Excel函数知识小结（最终五篇）

第一篇：Excel函数知识小结

Excel函数大全

数据库和清单管理函数

DAVERAGE 返回选定数据库项的平均值

DCOUNT 计算数据库中包含数字的单元格的个数

DCOUNTA 计算数据库中非空单元格的个数

DGET 从数据库中提取满足指定条件的单个记录

DMAX 返回选定数据库项中的最大值

DMIN 返回选定数据库项中的最小值

DPRODUCT 乘以特定字段（此字段中的记录为数据库中满足指定条件的记录）中的值

DSTDEV 根据数据库中选定项的示例估算标准偏差

DSTDEVP 根据数据库中选定项的样本总体计算标准偏差

DSUM 对数据库中满足条件的记录的字段列中的数字求和

DVAR 根据数据库中选定项的示例估算方差

DVARP 根据数据库中选定项的样本总体计算方差

GETPIVOTDATA 返回存储在数据透视表中的数据

日期和时间函数

DATE 返回特定时间的系列数

DATEDIF 计算两个日期之间的年、月、日数

DATEVALUE 将文本格式的日期转换为系列数

DAY 将系列数转换为月份中的日

DAYS360 按每年 360 天计算两个日期之间的天数

EDATE 返回在开始日期之前或之后指定月数的某个日期的系列数

EOMONTH 返回指定月份数之前或之后某月的最后一天的系列数

HOUR 将系列数转换为小时

MINUTE 将系列数转换为分钟

MONTH 将系列数转换为月

NETWORKDAYS 返回两个日期之间的完整工作日数

NOW 返回当前日期和时间的系列数

SECOND 将系列数转换为秒

TIME 返回特定时间的系列数

TIMEVALUE 将文本格式的时间转换为系列数

TODAY 返回当天日期的系列数

WEEKDAY 将系列数转换为星期

WORKDAY 返回指定工作日数之前或之后某日期的系列数

YEAR 将系列数转换为年

YEARFRAC 返回代表 start_date（开始日期）和 end_date（结束日期）之间天数的以年为单位的分数

DDE 和外部函数

CALL 调用动态链接库（DLL）或代码源中的过程

REGISTER.ID 返回已注册的指定 DLL 或代码源的注册 ID

SQL.REQUEST 连接外部数据源，并从工作表中运行查询，然后将结果作为数组返回，而无需进行宏编程。

有关 CALL 和 REGISTER 函数的其他信息

工程函数

BESSELI 返回经过修改的贝塞尔函数 In（x）

BESSELJ 返回贝塞尔函数 Jn（x）

BESSELK 返回经过修改的贝塞尔函数 Kn（x）BESSELY 返回贝塞尔函数 Yn（x）

xlfctBIN2DEC BIN2DEC 将二进制数转换为十进制数 BIN2HEX 将二进制数转换为十六进制数 BIN2OCT 将二进制数转换为八进制数 COMPLEX 将实系数和虚系数转换为复数

CONVERT 将一种度量单位制中的数字转换为另一种度量单位制 DEC2BIN 将十进制数转换为二进制数 DEC2HEX 将十进制数转换为十六进制数 DEC2OCT 将十进制数转换为八进制数 DELTA 检测两个值是否相等 ERF 返回误差函数 ERFC 返回余误差函数

GESTEP 检测数字是否大于某个阈值 HEX2BIN 将十六进制数转换为二进制数 HEX2DEC 将十六进制数转换为十进制数 HEX2OCT 将十六进制数转换为八进制数 IMABS 返回复数的绝对值（模）IMAGINARY 返回复数的虚系数

IMARGUMENT 返回参数 theta，一个以弧度表示的角 IMCONJUGATE 返回复数的共轭复数 IMCOS 返回复数的余弦 IMDIV 返回两个复数的商 IMEXP 返回复数的指数 IMLN 返回复数的自然对数 IMLOG10 返回复数的常用对数

IMLOG2 返回复数的以 2 为底数的对数 IMPOWER 返回复数的整数幂 IMPRODUCT 返回两个复数的乘积 IMREAL 返回复数的实系数 IMSIN 返回复数的正弦 IMSQRT 返回复数的平方根 IMSUB 返回两个复数的差 IMSUM 返回两个复数的和

