函数习题教案

第一篇：函数习题教案

习题讲解课教案

一、教学目标

1、情感目标：明确问题所在，增强进步的信心；

2、知识目标：回顾函数相关知识，掌握类似题型的解题方法；

3、能力目标：提高分析题干信息、进行逻辑推理的能力，培养类似题型的解题思路。

二、教学重难点

重点：直线与x轴、y轴所围成的三角形面积取值范围的计算方法； 难点：“一带一路”关系的成立条件。

三、教学方法

启发诱导

四、教学过程

1、试题回放

若抛物线L：y=ax+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”．

（1）若直线y=mx+1与抛物线y=x2﹣2x+n具有“一带一路”关系，求m，n的值；（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数y=的图象上，它的“带线”l的解析式为y=2x﹣4，求此“路线”L的解析式；

（3）当常数k满足≤k≤2时，求抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围．

2、题干分析

“一带一路”关系成立条件：

1)抛物线L为y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0），即a≠0，b≠0，c≠0 22)抛物线L与直线1都经过y轴的一点P 3)抛物线L的顶点Q在直线1上

当三个条件成立时，则1是抛物线L的“带线”，L是直线1的“路线”。

3、解题步骤

（1）若直线y=mx+1与抛物线y=x2﹣2x+n具有“一带一路”关系，求m，n的值； 解析：

1)找出直线y=mx+1与y轴的交点坐标，此坐标即点P坐标，抛物线L经过点P，因此，将点P坐标代入抛物线解析式中即可求出n的值；

2)再根据抛物线的解析式找出顶点Q坐标，直线1经过点Q，因此，将点Q坐标代入直线解析式中即可得出m的值。解答：

解：令直线y=mx+1中x=0，则y=1，即直线与y轴的交点为点P（0，1）； 将P（0，1）代入抛物线y=x2﹣2x+n中，得n=1．

∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴抛物线的顶点坐标为Q（1，0）． 将点Q（1，0）代入到直线y=mx+1中，得：0=m+1，解得：m=﹣1． ∴m的值为﹣1，n的值为1．

（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数y=的图象上，它的“带线”l的解析式为y=2x﹣4，求此“路线”L的解析式； 解析：

1)L的顶点Q在反比例函数y=的图象上，且Q在直线1：y=2x-4上，所以点Q是反比例函数和直线1的交点；

2)根据反比例函数和直线1的解析式，求出两者的交点坐标，即抛物线的顶点坐标，由此设出抛物线的解析式；

3)根据直线1的解析式找出直线1与x轴的交点坐标，即点P坐标，抛物线经过点P，因此，将点P坐标代入抛物线解析式中即可得出结论。解答：

解：将y=2x﹣4代入到y=中有，2x﹣4=，即2x2﹣4x﹣6=0 2x2﹣4x﹣6=0(x+1)(x-3)=0 解得：x1=﹣1，x2=3．

将其代入y=2x﹣4，得出y1=-6，y2=2 ∴该“路线”L的顶点Q坐标为（﹣1，﹣6）或（3，2）． 令“带线”l：y=2x﹣4中x=0，则y=﹣4，∴“路线”L的图象过点P（0，﹣4）．

设该“路线”L的解析式为y=m（x+1）2﹣6或y=n（x﹣3）2+2，由题意得：﹣4=m（0+1）2﹣6或﹣4=n（0﹣3）2+2，解得：m=2，n=﹣．

∴此“路线”L的解析式为y=2（x+1）2﹣6或y=﹣（x﹣3）2+2．

（3）当常数k满足≤k≤2时，求抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“带线”1与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围． 解析：

1)由抛物线解析式找出抛物线与y轴的交点坐标P； 2)再根据抛物线的解析式找出其顶点坐标Q；

3)由两点坐标结合待定系数法即可得出与该抛物线对应的“带线”1的解析式； 4)找出直线1与x、y轴的交点坐标，结合三角形的面积找出面积S关于k的关系上； 5)由二次函数的性质即可得出三角形面积S的取值范围。解答：

令抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k中x=0，则y=k，即该抛物线与y轴的交点P为（0，k）． 抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的顶点Q坐标为（﹣，），设“带线”l的解析式为y=px+k，∵点（﹣，）在y=px+k上，∴=﹣p+k，解得：p=．

∴“带线”l的解析式为y=x+k．

令∴“带线”l：y=x+k中y=0，则0=x+k，解得：x=﹣．

即“带线”l与x轴的交点为（﹣，0），与y轴的交点为（0，k）．

∴“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积S=|﹣∵≤k≤2，∴≤≤2，|×|k|．

∴S===

当=1时，S有最大值，最大值为； 当=2时，S有最小值，最小值为．

故抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“带线”1与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围为≤S≤．

4、试题总结

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据“一带一路”关系找出两函数的交点坐标；（2）根据直线与反比例函数的交点设出抛物线的解析式；（3）找出“带线”l与x轴、y轴的交点坐标。

本题属于中档题，前两小问难度不大；第三问数据稍显繁琐，解决该问时，借用三角形的面积公式找出面积S与k之间的关系式，再利用二次函数的性质找出S的取值范围，在简化公式和求值时要特别细心。

五、教学反思

第二篇：二次函数习题及答案

基础达标验收卷

一、选择题:

1.(2003•大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是（）.A.直线x=-3

B.直线x=3

C.直线x=-2

D.直线x=2

2.(2004•重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b,)在（）.A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;

D.第四象限

3.(2004•天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有（）.A.b2-4ac>0

B.b2-4ac=0

C.b2-4ac<0

D.b2-4ac≤0

4.(2003•杭州)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有（）.A.b=3,c=7

B.b=-9,c=-15 C.b=3,c=3

D.b=-9,c=21 5.(2004•河北)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（）.6.(2004•昆明)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,•图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是（）.A.4+m

B.m

C.2m-8

D.8-2m

二、填空题

1.(2004•河北)若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则 y=_______.2.(2003•新疆)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.3.(2003•天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.4.(2004•武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_________.5.(2003•黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____.6.(2002•北京东城)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:

甲:对称轴是直线x=4;

乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;

丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:

三、解答题

1.(2003•安徽)已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2).(1)求这个函数的解析式;

(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;(3)当x>0时,求使y≥2的x取值范围.2.(2004•济南)已知抛物线y=-x2+(6-)x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对称.(1)求m的值;

(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.3.(2004•南昌)在平面直角坐标系中,给定以下五点A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2,),E(0,-6),从这五点中选取三点,使经过这三点的抛物线满足以平行于y•轴的直线为对称轴.我们约定:把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB(如图所示).(1)问符号条件的抛物线还有哪几条?不求解析式,•请用约定的方法一一表示出来;

(2)在(1)中是否存在这样的一条抛物线,它与余下的两点所确定的直线不相交?如果存在,试求出解析式及直线的解析式;如果不存在,请说明理由.能力提高练习

一、学科内综合题

1.(2003•新疆)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,•与y轴交于A点.(1)根据图象确定a、b、c的符号,并说明理由;(2)如果点A的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,•求这个二次函数的解析式.二、实际应用题

2.(2004•河南)•某市近年来经济发展速度很快,•根据统计:•该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币,1995年为10.4亿元人民币,2000年为12.9亿元人民币.经论证,上述数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测2005•年该市国内生产总值将达到多少?

