函数的周期性教案（最终版）

第一篇：函数的周期性教案（最终版）

函数的周期性

定义：对于函数yfx，若存在一个不为零的常数T，使x取定义域中任意一个值时，有fxTfx，则称yfx为周期函数，常数T为函数的周期.在所有T的取值中，若存在一个最小的正数t，则称t为函数的最小正周期.（在题目中若没有特殊强调，则周期均值最小正周期.）性质：

1.图像重复出现，且在对应的周期区间中，增减性，最值相同；

2.若fxfxa，则Ta；

若fxafxa，则T2a；

若fxafxb，则Tab；

若fxafxb，则Tab； 例题：

已知fx2fx2且f12，则f11________； 函数fx为R上的奇函数，且fx2fx，则f6_______；

函数fx为R上的奇函数且T4，且x4,6时，fx2x2，则f1______；

已知函数fx周期为3，且在x2,0为增函数，则在区间4,6上为_____（填增，减）； 函数fx为R上的偶函数且T2，在区间1,0递减，则在区间2,3上为_____；

函数fx为R上的奇函数，且fx2fx，x0,1时，fxx，则f7.5__； 函数fx为R上的奇函数，且fx2

1，x2,3时，fxx，则f105.5__； fx

第二篇：函数的周期性教案1解读

函数的周期性教案1

教学目标

1．使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角函数的周期性．

2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法．

3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力，提高学生的判断能力和论证能力．

教学重点与难点

函数周期性的概念．

教学过程设计

师：上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．今天我们将利用正弦函数图象，研究三角函数的一个重要性质．请同学们观察y=sinx，x∈R的图象：

(老师把图画在黑板左上方．)

师：通过观察，同学们有什么发现？

生：正弦函数的定义域是全体实数，值域是[－1，1]．图象有规律地不断重复出现．

师：规律是什么？

生：当自变量每隔2π时，函数值都相等．

师：正弦函数的这种性质叫周期性．我们将会发现，不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，因此我们就把它作为今天研究的课题：函数的周期性．(老师在黑板左上方写出课题)

师：我们先看函数周期性的定义．(老师板书)

定义 对于函数 y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．

师：请同学们逐字逐句的阅读定义，找出定义中的要点．

生：首先T是非零常数，第二是自变量x取定义域内的每一个值时都有f(x＋T)=f(x)．

师：找得准！那么为什么要这样规定呢？

师：如果T=0，那么f(x＋T)=f(x)恒成立，函数值当然不变，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了．“每一个值”的含义是无一例外．

师：除这两条外，定义中还有一个隐含的条件是什么？

生：如果x属于y=f(x)的定义域，则T＋x也应属于此定义域．

师；对．否则f(x＋T)就没有意义．

师：函数周期性的定义有什么用途？

生：它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据．

师：下面我们看例题．

(老师板书)

例1 证明 y=sinx是周期函数．

生：因为由诱导公式有sin(x＋2π)=sinx，所以2π是y=sinx是一个周期．故它就是周期函数．

师：要想判断T是不是函数y=f(x)的周期有什么方法？我们现有的理论依据只有定义，如何使用定义？

y=sinx的周期．

义域内的每一个x，都有f(x＋T)=f(x)，而不是有(存在着)某一个x，使f(x＋T)=f(x)

乙是正确的．

师：分析得好！同学对概念的学习应该做到真正能弄清每句话的含义，而不能只停留在字面的意思读懂了．这样才可能透彻地理解概念，为进一步的学习打下牢固的基础．

例3 已知 f(x＋T)=f(x)(T≠0)，求证f(x＋2T)=f(x)．

师：此题用文字如何叙述？谁能给予证明？

生：若不等于零的常数T是f(x)的一个周期，证明2T仍是f(x)的周期．

因为T是f(x)的周期，所以f(x＋T)=f(x)，f[(x＋T)＋T]=f(x＋T)，即f(x＋2T)=f(x)．

因此2T是f(x)的周期．

师：这个命题推广可得到什么结论？

生：如果T是f(x)的周期，那么2T，3T，„，nT(n∈Z)也都是f(x)的周期．

师：这说明如果一个函数是周期函数，所有的周期就构成一个无穷集合．这无数个周期中我们有必要研究在它们中间是否存在着最小正周期．这是为什么？

生甲：如果发现一个函数存在最小正周期，就可以确定这个函数的所有周期．

生乙：更具有实用性．如果找到最小正周期，就可以在其定义域的一个长度为最小正周期的范围内对函数进行研究．

师：这位同学思考问题有一定的深刻性．他不但弄清最小正周期的实质，还进一步想到我们研究函数周期性的目的，那就是要研究一个周期函数在整个定义域上的性质，只要研究它在一个周期内的性质，然后经过周期延拓即可．如果能够确定最小正周期，可使研究的范围缩小在最小正周期的范围内．这无疑给我们研究周期函数的性质带来方便．