OCT2BIN 将八进制数转换为二进制数 OCT2DEC 将八进制数转换为十进制数 OCT2HEX 将八进制数转换为十六进制数 财务函数

ACCRINT 返回定期付息有价证券的应计利息

ACCRINTM 返回到期一次性付息有价证券的应计利息 AMORDEGRC 返回每个会计期间的折旧值 AMORLINC 返回每个会计期间的折旧值

COUPDAYBS 返回当前付息期内截止到成交日的天数 COUPDAYS 返回成交日所在的付息期的天数

COUPDAYSNC 返回从成交日到下一付息日之间的天数 COUPNCD 返回成交日过后的下一付息日的日期 COUPNUM 返回成交日和到期日之间的利息应付次数

COUPPCD 返回成交日之前的上一付息日的日期 CUMIPMT 返回两个期间之间累计偿还的利息数额 CUMPRINC 返回两个期间之间累计偿还的本金数额

DB 使用固定余额递减法，返回一笔资产在指定期间内的折旧值

DDB 使用双倍余额递减法或其他指定方法，返回一笔资产在指定期间内的折旧值 DISC 返回有价证券的贴现率

DOLLARDE 将按分数表示的价格转换为按小数表示的价格 DOLLARFR 将按小数表示的价格转换为按分数表示的价格 DURATION 返回定期付息有价证券的修正期限 EFFECT 返回实际年利率 FV 返回投资的未来值

FVSCHEDULE 基于一系列复利返回本金的未来值 INTRATE 返回一次性付息证券的利率 IPMT 返回给定期间内投资的利息偿还额 IRR 返回一组现金流的内部收益率

ISPMT 计算在投资的特定期间内支付的利息

MDURATION 返回假设面值 $100 的有价证券的 Macauley 修正期限 MIRR 返回正负现金流使用不同利率的修正内部收益率 NOMINAL 返回名义年利率 NPER 返回投资的期数

NPV 基于一系列现金流和固定的各期贴现率，返回一项投资的净现值 ODDFPRICE 返回首期付息日不固定的面值 $100 的有价证券的价格 ODDFYIELD 返回首期付息日不固定的有价证券的收益率

ODDLPRICE 返回末期付息日不固定的面值 $100 的有价证券的价格 ODDLYIELD 返回末期付息日不固定的有价证券的收益率 PMT 返回投资或贷款的每期付款额

PPMT 返回投资在某一给定期次内的本金偿还额

PRICE 返回定期付息的面值 $100 的有价证券的价格

PRICEDISC 返回折价发行的面值 $100 的有价证券的价格 PRICEMAT 返回到期付息的面值 $100 的有价证券的价格 PV 返回投资的现值

RATE 返回年金的各期利率

RECEIVED 返回一次性付息的有价证券到期收回的金额 SLN 返回一项资产每期的直线折旧费

SYD 返回某项资产按年限总和折旧法计算的某期的折旧值 TBILLEQ 返返回国库券的债券等效收益率 TBILLPRICE 返回面值 $100 的国库券的价格 TBILLYIELD 返回国库券的收益率

VDB 使用递减余额法，返回指定期间内或某一时间段内的资产折旧额 XIRR 返回一组不定期发生的现金流的内部收益率 XNPV 返回一组不定期发生的现金流的净现值 YIELD 返回定期付息有价证券的收益率

YIELDDISC 返回折价发行的有价证券的年收益率，例如：国库券 YIELDMAT 返回到期付息的有价证券的年收益率 信息函数

CELL 返回有关单元格格式、位置或内容的信息 COUNTBLANK 计算区域中空单元格的个数

ERROR.TYPE 返回对应于错误类型的数字

INFO 返回有关当前操作环境的信息

ISBLANK 如果值为空，则返回 TRUE.ISERR 如果值为除 #N/A 以外的错误值，则返回 TRUE.ISERROR 如果值为任何错误值，则返回 TRUE.ISEVEN 如果数为偶数，则返回 TRUE.ISLOGICAL 如果值为逻辑值，则返回 TRUE.ISNA 如果值为 #N/A 错误值，则返回 TRUE.ISNONTEXT 如果值不是文本，则返回 TRUE.ISNUMBER 如果值为数字，则返回 TRUE.ISODD 如果数字为奇数，则返回 TRUE.ISREF 如果值为引用，则返回 TRUE.ISTEXT 如果值为文本，则返回 TRUE.N 返回转换为数字的值