3.(2003•辽宁)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,•公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)•刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).根据图象(图)提供的信息,解答下列问题:

(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?

4.(2003•吉林)如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB•的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,•忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,•要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?

三、开放探索题 5.(2003•济南)•某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时,发现了两个重要的结论.一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0),当实数a变化时,它的顶点都在某条直线上;二是发现当实数a变化时,若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少 ,纵坐标增加 ,得到A点的坐标;若把顶点的横坐标增加 ,纵坐标增加 ,得到B点的坐标,则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上.(1)请你协助探求出当实数a变化时,抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式;

(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?并说明理由;

(3)在他们第二个发现的启发下,运用“一般——特殊——一般”的思想,•你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立,请说明理由.6.(2004•重庆)如图,在直角坐标系中,正方形ABCD的边长为a,O为原点,•点B在x轴的负半轴上,点D在y轴的正半轴上.直线OE的解析式为y=2x,直线CF过x轴上一点C(-a,0)且与OE平行.现正方形以每秒 的速度匀速沿x轴正方向平行移动,•设运动时间为t秒,正方形被夹在直线OE和CF间的部分的面积为S.(1)当0≤t<4时,写出S与t的函数关系;(2)当4≤t≤5时,写出S与t的函数关系,在这个范围内S有无最大值?若有,•请求出最大值;若没有,请说明理由.答案: 基础达标验收卷

一、1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C

二、1.(x-1)2+2

2.图象都是抛物线或开口向上或都具有最低点(最小值)3.y=-x2+2x+

4.如y=-x2+1 5.1

6.y= x2-x+3或y=-x2+ x-3或y=-x2-x+1或y=-x2+ x-1

三、1.解:(1)∵函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2)，∴9+3b-1=2,解得b=-2.∴函数解析式为y=x2-2x-1.(2)y=x2-2x-1=(x-1)2-2.图象略.图象的顶点坐标为(1,-2).(3)当x=3时,y=2,根据图象知,当x≥3时,y≥2.∴当x>0时,使y≥2的x的取值范围是x≥3.2.(1)设A(x1,0)B(x2,0).∵A、B两点关于y轴对称.∴

∴

解得m=6.(2)求得y=-x2+3.顶点坐标是(0,3)

(3)方程-x2+(6-)x+m-3=0的两根互为相反数(或两根之和为零等).3.解:(1)符合条件的抛物线还有5条,分别如下:

①抛物线AEC;②抛物线CBE;③抛物线DEB;④抛物线DEC;⑤抛物线DBC.(2)在(1)中存在抛物线DBC,它与直线AE不相交.设抛物线DBC的解析式为y=ax2+bx+c.将D(-2,),B(1,0),C(4,0)三点坐标分别代入,得

解这个方程组,得a= ,b=-,c=1.∴抛物线DBC的解析式为y= x2-x+1.【另法:设抛物线为y=a(x-1)(x-4),代入D(-2,),得a= 也可.】

又将直线AE的解析式为y=mx+n.将A(-2,0),E(0,-6)两点坐标分别代入,得

解这个方程组,得m=-3,n=-6.∴直线AE的解析式为y=-3x-6.能力提高练习

一、1.解:(1)∵抛物线开口向上,∴a>0.又∵对称轴在y轴的左侧, ∴-<0,∴b>0.又∵抛物线交于y轴的负半轴.∴c<0.(2)如图,连结AB、AC.∵在Rt△AOB中,∠ABO=45°, ∴∠OAB=45°.∴OB=OA.∴B(-3,0).又∵在Rt△ACO中,∠ACO=60°，∴OC=OA•cot60°= ,∴C(,0).设二次函数的解析式为

y=ax2+bx+c(a≠0).由题意

∴所求二次函数的解析式为y= x2+(-1)x-3.2.依题意,可以把三组数据看成三个点:

A(0,8.6),B(5,10.4),C(10,12.9)

设y=ax2+bx+c.把A、B、C三点坐标代入上式,得

解得a=0.014,b=0.29,c=8.6.即所求二次函数为

y=0.014x2+0.29x+8.6.令x=15,代入二次函数,得y=16.1.所以,2005年该市国内生产总值将达到16.1亿元人民币.3.解:(1)设s与t的函数关系式为s=at2+bt+c 由题意得

或

解得

∴s= t2-2t.(2)把s=30代入s= t2-2t, 得30= t2-2t.解得t1=0,t2=-6(舍).答:截止到10月末公司累积利润可达到30万元.(3)把t=7代入,得s= ×72-2×7= =10.5;

把t=8代入,得s= ×82-2×8=16.16-10.5=5.5.答:第8个月公司获利润5.5万元.4.解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2,桥拱最高点O到水面CD的距离为hm，则D(5,-h),B(10,-h-3).∴

解得

抛物线的解析式为y=-x2.(2)水位由CD处涨到点O的时间为:1÷0.25=4(小时).货车按原来速度行驶的路程为:40×1+40×4=200<280，∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车速度提高到xkm/h.当4x+40×1=280时,x=60.∴要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过60km/h.5.略

6.解:(1)当0≤t<4时，如图1,由图可知OM= t,设经过t秒后,正方形移动到ABMN，∵当t=4时,BB1=OM= ×4= a，∴点B1在C点左侧.∴夹在两平行线间的部分是多边形COQNG，其面积为:

平行四边形COPG-△NPQ的面积.∵CO= a,OD=a，∴四边形COPQ面积= a2.又∵点P的纵坐标为a,代入y=2x得P(,a),∴DP=.∴NP=t)2-(t-a)2 = a2-[(5-t)2+(t-4)2] = a2-(2t2-18t+41)= a2-[2•(t-)2+ ].∴当t= 时,S有最大值,S最大= a-• = a2.

