2014南开大学705量子力学导论考研复习精编（共5则范文）

第一篇：2014南开大学705量子力学导论考研复习精编（共）

2014南开大学705量子力学导论考研复习精编

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2、适用科目：

705量子力学导论

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第二篇：量子力学导论 第十章 教案

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

第10章

定态问题的常用近似方法 §10.0 引言

§10.1 非简并定态微扰理论 §10.2 简并微扰理论 §10.3 变分法

§10.0

引

言

（一）近似方法的重要性

前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单问题。如：（1）一维无限深势阱问题；（2）线性谐振子问题；

（3）势垒贯穿问题；

（4）氢原子问题。

这些问题都给出了问题的精确解析解。

然而，对于大量的实际物理问题，Schrodinger 方程能有精确解的情况很少。通常体系的 Hamilton量是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近似方法）就显得特别重要。

（二）近似方法的出发点

近似方法通常是从简单问题的精确解出发，来求较复杂问题的近似解。

（三）近似解问题分为两类

（1）体系 Hamilton 量不是时间的显函数——定态问题 1.定态微扰论；

2.变分法。

（2）体系 Hamilton 量显含时间——状态之间的跃迁问题 1.与时间 t 有关的微扰理论；

2.常微扰。§10.1 非简并定态微扰理论

（一）微扰体系方程

（二）态矢和能量的一级修正

（三）能量的二阶修正

（四）微扰理论适用条件

（五）讨论

（六）实例 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

（一）微扰体系方程

微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。

例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由于其它行星的影响，其轨道需要予以修正。在这种情况下，计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体系统，求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变化。

可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫做微扰体系。假设体系 Hamilton 量不显含时间，而且可分为两部分：

ˆHˆHˆ H0ˆ0所描写的体系是可以精确求解的，其本征值E(0)，本征矢|(0)满足如下本征方Hnn程：

ˆ0|(0)E(0)|(0) Hnnnˆ是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可以看作加于Hˆ0上的微小扰另一部分H动。现在的问题是如何求解微扰后 Hamilton 量H的本征值和本征矢，即如何求解整个体系的 Schrodinger 方程：

ˆ|E| Hnnn(0)(0)当H0时，|n|n ； , EnEn(0)(0)当H0时，引入微扰，使体系能级发生移动，由En状态由|n En，|n。为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：

ˆW H其中λ是很小的实数，表征微扰程度的参量。

为明确起见，我们干脆将量子数n对应的能级和波函数分别写为En、|n，请注意与教材中对应

因为En、|n都与微扰有关，可以把它们看成是λ的函数而将其展开成λ的幂级数：

(0)(1)(2)EnEnEn2En|n|

(0)n|2

(1)n|2(2)n 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)(1)(2)其中En，En，2En，…分别是能量的0 级近似，能量的一级修正和二级修正等；(0)(1)(2)而||n，|n，2|n，…分别是状态矢量 0 级近似，一级修正和二级修正等。

代入Schrodinger方程得：

ˆW)(|(0)|(1)2|(2))(H0nnn(E乘开得：(0)nE(1)nE2(2)n)(|(0)n|(1)n|2(2)n)

(0)(0)ˆ|(0)00HEn|n0n1(1)(0)(0)(1)(1)(0)ˆH0|nW|n1En|nEn|n2ˆ2(2)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0)H0|nW|nEn|nEn|nEn|n

33根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到如下一系列方程式: ˆ|(0)E(0)|(0) 0:H0nnnˆ|(1)W|(0)E(0)|(1)E(1)|(0) 1:H0nnnnnnˆ|(2)W|(1)E(0)|(2)E(1)|(1)E(2)|(0) 2:H0nnnnnnnn整理后得：

ˆE(0)]|(0)0[H0nnˆE(0)]|ψ(1)[WE(1)]|ψ(0)[H0nnnn (0)(2)(1)(1)(2)(0)ˆE]|[WE]|E|[H0nnnnnn(1)(2)上面的第一式就是H0的本征方程，第二、三式分别是|n和|n|所满足的方程，由此可解得能量和态矢的第一、二级修正。

（二）态矢和能量的一级修正

(0)现在我们借助于未微扰体系的态矢||n和本征能量En来导出扰动后的态矢

(0)|n和能量En的表达式。

(1)(1)能量一级修正En

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)根据力学量本征矢的完备性假定，H0的本征矢|n是完备的，任何态矢量都可按(1)其展开，|n 也不例外。因此我们可以将态矢的一级修正展开为：

|ψ(1)n|ψk1(0)kψ|ψ(0)k(1)n(1)(0)akn|ψk

k1(1)(0)(1)其中aknψk|ψn。

是一组完备基矢。|k(0)（k1,2,,）代回前面的第二式并计及第一式得：

ˆE(0)]a(1)|(0)[WE(1)]|(0) [H0nknknnk1或写成

ak1(1)kn(0)(1)(0)[Ek(0)En]|k(0)[WEn]|n

(0)左乘n|, 有

k1(1)(0)(0)(0)(0)(0)(1)(0)(0)akn[Ek(0)En]m|km|W|nEnm|n

考虑到本征基矢的正交归一性：

ak1(1)kn(0)(1)[Ek(0)En]mkWmnEnmn

(1)(0)(0)(1)amn[EmEn]WmnEnmn

考虑两种情况 1.mn

(1)(0)(0)EnWnnn|W|n

2.mn

a(1)mn(0)(0)Wmnm|W|n (0)(0)(0)(0)EnEmEnEm可以给出波函数的展开系数 准确到一阶微扰的体系能量：

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)(1)EnEnEn(0)(0)(0)Enn|W|n(0)(0)(0)Enn|W|n