NA 返回错误值 #N/A

xlfctTYPE TYPE 返回表示值的数据类型的数字

逻辑函数

AND 如果所有参数为 TRUE，则返回 TRUE

FALSE 返回逻辑值 FALSE

IF 指定要执行的逻辑检测

NOT 反转参数的逻辑值

OR 如果任何参数为 TRUE，则返回 TRUE

TRUE 返回逻辑值 TRUE

查找和引用函数

ADDRESS 以文本形式返回对工作表中单个单元格的引用

AREAS 返回引用中的区域数

CHOOSE 从值的列表中选择一个值

COLUMN 返回引用的列号

COLUMNS 返回引用中的列数

HLOOKUP 查找数组的顶行并返回指示单元格的值

HYPERLINK 创建快捷方式或跳转，打开存储在网络服务器、企业内部网或 Internet 上的文档

INDEX 使用索引从引用或数组中选择值

INDIRECT 返回由文本值表示的引用

LOOKUP 在向量或数组中查找值

MATCH 在引用或数组中查找值

OFFSET 从给定引用中返回引用偏移量

ROW 返回引用的行号

ROWS 返回引用中的行数

TRANSPOSE 返回数组的转置

VLOOKUP 查找数组的第一列并移过行，然后返回单元格的值

数学和三角函数

ABS 返回数的绝对值

ACOS 返回数的反余弦

ACOSH 返回数的反双曲余弦值

ASIN 返回数的反正弦

ASINH 返回数的反双曲正弦值

ATAN 返回数的反正切

ATAN2 从 X 和 Y 坐标返回反正切 ATANH 返回参数的反双曲正切值

CEILING 对数字取整为最接近的整数或最接近的多个有效数字 COMBIN 返回给定数目对象的组合数 COS 返回数的余弦

COSH 返回数的双曲线余弦

COUNTIF 计算符合给定条件的区域中的非空单元格数 DEGREES 将弧度转换为度

EVEN 将数向上取整至最接近的偶数整数 EXP 返回 e 的指定数乘幂 FACT 返回数的阶乘

FACTDOUBLE 返回参数 Number 的半阶乘

FLOOR 将参数 Number 沿绝对值减小的方向取整 GCD 返回最大公约数

INT 将数向下取整至最接近的整数 LCM 返回最小公倍数 LN 返回数的自然对数

LOG 返回数的指定底数的对数 LOG10 返回以 10 为底的对数 MDETERM 返回数组的矩阵行列式 MINVERSE 返回数组的反矩阵 MMULT 返回两个数组的矩阵乘积 MOD 返回两数相除的余数

MROUND 返回参数按指定基数取整后的数值 MULTINOMIAL 返回一组数的多项式 ODD 将数取整至最接近的奇数整数 PI 返回 Pi 值

POWER 返回数的乘幂结果

PRODUCT 将所有以参数形式给出的数字相乘 QUOTIENT 返回商的整数部分 RADIANS 将度转换为弧度

RAND 返回 0 和 1 之间的随机数

RANDBETWEEN 返回指定数之间的随机数

ROMAN 将阿拉伯数字转换为文本形式的罗马数字 ROUND 将数取整至指定数

ROUNDDOWN 将数向下*近0 值取整 ROUNDUP 将数向上远离 0 值取整

SERIESSUM 返回基于公式的幂级数的和 SIGN 返回数的正负号 SIN 返回给定角度的正弦 SINH 返回数的双曲正弦值 SQRT 返回正平方根

SQRTPI 返回某数与 Pi 的乘积的平方根 SUBTOTAL 返回清单或数据库中的分类汇总 SUM 添加参数

SUMIF 按给定条件添加指定单元格

SUMPRODUCT 返回相对应的数组部分的乘积和 SUMSQ 返回参数的平方和

SUMX2MY2 返回两个数组中相对应值的平方差之和 SUMX2PY2 返回两个数组中相对应值的平方和之和 SUMXMY2 返回两个数组中相对应值差的平方之和 TAN 返回数的正切

TANH 返回数的双曲正切值 TRUNC 将数截尾为整数 统计函数

AVEDEV 返回一组数据与其均值的绝对偏差的平均值 AVERAGE 返回参数的平均值

AVERAGEA 返回参数的平均值，包括数字、文本和逻辑值 BETADIST 返回 Beta 分布累积函数的函数值 BETAINV 返回 Beta 分布累积函数的反函数值 BINOMDIST 返回单独项二项式分布概率 CHIDIST 返回 chi平方分布的单尾概率 CHIINV 返回 chi平方分布的反单尾概率 CHITEST 返回独立性检验值

CONFIDENCE 返回总体平均值的置信区间 CORREL 返回两个数据集之间的相关系数 COUNT 计算参数列表中的数字多少 COUNTA 计算参数列表中的值多少

COVAR 返回协方差，即成对偏移乘积的平均数

CRITBINOM 返回使累积二项式分布小于等于临界值的最小值 DEVSQ 返回偏差的平方和 EXPONDIST 返回指数分布 FDIST 返回 F 概率分布 FINV 返回反 F 概率分布 FISHER 返回 Fisher 变换

FISHERINV 返回反 Fisher 变换

FORECAST 根据给定的数据计算或预测未来值 FREQUENCY 返回作为矢量数组的频率分布 FTEST 返回 F 检验的结果 GAMMADIST 返回伽玛分布

GAMMAINV 返回反伽玛累积分布

GAMMALN 返回伽玛函数的自然对数，Γ（x）GEOMEAN 返回几何平均数

GROWTH 根据给定的数据预测指数增长值 HARMEAN 返回数据集合的调和平均值 HYPGEOMDIST 返回超几何分布 INTERCEPT 返回回归线截距 KURT 返回数据集的峰值