(老师在函数的周期性定义下板书)

如果在所有的周期中存在着一个最小正周期，就把它叫做最小正周期．

例4 证明f(x)=sinx(x∈R)的最小正周期是2π．

师：例1证明了y=sinx是周期函数，并且找到了一个周期T=2π．例2我们证明

命题，只要证明什么？

生：只要证明任何比2π小的正数都不是它的周期．

师：如何证？能否逐一证明比2π小的正数都不行呢？当然不行．因为比2π小的正数是无限的．那这样的命题应如何证？

生：反证法．假设存在 T∈(0，2π)使得 y=sinx对于任意的x∈R都成立．推出矛盾即可．

师：你能具体的给予证明吗？

生：假设T是y=sinx，x∈R的最小正周期，且0＜T＜2π，那么根据周期函数的定义，当x为任意值时都有

sin(x＋T)=sinx．

即

cosT=1．

这与 T∈(0，2π)时，cosT＜1矛盾．这个矛盾证明了 y=sinx，x∈R的最小正周期是2π．

师：请同学们在课堂练习本上证明y=cosx的最小正周期是2π．

师：通过上面的例题和练习我们得出这样的结论，正弦函数y=sinx(x∈R)和余弦函数y=cosx(x∈R)都是周期函数，2πk(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．

例5 求y=3cosx的周期．

师：以后求周期如果没有特殊要求，都求的是最小正周期

生：因为y=cosx的周期是2π，所以 y=3cosx的周期也是2π．

师：好．好在他能利用我们总结出的结论，也就是新知识归结到旧知识上去．你能再具体的证明吗？

生：可以从数和形两个角度来证明．

解(一)因为对一切 x∈R，3cos(x＋2π)=3cosx，所以 y=3cosx的周期是2π．

解(二)因为y=3cosx图象是把y=cosx图象上的每点的横坐标不变，纵坐标扩大3倍得到的，当自变量x(x∈R)增加到x＋2π且必须增加到x＋2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．

师：数和形是我们研究数学问题的两个方面，他都想到了，并且能完整的叙述清楚，若把此题推广，能得到什么结论？

生：y=Asinx，x=Acosx(A≠0，是常数)的周期都是2π，也就是说函数周期的变化与系数A无关．

例6 求y=sin2x的周期．

(请不同解法的三位同学在黑板上板演)

生甲：

解 因为y=sin(2x＋2π)=sin2x，对于任意x∈R都成立．所以y=sin2x的周期是2π．

生乙：

解 因为 y=sin(2x＋2π)=sin2(x＋π)=sin2x，所以 y=sin2x的周期是π．

生丁：

解 设2x=u，因为y=sinu的周期是2π，所以

y=sin(u＋2π)=sinu，即

sin(2x＋2π)=sin2(x＋π)=sin2x，所以 y=sin2x的周期是π．

师：我们一起来分析三个同学的解法．解法一是错误的，错误在对于周期函数定义中任意x都有f(x＋T)=f(x)的本质没弄清楚，要证明y=sin2x是周期函数，应证明对于任意x∈R，都有y=sin2x=sin2(x＋T)，而不是y=sin2x=sin(2x＋T)．解法(二)，(三)是正确的．区别在于解法(三)经过换元，把要研究的新问题y=sin2x的周期转化为已有的旧知识y=sinu的周期．这种转换的意识、换元的思想是很重要的．

师：其实这个问题也可以从图象的变换来考虑．我们先看如何由y=sinx的图象得到y=sin2x的图象．使y=sinx的图象上的每点的纵坐标不变，横坐标是该点横坐标的出现，所以 y=sin2x的周期是π．

师：通过这个例题我们看到，谁对函数的周期有影响？是x的系数．有怎样的影响？带着这个问题同学们做下面的题目．

y=2sin(u＋2π)=2sinu，又因为

所以

师：通过这个例题，进一步验证了我们的猜想，函数的周期的变化仅与自变量x的系数有关．我们把例7写成一般式．

＞0，x∈R)

sin(u＋2π)=sinu，即

即

师：这样就证明了我们的猜想，不但函数的周期仅与自变量的系数有关系，而且

(老师板书)

师：以后再求正弦函数或余弦函数的周期，可由上面的结论直接写出它的周期．

师：(总结)通过今天的课，同学们应明确以下几个问题．

(一)研究函数周期的意义是什么？

周期函数是反映现实世界中具有周期现象的数学模型．如果能找到函数的最小正周期T，那么只要在以T为长度的区间内，就可以研究函数的图象与性质，然后推断出函数在整个定义域的图象和性质．这给我们研究函数带来了方便．