第三篇：函数极限习题

习题1—2

1．确定下列函数的定义域：

（1）y；

x9（4）y2．求函数

1sinyx0

(x0)(x0)

（2）ylogaarcsinx；

（3）y

； sinx

1x1

（5）yarccosloga(2x3)；loga(4x2)

x22的定义域和值域。

3．下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？

（1）f(x)x,g(x)x2；

（2）f(x)cosx,g(x)12sin2（4）f(x)

x,g(x)x0。x



2；

x21

（3）f(x),g(x)x1；

x1

4．设f(x)sinx证明：

f(xx)f(x)2sin

x

x

cosx 22

5．设f(x)ax2bx5且f(x1)f(x)8x3，试确定a,b的值。

6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？

1x22223

（1）yx(1x)（2）y3xx；（3）y；

1xaxax

（4）yx(x1)(x1)；（5）ysinxcosx1（6）y。

7．设f(x)为定义在(,)上的任意函数，证明：

（1）F1(x)f(x)f(x)偶函数；（2）F2(x)f(x)f(x)为奇函数。

8．证明：定义在(,)上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。9．设f(x)定义在(L,L)上的奇函数，若f(x)在(0,L)上单增，证明：f(x)在(L,0)上也单增。

10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1）ycos(x2)（2）ycos4x；（3）y1sinx；（4）yxcosx；（5）ysin2x（6）ysin3xtanx。11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。

（1）yx3,xsint

（2）yau,ux2；（3）ylogau,u3x22；

（6）ylogau,ux22。

（4）y,usinx2（5）y,ux3 12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？（1）y(1x)21（3）ysin2(3x1)

（2）y3(x1)；（4）ylogacos2x。

2x

（3）yx。

21

13．求下列函数的反函数：（1）y2sinx；

（2）y1loga(x2)；

14．已知函数f(x,y)x2y2xytan

x，试求f(tx,ty)。y

15．已知函数f(u,v,w)uwwuv。试求f(xy,xy,xy)。16．求下列各函数的定义域：

111（1）u； xyz（2）uR2x2y2z2

xyzr

(Rr0)。

习题1—3

1．利用数列极限定义证明：如果limunA，则lim|un||A|，并举例说明反之不然。

n

n

习题1—4

x2(x1)1．设f(x)

x1(x1)

（1）作函数yf(x)的图形；（2）根据图形求极限limf(x)与limf(x)；

x1

x1

（3）当x1时，f(x)有极限吗？ 2．求下列函数极限：

xx

（1）lim；（2）lim2；

x0|x|x0x|x|3．下列极限是否存在？为什么？（1）limsinx；

x

（3）lim

x0

x。

x2|x|

（2）limarctanx；

x

（3）limcos；

x0x

（4）lim(1ex)；

x

（5）lim

|x1|；

x1x1

（6）limex。

x

习题1—5

求下列极限

1112n1

1．lim； 2.； lim22x12xn223n(n1)nnx22x1

4．lim；

x1x21

x25

3.lim； x2x3

(xh)2x2

5.lim；h0h

6.lim

x1x1

x1。

习题1—6

1．求下列极限：

sinax

（1）lim(b0)；

x0sinbx2xtanx

（4）lim；

x0sinx

（2）lim

tanxsinx；

x0x3

（3）lim

1cosx；

x0xsinx

2； x

x

arcsinx

（5）lim；

x0x



（6）lim1

x

1

（7）lim1；

tt

x

t

1

（8）lim1

xx

x3；

x21

（9）lim(1tanx)cotx；

x0

xa

（10）lim；

xxa

x22

（11）lim

xx21

1

；（12）lim1。

xn

n

2．利用极限存在准则证明：

111

（1）limn2221；

xnn2nn（2）数列,22,222，„的极限存在；（3）lim

x21

1。x1

x

习题1—7

1．当n无限增加时，下列整标函数哪些是无穷小？

(1)n12n11cosn

（1）2；（2）；（3）；（4）。

n1nnn

2．已知函数

xsinx,2，ln(1x),ex,ex

xx

（1）当x0时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？（2）当x时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？

（3）“是无穷小”，这种说法确切吗？

x

3．函数yxcosx在(,)是是否有界？又当x地，这个函数是否为无穷大？为什么？

4．求下列极限

n2n1aa2an!000n

（1）lim2；（2）lim；（3）lim ；(|a|1,|b|1)

xn2x1bb2bnxn1

4x21(2)n2nx3

（4）lim；（5）lim；（6）lim2；

16x5x1x(2)3x1x1x

5．求下列极限：

sinx

（1）limex；

xx

（2）limxcos；

x0x

（3）lim



n

n

sinn；

exarctanx

（4）lim；（5）lim；（6）limexarctanx。

xxarctanxxx

6．下列各题的做法是否正确？为什么？

（1）lim

x9x9



x9x9lim(x9)

x9

lim(x29)

1111

2)limlim20

x1x1x1x1x1x1x1

cosx1

（3）limlimcosxlim0。

xxxxx

7．证明：当x0时，arcsinx~x，arctanx~x。8．利用等价无穷小的性质，求下极限：

（2）lim（sin2xsin2x

；（2）lim；

x0sin3xx0arctanx

sinxnx

（3）lim（为正整数）；（4）。limm,n

x0(sinx)mx0cosx

（1）lim

9．当x1时，x33x2是x1是多少阶无穷小？

x11

10．当x时，4是是多少阶无穷小？

x1x111

11．当x时，sin是是多少阶无穷小？

xxx

习题1—8

1．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形： x

（1）f(x)；

x

x2(0x1)

（2）f(x)；

2x(1x2)

x2(|x|1)|x|(x0)

（3）f(x)；（4）(x)。

1(x0)x(|x|1)

2．指出下列函数的间断点，说明这些间断点属于哪一类？如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。

x21n21（1）y2；（2）y；（3）ycos。

tanxxx3x2

ex(0x1)

3．a为何值时函数f(x)在[0，2]上连续？

ax(1x2)1x2n

x的连续性，若有间断点，判断共类型。4．讨论函数f(x)lim

n1x2n

5．函数z

y22xy22x

在何上是间断的？

习题1—9

1．设f(x)连续，证明|f(x)|也是连续的。

2．若f(x)在[a,b]上连续，且在[a,b]上f(x)恒为正，证明：续。

3．求下列极限：

（1）lim

x0

在[a,b]上迹连f(x)

