2010-2011下数学教学小结(柯新兰)（大全）

第一篇：2010-2011下数学教学小结(柯新兰)（大全）

2010-2011学年（下）数学教学小结

柯新兰

时间流逝，转眼间一学期又要过去，回顾这一学期的教学，感触颇深，因为是又带了一年的毕业班。今年教学的主要目标是中考的总复习，复习从开学就开始了，时间刚好四个月。在这期间我主要分三个阶段来复习，具体安排如下：第一阶段复习夯实基础，阶段达标（3月—5月初质检前）第二阶段复习专题探究，知能升华（5月中旬——6月初）第三阶段复习综合训练 中考模拟。现将各阶段的复习心得体会整理一下，希望对以后的教学有所帮助。

在第一阶段复习中，我主要注重对各个知识点的梳理和应用，让学生掌握好基础，以分块复习为主，及时解决知识点中重点难点和易错点，还结合中考的方向精选各种练习，让学生尽早的接触中考，感受中考。在第一阶段的复习中特别注意要及时解决学生存在的问题，并加以强化，争取能在第一阶段的复习中能使学生全盘掌握初中所学的知识并在知识应用上有很大的提高。在这一阶段中还要注重学生思维的培养和解题习惯技巧的指导。尽量使学生在考试中少犯一些不该有的错误。

第二阶段复习主要针对近几年中考的出题方向按照下面六大专题进行：专题一数学思想方法、专题二图表信息问题、专题三阅读理解性问题、专题四方案设计问题、专题五开放性与探索性问题、专题六动态问题。从数学知识、技能和数学方法加以展开、纵向深入，对知识和技能的内在联系及数学思想和方法进行较为深入的剖析，围绕专题对学生进行集中练习。这一阶段复习中要注意：.防止单纯就题论题，应以题论法.防止过多难题研究。这一阶段复习目的是为使学生能够结合近几年中考的方向掌握这一类题的解法，在考试中能有的放矢，争取多拿分。

第三阶段的复习主要是为中考作最后的冲刺。一般来说，影响考试成绩最主要的因素是：知识因素、速度因素和心理因素。因此，在复习过程中，不但要解决知识问题，还要解决速度问题和心理问题。综合训练得当，可以纯熟地把握知识和技能，有效地提高解题速度，稳定考试心理，正常发挥水平。综合训练要在全面复习的基础上，针对学生学习过程中存在的主要问题，有目的、有计划、有步骤地进行．逐步解决问题．主要是通过专题训练和做模拟卷来提高学生的应试能力和信心。

总之我今年的中考复习就是按这三个步骤来进行的，对以还有不足之处只能在以后的教学中继续去探索和改进，我也必将为完善自己而不断努力和总结。

2011-6-21

第二篇：数学教学小结

浅谈在数学教学中学习兴趣的培养

著名心理学家布鲁纳指出：“探索是数学教学的生命线。”教师引导学生探究，激发他们的求知欲，增强学生主动探索能力。但我们的教学对象是学生，因此在数学教学中学习兴趣的培养显得很重要。而学习兴趣不是天生的，是在后天的环境和教育的影响下产生和发展起来的。那么，在数学教学中如何培养学生的浓厚学习兴趣呢？

一、明确学习目的，激发学习兴趣

在教学中帮助学生明确学习目的,是激发他们学习兴趣的有效办法。

1、在教学中向学生介绍数学在科学、生产和生活中广泛应用的实例。通过这些实例使学生认识到数学的应用不仅在数学本身理论的发展上，而且广泛地应用于其他自然科学之中，以及日常生活、生产的方方面面，也都离不开数学。通过这些介绍，使学生明确数学在社会和现代科学发展中的重要作用，加深对学习数学重要性的认识，从而激发起他们学习数学的兴趣。

2、平时教学的过程中，注意充分利用每个单元的开篇课，根据教材的内容，结合生产和生活实际，介绍本部分知识的广泛应用，调动学生学习、运用数学知识的热情。如在学习三角形时，教师可向学生提出：在没有任何测量工具的条件下，一个战士测得了隔河相望得敌军碉堡与我军阵地的距离，你知道这个战士是怎样测量的吗？引起了他们的兴趣和思考。这时，教师因势利导：“要真正理解这些道理，就必须认真学好三角形这一章，从而激发了他们学习这一章的学习兴趣和热情。