LARGE 返回数据集中第 k 个最大值 LINEST 返回线条趋势的参数 LOGEST 返回指数趋势的参数 LOGINV 返回反对数正态分布

LOGNORMDIST 返回对数正态分布的累积函数

MAX 返回参数列表中的最大值

MAXA 返回参数列表中的最大值，包括数字、文本和逻辑值 MEDIAN 返回给定数字的中位数 MIN 返回参数列表的最小值

MINA 返回参数列表中的最小值，包括数字、文本和逻辑值 MODE 返回数据集中的出现最多的值 NEGBINOMDIST 返回负二项式分布 NORMDIST 返回普通累积分布 NORMINV 返回反普通累积分布

NORMSDIST 返回标准普通累积分布 NORMSINV 返回反标准普通累积分布 PEARSON 返回 Pearson 乘积矩相关系数 PERCENTILE 返回区域中值的第 k 个百分比 PERCENTRANK 返回数据集中值的百分比排位 PERMUT 返回对象给定数的排列数 POISSON 返回泊松分布

PROB 返回区域中的值在两个限制之间的概率 QUARTILE 返回数据集的四分位数 RANK 返回某数在数字列表中的排位

RSQ 返回 Pearson 乘积力矩相关系数的平方 SKEW 返回分布的偏斜度

SLOPE 返回线性回归直线的斜率

SMALL 返回数据集中的第 k 个最小值 STANDARDIZE 返回正态化数值 STDEV 估计样本的标准偏差

STDEVA 估计样本的标准偏差，包括数字、文本和逻辑值 STDEVP 计算整个样本总体的标准偏差

STDEVPA 计算整个样本总体的标准偏差，包括数字、文本和逻辑值 STEYX 返回通过线性回归法计算 y 预测值时所产生的标准误差 TDIST 返回学生氏-t 分布 TINV 返回反学生氏-t 分布 TREND 返回沿线性趋势的值

TRIMMEAN 返回数据集的内部平均值

TTEST 返回与学生氏-t 检验相关的概率 VAR 估计样本的方差

VARA 估计样本的方差，包括数字、文本和逻辑值 VARP 计算整个样本总体的方差

VARPA 计算整个样本总体的方差，包括数字、文本和逻辑值 WEIBULL 返回韦伯分布

ZTEST 返回 z 检验的双尾 P 值 文本函数

ASC 将字符串中的全角（双字节）英文字母或片假名更改为半角（单字节）字符。CHAR 返回由编码号码所指定的字符 CLEAN 删除文本中的所有不可打印字符 CODE 返回文本串中第一个字符的数字编码

CONCATENATE 将多个文本项连接到一个文本项中 DOLLAR 使用当前格式将数字转换为文本

EXACT 检查两个文本值是否相同

FIND 在其他文本值中查找文本值（区分大小写）

FIXED 使用固定的十进制数将数字设置为文本格式

JIS 将字符串中的半角（单字节）英文字符或片假名更改为全角（双字节）字符。

LEFT 返回文本值中最左边的字符

LEN 返回文本串中字符的个数

LOWER 将文本转换为小写

MID 从文本串中的指定位置开始返回特定数目的字符

PHONETIC 从文本串中提取拼音（furigana）字符

PROPER 将文本值中每个单词的首字母设置为大写

REPLACE 替换文本中的字符

REPT 按给定次数重复文本

RIGHT 返回文本值中最右边的字符

SEARCH 在其他文本值中查找文本值（不区分大小写）

SUBSTITUTE 在文本串中使用新文本替换旧文本

T 将参数转换为文本

TEXT 设置数字的格式并将其转换为文本

TRIM 删除文本中的空格

UPPER 将文本转换为大写

VALUE 将文本参数转换为数字

YEN 使用 ￥（yen）货币符号将数字转换为文本。

EXCEL中几个常用函数在统计工作中的应用

1.目的：了解函数的基本语法和在统计工作中的应用，提高统计工作的电子化程度、提高工作效率、提高工作质量 2.函数的种类

2.1查找与引用函数VLOOKUP：表达式：Sheet1的单元格C1=VLOOKUP(A1，Sheet2A：Sheet2C，3，FALSE)意义与用途：搜索表区域首列满足条件的元素，确定待检索单元格在区域中的行序号，再进一步返回选定单元格的值，默认情况下，表是以升序排列。

函数语法的说明：“Sheet1的单元格C1”是供显示查找结果的单元格，“A1”是待检索单元格，即即将在区域查找中必须搜索到或满足的值，可以是单元格引用或具体的参数值，“Sheet2A：Sheet2C”是搜索的区域，即A列到C列为搜索区域，“3”是指检索到的单元格所对应的列序号或即将需返回的查找值的列序号。“FALSE”是指如果检索不到对应的值则返回“FALSE”以示查找搜索失败；

