第四章
力学量用算符表达与表象变换
4.1）设与为厄米算符，则和也是厄米算符。由此证明，任何一个算符均可分解为，与均为厄米算符，且
证：ⅰ）
为厄米算符。
ⅱ）
也为厄米算符。
ⅲ）令，则，且定义
（1）
由ⅰ），ⅱ）得，即和皆为厄米算符。
则由（1）式，不难解得
4.2）设是的整函数，证明
整函数是指可以展开成。
证：
（1）先证。
同理，现在，而。
又
而
4.3）定义反对易式，证明
证：
4.4）设，为矢量算符，和的标积和矢积定义为，为Levi-civita符号，试验证
（1）
（2）
（3）
证：
（1）式左端
（1）式右端也可以化成。
（1）式得证。
（2）式左端
（）
（2）式右端
故（2）式成立。
（3）式验证可仿（2）式。
4.5）设与为矢量算符，为标量算符，证明
（1）
（2）
证：（1）式右端
（1）式左端
（2）式右端
（2）式左端
4.6）设是由，构成的标量算符，证明
（1）
证：
（2）
（3）
同理可证，（4）
（5）
将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。
4.7）证明。
证：
利用基本对易式
即得。
因此
其次，由于和对易，所以
因此，4.8）证明
（1）
（2）
（3）
（4）
证:
（1）利用公式，有
其中
因此
（2）利用公式，（Δ）
可得
①
②
③
由①②③，则（2）得证。
（3）
（4）就此式的一个分量加以证明，由4.4）（2），其中
（即）
类似地。可以得到分量和分量的公式，故（4）题得证。
4.9）定义径向动量算符
证明：，，证：，即为厄米算符。
据4.8）（1）。
其中，因而
以左乘上式各项，即得
4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。
解：一维谐振子能量。
又奇，，（由(3.8)、(3.9)题可知），由测不准关系，得。，得
同理有。
谐振子（三维）基态能量。
4.11)
利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。
解：类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数换成（为氢原子系数）而理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径，在类氢原子中变为。
类氢原子基态波函数，仅是的函数。
而，故只考虑径向测不准关系，类氢原子径向能量为：。
而，如果只考虑基态，它可写为，与共轭，于是，（1）
求极值
由此得（：玻尔半径；：类氢原子中的电子基态“轨迹”半径）。代入（1）式，得
基态能量，运算中做了一些不严格的代换，如，作为估算是允许的。
4.12)证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。
证：设定态波函数的空间部分为，则有
为求的平均值，我们注意到坐标算符与的对易关系：。
这里已用到最基本的对易关系，由此
这里用到了的厄米性。
这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符可以表示为两个厄米算符和的对易子，则在或的本征态中，的平均值必为0。
4.13）证明在的本征态下。
（提示：利用，求平均。）
证：设是的本征态，本征值为，即，同理有：。
4.14)
设粒子处于状态下，求和
解：记本征态为，满足本征方程，，利用基本对易式，可得算符关系
将上式在态下求平均，因作用于或后均变成本征值，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此
又
上题已证。
同理。
4.15)设体系处于状态（已归一化，即），求
（a）的可能测值及平均值;
（b）的可能测值及相应的几率；
（c）的可能测值及相应的几率。
解：，。
（a）由于已归一化，故的可能测值为，0，相应的几率为。平均值。
（b）的可能测值为，相应的几率为。
（c）若，不为0，则（及）的可能测值为：，0。
1）在的空间，对角化的表象中的矩阵是
求本征矢并令，则，得，。
ⅰ）取，得，本征矢为，归一化后可得本征矢为。
ⅱ）取，得，本征矢为，归一化后可得本征矢为。
ⅲ）取，得，归一化后可得本征矢为。
在态下，取的振幅为，取的几率为；取的振幅为，相应的几率为；
取的振幅为，相应的几率为。总几率为。
2）在的空间，对角化表象中的矩阵
利用，。，本征方程，，。
ⅰ），，本征矢为。在态下，测得的振幅为。几率为；
ⅱ），，，本征矢为。在态下，测得的振幅为，几率为。
ⅲ），，，本征矢为，在态下，测得几率为。
ⅳ），，，本征矢为，在态下，测得的振幅为。几率为；
ⅴ），，，本征矢为，在态下，测得的几率为。
在态中，测（和）的可能值及几率分别为：
4.16）设属于能级有三个简并态，和，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。
解：，。
是归一化的。。
它们是正交归一的，但仍然是简并的（可验证：它们仍对应于同一能级）。
4.17）设有矩阵等，证明，，，表示矩阵相应的行列式得值，代表矩阵的对角元素之和。
证：（1）由定义，故上式可写成：，其中是的任意一个置换。
（2）
（3）
（4）
（5）
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