第三章一维定态问题
3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，求粒子的能量本征值和本征波函数。如，能级的简并度如何？
解：能量的本征值和本征函数为
若，则
这时，若，则能级不简并;若，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如与）
3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即
求粒子的能量本征值和本征波函数。如，讨论能级的简并度。
解：能量本征值和本征波函数为,当时，时，能级不简并；
三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。
三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。
如
3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，证明处于定态的粒子
讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。
证：设粒子处于第n个本征态，其本征函数
.（1）
（2）
在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故，（3），（4）
当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。
3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，处于基态，求粒子的动量分布。
解：基态波函数为,（参P57，（12））
动量的几率分布
3.5）设粒子处于半壁高的势场中
（1）
求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。
解：分区域写出:
（2）
其中
（3）
方程的解为
（4）
根据对波函数的有限性要求，当时，有限，则
当时，则
于是
（5）
在处，波函数及其一级导数连续，得
（6）
上两方程相比，得
（7）
即
（7’）
若令
（8）
则由（7）和（3），我们将得到两个方程：
（10）式是以为半径的圆。对于束缚态来说，结合（3）、（8）式可知，和都大于零。（10）式表达的圆与曲线在第一象限的交点可决定束缚态能级。当，即，亦即
（11）
时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。
3—6）求不对称势阱中粒子的能量本征值。
解：仅讨论分立能级的情况，即，当时，故有
由在、处的连续条件，得
（1）
由（1a）可得
（2）
由于皆为正值，故由（1b），知为二，四象限的角。
因而
（3）
又由（1），余切函数的周期为，故由(2)式，(4)
由(3)，得
(5)
结合(4),(5)，得
或
（6）
一般而言，给定一个值，有一个解，相当于有一个能级：
（7）
当时，仅当
才有束缚态，故给定时，仅当
（8）
时才有束缚态（若，则无论和的值如何，至少总有一个能级）
当给定时，由(7)式可求出个能级（若有个能级的话）。相应的波函数为:
其中
3—7）设粒子（能量）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。
解：势阱为
在区域Ⅰ上有入射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。故
由，得。
由，得。
从上二式消去c,得。
反射系数
将代入运算，可得
3—8）利用Hermite多项式的递推关系（附录A3。式（11）），证明
谐振子波函数满足下列关系
并由此证明，在态下，证：谐振子波函数
（1）
其中，归一化常数
（2）的递推关系为
（3）
3—9）利用Hermite多项式的求导公式。证明（参A3.式（12））
证：A3.式（12）：
3—10）谐振子处于态下，计算，解：由题3—6），由题3—7），对于基态，刚好是测不准关系所规定的下限。
3—11）荷电q的谐振子，受到外电场的作用，（1）
求能量本征值和本征函数。
解：
（2）的本征函数为，本征值
现将的本征值记为，本症函数记为。
式（1）的势能项可以写成其中
（3）
如作坐标平移，令
（4）
由于
（5）
可表成（6）
（6）式中的与（2）式中的相比较，易见和的差别在于变量由换成，并添加了常数项，由此可知
（7）
（8）
即
（9）
(10)
其中
(11)
3—12）设粒子在下列势阱中运动，求粒子能级。
解：既然粒子不能穿入的区域，则对应的S.eq的本征函数必须在处为零。另一方面，在的区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的和谐振子的完全一样，粒子的波函数和谐振子的波函数满足同样的S.eq）。振子的具有的奇宇称波函数在处为零，因而这些波函数是这一问题的解（的偶宇称波函数不满足边条件）所以
3—13）设粒子在下列势阱中运动，(1)
是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。
解：S.eq:
(2)
对于束缚态（），令
(3)
则
(4)
积分，得跃变的条件
(5)
在处，方程(4)化为
(6)
边条件为
因此
(7)
再根据点连续条件及跃变条件(5)，分别得
(8)
(9)
由（8）（9）可得（以乘以（9）式，利用（8）式）
(10)
此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。
当势阱出现第一条能级时，所以,利用,（10）式化为,因此至少存在一条束缚态能级的条件为
（11）
纯势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为，对）。束缚态存在与否是要受到影响的。纯势阱的特征长度。
条件（11）可改写为
（12）
即要求无限高势垒离开势阱较远（）。才能保证势阱中的束缚态能存在下去。显然，当（即），时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时，式（10）给出
即
（13）
与势阱的结论完全相同。
令，则式（10）化为
（14）
由于，所以只当时，式（10）或（14）才有解。解出根之后，利用，即可求出能级
（15）
点击咨询