(sin2x)3；（3）limx22x5；（2）lim

x

sin5xsin3x；

x0sinx

（6）lim

axabsinxsina

(a0)；（4）lim；（5）lim

xbxaxbxa

sinx

（7）lim2；（8）limthx；

xx0xx

ln(13x)；

x0x

（9）lim(x2x1)；

x

（10）lim

x2

x2x2；

x4

ln(ax)lna

（12）lim。

x0x

（11）lim

xxx

x1

x

习题1—10

1．证明：方程x3x1在区间（1，2）上至少有一个根。

x1,x2,,xn是[a，2．设f(x)在闭区间[a，b]上连续，b]内的n个点，证明：[a,b]，使得

f()

f(x1)f(x2)f(xn)

n

附件习题

1．用数列极限的定义证明：

(1)n11

（1）lim（2）lim(1n)1； 0；

nnn10（4）lim

n2

n

（3）lim

3n2n24

n

3；

n9n73

2．用数列极限的定义证明数列{(1)n}发散。

n

n

0；（5）lim

2n1

0；

（6）limqn0(|q|1)。

n

3．设a0，用数列极限的定义证明极限lima1。

4．用数列极限的定义证明数列极限的夹逼准则。

5．下述几种说法与数列{un}极限是A的定义是否等价，并说明理由。

（1）对于任意给定的0，存在正整数N，使得当nN时，有|unA|；（2）存在正整数N，对任意给定的0，使得当nN时，有|unA|；（3）对于任意给定0，存在实数M，使得当nM时，有|unA|；（4）对于01，存在正整数N，使得当nN时，有|unA|；

（5）对于任意给定的0，有正整数N使得当nN时，有|unA|K，其中K是与无关的常数；

（6）对于任意给定的正整数m，都有正整数N，使得当nN时，有|unA|。

m

习题18—2

2x12

（1）lim；

x3x13

x21x1

（2）lim

x

1；（3）limxa(a0)；

xa

x41

（4）limcosxcos；（5）lim（6）limex0。4；

xxx1x1

3．用函数极限的定义证明下列命题：

（1）如果limf(x)A,limg(x)B，则lim[f(x)g(x)]AB；

xx0

xx0

xx0

（2）如果limf(x)A,limg(x)B,(B0)，则

x

x

x

lim

f(x)A

。g(x)B

4．用Hine定理证明函数极限的四则运算法则。5．证明极限limxsinx不存在。

x

6．若f(x)在[a,)上连续，且limf(x)存在，证明：f(x)在[a,)上有界。

x

7．设f(x)在(a,b)上连续，又limf(x)A,limf(x)B，且AB，则(A,B)，xa

xb

x0(a,b)，使得f(x0)。

8．设f(x)在[a,b]上连续，如果xn[a,b]，数列{xn}收敛，且limf(xn)，证明：

x

x0(a,b)，使得f(x0)。

第四篇：函数极限与连续习题(含答案)

1、已知四个命题：（1）若

（2）若

（3）若

（4）若f(x)在x0点连续，则f(x)在xx0点必有极限 f(x)在xx0点有极限，则f(x)在x0点必连续 f(x)在xx0点无极限，则f(x)在xx0点一定不连续f(x)在xx0点不连续，则f(x)在xx0点一定无极限。其中正确的命题个数是（B、2）

2、若limf(x)a，则下列说法正确的是（C、xx0f(x)在xx0处可以无意义）

3、下列命题错误的是（D、对于函数f(x)有limf(x)f(x0)）

xx04、已知f(x)1

x，则limf(xx)f(x)的值是（C、1）

x0xx2

x125、下列式子中，正确的是（B、limx11）2(x1)

26、limxaxb5，则a、x11xb的值分别为（A、7和6）

7、已知f(3)2,f(3)2,则lim2x3f(x)的值是（C、8）

x3x38、limxa

xxaa（D、3a2）

29、当定义f(1)f(x)1x

2在x1处是连续的。1x10、lim16x12。

x27x31111、lim12、x21xxx12x31

limx2x112 3x1113、lim(x2xx21)1

x

214、lim(x2xx21)1

x2

x,0x1115、设(1)求xf(x),x1

2

1,1x2

1时，f(x)的左极限和右极限；(2)求f(x)在x1的函数值，它在这点连续吗？(3)求出的连续区间。

答：（1）左右极限都为1（2）不连续（3）（0，1）（1，2）

第五篇：复变函数课后习题答案

习题一答案

1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1），因此：，（2），因此，（3），因此，（4）

因此，2．

将下列复数化为三角表达式和指数表达式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

3．求下列各式的值：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

4．设试用三角形式表示与

解：，所以，5．

解下列方程：

（1）

（2）

解：（1）

由此，（2），当时，对应的4个根分别为：

6．证明下列各题：（1）设则

证明：首先，显然有；

其次，因

固此有

从而。

（2）对任意复数有

证明：验证即可，首先左端，而右端，由此，左端=右端，即原式成立。

（3）若是实系数代数方程的一个根，那么也是它的一个根。

证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，由此得到：

由此说明：若为实系数代数方程的一个根，则也是。结论得证。

（4）若则皆有

证明：根据已知条件，有，因此：，证毕。

（5）若，则有

证明：，因为，所以，因而，即，结论得证。

7．设试写出使达到最大的的表达式，其中为正整数，为复数。

解：首先，由复数的三角不等式有，在上面两个不等式都取等号时达到最大，为此，需要取与同向且，即应为的单位化向量，由此，8．试用来表述使这三个点共线的条件。

解：要使三点共线，那么用向量表示时，与应平行，因而二者应同向或反向，即幅角应相差或的整数倍，再由复数的除法运算规则知应为或的整数倍，至此得到：

三个点共线的条件是为实数。

9．写出过两点的直线的复参数方程。

解：过两点的直线的实参数方程为：，因而，复参数方程为：

其中为实参数。

10．下列参数方程表示什么曲线？（其中为实参数）

（1）

（2）

（3）

解：只需化为实参数方程即可。

（1），因而表示直线

（2），因而表示椭圆

（3），因而表示双曲线

11．证明复平面上的圆周方程可表示为，其中为复常数，为实常数

证明：圆周的实方程可表示为：，代入，并注意到，由此，整理，得

记，则，由此得到，结论得证。

12．证明：幅角主值函数在原点及负实轴上不连续。

证明：首先，在原点无定义，因而不连续。

对于，由的定义不难看出，当由实轴上方趋于时，而当由实轴下方趋于时，由此说明不存在，因而在点不连续，即在负实轴上不连续，结论得证。

13．函数把平面上的曲线和分别映成平面中的什么曲线？

解：对于，其方程可表示为，代入映射函数中，得，因而映成的像曲线的方程为，消去参数，得

即表示一个圆周。

对于，其方程可表示为

代入映射函数中，得

因而映成的像曲线的方程为，消去参数，得，表示一半径为的圆周。

14．指出下列各题中点的轨迹或所表示的点集，并做图：

解：（1），说明动点到的距离为一常数，因而表示圆心为，半径为的圆周。

（2）是由到的距离大于或等于的点构成的集合，即圆心为半径为的圆周及圆周外部的点集。

（3）说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常数，因而表示一个椭圆。代入化为实方程得

（4）说明动点到和的距离相等，因而是和连线的垂直平分线，即轴。

（5），幅角为一常数，因而表示以为顶点的与轴正向夹角为的射线。

15．做出下列不等式所确定的区域的图形，并指出是有界还是无界，单连通还是多连通。

（1），以原点为心，内、外圆半径分别为2、3的圆环区域，有界，多连通

（2），顶点在原点，两条边的倾角分别为的角形区域，无界，单连通

（3），显然，并且原不等式等价于，说明到3的距离比到2的距离大，因此原不等式表示2与3

连线的垂直平分线即2.5左边部分除掉2后的点构成的集合，是一无界，多连通区域。

（4），显然该区域的边界为双曲线，化为实方程为，再注意到到2与到2的距离之差大于1，因而不等式表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分，是一无界单连通区域。