ˆ|(0)E(0)(0)|Hnnn(0)ˆEnHnnˆ(0)|Hˆ|(0) 其中Hnnnn即能量的一级修正等于微扰 Hamilton 量在 0 级态矢中的平均值

(1)（2）态矢的一级修正|n

令|(1)n(1)akn|k(0)

k1为了求出体系态矢的一级修正，我们先利用扰动态矢|n的归一化条件证明上式展开(1)系数中ann0（可以取为0）

证：

基于|n的归一化条件并考虑上面的展开式

1n|n(0)(1)(0)(1)[n|n|][|n|n](0)(0)(0)(1)(1)(0)(1)(1)n|nn|nn|n2n|n(1)(0)(1)(0)1[aknn|k(0)akn*k(0)|n]2k1(1)(1)1[aknnkakn*kn]2k1(1)(1)1[annann*]

各级波函数都可以是归一的。由于归一，所以

(1)(1)[annann*]0

(1)(1)(1)0，[annann*]0Re[ann]0

(1)(1)(1)的实部为0。ann是一个纯虚数，故可令annanni（为实）。

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)(1)|n|nakn|k(0)k1(0)(1)(0)(1)|nann|nakn|k(0)kn(0)(0)(1)|ni|nakn|k(0)kn

(0)(1)(1i)|nakn|k(0)kn(0)(1)ei|nakn|k(0)kn(0)(1)(0)ei|a|knknkn最后两步用到公式eiλ1iλ。

（三）能量的二阶修正

(0)对|nei(|nakn(1)kn(0)|k)

(1)(0)上式结果表明，展开式中，ann|n项的存在只不过是使整个态矢量|n增加了(1)一个相因子，这是无关紧要的。所以我们可取 = 0，即ann0。这样一来，(1)akn|k(0)kn(0)k(0)|W|n(0)|k(0)(0)EEknnk|n||(0)n(0)n(0)k(0)|W|n(0)||k(0)(0)EEknnkˆ|(0)(0)k(0)|H(0)n|n|k(0)(0)EnEkknHkn(0)|n(0)|k(0)(0)knEnEk(0)n(2)与求态矢的一阶修正一样，将|n按|n 展开：

(0)|(2)n|k1(0)k(0)k|(2)n(2)akn|k(0)

k1(1)与|n展开式一起代入关于 的第三式 6 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

ˆE(0)]a(2)|(0)[WE(1)]a(1)|(0)E(2)|(0) [H0nknknknknnk1k1[Ek1(0)kE]a(0)n(2)kn|(0)k(1)(0)(2)(0)[WE]akn|kEn|n

(1)nk1(0)左乘态矢m|得

[Ek1(0)kE]a(0)n(2)kn(0)m|(0)k(1)(0)aknm|W|k(0)k1

(1)(1)(0)(2)(0)(0)Enm|k(0)Enm|naknk1利用正交归一性，有

[Ek1(0)kE(0)n]a(2)knmkδak1(0)n(2)mn(1)knψ|W|ψ(0)m(0)kE(1)nak1(1)knmkδ(2)Enδmn

[E1.当mn时

(0)mE]a(1)(1)(1)(2)aknWmkEnamnEnmn

k1(1)(1)(1)(2)0aknWmkEnamnEnk1E(2)naWnkWnna(1)knk1(1)nnaWnk(1)knknWknWnk(0)(0)knEnEk*WknWkn|Wkn|2(0)(0)(0)(0)knEnEkknEnEk(1)

利用了aknWkn。(0)EnEk(0)在推导中使用了微扰矩阵的厄密性

*(0)(0)(0)Wknk(0)|W|n*n|W|k(0)n|W|k(0)Wnk2.当mn时

[E(0)mE]a(0)n(2)mn(1)(1)(1)aknWmkEnamn

k1 7 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(1)(1)aknWmkWnnamn(0)(0)(0)(0)EEEnEmk1nma(2)mnkn(0)[EnWknWmkWnnWmn(0)(0)(0)(0)2Em][EnEk(0)][EnEm]

可以给出波函数的展开系数。能量的二级修正

E2(2)n(0)|Wkn|2|k(0)|W|n|2(0)(0)(0)(0)EEEEknknnknk

(0)(0)22ˆ||k|H|n||Hkn(0)(0)(0)EnEk(0)knknEnEk2在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：

EnE(0)nEE(1)n2(2)nE(0)n|2|Hkn(0)Hnn(0)knEnEk

（四）微扰理论适用条件

总结上述，在非简并情况下，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出：

|2|Hkn(0)EnEHnn(0)knEnEk

H(0)|n|n(0)kn(0)|k(0)knEnEk(0)n欲使二式有意义，则要求二级数收敛。由于不知道级数的一般项，无法判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件是：

Hkn(0)(0)，EE1nk(0)(0)EnEk这就是本节开始时提到的关于H很小的明确表示式。当这一条件被满足时，由上式计算得到的一级修正通常可给出相当精确的结果。

上述微扰适用条件表明：

|k|H|n（1）Hkn(0)(0)(0)(0)要小，即微扰矩阵元要小；

（2）EnEk 要大，即能级间距要宽。

例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数n成反比，即

2En

Z2e422n28，n1,2,3,... 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

由上式可见，当n大时，能级间距变小，因此微扰理论不适用于计算高能级（n大）的修正，而只适用于计算低能级（n小）的修正。

（五）讨论

（1）在一阶近似下：

|n|(0)nknHkn(0)| k(0)(0)EnEk(0)表明扰动态矢|n可以看成是未扰动态矢|k的线性叠加。

（2）展开系数

Hkn(0)表明第k个未扰动态矢|对第n个扰动态矢|n的贡k(0)(0)EnEk(0)献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔，所以能量最接近的态|k混合的也越强。因此态矢一阶修正无须计算无限多项。

(0)(0)（3）由EnEn加上微扰Hnn可知，扰动后体系能量是由扰动前第n态能量En(0)Hamilton量H在未微扰态|n中的平均值组成。该值可能是正或负，引起原来能级上移或下移。

