可测函数小结

第一篇：可测函数小结

可测函数

（一）可测函数的定义

1、在可测函数定义的学习过程中，对于可测函数的表示：a∈R, 有{x | > a}可测，则f(x)可测 ；用简单间函数列来表示：有简单函数列{φn},f(x)满足limφn = f(x), 则f(x)可测；由鲁津定理得用连续函数逼近可测函数；n通过本章可测函数的学习，要把这三种关系透彻理解、掌握。

2、简单函数的引入对于学习讨论可测函数、L积分都有重要的意义。简单函数是常量函数、分段函数的进一步扩展。通过简单函数，对可测函数及L积分的讨论从简到繁、从特殊到一般过渡；要证明某个命题对于可测函数（或其一部分）成立，可先证明该命题对简单函数成立，再由极限过程过渡到一般可测函数。

3、可测函数列的等价条件。

（二）可测函数列的收敛性

由L测度建立的L积分理论中，零测度集不影响函数的可积性和积分值。实变函数中的L积分与数学分析中的R积分，有一个很重要的不同点，就是命题的成立引入了“几乎处处”的概念。

对于可测函数列的三种强度不等的收敛定义：几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛，要理解其意义与作用及相互关系。

可测函数列{fn(x)}处处收敛与依测度收敛虽然有很大区别，但仍有密切联系，主要表现在于：

（1）处收敛的函数列可能不是依测度收敛，依测度收敛的函数列仍右能不是处处收敛。（2）若{fn(x)}依测度收敛f(x)，则必有子列{fn i(x)}几乎处处收敛

于f(x)。

（3）几乎一致收敛函数列{fn(x)}一定依测度收敛于同一函数 ；反之，若{fn(x)}依测度收敛于f(x)，则存在子列几乎一致收敛函数f(x)。

（三）函数可测与连续的关系——鲁津定理

区间上的连续函数、单调函数、简单函数都是可测函数，所以可测函数类比连续函数类更广。鲁津定理给出了连续函数与可测函数的关系，表明用连续函数可以“逼近”可测函数，从而用我们比较熟悉的连续函数去把握比较抽象的可测函数，在某些情况下可以适当地把可测函数转换为连续函数。

函数可测与连续关系的主要结论有：（1）闭集上的连续函数可测；（2）任一可测集上的连续函数可测；

（3）f于E几乎处处有限可测，则存在闭集FE，m(E-F)< ε，有连续函数g, 在F上有 f(x)= g(x).上述结论揭示了连续函数与可测函数的密切联系，这种关系让我们对于可测函数的了解更加深入，也是研究可测函数的有效手段。

鲁津定理给出了可测函数的一种构造，定理所述的结论是使函数为可测的一个充分条件。鲁津定理的结论可作为可测函数的定义，由此可建立可测函数的另一种观点。

第二篇：《人心可测》读后感

《人心可测》读后感

当阅读了一本名著后，你有什么体会呢？现在就让我们写一篇走心的读后感吧。那么你会写读后感吗？下面是小编精心整理的《人心可测》读后感，仅供参考，希望能够帮助到大家。

《人心可测》是一本关于心理学的一本著作，记得我刚读这本书的初衷是我寒假在家时听了一位老前辈对我说的话，他对我说向我们这种学习市场营销专业的学生除了学好专业知识外，研究一些有关于金融和心理学这方面的书对我们的帮助还是很大的。学习金融有助于你去弄清楚盈亏，学习一点心理学有助于你今后工作的任何事情。于是我怀着这样的一颗初心选择了先研读心理学这方面的知识，凑巧我在网上查阅资料的时候发现了这本书《人心可测》作者是姜振宇国内最出名的研究人的心理，微表情专家。

说到姜振宇，我想大部分人还是通过《非诚勿扰》这档综艺节目所了解到，当然他除了是《非诚勿扰》的特邀嘉宾还是北京师范大学的高材生以及中国政法大学中国法律信息中心主任，中国政法大学微表情反应研究小组组长，中国政法大学心理应激微反应课程主讲人，他的著作包括《微表情》、《掌控者》以及本书等等。

在这本书的书中姜振宇老师通过为我们深剖金庸老师的一本著作《鹿鼎记》来帮助我们去了解人们微反应，微表情的意义。在这本书里姜老师为我们讲解了职场，情场，江湖中的心理学分为四章，第一章微表情识别，职场必备技能。第二章微表情谈判看透谈判对手的心。第三章微表情控场掌控全局。第四章里也包括了很多小节。当我读完这本书的时候真是感觉受益匪浅，我深刻的了解到了《鹿鼎记》里韦小宝的成功绝非偶然而是靠他惊人的社交能力产生的必然结果。让他成为皇帝身边的红人，天地会的总舵主，以及七个女人的丈夫。

