一个周期。

这是因为f(xab)f[(xb)a]f[(xb)b]f(x)

Tab

（4）若f(x)满足f(xa)f(xb)，则f(x)以T2(ab)为一个周期。

证明：f[x2(ab)]f[(x2ba)a]

f[(x2ba)b]f[(xb)a]

[f(xbb)]f(x)

T2(ab)

推论：f(xa)f(x)

则f(x)以T2a为一个周期

（只要令上式中的b=0即可）

2.对称问题：

（1）若函数f(x)满足f(ax)f(bx)恒成立，（a,b为常数）则f(x)的图ab对称。2

axbxab这是因为：，又f(ax)f(bx)，即函数图象上纵坐2

2象关于直线x标相等的两个点（ax，f(ax)），（bx，f(bx)）连线的中点都在直线xabab上，所以f(x)的图象关于直线x对称。22 y P P’ 0 a-x b+x x ab 2

xa对称

当ab时，即f(ax)f(ax)，则f(x)图象关于直线

若f(2ax)f(x)，则f(x)图象关于直线xa对称

（2）若函数f(x)满足f(ax)f(ax)恒成立，则f(x)的图象关于点（a,0）对称。

y a-x 0（a,0）x

3.函数图象变换：

（1）平移变换：

右平移a（a>0）f（x－a）图象 f（x）图象 左平移a（a>0）f（x＋a）图象 上平移b（fx）＋b图象 f（x）图象 下平移b（fx）－b图象

（2）对称变换：

f(x)图象关于y轴对称f(x)图象关于x轴对称f(x)图象与f(x)图象关于原点对称f(2ax)图象关于xa对称1f(x)图象关于yx对称

（3）伸缩变换：设A0，0

横坐标缩短(1)f(x)图象f(x)图象1或伸长(01)到原来的倍

纵坐标伸长(A1)f(x)图象Af(x)图象或缩短（0A1）到原来的A倍

（4）翻折变换：

将x轴下方部分f(x)图象|f(x)|图象作关于x轴对称

保留图象的x0部分，去掉f(x)图象f(|x|)图象x0部分，再作关于y轴对称

4.函数的应用问题：

解答数学应用问题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，明确问题的实际背景，然后进行概括，归纳为相应的数学问题；二是合理选取参变数，设定变元后，寻找等量（或不等量）关系，建立相应的数学模型，求解数学模型，使问题获解。即

读题建模求解反馈（数学语言）（数学计算）（检验作答）

（文字语言）

【典型例题】

2（1）函数f(x)xbxc对任意实数x，均有f(1x)f(1x)，比较

例1.f(0)，f(1)，f(3)的大小；

2（2）若函数yf(x)的图象关于x1对称，且x1时f(x)x1，则当x

1时，求f(x)的表达式。

解：（1）由f(1x)f(1x)，可知函数f(x)的图象关于x1对称，又函数图

象是开口向上的抛物线，所以f(3)f(0)f(1)。

（2）当x1时，有2x1

所以f(2x)(2x)1x4x5 22

又由于yf(x)图象关于x1对称

f(2x)f(x)

所以当x1时，f(x)x4x5

注：（2）题也可以根据图象的对称性，确定顶点坐标，直接写出解析式。

例2.偶函数f(x)的定义域为R，若f(x1)f(x1)对任意实数都成立，又当0

2x1时，f(x)2x1。

（1）求证f(x)是周期函数，并确定周期。

（2）求当1x2时，求f(x)的解析式。

解：（1）令tx1，则x1t2

由xR时f(x1)f(x1)恒成立

得tR时f(t)f(t2)恒成立

因此f(x)是周期函数，且2k(kZ且k0)为其周期

（2）任取1x2

则1x20x0x21

0x1时，f(x)21

x2f(x2)21

又f(x)的周期为2，且为偶函数

f(x2)f(x)f(x)

x21x2时，f(x)21

点评：本题的解抓住两个关键条件，一个是f(x)为偶函数，另一个是f(x)为周期函数。一般求f(x)在哪个区间上的解析式，就令x属于该区间，再通过平移（周期性），对称（奇偶性）变换到已知区间内，进而代入，求出解析式，再利用周期性，奇偶性化简为f(x)。