（4）对满足适用条件

Hkn(0)Ek(0)1，En(0)(0)EnEk0 就需要微扰的问题，通常只求一阶微扰其精度就足够了。如果一级能量修正Hnn求二级修正，态矢求到一级修正即可。

（5）在推导微扰理论的过程中，我们引入了小量λ，令：HW只是为了便于将扰动后的定态Schrodinger方程能够按λ的幂次分出各阶修正态矢所满足的方程，仅此而已。一旦得到了各阶方程后，λ就可不用再明显写出，把W理解为H即可，因此在以后讨论中，就不再明确写出这一小量。

（六）实例

例1.一电荷为 e 的线性谐振子，受恒定弱电场ε作用。电场沿 x 正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。

解：（1）电谐振子Hamilton 量

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

2d21ˆH22x2ex 22dx将 Hamilton 量分成H0H两部分，在弱电场下，上式最后一项很小，可看成微扰。

ˆ2d212μω2x2H022μdx Hˆexε(0)（2）写出 H0 的本征值和本征函数E(0), n

(0)nNne2x2/2Hn(x)

，Nn n2n!(0)，n0,1,2, En(n12)(1)（3）计算En

E(1)nHnn(0)*n(0)(0)*(0)ˆHndxenxndx0

上式积分等于 0，是因为被积函数为奇函数所致。（4）计算能量二级修正

矩阵元。欲计算能量二级修正，首先应计算HknHkn(0)*k(0)(0)*(0)ˆHndxekxndx

利用线性谐振子本征函数的递推公式：

xn1[nn1n1n1] 22eHkn(0)n1(0)]dxk(0)*1[nn122n1(0)*(0)(0)n1e[kn1dxk(0)*n1n1dx] 22e[nk,n1n1k,n1]22将上式代入能量二级修正公式，得

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

E(2)nkn|2|Hkn(0)EnEk(0)

|e[nk,n1n1k.n1]|222(0)(0)knEnEk11n1(e)2n(0)(0)(0)(0)2EnEn2EE1nn1对谐振子有；

(0)(0)(0)(0)EnEn1, EnEn1

(2)En(e)2[n1n11](e)21222(2)22e22由此式可知,能级移动与n无关,即与扰动前振子的状态无关.(1)nknHkn(0)k(0)(0)EnEkkne[nk,n1n1k,n1]22(0)k(0)EnEk(0)

n11(0)(0)en1n1n1(0)(0)(0)(0)2En2EnEE1nn11(0)1(0)enn1n1n221e123(0)(0)n1nn1n1(5)讨论-----电谐振子的精确解

实际上这个问题是可以精确求解的，只要我们将体系Hamilton量作以下整理：

22d22ˆH12xex22dx2d21ee2e2222[x2x()]22222dx22d12[xe]2e2dx222222222

2d2e2ε2221μωx222μdx2μω2 11 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

其中xxeε，可见，体系仍是一个线性谐振子。它的每一个能级都比无电场时2μωeεe2ε2的线性谐振子的相应能级低，而平衡点向右移动了距离。22μω2μω由于势场不再具有空间反射对称性，所以波函数没有确定的宇称。这一点可以从下式扰

(0)(0)(0)动后的波函数n已变成n,n1,n1的叠加看出。

(0)(0)1[n1nn1n1] 32(0)(1)(0)nnnne01c0 例2.设Hamilton量的矩阵形式为：Hc300c2（1）设c<<1，应用微扰论求H本征值到二级近似；（2）求H 的精确本征值；

（3）在怎样条件下，上面二结果一致。解：

（1）c<<1，可取0级和微扰Hamilton量分别为：

1000c0H0030，Hc00

00200cH0是对角矩阵，是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0 级近似为：

(0)(0)E1(0)1，E23，E32

由非简并微扰公式

(1)EnHnn|2 (2)|HknEnE(0)E(0)knnk得能量一级修正：

0E1(1)H11(1)0 E2H22(1)cE3H33能量二级修正为： 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

E(2)11|2|2|2|Hk|H31|H211c2 (0)(0)(0)2Ek(0)E1(0)E2E1(0)E3knE1kn(2)3E(2)22|2|2|2|Hk|H32|H121c2 (0)(0)(0)(0)2E2Ek(0)E2E1(0)E2E3E3|2|2|2|Hk|H13|H23(0)(0)(0)0(0)(0)(0)EEEEEEkn3k3132准确到二级近似的能量本征值为：

E11c21212E232c E32c(2)精确解：

设 H 的本征值是 E，由久期方程可解得：

1Ec0c03E00 0c2E(c2E)(E24E3c2)0

解得：

E21c212E221c E2c3(3)将准确解按 c(<<1)展开：

E21c211c21c428121214E221c32c8c E2c3比较（1）和（2）之解

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

E11c2E21c2121212E232c，E221c E2c3E32c可知，微扰论二级近似结果与精确解展开式不计c及以后高阶项的结果相同 §10.2 简并微扰理论

（一）简并微扰理论

（二）实例

（三）讨论

（一）简并微扰理论

(0)(0)假设En是简并的，那末属于H0的本征值En有k个归一化本征函数:

4|n1，|n2，……，|nk n|n

(0)为描述方便，我们将量子数n对应的能级和k重简并波函数分别写为En、|n，请注意与教材中的|n对应

显然它们满足本征方程：

ˆE(0)]|n0，1,2,3,,k [H0n共轭方程

ˆE(0)]0，1,2,3,,k n|[H0n在用微扰论求解问题时，需要知道0级近似波函数，但我们不知道在k个本征函数中究竟应取哪一个作为波函数的0级近似。所以在简并情况下，首先要解决如何选0级近似波函数的问题，然后才是求能量和波函数的各级修正。