(二)对于函数周期的定义应注意：

1．f(x＋T)=f(x)是反映周期函数本质属性的条件．对于任意常数T(T≠0)，如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f(x＋T)=f(x)不成立，我们就断言y=f(x)不是周期函数．对于某个确定的常数T≠0，如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f(x＋T)=f(x)不成立．我们能断言T不是函数y=f(x)的周期，但不能说明y=f(x)不是周期函数．

2．定义中的“每一个值”是关键词．

此函数对于任意确定的常数T≠0，尽管f(x＋T)=f(x)对函数定义域(－∞，＋∞)中几乎所有x都成立．但仅仅由于x的个别值x=0，x=－T时，等式不成立．因此函数f(x)不是周期函数．

(三)周期函数的周期与最小正周期的区别与联系．

1．周期函数的周期一定存在，但最小正周期不一定存在，最小正周期如果存在必定唯一．周期函数的周期有无数个．

如：f(x)=c(常数)，任意非零实数都是它的周期，但由于不存在不等于零的最小正实数，所以f(x)=c没有最小正周期．这个例子也同时说明不是只有三角函数才具有周期性．

2．周期函数的最小正周期一定是这个函数的周期，反之不然．

例如，2π是 y=sinx的最小正周期，也是函数的周期；4π是函数的周期，但不是最小正周期．

作业：课本P178第6题，P132第4题．

课堂教学设计说明

此教学方案是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主线” 的原则而设计的．教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题．

函数周期性概念的教学是本节课的重点．概念教学是中学数学教学的一项重要内容，不能因其易而轻视，也不能因其难而回避．概念教学应面向全体学生，但由于函数的周期的概念比较抽象，所以学生对它的认识不可能一下子就十分深刻．因此，进行概念教学时，除了逐字逐句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题，通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入．

第三篇：函数的对称性和周期性复习教案

函数的对称性和周期性

株洲家教：***

函数的对称性和周期性

一.明确复习目标

1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；

2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。3.掌握常见的函数对称问题

二、建构知识网络

一、两个函数的图象对称性

yf(x)与yf(x)关于x轴对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于y0对称。

2、yf(x)与yf(x)关于Y轴对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于x0对称。

1、yf(x)与yf(2ax)关于直线xa对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)，即它们关于xa对称。

4、yf(x)与y2af(x)关于直线ya对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)2a，即它们关于ya对称。

5、yf(x)与y2bf(2ax)关于点(a,b)对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)2b，即它们关于点(a,b)对称。

ab6、yf(ax)与y(xb)关于直线x对称。

23、二、单个函数的对称性 性质1：函数证明：在函数yf(x)满足f(ax)f(bx)时，函数yf(x)的图象关于直线xyf(x)上任取一点(x1,y1)，则y1f(x1)，点(x1,y1)关于直线

ab对称。2xab的对称点(abx1,y1)，当xabx1时 2f(abx1)f[a(bx1)]f[b(bx1)]f(x1)y1

yf(x)图象上。故点(abx1,y1)也在函数由于点(x1,y1)是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线x（注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。）

性质2：函数证明：在函数（ab对称。2abc，）对称。22yf(x)满足f(ax)f(bx)c时，函数yf(x)的图象关于点（yf(x)上任取一点(x1,y1)，则y1f(x1)，点(x1,y1)关于点

abc，）的对称点（abx1，c－y1），当xabx1时，22f(abx1)cf[b(bx1)]cf(x1)cy1 即点（abx1，c－y1）在函数yf(x)的图象上。

由于点(x1,y1)为函数函数yf(x)图象上的任意一点可知

abc，）对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。）22ba性质3：函数yf(ax)的图象与yf(bx)的图象关于直线x对称。

2yf(x)的图象关于点（证明：在函数y1）。yf(ax)上任取一点(x1,y1)，则y1f(ax1)，点(x1,y1)关于直线xba对称点（bax1，2f[b(bax1)]f[bbax1]f(ax1)y1 故点（bax1，y1）在函数yf(bx)上。由于

函数的对称性和周期性

株洲家教：*** 由点(x1,y1)是函数因此yf(ax)图象上任一点

yf(ax)与yf(bx)关于直线xba对称。

2三、周期性

1、一般地，对于函数么函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。说明：周期函数定义域必是无界的。

推广：若f(xa)f(xb)，则f(x)是周期函数，ba是它的一个周期

0,kZ)也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小2.若T是周期，则kT(k正周期。

说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数

3、对于非零常数证明：

f(x)C；

A，若函数yf(x)满足f(xA)f(x)，则函数yf(x)必有一个周期为2A。

f(x2A)f[x(xA)]f(xA)[f(x)]f(x)∴函数yf(x)的一个周期为2A。

14、对于非零常数A，函数yf(x)满足f(xA)，则函数yf(x)的一个周期为2A。

f(x)证明：f(x2A)f(xAA)1f(x)。

f(xA)1，则函数yf(x)的一个周期为2A。f(x)