（5），代入，化为实不等式，得

所以表示圆心为半径为的圆周外部，是一无界多连通区域。

习题二答案

1．指出下列函数的解析区域和奇点，并求出可导点的导数。

（1）

（2）

（3）

（4）

解：根据函数的可导性法则（可导函数的和、差、积、商仍为可导函数，商时分母不为0），根据和、差、积、商的导数公式及复合函数导数公式，再注意到区域上可导一定解析，由此得到：

（1）处处解析，（2）处处解析，（3）的奇点为，即，（4）的奇点为，2．

判别下列函数在何处可导，何处解析，并求出可导点的导数。

（1）

（2）

（3）

（4）

解：根据柯西—黎曼定理：

（1），四个一阶偏导数皆连续，因而处处可微，再由柯西—黎曼方程

解得：，因此，函数在点可导，函数处处不解析。

（2），四个一阶偏导数皆连续，因而处处可微，再由柯西—黎曼方程

解得：，因此，函数在直线上可导，因可导点集为直线，构不成区域，因而函数处处不解析。

（3），四个一阶偏导数皆连续，因而

处处可微，并且

处处满足柯西—黎曼方程

因此，函数处处可导，处处解析，且导数为

（4），，因函数的定义域为，故此，处处不满足柯西—黎曼方程，因而函数处处不可导，处处不解析。

3．当取何值时在复平面上处处解析？

解：，由柯西—黎曼方程得：

由（1）得，由（2）得，因而，最终有

4．证明：若解析，则有

证明：由柯西—黎曼方程知，左端

右端，证毕。

5．证明：若在区域D内解析，且满足下列条件之一，则在D内一定为常数。

（1）在D内解析，（2）在D内为常数，（3）在D内为常数，（4）

（5）

证明：关键证明的一阶偏导数皆为0！

（1），因其解析，故此由柯西—黎曼方程得

------------------------（1）

而由的解析性，又有

------------------------（2）

由（1）、（2）知，因此即

为常数

（2）设，那么由柯西—黎曼方程得，说明与无关，因而，从而为常数。

（3）由已知，为常数，等式两端分别对求偏导数，得

----------------------------（1）

因解析，所以又有

-------------------------（2）

求解方程组（1）、（2），得，说明

皆与无关，因而为常数，从而也为常数。

（4）同理，两端分别对求偏导数，得

再联立柯西—黎曼方程，仍有

（5）同前面一样，两端分别对求偏导数，得

考虑到柯西—黎曼方程，仍有，证毕。

6．计算下列各值（若是对数还需求出主值）

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

解：（1）

（2），为任意整数，主值为：

（3），为任意整数

主值为：

（4）

（5），为任意整数

（6），当分别取0，1，2时得到3个值：，7．

求和

解：，因此根据指数函数的定义，有，（为任意整数）

8．设，求

解：，因此

9．解下列方程：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1）方程两端取对数得：

（为任意整数）

（2）根据对数与指数的关系，应有

（3）由三角函数公式（同实三角函数一样），方程可变形为

因此

即，为任意整数

（4）由双曲函数的定义得，解得，即，所以，为任意整数

10．证明罗比塔法则：若及在点解析，且，则，并由此求极限

证明：由商的极限运算法则及导数定义知，由此，11．

用对数计算公式直接验证：

（1）

（2）

解：记，则

（1）左端，右端，其中的为任意整数。

显然，左端所包含的元素比右端的要多（如左端在时的值为，而右端却取不到这一值），因此两端不相等。

（2）左端

右端

其中为任意整数，而

不难看出，对于左端任意的，右端取或时与其对应；反之，对于右端任意的，当为偶数时，左端可取于其对应，而当为奇数时，左端可取于其对应。综上所述，左右两个集合中的元素相互对应，即二者相等。

12．证明

证明：首先有，因此，第一式子证毕。

同理可证第二式子也成立。

13．证明

（即）

证明：首先，右端不等式得到证明。

其次，由复数的三角不等式又有，根据高等数学中的单调性方法可以证明时，因此接着上面的证明，有，左端不等式得到证明。

14．设，证明

证明：由复数的三角不等式，有，由已知，再主要到时单调增加，因此有，同理，证毕。

15．已知平面流场的复势为

（1）

（2）

（3）

试求流动的速度及流线和等势线方程。

解：只需注意，若记，则

流场的流速为，流线为，等势线为，因此，有

（1）

流速为，流线为，等势线为

（2）

流速为，流线为，等势线为

（3）

流速为，流线为，等势线为

习题三答案

1．计算积分，其中为从原点到的直线段

解：积分曲线的方程为，即，代入原积分表达式中，得

2．计算积分，其中为

（1）从0到1再到的折线

（2）从0到的直线

解：（1）从0到1的线段方程为：，从1到的线段方程为：，代入积分表达式中，得；

（2）从0到的直线段的方程为，代入积分表达式中，得，对上述积分应用分步积分法，得

3．积分，其中为

（1）沿从0到

（2）沿从0到

解：（1）积分曲线的方程为，代入原积分表达式中，得

（2）积分曲线的方程为，代入积分表达式中，得

4．计算积分，其中为

（1）从1到+1的直线段

（2）从1到+1的圆心在原点的上半圆周解：（1）的方程为，代入，得

（2）的方程为，代入，得

5．估计积分的模,其中为+1到-1的圆心在原点的上半圆周。

解：在上，=1，因而由积分估计式得的弧长

6．用积分估计式证明：若在整个复平面上有界，则正整数时

其中为圆心在原点半径为的正向圆周。

证明：记，则由积分估计式得，因，因此上式两端令取极限，由夹比定理，得，证毕。

7．通过分析被积函数的奇点分布情况说明下列积分为0的原因，其中积分曲线皆为。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：各积分的被积函数的奇点为：（1），（2）