0级近似波函数肯定应从这k个|n中挑选，而它应满足上节按幂次分类得到的方程：

ˆ(0)E(0)]|(1)[HˆE(1)]|(0) [Hnnnn 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)根据这个条件，我们选取0级近似波函数|n的最好方法是将其表示成k个|n的线性组合，因为反正0级近似波函数要在|n(1,2,3,,k)中挑选。

(0)n|c|n

1k(0)|n已是正交归一化，系数c由 一次幂方程定出

ˆ(0)E(0)]|(1)[HˆE(1)]c|n[Hnnn1(1)ˆ|nEnc|ncHkkk

11左乘n|得：

ˆ(0)E(0)]|(1)E(1)cn|ncn|Hˆ|nn|[Hnnn1kkk1Ek(1)n1ccH1k

(1)]c[EnH1ˆ(0)E(0)]0）（由n|[Hnˆ|n。n|H其中H得：1k(1)En[H]c0。

上式是以展开系数c为未知数的齐次线性方程组,它有不含为零解的条件是系数行列式为零，即

(1)EnH11H21H12(1)EnH222Hk1Hk(1)EnHkk(1)0

(1)解此久期方程可得能量的一级修正En的k个根：En（=1,2,...,k），因为(0)(1)(1)所以若这k个根都不相等,则一级微扰就可以将k度简并完全消除；若EnEnEnEn有几个重根,则表明简并只是部分消除,须进一步考虑二级修正才可使能级完全分裂开来。

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(1)为了确定能量En所对应的0级近似波函数，可以把En之值代入线性方程组从而解得一组c(=1,2,...,k)系数，将该组系数代回展开式就能够得到相应的 0 级近似波函数。

(1)为了能表示出c 是对应与第个能量一级修正En我们在其上加上角标的一组系数，而改写成c。这样一来，线性方程组就改写成：

1k(1)En[H]c0，1,2,,k

(1)则对应En修正的0级近似波函数改写为：

k|

（二）实例

例1.氢原子一级 Stark 效应（1）Stark 效应

(0)nc|n

1氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为 Stark 效应。

我们知道电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，造成第n 个能级有n度简并。但是当加入外电场后，由于势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并部分被消除。Stark 效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。

（2）外电场下氢原子 Hamilton 量

2ˆHˆHˆ H0ˆ22e2H02r Hˆerezercos取外电场沿 z 正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多，例如,强电场≈107 伏/米，而原子内部电场≈1011伏/米，二者相差 4个量级。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。

（3）H0 的本征值和本征函数

e4n1,2,3,En22 2n(rnlm)Rnl(r)Ylm(,)量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

下面我们只讨论 n=2 的情况，这时简并度 n2=4。

2e2，a0 En22e88a0e4属于该能级的4个简并态是：

1200R20Y00412(a1)3/2(2ar)er/2a0000002210R21Y10412(a1)3/2(ar)er/2acos3211R21Y1181()13/2ra0a00()e0r/2a0sine0i

4211R21Y1181(a1)3/2(ar)er/2asinei其中，|2，1,2,3,4。即

1|21ψ2001|21ψ200（4）求H在各态中的矩阵元

1|21ψ2004|24ψ211

由简并微扰理论知,求解久期方程,须先计算出微扰Hamilton量H’在以上各态的矩阵元。

ˆ|eR|r|RY|cos|Y1|HH12220210010ˆ|eR|r|RY|cos|Y 2|HH21121201000我们碰到角积分Ylm|cos|Ylm需要利用如下公式：

22(l1)2m2lm cosYlmYY(2l1)(2l3)l1,m(2l1)(2l1)l1,m于是

Ylm22(l1)2m2lm|cos|YlmYlm|Yl1,mYlm|Yl1,m(2l1)(2l3)(2l1)(2l1)22(l1)2m2lm(2l1)(2l3)ll1mm(2l1)(2l1)ll1mm欲使上式不为 0，由球谐函数正交归一性要求量子数必须满足如下条件：

ll1lll1ll1 mmm0mm 17 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

，H21不等仅当l1，m0时，H的矩阵元才不为0。因此矩阵元中只有H12于0。

因为Y10|cos|Y00所以

3H21eR20|r|R21H123e(1)3/2(2r)er/2a0r1(1)3/2(r)er/2a0r2dra0a0302a032a0e(1)4(2r)er/a0r4dr24a00a0

r/a044e1()[2erdrrer/a0r4dr]00a24a005e(1)4[a04!(25)]24a03ea0这是微扰矩阵元的表达式（5）能量一级修正

将H的矩阵元代入久期方程：

(1)E23ea0(1)E2000(1)E20000(1)E23ea000解得 4 个根：

0

0(1)E21(1)E22(1)E23E(1)243ea03ea000(0)

由此可见，在外场作用下，原来 4 度简并的能级E2在一级修正下，被分裂成 3 条能级，简并部分消除。当跃迁发生时，原来的一条谱线就变成了 3 条谱线。其频率一条与原来相同，另外两条中一条稍高于一条稍低于原来频率。见下图：

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

6）求 0 级近似波函数

(1)分别将E2 的 4 个值代入方程组：

kE)c0(H (1)n11,2,k得 四 元一次线性方程组

(1)E2c13ea0c20(1)03ea0c1E2c2(1)0E2c30000000000

(1)E2c40(1)(1)将E2E213ea0代入上面方程，得：

c1c2 c3c40(0)所以相应于能级E23ea0 的0级近似波函数是：

1(0)1[12]1[200210]

22(1)(1)将E2E223ea0代入上面方程，得：

c1c2 c3c40(0)所以相应于能级E23ea0的0级近似波函数是：

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

(0)21[12]1[200210]