3、在数学教学过程中，还应让学生切身体会到学习数学对于提高思维素质，培养逻辑推理能力和想象力都具有重要作用。

二、改进教学方法，培养学习兴趣

教师在教学中运用恰当的教学方法，是培养学生学习兴趣的关键和重要手段。

在改进教学方法培养学习兴趣的做法，主要有以下几个方面：

1、设立好问题情景

在课堂教学中，要做到根据教学内容创设问题情景、激发学生思维，使他们带着浓厚兴趣愉快的学习。例如在讲授《有理数的乘方》一课时，我拿了一张纸进入课堂说“这张纸约厚0.1毫米，现在对折3次厚度不足1毫米，如果要对折30次，请同学们估计一下厚度为多少？”学生纷纷做出估计，有的说30毫米，有的说60毫米，胆子大一点的说10米。我说“经过计算，这厚度将超过10座珠穆朗玛峰叠起来的高度。”同学们都惊讶不已，纷纷要求教会他们计算方法。全班同学兴趣盎然，课堂气愤和谐，教学效果良好。

2、引出趣味

在教学中，结合教材的内容，适当地介绍一些有关的数学史话，特别是我国古代数学的伟大成就，古今数学家的生平、趣事，如华罗庚努力钻研，靠勤奋创造了奇迹等故事，以及一些著名数学问题的历史典故，一些已经解决或尚未解决的数学难题和猜想等等，都会令到学生产生浓厚的兴趣，兴味盎然地投入学习，而且还会激励学生勇于探索的钻研精神，发展学生的创造力。

3、提出数学问题

爱因斯坦曾说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅是一个教学上或实验上的技能而已。而提出新的问题，新的可能性，从新的角度上看旧的问题，都需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”因此在教学中，教师要鼓励学生经过深思熟虑后大胆的提出问题，从而成功地激发了学习的兴趣。

4、创设愉悦的课堂氛围

教育要使人愉快，要让一切教育带有乐趣，事实证明，学生在愉悦的气氛中进行学习，可以有效消除紧张的情绪，抑制学习中的不良心理因素，有利保持高度的学习兴趣和旺盛的精力。因此，教师在教学过程设法在课堂中创设愉悦的环境，充分调动起学生学习数学的积极性。在教学形式上可因课灵活设计，如运用“回答问题接力比赛”、“速算比赛”、“读背法则定义”、“默写公式比赛”、“学生提问，学生解答”等多种形式，使学生在宽松和谐的气氛中愉悦地学习，即使一节数学终了，学生仍不觉疲劳，且有意犹未尽的感觉。

5、体验成功

教学实践表明，教师帮助学生获得学习上的成功，也是激励学生乐于学习，培养学生学习兴趣的重要一环。学生的学习兴趣总是和成功的喜悦紧密相连的。学生听懂一节课，掌握一种数学方法，解出一道数学难题，测验得到好成绩，平时教师的鼓励与赞赏等，都能使学生从这些“成功”中体验到成功的喜悦，激发起更高的学习热情。相反，如果学生在学习上屡屡失败，听不懂课，题不会做，学生便会逐渐失去学习的兴趣和信心。因此，在教学中，教师应注意从学生实际出发，认真贯彻因材施教的原则，根据学生的基础高低，兴趣差异等采用不同的方式和方法进行教学，做到欲高先低，欲快先慢，让学生不断取得学习成功的体验，尤其对差生更要多创造一些使他们获得学习成功的机会，使他们能对数学重新建立起学习的兴趣和信心。

6、组织丰富多彩的课外活动

在课堂教学之余，可通过开展各种形式的数学课外活动，如举办趣味数学小讲座、数学竞赛专题讲座、学习方法讲座、学习经验交流会、出版数学墙报等来调动各类学生的数学学习积极性，从而发展他们的学习兴趣。此外，采用小组教学，个别辅导等形式，也能有效地培养学生学习数学的兴趣。