在第一章里作者给我们说到微表情的重要性，因为他针对可以救命。正如韦小宝一样，初识清朝重金悬赏的茅十八时，尽管当时韦小宝并不认识茅十八，但是他还是陷入了各大江湖人士追杀茅十八的这场**中。而韦小宝这个一开始什么武功都不会的人，陷入这场**中必是性命堪忧。但是韦小宝凭借着他自己所谓的社交经验，其实就是通过自己真实的表现。表达出自己内心不真实的想法，从而迷惑他人。但正是韦小宝的这种小聪明，才帮助缓解了一次又一次的'死亡危机。正真，诚实固然是好但是在这个狡猾，危机四伏的世界里，我们也要学会去变通，来保护自己的利益不受到伤害，还有在职场中我们要通过判断老板的情绪，说话的语气，以及面部表情，来得出此时此刻老板最想要的结果。首先，应对老板发飙时，我们要判断他是否是真的发飙，因为有些东西是让人捉摸不透的。还有在老板发飙时我们应少编瞎话，不要有奇奇怪怪的表现，更不能心虚，不要叨叨没完。因为这些事情，不但不会帮助你很好的处理这件事情，反而会让你的老板更加反感厌恶你。

还记得第一次知道姜振宇老师的时候，还是通过非诚勿扰这个节目。当时他就坐在台下充当一位观察者，观察着台上每一位嘉宾的各种表情，给我的感受就是，为什么这个人这么厉害。当我看完这本书时，我也希望通过我后天的努力，我也能成为像他这么厉害的的一个人。

第三篇：小结函数对称性

小 结 函 数 对 称 性

数学组

刘宏博

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础.函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美.本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来小结与函数对称有关的性质.一、函数自身的对称性

定理1.函数 y = f(x)的图像关于点A(a ,b)对称的充要条件是

f(x)+ f(2a－x)= 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f(x)图像上任一点，∵点P(x ,y)关于点A(a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f(x)图像上，∴ 2b－y = f(2a－x)即y + f(2a－x)=2b故f(x)+ f(2a－x)= 2b，必要性得证.（充分性）设点P(x0,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)∵ f(x)+ f(2a－x)=2b∴f(x0)+ f(2a－x0)=2b，即2b－y0 = f(2a－x0).故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f(x)图像上，而点P与点P‘关于点A(a ,b)对称，充分性得征.推论：函数 y = f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+ f(－x)= 0 定理2.函数 y = f(x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

f(a +x)= f(a－x)即f(x)= f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数 y = f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)= f(－x)定理3.①若函数y = f(x)图像同时关于点A(a ,c)和点B(b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期.②若函数y = f(x)图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期.③若函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期.①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称，∴f(x)+ f(2a－x)=2c，用2b－x代x得： f(2b－x)+ f [2a－(2b－x)] =2c………………（*）又∵函数y = f(x)图像直线x =b成轴对称，∴ f(2b－x)= f(x)代入（*）得：

f(x)= 2c－f [2(a－b)+ x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 f [2(a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b)+ x]代入（**）得：

f(x)= f [4(a－b)+ x],故y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期.二、不同函数之间的对称性

定理4.函数y = f(x)与y = 2b－f(2a－x)的图像关于点A(a ,b)成中心对称.定理5.①函数y = f(x)与y = f(2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称.②函数y = f(x)与a－x = f(a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称.③函数y = f(x)与x－a = f(y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称.定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(x0 ,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)。记点P(x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1，y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f(x0)之中得x1－a = f(a + y1)∴点P‘（x1，y1）在函数x－a = f(y + a)的图像上.同理可证：函数x－a = f(y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f(x)的图像上。故定理5中的③成立.推论：函数y = f(x)的图像与x = f(y)的图像关于直线x = y 成轴对称.三、函数对称性应用举例 例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)= f(5+x),则f(x)一定是（）

(B)是偶函数，但不是周期函数

(D)是奇函数，但不是周期函数(A)是偶函数，也是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数

解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)= f(10－x).∴f(x)有两条对称轴 x = 5与x =10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数.故选(A)

例2.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，f(x)= －1x，则f(8.6)= _________

2解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

又∵f(1+x)= f(1－x)∴x = 1也是y = f(x)对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)= f(8+0.6)= f(0.6)= f(－0.6)= 0.3 例3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，f(x)= x，则f(7.5)=（）