即，（3）

（4）为任意整数，（5）被积函数处处解析，无奇点

不难看出，上述奇点的模皆大于1，即皆在积分曲线之外，从而在积分曲线内被积函数解析，因此根据柯西基本定理，以上积分值都为0。

8．计算下列积分：

（1）

（2）

（3）

解：以上积分皆与路径无关，因此用求原函数的方法：

（1）

（2）

（3）

9．计算，其中为不经过的任一简单正向闭曲线。

解：被积函数的奇点为，根据其与的位置分四种情况讨论：

（1）皆在外，则在内被积函数解析，因而由柯西基本定理

（2）在内，在外，则在内解析，因而由柯西积分

公式：

（3）同理，当在内，在外时，（4）皆在内

此时，在内围绕分别做两条相互外离的小闭合曲线，则由复合闭路原理得：

注：此题若分解，则更简单！

10．计算下列各积分

解：（1），由柯西积分公式

（2），在积分曲线内被积函数只有一个奇点，故此同上题一样：

（3）

在积分曲线内被积函数有两个奇点，围绕分别做两条相互外离的小闭合曲线，则由复合闭路原理得：

（4），在积分曲线内被积函数只有一个奇点1，故此

（5），在积分曲线内被积函数有两个奇点，围绕分别做两条相互外离的小闭合曲线，则由复合闭路原理得：

（6）为正整数，由高阶导数公式

11．计算积分，其中为

（1）

（2）

（3）

解：（1）由柯西积分公式

（2）同理，由高阶导数公式

（3）由复合闭路原理，其中，为内分别围绕0，1且相互外离的小闭合曲线。

12．积分的值是什么？并由此证明

解：首先，由柯西基本定理，因为被积函数的奇点在积分曲线外。

其次，令，代入上述积分中，得

考察上述积分的被积函数的虚部，便得到，再由的周期性，得

即，证毕。

13．设都在简单闭曲线上及内解析，且在上，证明在内也有。

证明：由柯西积分公式，对于内任意点，由已知，在积分曲线上，故此有

再由的任意性知，在内恒有，证毕。

14．设在单连通区域内解析，且，证明

（1）

在内；

（2）

对于内任一简单闭曲线，皆有

证明：（1）显然，因为若在某点处则由已知，矛盾！

（也可直接证明：，因此，即，说明）

（3）

既然，再注意到解析，也解析，因此由函数的解析性法则知也在区域内解析，这样，根据柯西基本定理，对于内任一简单闭曲线，皆有，证毕。

15．求双曲线

（为常数）的正交（即垂直）曲线族。

解：为调和函数，因此只需求出其共轭调和函数，则

便是所要求的曲线族。为此，由柯西—黎曼方程，因此，再由

知，即为常数，因此，从而所求的正交曲线族为

（注：实际上，本题的答案也可观察出，因极易想到

解析）

16．设，求的值使得为调和函数。

解：由调和函数的定义，因此要使为某个区域内的调和函数，即在某区域内上述等式成立，必须，即。

17．已知，试确定解析函数

解：首先，等式两端分别对求偏导数，得

----------------------------------（1）

-------------------------------（2）

再联立上柯西—黎曼方程

------------------------------------------------------（3）

----------------------------------------------------（4）

从上述方程组中解出，得

这样，对积分，得再代入中，得

至此得到：由二者之和又可解出，因此，其中为任意实常数。

注：此题还有一种方法：由定理知

由此也可很方便的求出。

18．由下列各已知调和函数求解析函数

解：（1），由柯西—黎曼方程，对积分，得，再由得，因此，所以，因，说明时，由此求出，至此得到：，整理后可得：

（2），此类问题，除了上题采用的方法外，也可这样：，所以，其中为复常数。代入得，故此

（3）

同上题一样，因此，其中的为对数主值，为任意实常数。

（4），对积分，得

再由得，所以为常数，由知，时，由此确定出，至此得到：，整理后可得

19．设在上解析，且，证明

证明：由高阶导数公式及积分估计式，得，证毕。

20．若在闭圆盘上解析，且，试证明柯西不等式，并由此证明刘维尔定理：在整个复平面上有界且处处解析的函数一定为常数。

证明：由高阶导数公式及积分估计式，得，柯西不等式证毕；下证刘维尔定理：

因为函数有界，不妨设，那么由柯西不等式，对任意都有，又因处处解析，因此可任意大，这样，令，得，从而，即，再由的任意性知，因而为常数，证毕。

习题四答案

1．考察下列数列是否收敛，如果收敛，求出其极限．

（1）

解：因为不存在，所以不存在，由定理4.1知，数列不收敛．

（2）

解：，其中，则

．

因为，所以

由定义4.1知，数列收敛，极限为0．

（3）

解：因为，所以

由定义4.1知，数列收敛，极限为0．

（4）

解：设，则，因为，都不存在，所以不存在，由定理4.1知，数列不收敛．

2．下列级数是否收敛？是否绝对收敛?

(1)

解：，由正项级数的比值判别法知该级数收敛，故级数收敛，且为绝对收敛．

(2)

解：，因为是交错级数，根据交错级数的莱布尼兹审敛法知该级数收敛，同样可知，也收敛，故级数是收敛的．

又，因为发散，故级数发散，从而级数条件收敛．

(3)

解：，因级数发散，故发散．

(4)

解：，由正项正项级数比值判别法知该级数收敛，故级数收敛，且为绝对收敛．

3．试确定下列幂级数的收敛半径．

(1)

解：，故此幂级数的收敛半径．

(2)

解：，故此幂级数的收敛半径．

(3)

解：，故此幂级数的收敛半径．

(4)

解：令，则，故幂级数的收敛域为，即，从而幂级数的收敛域为，收敛半径为．

4．设级数收敛，而发散，证明的收敛半径为．

证明：在点处，因为收敛，所以收敛，故由阿贝尔定理知，时，收敛，且为绝对收敛，即收敛．

时，因为发散，根据正项级数的比较准则可知，发散，从而的收敛半径为1，由定理4.6，的收敛半径也为1．

5．如果级数在它的收敛圆的圆周上一点处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收敛．

证明：时，由阿贝尔定理，绝对收敛．

时，由已知条件知，收敛，即收敛，亦即绝对收敛．

6．将下列函数展开为的幂级数，并指出其收敛区域．

（1）

解：由于函数的奇点为，因此它在内处处解析，可以在此圆内展开成的幂级数．根据例4.2的结果，可以得到

．

将上式两边逐项求导，即得所要求的展开式

=．

（2）

解：①时，由于函数的奇点为，因此它在内处处解析，可以在此圆内展开成的幂级数．

===．

②时，由于函数的奇点为，因此它在内处处解析，可以在此圆内展开成的幂级数．

=

=．

（3）

解：由于函数在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成的幂级数．

．

（4）

解：由于函数在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成的幂级数．

（5）

解：由于函数在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成的幂级数．

=．

（6）

解：由于函数在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成的幂级数．

=

==．

7．求下列函数展开在指定点处的泰勒展式，并写出展式成立的区域．

（1）

解：，．

由于函数的奇点为，所以这两个展开式在内处处成立．所以有：

．

（2）

解：由于

所以．

（3）

解：

=．

展开式成立的区域：，即

（4）

解：，，……，，……，故有

因为的奇点为，所以这个等式在的范围内处处成立。

8．将下列函数在指定的圆域内展开成洛朗级数．

(1)