数学教学中非智力因素的培养

在教学中发现，差生中的绝大多数智力并不差，可见决定差生的因素往往是非智力因素。所谓非智力因素，是指学生学习积极性方面的因素，例如动机、兴趣、情感、性格、意志、习惯等。因此在教学中，在启迪学生的思维，开发学生的智力，培养能力的同时，还必须把非智力因素的培养融于教学之中，把培养学生非智力因素作为学科教学的目标之一。下面谈谈我在教学中结合教材内容、培养学生的非智力因素的一些做法。一、用典型事例教育学生，培养学生良好的学习意志。

意志是非智力因素的重要方面，学生良好的意志品质，对其智能的发展是有强化和推动作用的。教学中，有目的地不断用榜样言行生动范例教育学生，培养学生顽强的学习意志，例如讲华罗庚、陈景润等我国著名数学家的事迹及成才的故事，指出他们之所以能登上数学的高峰，是因为他们具有锲而不舍的坚强意志，教育学生学习科学家的可贵品质，培养克服困难的毅力，勤奋而顽强地学习。教学中给学生提供独立活动克服困难的机会，教师积极启发诱导，通过学生自己的努力，独立探索克服困难的方法和途径。同时注意培养学生的自我控制能力，初中生思想不稳定，兴趣容易转移，上课容易分心，在课堂上不断以目光、表情、手势以及声音的变化或者作必要的停顿来警示他们，使其感到自己始终置身于老师的关注之下，从而自觉控制自己的注意力。部分学生依赖性强，不爱动脑筋，抄作业，教育他们认识到做作业是自己学习过程的真实记录，是对所学知识的巩固。独立完成作业虽是长期的艰苦的事情，但对学习有利，让他们明确要善于控制自己的不良行为，在认真复习的基础上，“强迫”自己去独立完成作业，养成良好的自控力。

二、激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性。

“兴趣是最好的老师”，浓厚的学习兴趣可使大脑处于最活跃状态，增强人的观察力、注意力、记忆力和思维力。结合课本内容适当介绍一些古今中外数学史或有趣的数学知识，激发学生的进取和求知欲。注意编造教学内容的趣味性、探索性和应用性，例如讲列方程解应用题时讲一讲古希腊数学家刁番都的故事。讲距形时，自制平行四边形教具，利用平行四边形的不稳定性，将一个平行四边形变成有一个直角的平行四边形。通过演示观察，提出如下问题，让学生争议、探索：在四边边长不变的情况下，平行四边形在变动中成为一个怎样的图形？平行四边形的什么发生了变化？（角），什么没有变化？（边）。矩形的定义是什么？它是什么四边形的特殊的一种？除具有什么图形性质外，还具有怎样的特殊性质？一连串问题激发学生主动去思考、探索。讲两圆的位置关系时，利用直观教具，用运动的方式，让学生看到两圆外离——外切——相交——内切——内含的变化过程。从而归纳出两圆之间的五种位置关系，增强了直观性。

三、手脑并用，培养学生的动手操作能力。现在的初中生，由于家庭条件较优越及家长的包办代替，动手能力较差，这给数学的学习带来了障碍。在教学中让学生动手操作，制作教具，在完成操作过程中将直觉思维上升到抽象思维。例如讲三角形内角和定理时，让每一个学生先准备好一个硬纸做的三角形，在课堂上让同学们都把这个三角形的两个角剪下来，再和第三个角拼在一起，就成为一个平角。这样，就能很快地找到定理的证明思路。再如在研究三角形全等的判定方法时，指导学生动手画图实验，分别剪两个有两边夹角、两角夹边、三边对应相等的三角形，通过比较，启发学生自己总结出判定定理。通过让学生多参加实践活动，制作教具，实物在手，看得见，摸得着，对它们的特征记忆深刻，既活跃了课堂气氛，又开拓了学生的思维。