5、对于非零常数A，函数yf(x)满足f(xA)证明：f(x2A)f(xAA)A，函数yf(x)满足

6、对于非零常数

1f(x)。

f(xA)A1f(x)A1f(x)f(x)或f(x)21f(x)21f(x)则函数

yf(x)的一个周期为2A。

证明：先看第一个关系式

3A)3AAf(x2A)f(x )3A221f(x)2A11f(xA)1f(xA)1f(xA)2f(xA)A1f(xA)1f(xA)121f(xA)f(x2A)f(xA)f(xA)f(x)f(x)f(x2A)

1f(x第二个式子与第一的证明方法相同

f(x)的定义域为N，且对任意正整数x

都有f(x)f(xa)f(xa)(a0)则函数的一个周期为6a 证明：f(x)f(xa)f(xa)

（1）

f(xa)f(x)f(x2a)

（2）两式相加得：f(xa)f(x2a)

f(x)f(x3a)f(x6a)

四、对称性和周期性之间的联系

7、已知函数性质1：函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)(ab)，求证：函数yf(x)是周期函数。

函数的对称性和周期性

株洲家教：***

f(ax)f(ax)得f(x)f(2ax)

f(bx)f(bx)得f(x)f(2bx)∴f(2ax)f(2bx)∴f(x)f(2b2ax)

∴函数yf(x)是周期函数，且2b2a是一个周期。

性质2：函数yf(x)满足f(ax)f(ax)c和f(bx)f(bx)c(ab)时，函数yf(x)是周期函证明：∵数。（函数yf(x)图象有两个对称中心（a，cc）、（b，）时，函数yf(x)是周期函数，且对称中心距离的两倍，22是函数的一个周期）

证明：由f(ax)f(ax)cf(x)f(2ax)c)f(bx)cf(x)f(2bx) c

f(bx

得f(2ax)f(2bx)

得f(x)f(2b2ax)

∴函数yf(x)是以2b2a为周期的函数。性质3：函数yf(x)有一个对称中心（a，c）和一个对称轴xb（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4(ba)。

f(ax)f(ax)2cf(x)f(2ax)2c

f(bx)f(bx)f(x)f(2bx)

f(4(ba)x)f(2b(4a2bx))

f(4a2bx)f(2a(2b2ax))2cf(2b2ax)

2cf(2b(2ax))2cf(2ax)

2c(2cf(x))2c2cf(x)f(x)

推论：若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线xa和点(b,0)(ab)对称，则f(x)是周期函数，4(ba)是证明：它的一个周期

证明：由已知f(x)f(2ax),f(x)f(2bx).f(x)f(2ax)f[2b(2ax)]f[2(ba)x] f[2a2(ba)x]f[2(2ab)x]f[2b2(2ab)x]f[4(ba)x],周期为4(ba).举例:ysinx等.性质4：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(xa)f(xa),则2a为函数f(x)的周期。（若f(x)满足f(xa)f(xa)则f(x)的图象以xa为图象的对称轴，应注意二者的区别)证明：f(xa)f(xa)f(x)f(x2a)

性质5：已知函数yfx对任意实数x,都有faxfxb，则yfx是以

2a为周期的函数 证明：f(ax)bf(x)

f(x2a)f((xa)a)bf(xa)b(bf(x))f(x)

五、典型例题

例1（2005·福建理）f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)0，则方程f(x)0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A．2

B．3 解：

C．4

D．5)f(x)是R上的奇函数，则f(0)0，由f(x3f(2)0f(1)0f(1)0

∴f(4)0 ∴x=1，2，3，4，5时，f(x)0

这是答案中的五个解。

但是

f(15)f(f(x得)f(3)0，f(2)0f(5)0

153)f(1 )f(1 5)f(15)0 又

f(15知5)f(153)f( 4而

0f(1知 x1.5,x4.5,f(x)0也成立，可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为7。例3 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为（）(A)－1

(B)0

(C)

(D)2

函数的对称性和周期性

株洲家教：*** 解：因为所以所以f(x)是定义在R上的奇函数

f(0)0，又f(x4)f(x2)f(x)，故函数，f(x)的周期为4 f(6)f(2)f(0)0，选B

f(x)满足f(x2)f(x),且x(0,1)时,f(x)2x,则f(log118)的值为。

2例4．已知奇函数解：f(x2)f(x)fxf(x2)f(x4)

89f(log118)f(log218)f(4log218)f(log2)f(log2)

9829log299f(log2)28

88例5 已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x(0,1)时，f(x)x1.求f(x)在(1,2)上的解析式。

解法1：

从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上

∵x(1,2), 则x(2,1)