(A)

0.5(B)－0.5

(C)1.5

(D)－1.5 解：∵y = f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f(x+2)= －f(x)= f(－x)，即f(1+ x)= f(1－x)，∴直线x = 1是y = f(x)对称轴，故y = f(x)是周期为2的周期函数.∴f(7.5)= f(8－0.5)= f(－0.5)= －f(0.5)=－0.5 故选(B)

第四篇：函数应用小结

函数应用学案

一、深刻领会函数与方程的关系，才能有效的解决函数与方程的问题，而函数的零点与方程的根的关系，二分法求方程的近似解是基础．

1．方程的根与函数的零点：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与________ ⇔函数y＝f(x)有________ ．

2．零点判断法：

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是________ 的一条曲线，并且有________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

3．二分法的定义：

对于在区间[a，b]上连续不断、且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到________ 的方法叫做二分法．

4．用二分法求零点的近似值的步骤：

第1步：确定区间[a，b]，验证________，给定精确度ε； 第2步：求区间(a，b)的中点x1； 第3步：计算f(x1)．

(1)若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；

(2)若f(a)·f(x1)<0，则令________ ＝x1(此时零点x0∈(____，____)）；(3)若f(x1)·f(b)<0，则令________ ＝x1(此时零点x0∈(____，____)）．

第4步：判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第2步至第4步．

[例1] 若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是()

A．a<－1

B．a>1 C．－1

D．0≤a<1 [例2] 函数f(x)＝x3－3x2－4x＋12的零点个数为（）A．0

B．1

C．2

D．3

9[例3] 函数y＝lgx－的零点所在的大致区间是()

xA．(6,7)

B．(7,8)C．(8,9)

D．(9,10)[例4] 方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围为________.[例5] 用二分法求方程x＝3－lgx在区间(2,3)内的近似解，要求精确到0.1，则至少要计算________次．

1．增长率与函数图象．

[例1] 某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4%，若经过x年可以增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致是

[例2] 向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是

2．函数模型的选取

[例4] 西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对生产的羊皮手套进行促销．在一年内，据测算销售量S(万双)与广告费x(万元)之间的函数关系为S＝3－

(x>0)，已知生产羊皮手套的年固定投入为3万元，每生产1万双手套仍需再投入16万元．年销售收入＝年生产成本的150%＋年广告费的50%.(1)试将羊皮手套的年利润L(万元)表示为年广告费x(万元)的函数．

(2)当年广告费投入多少万元时，此公司的年利润最大，最大利润为多少？(年利润＝年销售收入－年生产成本－年广告费．)

第五篇：复变函数小结

复变函数小结 第一章 复变函数

1)掌握复数的定义(引入),知道复数的几何意义(即复数可看成复数平面的一个点也可以表示为复数平面上的向量)2)掌握 复数的直角坐标表示与三角表示式及指数表示式的关系.3)掌握复数的几种运算:(1)相等;(2)加法;(3)减法;(4)乘法;(5)除法;(6)开方;(7)共轭.需要注意的是开方 : 开n次有n个根.例题

nz1n1ei02kn1ei02kn,k0,1,2,n1

4)掌握复变函数的定义,知道复变函数的极限与连续的定义.5)熟悉几个常用的基本初等函数及性质:(1)多项式;(2)有理分式;(3)根式;(4)指数;(5)三角函数.6)掌握复变函数导数的定义, 因复变函数导数的定义在形式上跟实变函数的导数定义一样,故实变函数中关于导数的规则和公式在复变函数情况仍适用.7)复变函数可导的充要条件是:(1)函数f(z)的实部u 与虚部的偏导数存在,且连续.uuvv，,xyxy(2)满足 C-R条件

uvuv,.xyyx8)知道复变函数解析的定义,复变函数解析,可导及连续的关系.9)解析函数的性质:

(1)若f(z)在区域B上解析,则f(z)的实部u与虚部v的等值(势)线互相正交.(2)若f(z)在区域B上解析,则f(z)的实部u与虚部v均为调和函数.(3)若f(z)在区域B上解析,则f(z)的实部u与虚部v 不是独立的,可由己知解析函数的实部u(或v)求出解析函数f(z).具体求法有3种

:1.直接积分法;2.凑全微分法;3.路径积分法.10)解析函数性质的应用:

平面标量场.11)知道复变函数中多值性的起源在于幅角,只需对幅角作限定(一般限定在主值范围,且一般把幅角作限定的复变平面称为黎曼面.),多值函数就退化为单值函数.第二章 复变函数的积分