四、加强学法指导，培养良好的学习习惯。

学生获得知识和能力是在学习行为过程中实现的，一定的学习行为，重复多次就会形成一定的学习习惯，养成好的习惯会使人终生受益。而不良习惯会严重影响学生的数学学习，阻碍学生数学素质的全面提高。因此，只要学生想学是不够的，还必须“会学”。要讲究学习方法，提高学习效率，变被动为主动。在教学中，重视加强数学学法指导，主要采取以下做法：

1、预习方法的指导。

预习是学生自己摸索、自己动手、动脑、自己阅读课文的过程，可以培养学生的阅读和自学能力。课前要布置预习提纲，让学生先通读课文，然后细读理解大致内容，自定一些“划”和批的记号，在课本上把关键句、重点词、概念、公式、定理划出来，使他们养成边读边划边批边算的习惯。

2、听课方法的指导。

听课方面要求学生上课做到 “一专三动”，即专心听老师对重点难点的剖析，听例题解法及思路分析、技巧等。勤于思考，积极举手发言，敢于发表自己的见解。认真做好堂上练习，认真听老师讲评及课后小结，积极动脑、动手、动口参与教学活动。

3、总结归纳复习方法的指导。

在进行单元小结或学期总结复习时，引导学生对所学过的每个知识点、每章节的内容加以综合归纳，注意知识的新旧联系、知识的前后联系、知识的横向联系，写出简明小结，使知识系统化、条理化、专题化。有选择性地解一些各种类型和档次的习题，使学生掌握各类题的解题规律和方法，巩固所学内容。

4、培养学生“准加快”的计算能力。

数学是运算要求高的学科，运算能力是学生应具备的基本能力之一。学生在小学阶段应用心算较多，而在初中数学中，相应运算的难度、运算的步骤都有所增加，运算中常出现由于心算不笔算带来的错误，一步出错，步步错。有些学生常常“看”题而不算题，懒动手，长此以往，做题速度减慢，导致能力下降。教学中首先得重视运算方面的训练和指导，用练习或考试中出现的错例教育学生，使其感到丢分丢得“心痛”，让学生笔不离手，计算时动手打一下草稿，把心算和笔算有机结合起来，能大大提高运算准确度，减少失误。其次应加强运算的限时训练，如进行5分钟测评，提高运算速度，培养学生好的运算习惯。

总之，在搞好教学改革的同时，也要注意学生的非智力因素的培养，调动学生的数学学习积极性，使学生掌握科学的学习方法，养成独立获取数学知识的本领，全面提高学生的数学能力和素质。

第三篇：数学教学小结

数学教学小结

2013年我有幸担任了2个班的数学教学工作。通过一个学期的检测，感触很多。

高三数学文科在徐晓冬老师的带领下利用集体备课时间组织全组教师学习2012年高考教学大纲、高考考试说明，确定了围绕教学大纲，考试说明进行教学，以课堂教学为阵地，以基础知识为主线进行教学，重点班以中高档题为主，平行班以基础题为主的战略思想。同时抓集体备课，讲课，对每周二的集体备课、讲课都认真准备，一次一个人作中心发言，其他老师作补充，重点、难点、教学方法集体讨论，最后由徐晓冬老师总结。我们在资料的征订、测试题的命题、改卷中发现的问题、学生学习数学的状态、学生容易错误地方时常交流。我觉得我们有一个非常好的学习、工作氛围，这是很不容易的。

事实上，在这一个学期里,我也在不断反思、探索,寻觅一条如何才能使学生学好数学，通向高考成功之路。在一段时期的实践中，我发现学生在学习过程中存在着几点问题：

１、很多问题都要靠我讲他们听，我讲得多学生做得少，同学们不善于挤时间，独立动手能力比较差，稍微变个题型就不知所措，问其原因，回答不会，做题没思路，一没思路就不想往下做。平时做题少，很多题型没有见过，以致于思维水平还没有达到一定高度，做起题来有困难。

２、基础知识掌握的不扎实，有些该记忆的公式没有记住、该理解的概念没有理解，尤其是立体几何基本问题的求法，复合函数的求导法则等，导致做题时不知该用哪个公式，还得去翻书。