2.2数学函数SUMIF：表达式：Sheet1的单元格C1=SUMIF（Sheet2A：Sheet2A，A1，Sheet2C：Sheet2C）

意义与用途：对指定的若干单元格求和。

函数语法的说明：“Sheet1的单元格C1”是供显示求和结果的单元格，“Sheet2A：Sheet2A”是求和条件的搜索区域可以是整列或某列的某个区段，前者不需要加绝对引用“$”，后者必须加“$”，“A1”是求和条件，可以具体的参数值也可以是单元格引用，“Sheet2C：Sheet2C”是求和数据区域，可以是整列或某列的某个区段，前者不需要加绝对引用“$”，后者必须加“$”，但必须与求和条件区域相对应；

2.3数学函数ROUND：表达式：SHEET1单元格C1=ROUND（A1，N）

意义与用途：对数值进行四舍五入。

语法说明：“SHEET1单元格C1”结果显示单元格，“A1”原数值，可以引用或具体数值，“N”是指定的小数位数。

2.3文本函数(Left、Right、Mid、Len、Concatnate、Replace)意义与用途说明（由左往右）：

Left是取指定单元格、文本的左边N个字符，表达式“单元格C1=LEFT（A1，N）”； Right是取指定单元格、文本的右边N个字符，表达式“单元格C1=RIGHT（A1，N）”；

Mid是取指定单元格、文本的左起N个字符以后的X个字符，表达式“单元格C1=MID（A1，N，X）”；

Len是计算指定单元格、文本所包含字符的个数，表达式“单元格C1=LEN（A1）”；

Concatnate是将若干文字项合并到一个文字项中，他的功能相当于”&”的功能，表达式“单元格C1=Concatnate（A1，B1，C1，„„）”

Replace是用一个字符串来取代另一字符串中指定长度的部分字符串，公式是“单元格C1=Replace（A1，N，X，LLLL）” “A1”是指定的单元格引用或文本，“N”是指定单元格或文本中的起始字符序号，“X”是指被取代的字符个数或长度，“LLLL”是用于取代的新字符串；表达式

以上函数之参数可以引用，也可以是具体的文本，文本函数多用于条件套用，作为逻辑函数的条件项进行判断。

2.4逻辑函数（And、False、If、Not、Or、True）

意义与用途说明（由左往右）： And：如果所有参数值均为TRUE，则返回TRUE，否则如果任意一参数为FALSE，则返回FALSE，公式是“AND（A1=1，B1>2,„..）”；参数可以引用，也可以是数值，也可以是供计算值以后判定的逻辑等式等，甚至是函数嵌套；

False、TRUE：返回逻辑值FALSE 或True； If：执行真假值判断，根据对指定条件进行逻辑评价的真假而返回不同的结果，基本公式“IF（A1=B1，N1，N2）”，意思是如果式内第一个条件等式成立，则返回预定值N1，否则返回二个预定值，条件可以是引用，也可以是数值，也可以是供计算值以后判定的逻辑等式等，甚至是函数嵌套。返回的逻辑值可以是引用或具体的数值；

Not：对参数的逻辑值求反，如果参数值是TRUE时，返回FALSE，如果参数值是FALSE时返回TRUE，基本公式“NOT（A1）”，参数“A1”可以引用，也可以是数值，也可以是供计算值以后判定的逻辑等式等,甚至是函数嵌套；

Or：如果参数中有任一项是TRUE，则返回TRUE，只有当所有参数均为FALSE时才返回FALSE；表达式是”OR（A1,A2,A3„..）”, 参数“A1”可以引用，也可以是数值，也可以是供计算值以后判定的逻辑等式等，甚至是函数嵌套；

逻辑函数多用于条件套用，作为嵌套函数的条件项进行判断。2.5信息函数(ISERR、ISERROR)意义与用途说明：

ISERR：如果测试值是#N/A以外的任意错误值，则返回TRUE，表达式是“ISERR（A1）”，参数A1可以是引用，也可以是数值，也可以是供计算值以后判定的逻辑等式等，甚至是函数嵌套； ISERROR：如果测试值是#N/A、#VALUE、#REF、#DIV/0、#NUM、#NAME？、#NULL中的任一错误值，则返回TRUE，否则返回FALSE，表达式“ISERROR（A1）”，参数A1可以是引用，也可以是数值，也可以是供计算值以后判定的逻辑等式等，甚至是函数嵌套；

信息函数用于执行逻辑判断时提供判断和执行真假值的信息，主要是在嵌套函数中使用，单独使用意义不大。3.函数的应用举例

3.1建立库存台帐(&或Concatnate、VLOOKUP、SUMIF的综合应用)3.2检索编码的唯一性（IF、ISERROR、VLOOKUP的综合应用）

3.3取编码中的轮型、尺寸、尺寸规格（LEFT、RIGHT、MID、&或Concatnate的综合应用）3.4设定条件筛选的筛选条件(逻辑函数IF文本函数LEN等信息函数的综合应用)3.5给未带状态的编码加状态字母(&或Concatnate和综合应用)3.6复合多项条件求和(&或Concatnate的综合应用)3.7检测编码长度(IF、LEN函数的应用)3.8两组有一部分相同但不完全相同的数组间找差异(SUMIF的综合应用)3.9分项小计之合计及总计(SUMIF的应用)3.10对有重复明细的一组数据汇总并使每一明细唯一存在(IFSERRORVLOOKUP和SUMIF的综合应用)

