量子力学导论第1章答案

第一章

量子力学的诞生

1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，试用de

Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

解：据驻波条件，有

（1）

又据de

Broglie关系

（2）

而能量

（3）

1.2设粒子限制在长、宽、高分别为的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为轴方向，把粒子沿轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有

即

（：一来一回为一个周期）,同理可得，，粒子能量

1.3设质量为的粒子在谐振子势中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。

提示：利用

解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为

（1）

其中由下式决定：。

0

由此得，（2）

即为粒子运动的转折点。有量子化条件

得

（3）

代入（2），解出

（4）

积分公式：

1.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。

提示：利用

是平面转子的角动量。转子的能量。

解：平面转子的转角（角位移）记为。

它的角动量（广义动量），是运动惯量。按量子化条件，因而平面转子的能量，