∴2x(0,1), ∵ T2，是偶函数

∴ f(x)f(x)f(2x)2x13x

x(1,2)

解法2：

f(x)f(x2)

如图：x(0,1), f(x)x1.∵是偶函数 ∴x(1,0)时f(x)f(x)x1

又周期为2，x(1,2)时x2(1,0)∴f(x)f(x2)(x2)13x

例6 f(x)的定义域是R，且f(x2)[1f(x)]1f(x),若f(0)2008（从图象入手也可解决，且较直观）求 f(2008)的值。

f(x4)11f(x2)1f(x4)11f(x8)解：f(x)f(x2)1f(x4)11f(x4)f(x4)1周期为8，f(2008)f(0)2008

1例7 函数fx对于任意实数x满足条件fx2，若f15,则ff5

fx_______________。解：由fx21fx得

fx41f(x)fx2，所以

f(5)f(1)5，则

11

f(12)5例8 若函数f(x)在R上是奇函数，且在1，0上是增函数，且f(x2)f(x).①求f(x)的周期；

②证明f(x)的图象关于点(2k,0)中心对称;关于直线x2k1轴对称,(kZ);③讨论f(x)在(1,2)上的单调性； ff5f(5)f(1)

解: ①由已知f(x)f(x2)f(x22)f(x4)，故周期T4.②设P(x,y)是图象上任意一点,则yf(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4kx,y).P关于直线x2k1对称的点为P2(4k2x,y)

函数的对称性和周期性

株洲家教：***

f(4kx)f(x)f(x)y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称.又f(x)是奇函数,f(x2)f(x)f(x)∴f(4k2x)f(2x)f(x)y

x2k1对称.∴点P2在图象上,图象关于直线∵x1x22，则2x2x11，02x22x11

∵f(x)在(1,0)上递增, ∴f(2x1)f(2x2)……(*)又f(x2)f(x)f(x)

∴f(2x1)f(x1),f(2x2)f(x2).所以：f(x2)f(x1)，f(x)在(1,2)上是减函数.例9 已知函数yf(x)是定义在R上的周期函数，周期T5，函数yf(x)(1x1)是奇函数.又知yf(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x2时函数取得最小值5.（1）证明：f(1)f(4)0；

（2）求yf(x),x[1,4]的解析式；（3）求yf(x)在[4,9]上的解析式.解：∵f(x)是以5为周期的周期函数，且在[1,1]上是奇函数，∴f(1)f(1)f(51)f(4)，∴f(1)f(4)0.2②当x[1,4]时，由题意可设f(x)a(x2)5(a0)，22由f(1)f(4)0得a(12)5a(42)50，∴a2，f(x)2(x2)25(1x4).③∵yf(x)(1x1)是奇函数，∴f(0)0，又知yf(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x)kx(0x1)∴③设1f(1)2(12)253，∴k3，∴当0x1时，f(x)3x，从而1x0时，f(x)f(x)3x，故1x1时，f(x)3x.∴当4x6时，有1x51，∴f(x)f(x5)3(x5)3x15.当6x9时，1x54，22∴f(x)f(x5)2[(x5)2]52(x7)5

3x15,4x6∴f(x).22(x7)5,6x9而

第四篇：高考数学函数的周期性

函数的周期性与对称性、函数的图象变换、函数应用问题

一.教学内容：

函数的周期性与对称性、函数的图象变换、函数应用问题

二.教学要求：

1.理解周期函数的定义，会求简单周期函数的周期。

2.理解函数图象关于点对称或关于直线对称的定义，会解决一些较简单的对称问题。

3.熟悉常见的抽象函数及其性质。

4.会识图，即通过给定的函数图象分析函数的有关性质（如：范围，对称性，周期性，有界性等）。

5.掌握图象变换的基本方法，会进行较基本的图象变换。

6.熟悉解应用问题的步骤，能建立较简单的数学模型。

三.知识串讲：

1.周期函数：

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的任意一个x，总有f(x+T)=f(x)成立，则称f(x)是周期函数。T叫做这个函数的一个周期，其中最小正数T叫做最小正周期。

（定义的实质，是存在一个常数T，（T≠0），使f(x+T)=f(x)恒成立，即自变量每增加一个T后，函数值就会重复出现一次）

关于函数的周期性，有如下结论：

（1）若T为函数f(x)的一个周期，则kT(kZ且k0)也是f(x)的周期，即

f(xkT)f(x)。

（2）若f(x)是一个以T为周期的函数，则f(axb)(a0)是一个以T为周a期的函数。

证明：（证明的方向f[a(xT)b]f(axb)）a

T)b]f[(axb)T]a

由T是f(x)的周期设uaxbf(uT)f(u)f(axb)