1)知道复变函数积分的定义,以及它与实变函数的路径的关系.2)掌握单连通区域与复连通区域上Cauchy定理及数学表示式:fzdz0(1)其中l为区域的所有边界线.l

对单连通区域(1)可表示为

lfzdzn0,(2)对复连通区域(1)也可表示为:

fzdzfzdzli1ci(3)其中l为区域的外边界线,ci为区域的内边界线.(3)式反映对复连通区域的解析函数沿外边界的积分值与沿内边界积分的关系.作为(3)式一个特例: 包含一个奇点的任意一个闭合曲线积分值相同,它为求积分带来方便.nzadzl0,n1一个重要的积分公式: zandz2i,n1

l其中l 包含a 点.Cauchy定理为本章的重点.3)解析函数的不定积分.fzf'12i12illfdzz),4)Cauchy公式

zz(lfd2, ,fnn!2i(fdz)n1若对复连通区域 l 为区域的所有边界线.第三章 幂级数

1)了解一般的复数项级数,知道级数收敛的Cauchy判据,绝对收敛与一致收敛的概念,掌握外氏定理及运用.2)掌握幂级数的一般形式,收敛半径的计算(Rlimnanan1)，知道幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛，能逐项求导与积分.3)掌握解析函数在单连通区域的Taylor 展开式: fzazzk0k0k,akfkz0k!

知道Taylor 展开式是唯一的,即同一个函数在同一区域的展开式不管用什么方法得出其结果是相同的.熟悉一些基本的Taylor 展开式: 例1ez,2cosz,sinz,311z,4ln1z

知道函数在无穷运点的展开式.4)掌握解析函数在复连通区域的洛朗 展开式: fzazkkz0,其中akk2ic1fdz0k1，c为环域内任一沿逆时针方向的闭合曲线.知道洛朗 展开式是唯一的,即同一个函数在同一环域的展开式不管用什么方法得出其结果是相同的.所以对洛朗展开可利用熟悉的一些基本Taylor展开式来处理,例如对有理分式总可以把它分解为一系列最简单的有理分式（1zz0)之和, 而对1zz0能用等比级数来展开(关键是满足公比的绝对值小11z于1).并与

k0z,z1 比较.知道在什么情况下洛

k朗展开就退化为Taylor展开.5)掌握孤立奇点的分类方法:(1)可去奇点:设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中没有负幂项,就称z0是f(z)的可去奇点.性质limfza

a为常数.zz0(2)m阶极点: 设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中有有限项负幂项,其负幂项的最高幂为m,就称z0是f(z)的m阶极点.性质limfzzz0.(4)本性奇点: 设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中有无穷多项负幂项,就称z0是f(z)的本性奇点.性质limfz不存在zz0

知道函数在无穷运点奇点的分类.第四章 留数定理

1)掌握留数定理及其计算

fzdzl2iResfzi,其中zi为l内的奇点i1n 2)掌握留数计算的两种方法

(1)洛朗展开 : 设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中的负一次幂的系数a-1=Resf(z0).任何情况都适合.(2)对m阶极点Resfz0limmzz01dn1n11!dzzz0fz,作为一个特例,若f(z)=P(z)/ Q(z),当f(z)为一阶极点, Pz00,Qz00,Resfz0 'Qz0Pz0主要处理有理分式中分母为单根情况.3)应用留数定理计算实变函数定积分 •类型一

20zz1zz1Rcos,sindR,22iz1dziz2iResfzi,11izzi为fz在单单位圆的奇点zz1zz1,fzR,22i

•1)被积函数为三角函数的有理分式.2)积分区域为[0,2π] 作变换z=eiθ,当θ从变到2π时,复变数z恰好在单位圆上走一圈.类型二

积分条件: 1)积分区域为(-∞,∞)

2)f(z)在实轴有一价极点bk,且在上半平面除有限个奇点ak外是解析的，3)当z→∞时,zf(z)→0 fxdx2iResfakiResfbk.(2)

k1k1mp

类型三

(m>0)fxeimxdx,令Fzfzeimz

积分条件: 1)积分区域为(-∞,∞)

2)f(z)在实轴有一价极点bk,且在上半平面除有限个奇点ak外是解析的，3)当z→∞时,f(z)→0, fxeimxdx2iResFakiResFbkk1k1mp

(3)当f(x)为奇函数时(3)为fxsin0mxdx[ResFakk1m1pRe2k1sFbk]当fx为偶函数时,mfxeimxdx2fxcosmxdx,0

fxcosmxdx0i[ResFakk11pRe2k1sFbk]