例3.已知函数y=f(x)的图象关于直线x=a，x=b（a≠b）都对称，且定义域为实数集R，证明y=f(x)是周期函数，且T=2(b—a)为一个周期。

证明：由题意有f(ax)f(ax)x-2 x-1 0 1 2 x-x+2 f(bx)f(bx)

则f[x2(ba)]f[(xb2a)b]f[b(xb2a)]f[x2a]f[(xa)a]

f[a(xa)]f(x)

f(x)为周期函数，且T2(ba)为一个周期

点评：（1）若题目中没有指出T=2(b—a)是f(x)的一个周期，可以作草图分析，猜测出T是该函数周期，再去证明。如图。

y 0 x a b ba 2

（2）由本题可知f(x)，x∈R，若f(x)的图象有两条对称轴，则f(x)为周期函数，周期为两条对称轴距离的2倍。

思考：若f(x)是偶函数且有一条对称轴x=a，那么f(x)是周期函数吗？若是，周期为何？

例4.（1）定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)是________（奇、偶）函数；f(0)=____________。

（2）定义在R上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)是___________（奇、偶）函数；f(1)=__________。

解析：（1）令xy0

f(00)f(0)f(0)

令yx

f(x)f(x)

（2）令xyf(11)f(1)f(1)f(0)0

f(0)f(x)f(x)0

f(x)为奇函数

f(1)0

f(xx)f[(x)(x)]f(x)f(x)2f(x)

又f(xx)f(x)f(x)2f(x)

f(x)f(x)f(x)为偶函数

2x1的图象，并根据图象回答函数的单调区间，值域。x1

例5.作出函数y

解：x1

函数定义域为(，1)(1，)

由y2x12(x1)112x1x1x1

图象为中心O'(1，2)的双曲线

直线x1，y2是双曲线的两条渐近线

区间(，1)，(1，)分别为函数的增区间；值域为{y|yR，且y2} y O’ 2-1 0 x

例6.（1）函数ylog4(12xx)的图象经过怎样的变换可得到ylog2|x|的

2图象？

（2）将函数ylog1x的图象沿x轴向右平移1个单位，得图象C。图象C'与2C关于原点对称，图象C''与C'关于直线yx对称，求C''对应的解析式。

左平移1个单位22（1）ylog(12xx)log(x1)log|x1| 4

42解：|log|2x1)12x|

ylog|(2将函数ylog(12xx)的图象向左平移1个单位，得到函数ylog2|x| 4的图象

沿x轴向右平移1个单位（2）ylog1x图象

关于原点对称C：ylog1(x1)图象

关于直线yx对称C'：ylog(x1)图象1

1xxC''：xlog(y1)，即y()121122

32设f(x)axbxcxd的图象如图，则b属于（例7.）

A.(，0)B.(0，1)C.(1，2)D.[2，)

y 0 1 2 x

f(0)0d0由图象得f(1)0abc0f(2)08a4b2c0

解析一：

b2解得a，cb，d03b2bf(x)x3bx2bxx(x1)(x2)333

图象可知x0时，f(x)0

又x10，x20

故选A

解析二：由图象知x=0，1，2是方程f(x)=0的三个实根，设f(x)=ax(x—1)(x—2)

当x2时，f(x)0

a0b03b0f(x)ax33ax22ax

32又f(x)axbxcxd

b3a0 选A

21关于函数f(x)sin2x()|x|，有下面四个结论：32

例8.（1）f(x)是奇函数；

（2）当x>2003时，f(x)>1/2恒成立；

（3）f(x)的最大值是3/2；

（4）f(x)的最小值是－1/2。

其中正确结论的是___________。

212（1）f(x)sinx()|x|32

解析：

显然f(x)f(x)（1）错（是偶函数）

2（2）当x2003时，()|x|03

而sinx[1，1]

2当sin2x0时，f(x)（3）如果f(x)12（2）错

32，则sin2x()|x|123

22sinx1()|x|，显然“”不成立3

（3）错

2（4）当x0时，sin2x0最小，且()|x|13

11f(x)0122

1最小值为（4）对2

综上，只有（4）正确

例9.某工厂有一段旧墙长14m，现利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126m2

a的厂房，工程条件是（1）建1m新墙的费用为a元；（2）修1m旧墙费用是4元；（3）拆去1ma旧墙，用所得的材料建1m新墙的费用为2元。经讨论有两种方案：（1）利用旧墙的一段xm（x<14）为矩形厂房一面的边长；（2）矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14，问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？（1）（2）两种方案哪个更好？