22(1)(1)(1)将E2E23E240，代入上面方程，得：

c1c20 0的常数c3和c4为不同时等于(0)因此相应与E20的0级近似波函数可以按如下方式构成：

(0)(0)3(4)c33c44c3211c4211

我们不妨仍取原来的0级波函数（经常这样处理），即令：

c31c40(0)3211则(0)。4211orc30 c41（7）讨论

(0)上述结果表明，若氢原子处于 0 级近似态1, 2, 3, 4，那末，氢原子就

(0)(0)(0)好象具有了大小为3ea0的永久电偶极矩一般。对于处在1, 2态的氢原子，其电矩取

(0)向分别与电场方向平行和反平行；而对于处在3, 4态的氢原子，其电矩取向分别与电

(0)(0)(0)场方向垂直。

例2.有一粒子，其 Hamilton 量的矩阵形式为：HH0H，其中

2000H0020，H0002000，1 00求能级的一级近似和波函数的0级近似。

解：H0的本征值问题是三重简并的，这是一个简并微扰问题。

(1)(1)求本征能量

由久期方程HEI0得：

E(1)00E(1)00E(1)0

E(1)E(1)20 2 20 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

解得：E(1)0,。记为：

(1)0，E1(1) E1(1)，E2故能级一级近似：

E1E0E1(1)2(1)E2E0E22(1)EEE2303简并完全消除

(2)求解 0 级近似波函数 将E1(1)代入方程，得：

0000由归一化条件：

c1(c1c3)c1c3c0c0 22c20c(cc)133c则ψ1(0)*1c1*0c102|c1|21取实解：c11

2c1110。

21将E20代入方程，得：(1)00由归一化条件：

00000c1c3c2000c1c30 cc3100c2*0c2|c2|21取实解：c21

0 21 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

则2(0)01。0(0)如法炮制，得3110

21

（三）讨论

（1）新 0 级波函数的正交归一性 1.正交性

对处理λ一次幂所带来的系数公式

E]c0[H(1)n1k(1)

取复共厄

)[(H1k*(1)*Enc0 ]ˆ的厄米性，有 由于Hˆ|n*n|Hˆ|n)*n|H(Hˆ|nHn|HE]c0 [H(1)n*1k

改记求和指标

，

(1)*En[H]c0k(2)

1由前知E]c0[H(1)n1k(1)

k(1)c(2)c *11(1)*E]cc[HEn[H]cc0

(1)n*kkkkk1111上式合起来可写为 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

kk[EE]cc0 (1)n(1)n*11或[E(1)n*E]cc0(1)nk1(1)(1)对于EnEn的根，k*c0c(3)

1(0)(1)(0)(1)对应于EnEnEn和EnEnEn的 0 级近似本征函数分别为：

kk|(0)nc|n1|(0)nc|n

1(0)n|(0)n*ccn|nkk11kk**cccc0k

111利用了(3)式cc0。*1k上式表明，新 0 级近似波函数满足正交条件。2.归一性

由于新 0 级近似波函数应满足归一化条件，对于同一能量，即角标，则上式变为：

(0)n|(0)n*cc1k(4)

1Eq.(3)和Eq.(4)合记之为：

cc*1k(5)