T是函数f(axb)的周期a

f[a(x

如：ysinx的周期为T2，则ysin(x)(0)的周期为2

（3）若f(x)满足f(xa)f(xb)恒成立，a,b为常数且ab，则Tab

是f(x)的一个周期。

这是因为f(xab)f[(xb)a]f[(xb)b]f(x)

Tab

（4）若f(x)满足f(xa)f(xb)，则f(x)以T2(ab)为一个周期。

证明：f[x2(ab)]f[(x2ba)a]

f[(x2ba)b]f[(xb)a]

[f(xbb)]f(x)

T2(ab)

推论：f(xa)f(x)

则f(x)以T2a为一个周期

（只要令上式中的b=0即可）

2.对称问题：

（1）若函数f(x)满足f(ax)f(bx)恒成立，（a,b为常数）则f(x)的图ab对称。2

axbxab这是因为：，又f(ax)f(bx)，即函数图象上纵坐2

2象关于直线x标相等的两个点（ax，f(ax)），（bx，f(bx)）连线的中点都在直线xabab上，所以f(x)的图象关于直线x对称。22 y P P’ 0 a-x b+x x ab 2

xa对称

当ab时，即f(ax)f(ax)，则f(x)图象关于直线

若f(2ax)f(x)，则f(x)图象关于直线xa对称

（2）若函数f(x)满足f(ax)f(ax)恒成立，则f(x)的图象关于点（a,0）对称。

y a-x 0（a,0）x

3.函数图象变换：

（1）平移变换：

右平移a（a>0）f（x－a）图象 f（x）图象 左平移a（a>0）f（x＋a）图象 上平移b（fx）＋b图象 f（x）图象 下平移b（fx）－b图象

（2）对称变换：

f(x)图象关于y轴对称f(x)图象关于x轴对称f(x)图象与f(x)图象关于原点对称f(2ax)图象关于xa对称1f(x)图象关于yx对称

（3）伸缩变换：设A0，0

横坐标缩短(1)f(x)图象f(x)图象1或伸长(01)到原来的倍

纵坐标伸长(A1)f(x)图象Af(x)图象或缩短（0A1）到原来的A倍

（4）翻折变换：

将x轴下方部分f(x)图象|f(x)|图象作关于x轴对称

保留图象的x0部分，去掉f(x)图象f(|x|)图象x0部分，再作关于y轴对称

4.函数的应用问题：

解答数学应用问题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，明确问题的实际背景，然后进行概括，归纳为相应的数学问题；二是合理选取参变数，设定变元后，寻找等量（或不等量）关系，建立相应的数学模型，求解数学模型，使问题获解。即

读题建模求解反馈（数学语言）（数学计算）（检验作答）

（文字语言）

【典型例题】

2（1）函数f(x)xbxc对任意实数x，均有f(1x)f(1x)，比较

例1.f(0)，f(1)，f(3)的大小；

2（2）若函数yf(x)的图象关于x1对称，且x1时f(x)x1，则当x

1时，求f(x)的表达式。

解：（1）由f(1x)f(1x)，可知函数f(x)的图象关于x1对称，又函数图

象是开口向上的抛物线，所以f(3)f(0)f(1)。

（2）当x1时，有2x1

所以f(2x)(2x)1x4x5 22

又由于yf(x)图象关于x1对称

f(2x)f(x)

所以当x1时，f(x)x4x5

注：（2）题也可以根据图象的对称性，确定顶点坐标，直接写出解析式。

例2.偶函数f(x)的定义域为R，若f(x1)f(x1)对任意实数都成立，又当0

2x1时，f(x)2x1。

（1）求证f(x)是周期函数，并确定周期。

（2）求当1x2时，求f(x)的解析式。

解：（1）令tx1，则x1t2

由xR时f(x1)f(x1)恒成立

得tR时f(t)f(t2)恒成立

因此f(x)是周期函数，且2k(kZ且k0)为其周期

（2）任取1x2

则1x20x0x21

0x1时，f(x)21

x2f(x2)21

又f(x)的周期为2，且为偶函数

f(x2)f(x)f(x)

x21x2时，f(x)21

点评：本题的解抓住两个关键条件，一个是f(x)为偶函数，另一个是f(x)为周期函数。一般求f(x)在哪个区间上的解析式，就令x属于该区间，再通过平移（周期性），对称（奇偶性）变换到已知区间内，进而代入，求出解析式，再利用周期性，奇偶性化简为f(x)。

例3.已知函数y=f(x)的图象关于直线x=a，x=b（a≠b）都对称，且定义域为实数集R，证明y=f(x)是周期函数，且T=2(b—a)为一个周期。

证明：由题意有f(ax)f(ax)x-2 x-1 0 1 2 x-x+2 f(bx)f(bx)