解：，故有

(2)

解：

①在内

②在内

(3)

解：①在内，②在内

(4)

解：在内

(5)

解：

在内

故有

9．将在的去心邻域内展开成洛朗级数．

解：因为函数的奇点为，所以它以点为心的去心邻域是圆环域．在内

又

故有

10．函数能否在圆环域内展开为洛朗级数？为什么？

答：不能。函数的奇点为,，所以对于，内都有的奇点，即以为环心的处处解析的圆环域不存在，所以函数不能在圆环域内展开为洛朗级数．

习题五答案

1．求下列各函数的孤立奇点，说明其类型，如果是极点，指出它的级．

（1）

解：函数的孤立奇点是，因

由性质5.2知，是函数的1级极点，均是函数的2级极点．

（2）

解：函数的孤立奇点是，因，由极点定义知，是函数的2级极点．

（3）

解：函数的孤立奇点是，因，由性质5.1知，是函数可去奇点．

（4）

解：函数的孤立奇点是,①，即时，因

所以是的3级零点，由性质5.5知，它是的3级极点

②，时，令，因，由定义5.2知，是的1级零点，由性质5.5知，它是的1级极点

（5）

解：函数的孤立奇点是,令，①

时，，由定义5.2知，是的2级零点，由性质5.5知，它是的2级极点，故是的2级极点．

②时，，由定义5.2知，是的1级零点，由性质5.5知，它是的1级极点，故是的１级极点．

（６）

解：函数的孤立奇点是，令，①

时，因，所以是的2级零点，从而它是的2级极点．

②时，，由定义5.2知，是的1级零点，由性质5.5知，它是的１级极点．

2．指出下列各函数的所有零点，并说明其级数．

（1）

解：函数的零点是，记，①

时，因，故是的2级零点．

②时，，由定义5.2知，是的1级零点．

（2）

解：函数的零点是，因，所以由性质5.4知，是的2级零点．

（3）

解：函数的零点是，，记，①

时，是的1级零点，的1级零点，的2级零点，所以是的4级零点．

②，时，，由定义5.2知，是的1级零点．

③，时，，由定义5.2知，是的1级零点．

3．是函数的几级极点？

答：记，则，，，将代入，得：，由定义5.2知，是函数的5级零点，故是的10级极点．

4．证明：如果是的级零点，那么是的级零点．

证明：因为是的级零点，所以，即，由定义5.2知，是的级零点．

5．求下列函数在有限孤立奇点处的留数．

（1）

解：函数的有限孤立奇点是，且均是其1级极点．由定理5.2知，．

（2）

解：函数的有限孤立奇点是，且是函数的3级极点，由定理5.2，．

（3）

解：函数的有限孤立奇点是，因

所以由定义5.5知，．

（4）

解：函数的有限孤立奇点是，因

所以由定义5.5知，．

（5）

解：函数的有限孤立奇点是，因

所以由定义5.5知，．

（6）

解：函数的有限孤立奇点是．

①，即，因为

所以是的2级极点．由定理5.2，．

②时，记，则，因为，所以由定义5.2知，是的1级零点，故它是的1级极点．由定理5.3，．

6．利用留数计算下列积分（积分曲线均取正向）．

（1）

解：是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，且为2级极点，由定理5.2，由定理5.1知，．

（2）

解：是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，且为1级极点，所以由定理5.1及定理5.2，．

（3）

解：是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，因为，所以由性质5.1知是函数的可去奇点，从而由定理5.1，由定理5.1，．

（4）

解：是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，且为2级极点，由定理5.2，由定理5.1，．

（5）

解：是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，由性质5.6知是函数的1级极点，由定理5.1，．

（6）

解：被积函数在积分区域内的有限孤立奇点为：，由定理5.3，这些点均为的1级极点，且

由定理5.1，．

7．计算积分，其中为正整数，．

解：记，则的有限孤立奇点为，且为级极点，分情况讨论如下：

①时，均在积分区域内，由定理5.1，故有．

②时，均不在积分区域内，所以．

③时，在积分区域内，不在积分区域内，所以

习题五

8．判断是下列各函数的什么奇点？求出在的留数。

解：（1）因为

所以，是的可去奇点，且。

（2）因为

所以

于是，是的本性奇点，且。

（3）因为

所以

容易看出，展式中由无穷多的正幂项，所以是的本性奇点。

（4）因为

所以是的可去奇点。

9．计算下列积分：

解：（1）

（2）

从上式可知，所以。

10．求下列各积分之值：

（1）解：设则。于是

（2）解：设则。于是

（3）解：显然，满足分母的次数至少比分子的次数高二次，且在实轴上没有奇点，积分是存在的。在上半平面内只有一个奇点，且为2级极点。于是

（4）解：

显然，满足分母的次数至少比分子的次数高二次，且在实轴上没有奇点，积分是存在的。在上半平面内只有和二个奇点，且都为1

级极点。于是

所以

（5）解：显然，满足分母的次数至少比分子的次数高一次，且在实轴上没有奇点，在上半平面内只有一个奇点，且为1

级极点。于是

（6）解：显然，满足分母的次数至少比分子的次数高一次，且在实轴上没有奇点，在上半平面内只有一个奇点，且为1

级极点。于是

11．利用对数留数计算下列积分：

解：（1），这里为函数在内的零点数，为在内的极点数。

（2）

这里为函数在内的零点数，为在内的极点数；为函数在内的零点数，为在内的极点数。

(3)

这里为函数在内的零点数，为在内的极点数。

(4)