(2)可以证明在新 0 级近似波函数n为基矢的 k 维子空间中，H’从而 H的矩阵形式是对角化的。

证：

(0)23 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

kk(0)nˆ|(0)c*cn|Hˆ|n|Hn11kkccHccH**kk11k*11k

cEcE(1)nk(1)n11*cc1(1)Enk第2－3步用到了（1）式

E]c0。[H(1)n1上式最后一步利用了Eq.(5)关系式。所以 H’在新0级近似波函数为基矢的表象中是对角化的。

[证毕] 因为 H0在自身表象中是对角化的，所以在新0级近似波函数为基矢的表象中也是对角化的。当时，上式给出如下关系式：

(1)(0)ˆ(0)Enn|H|n

也就是说，能量一级修正是 H’在新 0 级波函数中的平均值。这一结论也是预料之中的事。

求解简并微扰问题，从本质上讲就是寻找一么正变换矩阵 S，使 H’从而 H 对角化。求解久期方程和线性方程组就是寻找这一么正变换矩阵的方法。例如：前面讲到的例 2

200H00200020H0000001

应用简并微扰论解得的新 0 级近似波函数是：

1(0)11021(0)20103(0)110

21这是新 0 级近似波函数在原简并波函数i，i = 1,2,3.为基矢所张开的子空间中的矩阵表示，即

cii

(0)i13 24 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

我们求解

i13E(1)li)ci0(Hlil1,2,3

就是为了寻找一个么正变换 S，使原来的 H = H0 + H’ 在以i为基矢的表象中的表示变到(0)为基矢的表象中，从而使 H 对角化。

根据表象理论，若(0)在以i为基矢的表象中的形式由下式给出，1(0)(0)11021(0)20103(0)110

21则由表象到表象的么正变换矩阵为：

12S012其逆矩阵为

0100 121212~*1SSS012H’从表象到(0)0100 1212表象由下式给出：

S1HSHS0100α1221000001α001022000000012012010120 12§10.3 变分法

微扰法求解问题的条件是体系的 Hamilton 量 H可分为两部分

ˆHˆHˆ H0 25 量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

其中 H0 的本征值本征函数已知有精确解析解，而 H’很小。如果上面条件不满足，微扰法就不适用。这时我们可以采用另一种近似方法—变分法。

（一）能量的平均值

（二）< H >与 E0 的偏差和

（三）如何选取试探波函数

（四）变分方法

（五）实例

（一）能量的平均值

设体系的 Hamilton 量 H 的本征值由小到大顺序排列为：

试探波函数的关系

E0E1E2......En......012......n......上式第二行是与本征值相应的本征函数，其中E0、0分别为基态能量和基态波函数。

为简单计，假定H本征值是分立的，本征函数组成正交归一完备系，即

ˆH|nEn|n|nn|1nm|nmnn0,1,2,

设是任一归一化的波函数，在此态中体系能量平均值：

ˆ|H，则必有EE EH|H0证： 插入单位算符|nnn|1，则

ˆ||Hˆ||EH|HnnnEn|nn|n

E0|nn|E0|E0n即HE0。

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

这个不等式表明，用任意波函数计算出的平均值 总是大于（或等于）体系基态的能量，而仅当该波函数等于体系基态波函数时，平均值 才等于基态能量。

若未归一化，则

ˆ||HHE0

|基于上述基本原理，我们可以选取很多波函数: : (1)，(2)，…，(k)，…称为试探波函数，来计算

HH1,H2,Hk

其中最小的一个就最接近基态能量 E0，即

Min[H1,H2,Hk]E0

如果选取的试探波函数越接近基态波函数，则 H 的平均值就越接近基态能量 E0。这就为我们提供了一个计算基态能量本征值近似值的方法。

使用此方法求基态能量近似值还需要解决以下两个问题：（1）试探波函数与0之间的偏差和平均值（2）如何寻找试探波函数。

（二）< H >与 E0 的偏差和试探波函数的关系

由上面分析可以看出，试探波函数越接近基态本征函数， 就越接近基态能量 E0

.那末，由于试探波函数选取上的偏差0会引起[-E0]的多大偏差呢？

为了讨论这个问题，我们假定已归一化的试探波函数为：

< H > 与 E0之间偏差的关系；

||0||1

其中是一常数，是任一波函数，满足0所满足的同样的边界条件。显然|有各种各样的选取方式，通过引入|就可构造出在0附近的有任意变化的试探波函数。能量偏差：

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ˆE|HE0|H0ˆE0|*|H0|0|ˆE||HˆE| 0|H0000ˆE|||2|HˆE|*|H000ˆE|||2|H0ˆ|E|）（利用了Hnnn可见，若是一小量，即波函数偏差0|

是一阶小量，那末

ˆE| HE0||2|H0是二阶小量。

这也就是说， 是小量，与0很接近，则< H >与 E0更接近。当且仅当0时，才有< H > = E0。

[结论] 上述讨论表明，对本征函数附近的一个任意小的变化，本征能量是稳定的。因此，我们选取试探波函数的误差不会使能量近似值有更大的误差。

（三）如何选取试探波函数

试探波函数的好坏直接关系到计算结果，但是如何选取试探波函数却没有一个固定可循的法则，通常是根据物理上的知觉去猜测。

（1）根据体系 Hamilton 量的形式和对称性推测合理的试探波函数；（2）试探波函数要满足问题的边界条件；

（3）为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个或多个待调整的参数，这些参数称为变分参数；

（4）若体系Hamilton量可分成两部分H=H0+ H1，而H0 的本征函数已知有解析解，则该解析解可作为体系的试探波函数。

例：一维简谐振子试探波函数 一维简谐振子Hamilton 量：

22dˆH12x2 222dx其本征函数是：

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

n(x)Nne22x/2Hn(x)

下面我们根据上面所述原则构造试探波函数。方法 I：

试探波函数可写成：

c(2x2)(x)0|x|

|x|显然，这不是谐振子的本征函数，但是它是合理的。

1.因为谐振子势是关于 x = 0 点对称的，我们的试探波函数也是关于 x = 0 点对称的； 2.满足边界条件，即当|x| →∞ 时，ψ→ 0； 3.含有一个待定的λ参数。方法 II:

亦可选取如下试探波函数：

(x)Aex2

A ——归一化常数， 是变分参量。这个试探波函数比第一个好，因为 1.(x)是光滑连续的函数；

2.关于 x = 0 点对称，满足边界条件，即当 |x|→∞ 时，ψ→ 0；

3.(x)是高斯函数，高斯函数有很好的性质，可作解析积分，且有积分表可查。

（四）变分方法

有了试探波函数后，我们就可以计算< H >

ˆ|H|H

ˆ()|H|()H()H()能量平均值是变分参数λ的函数，欲使< H(λ)>取最小值，则要求：

dH()dH()0 dd上式就可定出试探波函数中的变分参量λ取何值时 有最小值。

（五）实例

对一维简谐振子试探波函数，前面已经给出了两种可能的形式。下面我们就分别使用这两种试探波函数，应用变分法求解谐振子的基态近似能量和近似波函数。

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

方法I 使用第一种试探波函数：

c(2x2)(x)01.首先定归一化系数

|x|

|x|c*dx1

*dx00dxc2(2x2)2dx00dx2155。160165c(x)dxc11522222

2.求能量平均值

H()2ˆdx*H222d2122c(x)x(2x2)dx222dx 222222221c(x)2x(x)dx5221224143.变分求极值

dH()523120 d27235。

2代入上式得基态能量近似值为：

52H42135520.5976

351421410.5，比较二式可以看出，近似结果还2我们知道一维谐振子基态能量 E0不太坏。

方法II 使用第二种试探波函数：

1.对第二种试探波函数定归一化系数：

(x)Aex

2量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

1(x)*(x)dx|A|2e2x2dx|A|2 2|A|22。

2.求能量平均值

H()2ˆdx|A|2*Hx22ˆex2dxexH2222x2d1|A|e[x]edx2dx2222 22x2212222x22|A|edx|A|[]xedx2|A|222221212|A|[]2242带入|A|22，得

21H()21

283.变分求极值

dH()21220 d28121， 2代入上式得基态能量近似值为：

21121H2

2282这正是精确的一维谐振子基态能量。这是因为若将

代入试探波函数，得：

1 2(x)Aex21/4ex2/20(x)

量子力学 主讲：孟庆田 使用教材：曾谨言《量子力学导论》

正是一维谐振子基态波函数。此例之所以得到了正确的结果，是因为我们在选取试探波函数时要尽可能的通过对体系物理特性（Hamilton量性质）的分析，构造出物理上合理的试探波函数。

作业

p309 10.1、10.3、10.6 32

第三篇：量子力学导论第3章参考答案

第三章一维定态问题

3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，求粒子的能量本征值和本征波函数。如，能级的简并度如何？