则f[x2(ba)]f[(xb2a)b]f[b(xb2a)]f[x2a]f[(xa)a]

f[a(xa)]f(x)

f(x)为周期函数，且T2(ba)为一个周期

点评：（1）若题目中没有指出T=2(b—a)是f(x)的一个周期，可以作草图分析，猜测出T是该函数周期，再去证明。如图。

y 0 x a b ba 2

（2）由本题可知f(x)，x∈R，若f(x)的图象有两条对称轴，则f(x)为周期函数，周期为两条对称轴距离的2倍。

思考：若f(x)是偶函数且有一条对称轴x=a，那么f(x)是周期函数吗？若是，周期为何？

例4.（1）定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)是________（奇、偶）函数；f(0)=____________。

（2）定义在R上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)是___________（奇、偶）函数；f(1)=__________。

解析：（1）令xy0

f(00)f(0)f(0)

令yx

f(x)f(x)

（2）令xyf(11)f(1)f(1)f(0)0

f(0)f(x)f(x)0

f(x)为奇函数

f(1)0

f(xx)f[(x)(x)]f(x)f(x)2f(x)

又f(xx)f(x)f(x)2f(x)

f(x)f(x)f(x)为偶函数

2x1的图象，并根据图象回答函数的单调区间，值域。x1

例5.作出函数y

解：x1

函数定义域为(，1)(1，)

由y2x12(x1)112x1x1x1

图象为中心O'(1，2)的双曲线

直线x1，y2是双曲线的两条渐近线

区间(，1)，(1，)分别为函数的增区间；值域为{y|yR，且y2} y O’ 2-1 0 x

例6.（1）函数ylog4(12xx)的图象经过怎样的变换可得到ylog2|x|的

2图象？

（2）将函数ylog1x的图象沿x轴向右平移1个单位，得图象C。图象C'与2C关于原点对称，图象C''与C'关于直线yx对称，求C''对应的解析式。

左平移1个单位22（1）ylog(12xx)log(x1)log|x1| 4

42解：|log|2x1)12x|

ylog|(2将函数ylog(12xx)的图象向左平移1个单位，得到函数ylog2|x| 4的图象

沿x轴向右平移1个单位（2）ylog1x图象

关于原点对称C：ylog1(x1)图象

关于直线yx对称C'：ylog(x1)图象1

1xxC''：xlog(y1)，即y()121122

32设f(x)axbxcxd的图象如图，则b属于（例7.）

A.(，0)B.(0，1)C.(1，2)D.[2，)

y 0 1 2 x

f(0)0d0由图象得f(1)0abc0f(2)08a4b2c0

解析一：

b2解得a，cb，d03b2bf(x)x3bx2bxx(x1)(x2)333

图象可知x0时，f(x)0

又x10，x20

故选A

解析二：由图象知x=0，1，2是方程f(x)=0的三个实根，设f(x)=ax(x—1)(x—2)

当x2时，f(x)0

a0b03b0f(x)ax33ax22ax

32又f(x)axbxcxd

b3a0 选A

21关于函数f(x)sin2x()|x|，有下面四个结论：32

例8.（1）f(x)是奇函数；

（2）当x>2003时，f(x)>1/2恒成立；

（3）f(x)的最大值是3/2；

（4）f(x)的最小值是－1/2。

其中正确结论的是___________。

212（1）f(x)sinx()|x|32

解析：

显然f(x)f(x)（1）错（是偶函数）

2（2）当x2003时，()|x|03

而sinx[1，1]

2当sin2x0时，f(x)（3）如果f(x)12（2）错

32，则sin2x()|x|123

22sinx1()|x|，显然“”不成立3

（3）错

2（4）当x0时，sin2x0最小，且()|x|13

11f(x)0122

1最小值为（4）对2

综上，只有（4）正确

例9.某工厂有一段旧墙长14m，现利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126m2

a的厂房，工程条件是（1）建1m新墙的费用为a元；（2）修1m旧墙费用是4元；（3）拆去1ma旧墙，用所得的材料建1m新墙的费用为2元。经讨论有两种方案：（1）利用旧墙的一段xm（x<14）为矩形厂房一面的边长；（2）矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14，问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？（1）（2）两种方案哪个更好？

分析：利用旧墙为一面矩形边长为xm，则矩形的另一面边长为126m。x

解：（1）利用旧墙的一段xm（x14）为矩形一面边长，则修旧墙的费用为 aa元，将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14x)元，其余新墙的费用422126为(2x14)a元，故总费用为x x14x2126x36yaa(2x14)a7a(1)（0x14）42x4x

x

y7a[2当且仅当x361]35a4x

x36，即x12m时，ymin35a4x

x 126126 xx

a7（2）若利用旧墙的一面矩形边长x14，则修旧墙的费用为14a元，42

2126建新墙的费用为(2x14)a元，故总费用为x

721267126ya(2x14)aa2a(x7)（x14）2x2x

x 14

设14x1x2，则(x1xx126126126)(x2)(x1x2)12x1x2x1x2

14x1x2

x1x20，x1x2126

126在[14，)上为增函数x

7126x14时，ymina2a(147)355.a214

yx

综上，采用方案（1）利用12m旧墙为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a元。

【模拟试题】

一.选择题：

1.二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，又f(x)在[0，2]上是增函数，且f(a)f(0)，则实数a的取值范围是（）