这里为函数在内的零点数，为在内的极点数。

12．证明方程有三个根在环域内

证明：令。因为当时，有

所以，方程与在内根的数目相同，即4个。

又当时，有

所以，方程与在内根的数目相同，即1个。

综合上述得到，在环域内有3个根。

13．讨论方程在与内各有几个根。

解：令。因为当时，有

所以，方程与在内根的数目相同，即1个。

又当时，有

所以，方程与在内根的数目相同，即4个。

根据上述还可以得到，在环域内有3个根。

14．当时，证明方程与在单位圆内有n个根。

证明：令。因为当时，有

所以，当时，方程与在内根的数目相同，即n个。

习题七答案

1．试证：若满足傅氏积分定理的条件，则有

证明：根据付氏积分公式，有

2．求下列函数的傅氏变换：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1）

f(t)

(2)

(3)

(4)

由于

所以

3．求下列函数的傅氏变换，并推证所列的积分等式。

(1)

证明

(2)

证明。

解：(1)

由傅氏积分公式，当时

所以，根据傅氏积分定理

(2)

由傅氏积分公式

所以，根据傅氏积分定理

5．求下列函数的傅氏变换：

(1)

(2)

(3)

(4)

解：（1）

(2)

(3)

由于

所以

(4)

由于

所以

6．证明：若其中为一实函数，则

其中为的共轭函数。

证明：由于

所以

于是有

7．若，证明（翻转性质）。

证明：由于

所以

对上述积分作变换，则

8．证明下列各式：

(1)

（为常数）；

(2)

证明：（1）

（2）

9．计算下列函数和的卷积：

(1)

(2)

(2)

(2)

解:

(1)

显然，有

当时，由于=0，所以；

当时，（2）显然，有

所以，当

或

或

时，皆有=0。于是

当时，；

当时，；

当时。

又

所以

从而

当时，当时，总结上述，得。

10．求下列函数的傅氏变换：

(1)

(2)

(3)

(4)

解：（1）由于

根据位移性质

（2）

（3）根据位移性质

再根据像函数的位移性质

（4）由于

根据微分性质

再根据位移性质。

习题八

1．求下列函数的拉氏变换：

(1)

解：由拉氏变换的定义知：

(2)

解：由拉氏变换的定义以及单位脉动函数的筛选性质知：

2.求下列函数的拉氏变换：

(1)

解：由拉氏变换的线性性质知：

(2)

解：由拉氏变换的线性性质和位移性质知：

(3)

解：法一：利用位移性质。

由拉氏变换的位移性质知：

法二：利用微分性质。

令

则

由拉氏变换的微分性质知：

即

(4)

解：因为

故由拉氏变换的位移性知：

(5)

解：

故

(6)

解：因为

即：

故

(7)

解：

法一：利用拉氏变换的位移性质。

法二：利用微分性质。

令则

由拉氏变换的微分性质知：

又因为

所以

(8)

解：法一：利用拉氏变换的位移性质。

因为

故

法二：利用微分性质。

令，则

故

由拉氏变换的微分性质知：.故

3.利用拉氏变换的性质计算下列各式：

(1)

求

解：因为

所以由拉氏变换的位移性质知：

(2)

求

解：设

则

由拉氏变换的积分性质知：

再由微分性质得：

所以

4.利用拉氏变换的性质求

(1)

解：法一：利用卷积求解。

设

则

而

由卷积定理知：

法二：利用留数求解。

显然在内有两个2级极点。除此外处处解析，且当时，故由定理8.3知：

(2)

解：法一：利用卷积求解。

设

则

而

由卷积定理知

法二：用留数求解。

显然在内有两个2级极点。除此外处处解析，且当时，故由定理8.3知：

法三：利用拉氏变换积分性质求解。

由(1)题知

故

即

5.利用积分性质计算

(1)

解：设

由拉氏变换的微分性质得：

所以

(2)

解：在(1)题中取得

由拉氏变换的位移性质知：

再由拉氏变换的积分性质得

6.计算下列积分：

(1)

解：

由拉氏变换表知：取

则

(2)

解：

7．求下列函数的拉氏逆变换：

(1)

解：因

取得

故

(2)

解：因为

而

所以

(3)

解：设则是的四级极点。

除此外处处解析，且当时，故由定理8.3知：

下面来求留数。

因为

故.所以

(4)

解：设

则在内具有两个单极点

除此外处处解析，且当时，故由定理8.3得：

(5)

解：设

分别为的一阶、二阶极点。显然满足定理8.3的条件，故由定理8.3知：

(6)

解：设

显然

查表知

故由卷积定理得：

(7)

解：设

则

因为

所以

故

(8)

解：，因为

所以

即：

8.求下列函数的拉氏逆变换：

(1)

解：

由拉氏变换表知：

所以

(2)

解：

而

所以

(3)

解：设

则

设

则

由卷积定理知，所以

(4)

解：设

则

设

则

故

所以

(5)

解：

因为

故由卷积定理知：

又因为

所以

(6)

解：

由拉氏变换表知：

所以

9.求下列卷积：

(1)

解：`因为

所以

(2)

（m,n为正整数）；

解：

(3)

解：

(4)

解：

(5)

解：因为

当时，故当

时，即

(6)

解：设

则

所以当

即

时，上式为0.当

即

时，由函数的筛选性质得：

10.利用卷积定理证明下列等式：

(1)

证明：因为

故由卷积定理：

也即，证毕。

(2)

证明：因为

故由卷积定理知：

证毕。

11.解下列微分方程或微分方程组：

(1)

解：设

对方程两边取拉氏变换，得

代入

得：

用留数方法求解拉氏逆变换，有：

(2)

解：设

对方程两边同时取拉氏变换，得

代入初值条件，得：

求拉氏逆变换得方程的解为：

(3)

解：设

用拉氏变换作用方程两边，得：

代入初值条件，有：

即：

因为

所以由卷积定理求拉氏逆变换得：

(4)

解：设

用拉氏变换作用在方程两边得：

将初始条件代入，得：

因为

所以

因此

故方程的解：

(5)

解：设

对方程两边取拉氏变换，得：

代入初始条件，整理得：

由例8.16知：

又因为

故

因为

所以方程的解

(6)

解：设

对方程组的每个方程两边分别取拉氏变换，并考虑到初始条件得：

求解该方程组得：

取拉式逆变换得原方程组的解为：

(7)

解：设

对方程组的每个方程两边分别取拉氏变换，并考虑到初始条件得：

整理计算得：

下求的拉氏逆变换：

因为

故由卷积定理可得

同理可求

所以方程组的解为

(8)

解：设

对方程组的每个方程两边分别取拉氏变换，并考虑到初始条件得：

解此方程组得：

取拉氏逆变换得原方程组的解为：

12.求解积分方程

解：令

由卷积定理

知

将拉氏变换作用于原方程两端，得：

也即：

取拉式逆变换得原方程的解为：