分析：利用旧墙为一面矩形边长为xm，则矩形的另一面边长为126m。x

解：（1）利用旧墙的一段xm（x14）为矩形一面边长，则修旧墙的费用为 aa元，将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14x)元，其余新墙的费用422126为(2x14)a元，故总费用为x x14x2126x36yaa(2x14)a7a(1)（0x14）42x4x

x

y7a[2当且仅当x361]35a4x

x36，即x12m时，ymin35a4x

x 126126 xx

a7（2）若利用旧墙的一面矩形边长x14，则修旧墙的费用为14a元，42

2126建新墙的费用为(2x14)a元，故总费用为x

721267126ya(2x14)aa2a(x7)（x14）2x2x

x 14

设14x1x2，则(x1xx126126126)(x2)(x1x2)12x1x2x1x2

14x1x2

x1x20，x1x2126

126在[14，)上为增函数x

7126x14时，ymina2a(147)355.a214

yx

综上，采用方案（1）利用12m旧墙为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a元。

【模拟试题】

一.选择题：

1.二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，又f(x)在[0，2]上是增函数，且f(a)f(0)，则实数a的取值范围是（）

A.a0

B.a0 D.a0或a4

C.0a4

2.设f(x)是R上的奇函数，当x(0，)时为增函数，且f(1)=0，则不等式f(x1)0的解集为（）

A.(，1)(1，)

C.(，1)（0，1）

B.(，0)(1，2)

D.(1，0)(0，1)

x

3.将函数y=f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位，得到y=2的图象，则（）

A.f(x)2x22

xB.f(x)2x22

x2f(x)2

2C.x2f(x)22 D.4.已知函数f(x)的图象与g(x)21的图象关于点（0，1）对称，则f(x)=（）

A.23 x

1()x32B.1()x1D.2

C.21 x

1x()（x0）f(x)2x2（x0）

5.已知函数，给出代号为a,b,c的三个图象，再给出序号为1，2，3的三个函数，那么图象与函数能建立对应关系的是（用序号和代数表示）（）y y y 1 1 1 0 x 0 x-1 0 x a b c 1.y=f(|x|)2.y=|f(x)| 3.y=f(x+1)

A.a2

B.a

1C.a2

D.a3

b1b2c3 c3

b3b2c1 c1

6.已知某林场森林积蓄量每年平均比上一年增长10.4%，经过x年可增长到原来的y倍，则函数yf(x)图象大致为（）

y y y y 1 1 0 x 0 1 x 0 1 x 0 x A B C D

二.填空题：

7.设f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x3)f(x3)，则f(3)f(6)=____。

8.设定义在R上的函数y=f(x)，在（0，2）上是减函数，且yf(x2)为偶函数，则51f(3)，f()，f()22的大小顺序为____________。

9.函数yf(|x3|)的图象关于_____________对称。

10.建一个容积为8000m，深6m的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a元/m2，池底造价为2a元/m2，把总造价y元表示为底的一边长xm的函数，其解析式为___________，定义域为3___________，底边长为________m时，总造价最低是___________元。

三.解答题：

11.如图，A、B、C、D为四个村庄，恰好座落在边长为2km的正方形顶点上，现修公路网，它由一条中心路和4条支路组成，要求四条支路长度相等。

（1）若道路网的总长不超过5.5km，试求中心路长的取值范围；

（2）问中心路长为何值时，道路网的总长度最短。

A B 中 心 路 C D

【试题答案】

1.C 2.B 3.C

4.A

5.A

6.D

7.0（f(x)是R上的奇函数

令x3

令x0

f(3)0）

f(0)0

f(6)f(0)0 f(3)f(3)f(3)

15f()f(3)f()22

8.9.x3

10.y12a(x80008000208000)a，x(0，)，x3，16030aa6x333

11.设中心路长为2x km

22（1）则2x41(1x)55.48x40x70

17x412

222

（2）y2x41(1x)(平方)12x(4y32)x32y0

x(0，)又y0

0y323317[，]„„3412 ymin323，此时x1