A.a0

B.a0 D.a0或a4

C.0a4

2.设f(x)是R上的奇函数，当x(0，)时为增函数，且f(1)=0，则不等式f(x1)0的解集为（）

A.(，1)(1，)

C.(，1)（0，1）

B.(，0)(1，2)

D.(1，0)(0，1)

x

3.将函数y=f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位，得到y=2的图象，则（）

A.f(x)2x22

xB.f(x)2x22

x2f(x)2

2C.x2f(x)22 D.4.已知函数f(x)的图象与g(x)21的图象关于点（0，1）对称，则f(x)=（）

A.23 x

1()x32B.1()x1D.2

C.21 x

1x()（x0）f(x)2x2（x0）

5.已知函数，给出代号为a,b,c的三个图象，再给出序号为1，2，3的三个函数，那么图象与函数能建立对应关系的是（用序号和代数表示）（）y y y 1 1 1 0 x 0 x-1 0 x a b c 1.y=f(|x|)2.y=|f(x)| 3.y=f(x+1)

A.a2

B.a

1C.a2

D.a3

b1b2c3 c3

b3b2c1 c1

6.已知某林场森林积蓄量每年平均比上一年增长10.4%，经过x年可增长到原来的y倍，则函数yf(x)图象大致为（）

y y y y 1 1 0 x 0 1 x 0 1 x 0 x A B C D

二.填空题：

7.设f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x3)f(x3)，则f(3)f(6)=____。

8.设定义在R上的函数y=f(x)，在（0，2）上是减函数，且yf(x2)为偶函数，则51f(3)，f()，f()22的大小顺序为____________。

9.函数yf(|x3|)的图象关于_____________对称。

10.建一个容积为8000m，深6m的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a元/m2，池底造价为2a元/m2，把总造价y元表示为底的一边长xm的函数，其解析式为___________，定义域为3___________，底边长为________m时，总造价最低是___________元。

三.解答题：

11.如图，A、B、C、D为四个村庄，恰好座落在边长为2km的正方形顶点上，现修公路网，它由一条中心路和4条支路组成，要求四条支路长度相等。

（1）若道路网的总长不超过5.5km，试求中心路长的取值范围；

（2）问中心路长为何值时，道路网的总长度最短。

A B 中 心 路 C D

【试题答案】

1.C 2.B 3.C

4.A

5.A

6.D

7.0（f(x)是R上的奇函数

令x3

令x0

f(3)0）

f(0)0

f(6)f(0)0 f(3)f(3)f(3)

15f()f(3)f()22

8.9.x3

10.y12a(x80008000208000)a，x(0，)，x3，16030aa6x333

11.设中心路长为2x km

22（1）则2x41(1x)55.48x40x70

17x412

222

（2）y2x41(1x)(平方)12x(4y32)x32y0

x(0，)又y0

0y323317[，]„„3412 ymin323，此时x1

第五篇：高中数学函数对称性和周期性小结

高中数学函数对称性和周期性小结

一、函数对称性：

1.2.3.4.5.6.7.8.f(a+x)= f(a-x)==> f(x)关于x=a对称

f(a+x)= f(b-x)==> f(x)关于 x=(a+b)/2 对称 f(a+x)=-f(a-x)==> f(x)关于点（a，0）对称 f(a+x)=-f(a-x)+ 2b ==> f(x)关于点（a，b）对称

f(a+x)=-f(b-x)+ c ==> f(x)关于点 [（a+b）/2，c/2] 对称 y = f(x)与 y = f(-x)关于 x=0 对称 y = f(x)与 y =-f(x)关于 y=0 对称 y =f(x)与 y=-f(-x)关于点(0,0)对称

例1：证明函数 y = f(a+x)与 y = f(b-x)关于 x=(b-a)/2 对称。

【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a+x)上，令关于 x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a+m)= f[ b –(2t – m)] ∴ b – 2t =a，==> t =(b-a)/2，即证得对称轴为 x=(b-a)/2.例2：证明函数 y = f(ax)上，令关于 x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a-m)= f[(2t – m)– b] ∴ 2ta)= 1 – 2/[f(x)+1]，等式右边通分得f(xa)= [1 + f(x)]/[f(x)– 1]，即

/[f(xf(x)] ∴

/[f(x1/f(x)= f(x2a)==> f(x)= f(x + 4a)∴

函数最小正周期 T=|4a|