３、上课听课的效果不好。大部分同学都说，课堂上我讲的东西极大部分能听懂，但一到自已做题就不会。其实这部分同学听懂的只是对某一道题表面上的东西，其实质的东西，它所蕴含的思想方法，没有融入到其大脑中，不会举一反三，没有从问题的表面看到本质，思维没有得到升华，课下又不巩固复习，导致讲过的题型仍然不会做。

４、现在有少数学生比较懒，没有养成良好的学习习惯，有些问题他知道

思路后，就只知道说不动手，数学课桌子上不准备草稿纸，以致于每次考试都犯了眼高手低的毛病，得不了高分。

对于以上学生存在的问题，我借用了以下的一些基本办法：

１、关爱学生，激起学习激情。我知道热爱学生，走近学生，哪怕是一句简单的鼓励的话，都能激起学生学习数学的兴趣，进而激活学习数学的思维。２、每天除了把资料书的作业做完后还做3道典型的高考题，当天批改，对没有完成作业进行批评教育直到其改进为止。

３、强化基础知识的记忆，对一些重点知识、一些性质进行不定时的测验，及时检查他们对基础知识的掌握程度，以便因材施教。

４、提高课堂40分钟效率。课前尽量认真备课，把可能遇见的情况逐一解决，并时常练一些题同时归纳近几年高考的主要题型和所有的知识点。在课堂上我尽量把一些解题的主要思想方法和基本技巧，比如数形结合思想、函数方程的思想、化归与转化思想，选择题中的直接法，排除法，特殊植法，极值法等教给他们，既使他们不能立刻学会，但时间久了，自然而然的就能把方法融入解题当中了。

５、高三复习注意到低起点、重探究、求能力的同时，还注重抓住分析问题、解决问题中的信息点、易错点、得分点，培养良好的审题、解题习惯，养成规范作答、不容失分的习惯。课下个别辅导，通过辅导能知道哪些知识存在问题，或者是我上课遗漏的问题，都能及时得到解决。

７、认真分析数学临界内的临界生和临界外的临界生的学习数学的状态。比如说每次测试都能在90分以上的同学，应建议他们课后可做一些适合自己的题目。对一些数学“学困生”，鼓励他们多问问题，多思考。采用低起点，先享受一下成功，然后不断深入提高，以致达到适合自己学习情况的进步和提高。

大家都知道，以上的都是每位高中教师的常用的方法。但是说与做完全是两回事。我觉得这重要的是需要我们的坚持不懈。我们常说学生需要住承受失败之痛，实际上，往往我们年轻教师更需要不怕失败，勇于向前的精神。在今后的教学之中，我觉得我应该还注意很多。

１、在高一开始，我们就不能松懈，扎扎实实的把学生的基础知识打牢。重视知识的 “过程”教学，即基本概念、原理、定理、公式的形成、推导过程、相互联系和应用范围。不然在高三一轮复习中由于时间安排偏紧，急于赶进度，试图挤出更多时间进行解题训练的情况下将会造成基础不实，知识点覆盖面小，不能形成完整的知识网络的大问题。

２、课堂教学目标的制定，应该尽可能的清楚。对于每个目标，应该分解在每一节课的内容之中，便能力目标成为看得见、摸得着、抓得住、可操作的“实体”。

３、注意将解题方法和数学思想和方法的训练分开，不要认为只要多做题目，数学思想方法就自然而然地掌握了，我们应该在讲解基础知识的同时渗透数学思想方法。如讲解等差数列的通项公式是自然数的一次函数时，就讲清楚其几何意义是点(n，an)在一条直线上，公差d为此直线的斜率，隐含在等差数列中的函数方程思想、数形结合思想就体现了出来。同样，在解题训练中，隐含在解题方法中的数学思想方法应该有效地加以揭示，注意例题教学作用的发挥。讲题目不要贪多求难，多归纳题型(如阅读理解题，信息迁移题、探索题、应用题等)，揭示规律(如寻求最佳解法、对问题进行引伸、转换、概括、抽象、发现新结论)，解后反思，举一反三。以练代讲，以讲代练都是不可取的。