解：能量的本征值和本征函数为

若，则

这时，若，则能级不简并;若，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如与）

3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即

求粒子的能量本征值和本征波函数。如，讨论能级的简并度。

解：能量本征值和本征波函数为,当时，时，能级不简并；

三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。

三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。

如

3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，证明处于定态的粒子

讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。

证：设粒子处于第n个本征态，其本征函数

.（1）

（2）

在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故，（3），（4）

当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。

3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，处于基态，求粒子的动量分布。

解：基态波函数为,（参P57，（12））

动量的几率分布

3.5）设粒子处于半壁高的势场中

（1）

求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。

解：分区域写出:

（2）

其中

（3）

方程的解为

（4）

根据对波函数的有限性要求，当时，有限，则

当时，则

于是

（5）

在处，波函数及其一级导数连续，得

（6）

上两方程相比，得

（7）

即

（7’）

若令

（8）

则由（7）和（3），我们将得到两个方程：

（10）式是以为半径的圆。对于束缚态来说，结合（3）、（8）式可知，和都大于零。（10）式表达的圆与曲线在第一象限的交点可决定束缚态能级。当，即，亦即

（11）

时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。

3—6）求不对称势阱中粒子的能量本征值。

解：仅讨论分立能级的情况，即，当时，故有

由在、处的连续条件，得

（1）

由（1a）可得

（2）

由于皆为正值，故由（1b），知为二，四象限的角。

因而

（3）

又由（1），余切函数的周期为，故由(2)式，(4)

由(3)，得

(5)

结合(4),(5)，得

或

（6）

一般而言，给定一个值，有一个解，相当于有一个能级：

（7）

当时，仅当

才有束缚态，故给定时，仅当

（8）

时才有束缚态（若，则无论和的值如何，至少总有一个能级）

当给定时，由(7)式可求出个能级（若有个能级的话）。相应的波函数为:

其中

3—7）设粒子（能量）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。

解：势阱为

在区域Ⅰ上有入射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。故

由，得。

由，得。

从上二式消去c,得。

反射系数

将代入运算，可得

3—8）利用Hermite多项式的递推关系（附录A3。式（11）），证明

谐振子波函数满足下列关系

并由此证明，在态下，证：谐振子波函数

（1）

其中，归一化常数

（2）的递推关系为

（3）

3—9）利用Hermite多项式的求导公式。证明（参A3.式（12））

证：A3.式（12）：

3—10）谐振子处于态下，计算，解：由题3—6），由题3—7），对于基态，刚好是测不准关系所规定的下限。

3—11）荷电q的谐振子，受到外电场的作用，（1）

求能量本征值和本征函数。

解：

（2）的本征函数为，本征值

现将的本征值记为，本症函数记为。

式（1）的势能项可以写成其中

（3）

如作坐标平移，令

（4）

由于

（5）

可表成（6）

（6）式中的与（2）式中的相比较，易见和的差别在于变量由换成，并添加了常数项，由此可知

（7）

（8）

即

（9）

(10)

其中

(11)

3—12）设粒子在下列势阱中运动，求粒子能级。

解：既然粒子不能穿入的区域，则对应的S.eq的本征函数必须在处为零。另一方面，在的区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的和谐振子的完全一样，粒子的波函数和谐振子的波函数满足同样的S.eq）。振子的具有的奇宇称波函数在处为零，因而这些波函数是这一问题的解（的偶宇称波函数不满足边条件）所以

3—13）设粒子在下列势阱中运动，(1)

是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。

解：S.eq:

(2)

对于束缚态（），令

(3)

则

(4)

积分，得跃变的条件

(5)

在处，方程(4)化为

(6)

边条件为

因此

(7)

再根据点连续条件及跃变条件(5)，分别得

(8)

(9)

由（8）（9）可得（以乘以（9）式，利用（8）式）

(10)

此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。

当势阱出现第一条能级时，所以,利用,（10）式化为,因此至少存在一条束缚态能级的条件为

（11）

纯势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为，对）。束缚态存在与否是要受到影响的。纯势阱的特征长度。

条件（11）可改写为

（12）

即要求无限高势垒离开势阱较远（）。才能保证势阱中的束缚态能存在下去。显然，当（即），时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时，式（10）给出

即

（13）

与势阱的结论完全相同。

令，则式（10）化为

（14）

由于，所以只当时，式（10）或（14）才有解。解出根之后，利用，即可求出能级

（15）

第四篇：量子力学导论第4章答案

第四章

力学量用算符表达与表象变换

4.1）设与为厄米算符，则和也是厄米算符。由此证明，任何一个算符均可分解为，与均为厄米算符，且

证：ⅰ）

为厄米算符。

ⅱ）

也为厄米算符。

ⅲ）令，则，且定义

（1）

由ⅰ），ⅱ）得，即和皆为厄米算符。

则由（1）式，不难解得

4.2）设是的整函数，证明

整函数是指可以展开成。

证：

（1）先证。

同理，现在，而。

又

而

4.3）定义反对易式，证明

证：

4.4）设，为矢量算符，和的标积和矢积定义为，为Levi-civita符号，试验证

（1）

（2）

（3）

证：

（1）式左端

（1）式右端也可以化成。

（1）式得证。

（2）式左端

（）

（2）式右端

故（2）式成立。

（3）式验证可仿（2）式。

4.5）设与为矢量算符，为标量算符，证明

（1）

（2）

证：（1）式右端

（1）式左端

（2）式右端

（2）式左端

4.6）设是由，构成的标量算符，证明

（1）

证：

（2）

（3）

同理可证，（4）

（5）

将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。

4.7）证明。

证：

利用基本对易式

即得。

因此

其次，由于和对易，所以

因此，4.8）证明

（1）

（2）

（3）

（4）

证:

（1）利用公式，有

其中

因此

（2）利用公式，（Δ）

可得

①

②

③

由①②③，则（2）得证。

（3）

（4）就此式的一个分量加以证明，由4.4）（2），其中

（即）

类似地。可以得到分量和分量的公式，故（4）题得证。

4.9）定义径向动量算符

证明：，，证：，即为厄米算符。

据4.8）（1）。

其中，因而

以左乘上式各项，即得

4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。

解：一维谐振子能量。

又奇，，（由(3.8)、(3.9)题可知），由测不准关系，得。，得

同理有。

谐振子（三维）基态能量。

4.11)

利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。

解：类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数换成（为氢原子系数）而理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径，在类氢原子中变为。

类氢原子基态波函数，仅是的函数。

而，故只考虑径向测不准关系，类氢原子径向能量为：。

而，如果只考虑基态，它可写为，与共轭，于是，（1）

求极值

由此得（：玻尔半径；：类氢原子中的电子基态“轨迹”半径）。代入（1）式，得

基态能量，运算中做了一些不严格的代换，如，作为估算是允许的。

4.12)证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。

证：设定态波函数的空间部分为，则有

为求的平均值，我们注意到坐标算符与的对易关系：。

这里已用到最基本的对易关系，由此

这里用到了的厄米性。

这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符可以表示为两个厄米算符和的对易子，则在或的本征态中，的平均值必为0。

4.13）证明在的本征态下。

（提示：利用，求平均。）

证：设是的本征态，本征值为，即，同理有：。

4.14)

设粒子处于状态下，求和

解：记本征态为，满足本征方程，，利用基本对易式，可得算符关系

将上式在态下求平均，因作用于或后均变成本征值，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此

又

上题已证。

同理。

4.15)设体系处于状态（已归一化，即），求

（a）的可能测值及平均值;

（b）的可能测值及相应的几率；

（c）的可能测值及相应的几率。

解：，。

（a）由于已归一化，故的可能测值为，0，相应的几率为。平均值。

（b）的可能测值为，相应的几率为。

（c）若，不为0，则（及）的可能测值为：，0。

1）在的空间，对角化的表象中的矩阵是

求本征矢并令，则，得，。

ⅰ）取，得，本征矢为，归一化后可得本征矢为。

ⅱ）取，得，本征矢为，归一化后可得本征矢为。

ⅲ）取，得，归一化后可得本征矢为。

在态下，取的振幅为，取的几率为；取的振幅为，相应的几率为；

取的振幅为，相应的几率为。总几率为。

2）在的空间，对角化表象中的矩阵

利用，。，本征方程，，。

ⅰ），，本征矢为。在态下，测得的振幅为。几率为；

ⅱ），，，本征矢为。在态下，测得的振幅为，几率为。

ⅲ），，，本征矢为，在态下，测得几率为。

ⅳ），，，本征矢为，在态下，测得的振幅为。几率为；

ⅴ），，，本征矢为，在态下，测得的几率为。

在态中，测（和）的可能值及几率分别为：

4.16）设属于能级有三个简并态，和，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。

解：，。

是归一化的。。

它们是正交归一的，但仍然是简并的（可验证：它们仍对应于同一能级）。

4.17）设有矩阵等，证明，，，表示矩阵相应的行列式得值，代表矩阵的对角元素之和。

证：（1）由定义，故上式可写成：，其中是的任意一个置换。

（2）

（3）

（4）

（5）

第五篇：量子力学导论第5章答案

第五章

力学量随时间的变化与对称性

5.1）设力学量不显含，为本体系的Hamilton量，证明

证.若力学量不显含，则有,令

则,5.2）设力学量不显含，证明束缚定态，证：束缚定态为:：。

在束缚定态，有。

其复共轭为。

5.3）表示沿方向平移距离算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数）,是的本征态，相应的本征值为

证：,证毕。

5.4）设表示的本征态（本征值为），证明

是角动量沿空间方向的分量的本征态。

证：算符相当于将体系绕轴转角，算符相当于将体系绕轴转角，原为的本征态，本征值为，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的轴（开始时和实验室轴重合）已转到实验室坐标系的方向，即方向，变成了，即变成了的本征态。本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为。（还有解法二，参

钱..《剖析》.P327）

5.5）设Hamilton量。证明下列求和规则。

是的一个分量，是对一切定态求和，是相应于态的能量本征值。

证：

（）

又。

不难得出，对于分量，亦有同样的结论，证毕。

5.6）设为厄米算符，证明能量表象中求和规则为

（1）

证：式（1）左端

（2）

计算中用到了公式。

由于是厄米算符，有下列算符关系：

（3）

式（2）取共轭，得到

（4）

结合式（2）和（4），得

证毕。

5.7）证明schrödinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系的速度相对于惯性参照系运动（沿轴方向），空间任何一点

两个参照系中的坐标满足下列关系：。

（1）

势能在两个参照系中的表示式有下列关系

（2）

证明schrödinger方程在参照系中表为

在参照系中表为

其中

证：由波函数的统计解释，和的意义完全相同。，是时刻在点找到粒子的几率密度；，是时刻在点找到粒子的几率密度。

但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即

（6）

从（1）式有

（6’）

由此可以得出，和两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以

（7）

（7）

由（1）式，，（3）式变为：

（8）

将（7’）代入（8）式，可得

（9）

选择适当的，使得（9）（4）。

（10）

（10’）

从（10）可得。

（11）

是的任意函数，将（11）代入（10’），可得

积分，得。

为积分常数，但时，系和系重合，应等于，即应等于，故应取，从而得到

（12）

代入（7’）式，最后得到波函数的变换规律：

（13）

逆变换为

（13’）

相当于式（13）中的，带的量和不带的量互换。

讨论：的函数形式也可用下法求出：

因和势能无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在和系中的表现形式，即可确定.沿方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为

（14）

据此，系和系中相应的平面波波函数为，（15）

（1）、（14）代入（15），即得

此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于和系的相对速度，而与粒子的动量无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。