第二篇：第二章函数知识小结(自制)

第二章函数知识小结

函数定义：一前提、三关键（映射）定义域（分母不为零、偶次根式被开方数为非负数、指数式的底数大于零、对数式的真数大于零、对数的底数对于零且不为

1、抽象函数的定义域两条、实际问题中函数的定义域）函数的概念、函数的三要素值域（观察法、单调性法、二次函数配方法图像法、一次的分式函数反解法分离常数法、反解法、二次分式函数分离常数法判别式法、分段函数图像法分段处理、无理函数单调性法换元法）解析式（待定系数法、换元法、配凑法、消元法）单调性（定义、证明步骤、基本函数的单调性、判断单调性的方法、求函数的单函数的性质调区间、复合函数的单调性）奇偶性（定义、判断步骤、奇偶性的性质、奇偶性、图像特征）函数恒成立问题（函数、分离变量）二次函数（定义三种形式、性质、最值、二次不等式解法恒成立）指数：根式两等式、分数指数幂、运算法则指数函数指数函数（定义；图像与性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、定点、三类特殊函数值的分布、底数互为倒数的图像关系、底数与图像规律）对数：对数与指数互化、对数恒等式三性质、运算法则、换底公式、底数与指数的指数、交换底数和真数公式 对数函数对数函数（定义、图像与性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、定点、值的分布、底数互为倒数的图像关系、底数与图像规律）分段函数（首选图像法、再考虑分段处理）三类特殊函数抽象函数（首选找具体函数模型、再令值法）复合函数（分解成小函数）

第三篇：小结函数对称性

小 结 函 数 对 称 性

数学组

刘宏博

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础.函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美.本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来小结与函数对称有关的性质.一、函数自身的对称性

定理1.函数 y = f(x)的图像关于点A(a ,b)对称的充要条件是

f(x)+ f(2a－x)= 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f(x)图像上任一点，∵点P(x ,y)关于点A(a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f(x)图像上，∴ 2b－y = f(2a－x)即y + f(2a－x)=2b故f(x)+ f(2a－x)= 2b，必要性得证.（充分性）设点P(x0,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)∵ f(x)+ f(2a－x)=2b∴f(x0)+ f(2a－x0)=2b，即2b－y0 = f(2a－x0).故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f(x)图像上，而点P与点P‘关于点A(a ,b)对称，充分性得征.推论：函数 y = f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+ f(－x)= 0 定理2.函数 y = f(x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

f(a +x)= f(a－x)即f(x)= f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数 y = f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)= f(－x)定理3.①若函数y = f(x)图像同时关于点A(a ,c)和点B(b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期.②若函数y = f(x)图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期.③若函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期.①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f(x)图像既关于点A(a ,c)成中心对称，∴f(x)+ f(2a－x)=2c，用2b－x代x得： f(2b－x)+ f [2a－(2b－x)] =2c………………（*）又∵函数y = f(x)图像直线x =b成轴对称，∴ f(2b－x)= f(x)代入（*）得：

f(x)= 2c－f [2(a－b)+ x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 f [2(a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b)+ x]代入（**）得：

f(x)= f [4(a－b)+ x],故y = f(x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期.二、不同函数之间的对称性

定理4.函数y = f(x)与y = 2b－f(2a－x)的图像关于点A(a ,b)成中心对称.定理5.①函数y = f(x)与y = f(2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称.②函数y = f(x)与a－x = f(a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称.③函数y = f(x)与x－a = f(y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称.定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(x0 ,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y0 = f(x0)。记点P(x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1，y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f(x0)之中得x1－a = f(a + y1)∴点P‘（x1，y1）在函数x－a = f(y + a)的图像上.同理可证：函数x－a = f(y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f(x)的图像上。故定理5中的③成立.推论：函数y = f(x)的图像与x = f(y)的图像关于直线x = y 成轴对称.三、函数对称性应用举例 例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)= f(5+x),则f(x)一定是（）

(B)是偶函数，但不是周期函数

(D)是奇函数，但不是周期函数(A)是偶函数，也是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数

解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)= f(10－x).∴f(x)有两条对称轴 x = 5与x =10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数.故选(A)

例2.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，f(x)= －1x，则f(8.6)= _________

2解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

又∵f(1+x)= f(1－x)∴x = 1也是y = f(x)对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)= f(8+0.6)= f(0.6)= f(－0.6)= 0.3 例3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，f(x)= x，则f(7.5)=（）

(A)