４、努力研究高考的基本规律，高考试题的特点、历届高考试题及考试说明对高三复习的导向作用。努力研究学生参加高考的心理、生理变化规律。防止到临考前和考试时学生找不到解题感觉，进入不了状态，直接影响了考试水平的发挥。高三数学复习强调若于次循环尤为重要，在第一轮复习中往往想把知识一步讲到位，把复习难度一直提高到高考试题难度是不可取的，结果往往出现高考题型教师讲过，但多数学生仍做不出的现象。我觉得我研究高考数学课堂复习模式不够，缺少创新。以后还应该多向其他老师学习。

“学然后知不足，教然后知困”，通过教学，我更加清楚教学相长的意义，我将在以后的教学工作中继续努力，争取做一个合格的人民教师。

2013年1月19日

第四篇：数学史话-柯西

柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），十九世纪前半世纪的法国数学家。在大学毕业后当土木工程师，因数学上的成就被推荐为科学院院士，同时任工科大学教授。后来在巴黎大学任教授，一直到逝世。他信仰罗马天主教，追随保皇党，终生坚守气节。他在学术上成果相当多，他的研究是多方面的。在代数学上，他有行列式论和群论的创始性的功绩；在理论物理学、光学、弹性理论等方面，也有显著的贡献。他的特长是在分析学方面，他对微积分给出了严密的基础。他还证明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理，这些都是很重要的。他的全集26卷，仅次于欧拉，居第二位。柯西是历史上有数的大分析学家之一。幼年时在父亲的教导下学习数学。拉格朗日、拉普拉斯常和他的父亲交往，曾预言柯西日后必成大器。1805年柯西入理工科大学，1816年成为那里的教授。1830年法王查理十世被逐，路易。菲利普称帝。柯西由于拒绝作效忠宣誓，被革去职位，出走国外。

1838年柯西返回法国，法兰西学院给他提供了一个要职，但是宣誓的要求仍然成为接纳他的障碍。1848年路易。菲利普君主政体被推翻，成立了法兰西第二共和国，宣誓的规定被废除，柯西终于成为理工科大学的教授。1852年发生政变，共和国又变成帝国，恢复了宣誓仪式，唯独柯西和阿拉果（Ｄ.Ａｒａｇｏ 1786－1853 法国物理学家）可以免除。1821年，在拉普拉斯和泊松的鼓励下，柯西出版了《分析教程》、《无穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中的应用》这几部划时代的著作。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。柯西的极限定义至今还在普遍使用，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在较为坚实的基础上。

现今所谓的柯西定义或ε－δ方法是半个世纪后经过维尔斯特拉斯的加工才完成的。柯西时代实数的严格理论还未建立起来，因此极限理论也就不可能完成。柯西在1821年提出ε方法（后来又改成δ），即所谓极限概念的算术化，把整个极限过程用一系列不等式来刻画，使无穷的运算化成一系列不等式的推导。后来维尔斯特拉斯将ε和δ联系起来，完成了ε－δ方法。

第五篇：柯西不等式的小结

柯西不等式的小结

浙江省余姚中学

徐鹏科

315400 柯西不等式是数学分析和数学物理方程研究中一个非常重要的不等式，普通高中数学新课程把它列入选修内容，然而对于浙江等省份而言，又是高考报考第一类大学的加试内容。因此对其作一小结很有必要，通过几年的教学与实践，应该说把握这块知识已不是困难的事。

新课程选修４-５中，施行类比的数学思想方法得到的柯西不等式一般形式为：

设a1,a2,a3,,an;b1,b2,b3,,bn是实数，则

222222(a12a2a3an)(b12b2b3bn)(a1b1a2b2a3b3anbn)2

当且仅当bi0(i1,2,3,,n)或存在一个实数k使aikbi(i1,2,3,,n)时等号成立。课本提供的证时方法是构造函数f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)2，利用f(x)非负性来完成不等式的证明。笔者认为，课本从二维向量类比到三维向量后得到了三维形式的柯西不等式，如果再增加从三维向量到n维向量的类比，那么柯西不等式的一般形式也就此可得，这是我们作为教师应该想到的地方。在这里必须指出，大多学生在学习柯西不等式时会遇到的困难不少，不等式形式的记忆，不等式应用的灵活性，会使学家生置身于云里雾里。笔者在教学中为学生记忆方便，编了如下的顺口溜：“大端括号乘括号，小端括号添平方，末平方的平方和，已平方的和串积，莫忘何时能相等。”实践证明，效果是明显的。