0.5(B)－0.5

(C)1.5

(D)－1.5 解：∵y = f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f(x+2)= －f(x)= f(－x)，即f(1+ x)= f(1－x)，∴直线x = 1是y = f(x)对称轴，故y = f(x)是周期为2的周期函数.∴f(7.5)= f(8－0.5)= f(－0.5)= －f(0.5)=－0.5 故选(B)

第四篇：复变函数小结

复变函数小结 第一章 复变函数

1)掌握复数的定义(引入),知道复数的几何意义(即复数可看成复数平面的一个点也可以表示为复数平面上的向量)2)掌握 复数的直角坐标表示与三角表示式及指数表示式的关系.3)掌握复数的几种运算:(1)相等;(2)加法;(3)减法;(4)乘法;(5)除法;(6)开方;(7)共轭.需要注意的是开方 : 开n次有n个根.例题

nz1n1ei02kn1ei02kn,k0,1,2,n1

4)掌握复变函数的定义,知道复变函数的极限与连续的定义.5)熟悉几个常用的基本初等函数及性质:(1)多项式;(2)有理分式;(3)根式;(4)指数;(5)三角函数.6)掌握复变函数导数的定义, 因复变函数导数的定义在形式上跟实变函数的导数定义一样,故实变函数中关于导数的规则和公式在复变函数情况仍适用.7)复变函数可导的充要条件是:(1)函数f(z)的实部u 与虚部的偏导数存在,且连续.uuvv，,xyxy(2)满足 C-R条件

uvuv,.xyyx8)知道复变函数解析的定义,复变函数解析,可导及连续的关系.9)解析函数的性质:

(1)若f(z)在区域B上解析,则f(z)的实部u与虚部v的等值(势)线互相正交.(2)若f(z)在区域B上解析,则f(z)的实部u与虚部v均为调和函数.(3)若f(z)在区域B上解析,则f(z)的实部u与虚部v 不是独立的,可由己知解析函数的实部u(或v)求出解析函数f(z).具体求法有3种

:1.直接积分法;2.凑全微分法;3.路径积分法.10)解析函数性质的应用:

平面标量场.11)知道复变函数中多值性的起源在于幅角,只需对幅角作限定(一般限定在主值范围,且一般把幅角作限定的复变平面称为黎曼面.),多值函数就退化为单值函数.第二章 复变函数的积分

1)知道复变函数积分的定义,以及它与实变函数的路径的关系.2)掌握单连通区域与复连通区域上Cauchy定理及数学表示式:fzdz0(1)其中l为区域的所有边界线.l

对单连通区域(1)可表示为

lfzdzn0,(2)对复连通区域(1)也可表示为:

fzdzfzdzli1ci(3)其中l为区域的外边界线,ci为区域的内边界线.(3)式反映对复连通区域的解析函数沿外边界的积分值与沿内边界积分的关系.作为(3)式一个特例: 包含一个奇点的任意一个闭合曲线积分值相同,它为求积分带来方便.nzadzl0,n1一个重要的积分公式: zandz2i,n1

l其中l 包含a 点.Cauchy定理为本章的重点.3)解析函数的不定积分.fzf'12i12illfdzz),4)Cauchy公式

zz(lfd2, ,fnn!2i(fdz)n1若对复连通区域 l 为区域的所有边界线.第三章 幂级数

1)了解一般的复数项级数,知道级数收敛的Cauchy判据,绝对收敛与一致收敛的概念,掌握外氏定理及运用.2)掌握幂级数的一般形式,收敛半径的计算(Rlimnanan1)，知道幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛，能逐项求导与积分.3)掌握解析函数在单连通区域的Taylor 展开式: fzazzk0k0k,akfkz0k!

知道Taylor 展开式是唯一的,即同一个函数在同一区域的展开式不管用什么方法得出其结果是相同的.熟悉一些基本的Taylor 展开式: 例1ez,2cosz,sinz,311z,4ln1z

知道函数在无穷运点的展开式.4)掌握解析函数在复连通区域的洛朗 展开式: fzazkkz0,其中akk2ic1fdz0k1，c为环域内任一沿逆时针方向的闭合曲线.知道洛朗 展开式是唯一的,即同一个函数在同一环域的展开式不管用什么方法得出其结果是相同的.所以对洛朗展开可利用熟悉的一些基本Taylor展开式来处理,例如对有理分式总可以把它分解为一系列最简单的有理分式（1zz0)之和, 而对1zz0能用等比级数来展开(关键是满足公比的绝对值小11z于1).并与

k0z,z1 比较.知道在什么情况下洛

k朗展开就退化为Taylor展开.5)掌握孤立奇点的分类方法:(1)可去奇点:设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中没有负幂项,就称z0是f(z)的可去奇点.性质limfza

a为常数.zz0(2)m阶极点: 设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中有有限项负幂项,其负幂项的最高幂为m,就称z0是f(z)的m阶极点.性质limfzzz0.(4)本性奇点: 设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中有无穷多项负幂项,就称z0是f(z)的本性奇点.性质limfz不存在zz0

知道函数在无穷运点奇点的分类.第四章 留数定理

1)掌握留数定理及其计算

fzdzl2iResfzi,其中zi为l内的奇点i1n 2)掌握留数计算的两种方法

(1)洛朗展开 : 设z0是f(z)的奇点当f(z)在z=z0的邻域上展开时,其洛朗展开式中的负一次幂的系数a-1=Resf(z0).任何情况都适合.(2)对m阶极点Resfz0limmzz01dn1n11!dzzz0fz,作为一个特例,若f(z)=P(z)/ Q(z),当f(z)为一阶极点, Pz00,Qz00,Resfz0 'Qz0Pz0主要处理有理分式中分母为单根情况.3)应用留数定理计算实变函数定积分 •类型一

20zz1zz1Rcos,sindR,22iz1dziz2iResfzi,11izzi为fz在单单位圆的奇点zz1zz1,fzR,22i

•1)被积函数为三角函数的有理分式.2)积分区域为[0,2π] 作变换z=eiθ,当θ从变到2π时,复变数z恰好在单位圆上走一圈.类型二

积分条件: 1)积分区域为(-∞,∞)

2)f(z)在实轴有一价极点bk,且在上半平面除有限个奇点ak外是解析的，3)当z→∞时,zf(z)→0 fxdx2iResfakiResfbk.(2)

k1k1mp

类型三

(m>0)fxeimxdx,令Fzfzeimz

积分条件: 1)积分区域为(-∞,∞)

2)f(z)在实轴有一价极点bk,且在上半平面除有限个奇点ak外是解析的，3)当z→∞时,f(z)→0, fxeimxdx2iResFakiResFbkk1k1mp

(3)当f(x)为奇函数时(3)为fxsin0mxdx[ResFakk1m1pRe2k1sFbk]当fx为偶函数时,mfxeimxdx2fxcosmxdx,0

fxcosmxdx0i[ResFakk11pRe2k1sFbk]

第五篇：可测函数小结

可测函数

（一）可测函数的定义

1、在可测函数定义的学习过程中，对于可测函数的表示：a∈R, 有{x | > a}可测，则f(x)可测 ；用简单间函数列来表示：有简单函数列{φn},f(x)满足limφn = f(x), 则f(x)可测；由鲁津定理得用连续函数逼近可测函数；n通过本章可测函数的学习，要把这三种关系透彻理解、掌握。

2、简单函数的引入对于学习讨论可测函数、L积分都有重要的意义。简单函数是常量函数、分段函数的进一步扩展。通过简单函数，对可测函数及L积分的讨论从简到繁、从特殊到一般过渡；要证明某个命题对于可测函数（或其一部分）成立，可先证明该命题对简单函数成立，再由极限过程过渡到一般可测函数。

3、可测函数列的等价条件。

（二）可测函数列的收敛性

由L测度建立的L积分理论中，零测度集不影响函数的可积性和积分值。实变函数中的L积分与数学分析中的R积分，有一个很重要的不同点，就是命题的成立引入了“几乎处处”的概念。

对于可测函数列的三种强度不等的收敛定义：几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛，要理解其意义与作用及相互关系。

可测函数列{fn(x)}处处收敛与依测度收敛虽然有很大区别，但仍有密切联系，主要表现在于：

（1）处收敛的函数列可能不是依测度收敛，依测度收敛的函数列仍右能不是处处收敛。（2）若{fn(x)}依测度收敛f(x)，则必有子列{fn i(x)}几乎处处收敛

于f(x)。

（3）几乎一致收敛函数列{fn(x)}一定依测度收敛于同一函数 ；反之，若{fn(x)}依测度收敛于f(x)，则存在子列几乎一致收敛函数f(x)。

（三）函数可测与连续的关系——鲁津定理

区间上的连续函数、单调函数、简单函数都是可测函数，所以可测函数类比连续函数类更广。鲁津定理给出了连续函数与可测函数的关系，表明用连续函数可以“逼近”可测函数，从而用我们比较熟悉的连续函数去把握比较抽象的可测函数，在某些情况下可以适当地把可测函数转换为连续函数。

函数可测与连续关系的主要结论有：（1）闭集上的连续函数可测；（2）任一可测集上的连续函数可测；

（3）f于E几乎处处有限可测，则存在闭集FE，m(E-F)< ε，有连续函数g, 在F上有 f(x)= g(x).上述结论揭示了连续函数与可测函数的密切联系，这种关系让我们对于可测函数的了解更加深入，也是研究可测函数的有效手段。

鲁津定理给出了可测函数的一种构造，定理所述的结论是使函数为可测的一个充分条件。鲁津定理的结论可作为可测函数的定义，由此可建立可测函数的另一种观点。