柯西不等式是一个公式，公式总涉及到应用的问题，公式的应用不外乎“顺用”、“逆用”、“变用”这三种用法，下面来举例说明，由于篇幅有限每道例题只作分析，读者阅后自证较易。

首先要掌握“顺用”，这里指的是从大到小的应用 例

1、设x1,x2,,xnR，且x1x2xn1。

22xnx12x21求证：.1x11x21xnn1分析：根据柯西不等式的特征和x1x2xn1，要证的不等式可变形为

22xnx12x2(n1)(左边第一括号中的n可看成n个)(x1x2xn)2，1x11x21xn1的和，再把余下的1代掉即可得需证不等式，即证：

22xnx12x2[(1x1)(1x2)(1xn)]()(x1x2xn)2，此即

1x11x21xn柯西不等式，显然成立。

其次要掌握“逆用”，这里指的是从小到大的应用。例2 已知 2x3y4z10求xyz的最小值.222分析： 102x3y4z23422222xyz22x2y2z2

100203040,y,z 当且仅当x时等号成立

29292929100222

xyz

min29本题的解题过程告诉我们，柯西不等式中的三个括号，如果其中两个是定值，则必可求出余下一个括号的最值。

最后，要把握”变用”，这里指的是对整个公式作灵活应用，是公式应用中的最高层次。例 3 设实数 x,y满足2x23y25，求Ax2y的最大值.分析： 显然，本题解决方向应是从小端向大端行进，然而，恰当配凑常数是关键。

Ax2y222x22211113y5 6232

Ax2yx2y330 6例4 已知x,y,zR且xyz1

（1）若2x23y26z21求x,y,z的值.（2）若2x23y2tz21恒成立，求正数t的取值范围.分析： 对于（1），求x,y,z的值只有两个方程，这是一个三元不定方程，一般不能求出确 定的x,y,z的解，现题目要求这样做，因此个中必有特殊情况，特殊情况就在柯西不等式中，21112x23y26z22x23y26z2xyz1

236

等号当且仅当x111,y,z时取到。23622可见题设的特殊性。确定了未知数能取的特殊性。

对于（2），既然2x3ytz1恒成立，除参数t必然的一个取值范围的要求外还 须2x3ytz的最小值也应该是大于等于1.为此只需柯西不等式从大端到小端的进行，又2x23y2tz2于是2x23y2tz222222111xyz1，2362min1516t1成立，解得t6

例 5 已知 wxyzF16，求F8wxyz的最大值.2222分析： 要求出F的最大值，需要建立关于F的不等式，借助柯西不等式就可以达到目的.8Fwxyz11112222

于是有 5F16F0,222w2x2y2z2416F2

0F165Fmax当且仅当xyzw6时取到。5165

例 6 如图 已知在锐角ABC中，BCa,ACb,ABc，其内一点P向三边作垂线，垂足为N，M，L，试求BCCM22AN的最小值，zND2A并指出此时P点的位置。

分析： 为了求出题中变量的最小值，首先想到的是把这 个量用数学式子表达出来。于是可设

MyBLx,CMy,ANz

PB2x2PC2(ax)22222由勾股定理PCyPA(by)PA2z2PB2(cz)2三式相加即得

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(ax)2(by)2(cz)2x2y2z2

化简整理得axbycz12(ab2c2)2(1)

(2)由柯西不等式axbycz222a2b2c2x2y2z2a2b2c2有（1）、（2）得到xyz4当且仅当x2(3)

abc,y,z时取到。22222a2b2c2BCCMAN的最小值为

4此时P点是锐角三角形ABC的外心。

综上所述，柯西不等式的教学既要抓紧基础知识的落实，又要灵活掌握应用。在柯西不等式的应用中充满着智慧，对运算能力特别是代数式的变形技巧和数字的配凑技巧提出较高的要求，是培养学生能力的好场所。